Slide - Aula 6 - Juros Compostos - 2024-1

JUROS COMPOSTOS AULA 6 Prof. Boris Asrilhant 1º semestre 2024 Curso de Administração da FACC - UFRJ Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 1: Os(as) alunos(as) não podem divulgar para terceiros ou divulgar em qualquer domínio público ou privado na internet, em nenhum momento (mesmo após o término da momento (mesmo após o término da disciplina), este arquivo ou o conteúdo deste arquivo, sob pena de infringir os direitos autorais do professor. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 2: Os slides deste arquivo se baseiam no livro: BOGGISS, G.J. et al. Matemática Financeira. 11ª ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant OBJETIVOS DA AULA Objetivo Geral: Apresentar conceitos e aplicações relacionados ao regime de juros compostos. Objetivos Específicos:  Entender os conceitos e sua utilização Calcular o montante  Calcular o montante  Calcular o capital  Calcular os juros a partir do capital  Calcular o número de períodos de capitalização  Calcular a taxa de juros  Fixar os conceitos através de exercícios Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant ESCOPO DA AULA Apresentação dos conceitos fundamentais e aplicações de operações a partir do regime de juros compostos. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Trata-se da segunda sistemática de incorporação de juros ao capital por mais de um período, denominada de juros compostos. No Brasil, esse regime de capitalização é utilizado na realização de aplicações financeiras, em descontos CONCEITOS BÁSICOS E UTILIZAÇÃO: JUROS COMPOSTOS realização de aplicações financeiras, em descontos bancários, além de na análise de alternativas de projetos em empresas. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant No regime de juros compostos, no primeiro período o computo dos juros é realizado multiplicando-se a taxa de juros pelo capital, tanto para juros simples quanto para juros compostos. Já a partir do segundo período, calculam-se os juros CONCEITOS BÁSICOS: JUROS COMPOSTOS Já a partir do segundo período, calculam-se os juros multiplicando-se a taxa de juros sobre o montante acumulado ao fim de cada período imediatamente anterior (juros sobre juros). Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant No regime de juros compostos os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros no período seguinte: os juros são capitalizados. Ou seja, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela passando a participar da geração do rendimento no período seguinte. CONCEITOS BÁSICOS: JUROS COMPOSTOS rendimento no período seguinte. O capital cresce exponencialmente, em progressão geométrica e portanto mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples (crescimento linear). Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O montante aplicado a juros compostos em um período: S1 = P x (1 + i) = P + P x i No período seguinte: S2 = P x (1+i) x (1+i) = P x (1 + i)2 ou seja, é o principal do período anterior mais o juros sobre o principal anterior. Em n períodos: CONCEITOS BÁSICOS: MONTANTE Em n períodos: Sn = P x (1 + i)n Onde (1 + i)n é o fator de capitalização no regime de juros compostos. No caso de períodos não inteiros, deve-se calcular a taxa de juros proporcional ao período de referência. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 1) Você tomou um empréstimo de $20.000 pelo prazo de 4 meses, à taxa de juros composta efetiva de 2% a.m. Calcule o montante no final do período. Dados: P= $20.000, i= 2% a.m., n= 4 meses, S4=? EXERCICIO: MONTANTE S4 = P x (1 + i)4 (JC) S4= P x (1 + i x 4) (JS) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 1) Você tomou um empréstimo de $20.000 pelo prazo de 4 meses, à taxa de juros composta efetiva de 2% a.m. Calcule o montante no final do período. Dados: P= $20.000, i= 2% a.m., n= 4 meses, S4=? S4 = P x (1 + i)4 = $20.000 x (1 + 0,02)4 = $21.648,64 EXERCICIO: MONTANTE S4 = P x (1 + i) = $20.000 x (1 + 0,02) = $21.648,64 Se fosse em regime de juros simples: S4= P x (1 + i x 4) = $20.000 x (1 + 0,02 x4) = $21.600 A diferença entre os dois regimes é de $48,64 em quatro meses para a mesma taxa de 2% a.m. devido ao “juros sobre juros” do regime de juros compostos. