Noções de Testes de Hipóteses

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Cruz das Almas 2023 Thailany de Almeida Magalhães Noções de Testes de Hipóteses Hipótese Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre uma população frequentemente sobre algum parâmetro de uma população INTRODUÇÃO Conjectura hipótese estatística Regra de decisão teste de hipóteses INTRODUÇÃO Exemplos 1 Testar se um novo tipo de fertilizante é melhor que o fertilizante padrão 2 Testar se um tipo de ração é melhor que outro 3 Testar se um método de preservar alimentos é melhor que outro no que diz respeito à retenção de vitaminas INTRODUÇÃO Hipóteses H0 H1 Hipótese nula hipótese que será testada Hipótese alternativa hipótese que será aceita caso H0 seja rejeitada A decisão de rejeitar H0 é equivalente à opnião H0 é falsa A decisão de aceitar H0 equivale a opniào de não contêm evidência suficientemente forte contra H0 ERROS TIPO I E TIPO II Erro Qualquer que seja a decisão tomada em um teste de hipóteses está sujeito a cometer erros devido à presença da incerteza Conclusão do teste Situação da população H0 verdadeira H0 falsa Não rejeitar H0 Correto Erro tipo II Rejeitar H0 Erro tipo I Correto ERROS TIPO I E TIPO II Designaremos α PErro tipo I e β PErro tipo II Não é possível controlar ambos os erros ao mesmo tempo Quando diminuímos muita a probabilidade de erro tipo I aumentamos a probabilidade do erro tipo II e viceversa Exemplo 1 Um detetive de polícia é encarregado da investigação de um crime Baseado nas evidências encontradas o detetive suspeita inicialmente do mordomo e precisa decidir então se prende ou libera o mordomo Por outro lado o mordomo pode ser culpado ou inocente Mordomo Detetive Prende Libera Culpado Correto Errado Inocente Errado Correto Hipótese nula É formulada de tal forma que o objetivo é rejeitála H0 mordomo é inocente H1 mordomo é culpado Erro tipo I rejeitar a hipótese nula quando é verdadeira Erro tipo II não rejeitar a hipótese nula quando é falsa Conclusão do teste Situação da população H0 verdadeira H0 falsa Não rejeitar H0 Correto Erro tipo II Rejeitar H0 Erro tipo I Correto NÍVEL DE SIGNICÂNCIA O valor de α é fixado pelo pesquisador Como a probabilidade do erro tipo I α é fixada este deve ser o tipo de erro mais grave assim podemos decidir qual será a hipótese nula Nível de significância α TESTES UNILATERAIS E BILATERAIS Teste Bilateral Teste no qual a região de rejeição da hipótese nula está dividida em duas partes em cada um dos lados da distribuição amostral Hipótese do tipo H0 H1 TESTES UNILATERAIS E BILATERAIS Teste Unilateral Teste no qual a região de rejeição da hipótese nula está concentrada em apenas um dos lados da distribuição amostral Hipótese do tipo H0 H1 5º Aceitar ou rejeitar a hipótese nula comparando os valores do item 4º e 3º PROCEDIMENTO PARA SE EFETUAR UM TESTE DE HIPÓTESE 1º Enunciar as hipóteses 2º Fixar o limite de erro α e identificar a variável do teste 3º Determinar a região crítica em função da variável tabelada 4º Calcular o valor da variável do teste obtido na amostra 11 TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIA POPULACIONAL 111 População Normal σ 2 conhecido 112 População Normal σ 2 desconhecido TESTES DE HIPÓTESES 12 TESTES DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL 1 TESTES DE HIPÓTESES PARAMÉTRICOS 2 TESTES DE HIPÓTESES NÃO PARAMÉTRICOS TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIA POPULACIONAL A média de uma população é uma de suas características mais importantes e frequentemente temos que tomar decisões a seu respeito Vamos denotar um valor fixo qualquer por μ0 Hipóteses unilaterais Η0 μ μ0 ou μ μ0 versus H1 μ μ0 Η0 μ μ0 ou μ μ0 versus H1 μ μ0 Hipóteses bilaterais Η0 μ μ0 versus H1 μ μ0 TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIA POPULACIONAL 11 População Normal σ 2 conhecido Quando a variância ou desviopadrão populacional σ é conhecido utilizaremos a distribuição normal para encontrar a região crítica do teste A estatística de teste é Exemplo 2 O ganho médio de peso de bagres americanos provenientes dos Estados Unidos de uma determinada estação de piscicultura é de 200g com desviopadrão de 40g Uma amostra de 45 peixes apresentou ganho médio de 220g Teste ao nível de 5 de significância a hipótese de que o ganho de peso médio desse tipo de peixe aumentou Η0 μ 200 versus H1 μ 200 1º Enunciar as hipóteses Hipótese unilateral 2º Fixar o limite de erro α 005 3º Determinar a região crítica em função da variável tabelada Zα 05 005 Zα 1645 4º Calcular o valor da variável do teste obtido na amostra Rejeitamos H0 ao nível de 5 de significância zcalc zcrit Exemplo 3 O teor médio de proteína contido em rações para bovinos é de 61 gkg com desviopadrão de 10 gkg Uma amostra de 8 tipos de rações forneceu um teor médio de proteína de 635 gkg Teste ao nível de 2 de significância a hipótese de que o teor médio de proteína continua o mesmo 1º Enunciar as hipóteses 2º Fixar o limite de erro 3º Determinar a região crítica em função da variável tabelada 4º Calcular o valor da variável do teste obtido na amostra TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIA POPULACIONAL 12 População Normal σ 2 desconhecido Neste caso precisamos usar o desviopadrão amostral s para estimar σ e utilizaremos a distribuição de Student para encontrar a região crítica do teste A estatística de teste é Exemplo 4 O diâmetro equatorial médio do fruto de coqueiros anãos é de 180 cm Uma amostra de 12 coqueiros apresentou diâmetro equatorial médio de 172 cm com desviopadrão de 05 cm Teste a hipótese de que o diâmetro seja inferior ao nível de 10 de significância Η0 μ 180 versus H1 μ 180 1º Enunciar as hipóteses Hipótese unilateral 2º Fixar o limite de erro α 01 3º Determinar a região crítica em função da variável tabelada gl 11 α 01 tα 1363 4º Calcular o valor da variável do teste obtido na amostra Rejeitamos H0 zcalc zcrit TESTES DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÃO Em muitas situações podemos estar interessados em testar uma hipótese sobre a proporção de determinada característica da população Essa hipótese afirma que determinada proporção é igual a certo valor Exemplo 5 As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos de idade é de 06 Testar esta hipótese ao nível de 5 de significância se em 1000 nascimentos verificouse 530 que sobreviveram até 60 anos de idade Η0 μ 06 versus H1 μ 06 1º Enunciar as hipóteses Hipótese unilateral 2º Fixar o limite de erro α 005 3º Determinar a região crítica em função da variável tabelada 4º Calcular o valor da variável do teste obtido na amostra Rejeitamos H0 zcalc zcrit Zα 05 005 Zα 1645 𝑍𝑐𝑎𝑙 053 06 06 04 1000 452 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS Não depende dos parâmetros populacionais nem de suas respectivas estimativas Encontrar um valor da dispersão para duas variáveis categóricas nominais e avaliar a associação existente entre variáveis qualitativas O princípio básico é comparar proporções ou seja possíveis divergências entre as frequências observadas e esperadas para um certo evento Distribuição estatística de Quiquadrado TESTES NÃO PARAMÉTRICOS O modelo Quiquadrado serve para determinar a discrepância que existe entre as frequências observadas e as frequências esperadas e é dado pela estatística onde Oi frequência observada Ei frequência esperada TESTES NÃO PARAMÉTRICOS A distribuição amostral da 2 terá a seguinte forma aproximada 1 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS Teste de Independência Uma importante aplicação do teste 2 ocorre quando queremos estudar a relação entre duas ou mais variáveis de classificação A hipótese a ser testada Ho será de independência entre as variáveis e a alternativa H1 será de associação entre elas Em relação aos graus de liberdade estes serão definidos por h 1xk 1 h nº de linhas e k nº de colunas Exemplo 6 Desejase verificar a relação entre diabetes e o sexo do indivíduo Os dados encontramse na tabela a seguir Considere um nível de significância igual a 10 Sexo Diabetes Total Tem Não tem Masculino 31 39 70 Feminino 14 46 60 Total 45 85 130 1º Frequências esperadas Ei 2423 130 45 70 11 E 4577 130 85 70 12 E 2077 130 45 60 21 E 3923 130 85 60 21 E 6 27 23 39 3923 46 77 20 2077 14 77 45 4577 39 23 24 2423 31 2 2 2 2 2 2 i i i i E E O 2º Estatística do teste 3º Estatística tabelada glh 1xk 1 gl 21 x 21 gl1 2 tab 2706 2 cal 2 tab rejeitamos a hipótese de que ter ou não diabetes independe do sexo do indivíduo