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 2) Calcular o montante por $5.000 aplicados por quatro anos à taxa de juros composta efetiva de 20% a.a. Dados: P= $5.000, i= 20% a.a., n= 4 anos, S4=? EXERCICIO: MONTANTE S4 = P x (1 + i)4 (JC) S4 = P x (1 + i)4 (JC) S4 = P x (1 + i x 4) (JS) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 2) Calcular o montante por $5.000 aplicados por quatro anos à taxa de juros composta efetiva de 20% a.a. Dados: P= $5.000, i= 20% a.a., n= 4 anos, S4=? Sn = P x (1 + i)n = $5.000 x (1 + 0,20)4 = $10.368 EXERCICIO: MONTANTE Sn = P x (1 + i)n = $5.000 x (1 + 0,20)4 = $10.368 Se fosse em regime de juros simples: Sn = P x (1 + i x n) = $5.000 x (1 + 0,20x 4) = $9.000 A diferença entre os dois regimes é de $1.368 em quatro anos para a taxa efetiva de 20% a.a. se refere aos “juros sobre juros” do regime de juros compostos. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O montante aplicado a juros compostos em n períodos: Sn = P x (1 + i)n P = S x 1/(1 + i)n = S /(1 + i)n = S x (1 + i)-n CONCEITOS BÁSICOS: PRINCIPAL Onde 1/ (1 + i)n é o fator de desconto no regime de juros compostos. No caso de períodos não inteiros, deve-se calcular a taxa de juros proporcional ao período de referência. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 3) Calcule quanto deverá ser investido hoje (P) para receber $500.000 em 5 meses a uma taxa de juros composta efetiva de 1,15 % a.m. Dados: S3= $500.000, i= 1,15% a.m., n = 5 meses, P= ? EXERCICIO: PRINCIPAL P = S5 / (1 + i)5 (JC) P = S5 / (1 + i)5 (JC) P = S5 / (1 + i x 5) (JS) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 3) Calcule quanto deverá ser investido hoje para receber $500.000 em 5 meses a uma taxa de juros composta efetiva de 1,15 % a.m. Dados: S= $500.000, i= 1,15% a.m., n=5 meses, P= ? EXERCICIO: PRINCIPAL P = S5/ (1 + i)5 = 500.000/ (1+ 0,0115)5 = $472.215,90 (JC) P = S5 / (1+ i x 5) = 500.000/(1+ 0,0115 x 5)= $472.813,20 (JS) Reparem que para chegar ao mesmo valor de $500.000 ao final de 5 meses, à mesma taxa de juros, o principal da aplicação à taxa de juros simples tem que ser maior que o principal da aplicação à taxa de juros compostos. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Como se calcula o Juros a partir do Principal? O montante, segundo o regime de juros compostos em n períodos, é obtido a partir de: Sn = P x (1 + i)n CONCEITOS BÁSICOS: JUROS Sn = P x (1 + i)n Então, como J = S - P Jn = Sn – P = P x (1 + i)n – P = P x [ (1+ i)n – 1] Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) Calcule o rendimento (juros ou remuneração) obtido em uma aplicação de $10.000 durante dois meses, em regime de juros compostos à taxa de 2% a.m. Dados: P= $10.000, i= 2% a.m., n = 2 meses, J2= ? EXERCICIO: JUROS Jn = P x [ (1+ i)n – 1] Jn = P x [ (1+ i)n – 1] ou Jn = Sn – P, onde Sn = P x (1+ i)n Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4) Calcule o rendimento (juros ou remuneração) obtido em uma aplicação de $10.000 durante dois meses, em regime de juros compostos à taxa de 2% a.m. Dados: P= $10.000, i= 2% a.m., n = 2 meses, J2= ? EXERCICIO: JUROS J2 = P x [ (1+ i)2 – 1] = $10.000 x [ (1 + 0,02)2 -1] = $404 ou S2 = P x (1+ i)2 = $10.000x (1+0,02)2 = $10.404 J2 = S2 – P = $10.404 - $10.000 = $404 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant O montante aplicado a juros compostos em n períodos: Sn = P x (1 + i)n Então: (Sn / P) = (1 + i)n CONCEITOS BÁSICOS: NÚMERO DE PERIODOS (Sn / P) = (1 + i)n Aplicando ln (loge) nos dois lados: ln (Sn/P) = n x ln (1+i) Assim: n = ln (Sn/P) / ln (1+i) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Uma pessoa física aplicou $15.000 à taxa de juros composta de 20% a.a. recebendo após um determinado período o montante de $30.000. Qual foi o período da aplicação? Dados: P= $15.000, Sn= 30.000, i=20% a.a., n=? (anos) EXERCICIO: NUMERO DE PERIODOS n = ln (Sn/P) / ln (1+i) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5) Uma pessoa física aplicou $15.000 à taxa composta de 20% a.a. recebendo após um período o montante de $30.000. Qual foi o período em anos? Dados: P= $15.000, Sn= 30.000, i=20% a.a., n=? EXERCICIO: NUMERO DE PERIODOS n = ln (Sn/P) / ln (1+i) = ln (30.000/15.000)/ ln (1+0,2)= n = ln (2) / ln (1,2) n = 0,693147 / 0,182321 = 3,8 anos 3 anos e 0,8 x 12 meses = 3 anos e 10 meses (aproximadamente) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: TAXA DE JUROS ou i = (S/P)1/n - 1 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 6) Você recebe uma proposta para investir hoje $300.000 e receber $321.596,29 em 5 meses. Qual é a taxa de juros composta desta aplicação? Dados: P= $300.000, S= 321.596,29, i=? EXERCICIO: TAXA DE JUROS i = (S/P)1/n - 1 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant EXERCICIO: TAXA DE JUROS Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant