Slide - Séries de Pagamentos - Mat Fin

MATEMÁTICA FINANCEIRA U F R J T U R M A D - P R O F A . P A U L A P A U L A P O R T O U F R J @ G M A I L . C O M SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORMES DIFERIDAS CÁLCULO DE MONTANTE PERPETUIDADE Me TEMAS SÉRIES DE PAGAMENTOS SÉRIES DE PAGAMENTOS SÉRIES DE PAGAMENTOS Série de pagamentos - rendas certas / série de periódicas uniformes. Taxas em regime composto Parcelas de mesmo valor Intervalos de tempos iguais ELEMENTOS DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS Valor atual Valor do montante Valor da parcela Número de parcelas Taxa SÉRIE DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS Ocorre quando a primeira parcela é paga apenas ao final de um período e a data do valor atual esteja um período antes do primeiro pagamento. SÉRIE POSTECIPADA A = P \dfrac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n} \Rightarrow A = P . a_{n¬i} a_{n¬i} é o fator de valor atual de uma série de pagamentos uniformes (da Tabela). “a cantoneira i” ou “a, n, i”. SÉRIE POSTECIPADA 2 MÉTODOS TABELA FVASP SÉRIE POSTECIPADA EXEMPLO Um bem cujo preço à vista é de $4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., calcular o valor das prestações. 1 FORMA A=$4.000,i=5%a.m.,n=8,P=? 4000 = Px 6,463213 = 4000/6,463213 = 618,89 SÉRIE POSTECIPADA EXEMPLO Um bem cujo preço à vista é de $4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., calcular o valor das prestações. 2 FORMA A=$4.000,i=5%a.m.,n=8,P=? 4000 = P / [(1,05)^8] -1 / (1,05)^8 x 0,05 = 4000 = P/6,46321 = 618,89 SÉRIE DE PAGAMENTOS ANTECIPADA Ocorre quando a primeira parcela é paga no início de cada período e a data do valor atual esteja junto do primeiro pagamento. SÉRIE ANTECIPADA EXEMPLO Uma pessoa deve pagar por um financiamento seis prestações mensais antecipadas de 1 FORMA $ 13.000 cada uma. Calcular o valor do financiamento efetivo se a taxa de juros cobrada for de 15% a.m. Dados: n = 6 , P = $ 13.000, i = 15% a.m., financiamento efetivo = ? A= 13000 x 3,3522155 = 43578,08 + 13000 = 56578,08 n | i | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% | 11% | 12% | 15% | 18% 1 | 0.990099 | 0.980392 | 0.970874 | 0.961538 | 0.952381 | 0.943396 | 0.934579 | 0.925926 | 0.917431 | 0.909091 | 0.900901 | 0.892857 | 0.869565 | 0.847458 2 | 1.970395 | 1.941561 | 1.913470 | 1.886095 | 1.859410 | 1.833396 | 1.808018 | 1.783265 | 1.759111 | 1.735538 | 1.712523 | 1.690051 | 1.628973 | 1.565642 3 | 2.940896 | 2.883883 | 2.828611 | 2.775091 | 2.723424 | 2.673012 | 2.624316 | 2.577097 | 2.531295 | 2.486852 | 2.443715 | 2.401831 | 2.283272 | 2.174273 4 | 3.901966 | 3.807729 | 3.717097 | 3.629895 | 3.545951 | 3.465106 | 3.387211 | 3.312127 | 3.239720 | 3.169865 | 3.102446 | 3.037349 | 2.859478 | 2.690062 5 | 4.853431 | 4.713460 | 4.579707 | 4.451822 | 4.329477 | 4.212364 | 4.100197 | 3.992710 | 3.889651 | 3.790797 | 3.695897 | 3.604776 | 3.352153 | 3.127171 6 | 5.795476 | 5.601431 | 5.417191 | 5.242137 | 5.075692 | 4.917324 | 4.766540 | 4.622880 | 4.485919 | 4.355261 | 4.230358 | 4.111407 | 3.784483 | 3.497603 7 | 6.728195 | 6.471991 | 6.230283 | 5.786373 | 5.582381 | 5.389289 | 5.206370 | 5.032593 | 4.868419 | 4.713196 | 4.566357 | 4.160420 | 3.864034 8 | 7.651678 | 7.325481 | 7.019692 | 6.732745 | 6.463213 | 6.209794 | 5.971299 | 5.746639 | 5.534819 | 5.334926 | 5.146123 | 4.967640 | 4.487322 | 4.077566 9 | 8.566018 | 8.162237 | 7.786109 | 7.433332 | 7.102823 | 6.792354 | 6.500961 | 6.227659 | 5.971532 | 5.731667 | 5.507247 | 5.297516 | 4.870712 | 4.303042 10 | 9.471305 | 8.982585 | 8.530203 | 8.110695 | 7.721734 | 7.360087 | 7.023582 | 6.710081 | 6.417564 | 6.144567 | 5.889232 | 5.650223 | 5.187864 | 4.494086 11 | 10.367628 | 9.786848 | 9.252624 | 8.746877 | 8.306414 | 7.885857 | 7.498674 | 7.138968 | 6.802519 | 6.492055 | 6.206515 | 5.933759 | 5.233712 | 4.656005 12 | 11.255077 | 10.575341 | 9.954004 | 9.380574 | 8.863214 | 8.383844 | 7.941686 | 7.536078 | 7.160255 | 6.813692 | 6.492356 | 6.194374 | 5.420619 | 4.793225 13 | 12.133740 | 11.348734 | 10.634995 | 9.985648 | 9.385628 | 8.852683 | 8.357561 | 7.903776 | 7.486034 | 7.103150 | 6.749780 | 6.423548 | 5.583147 | 4.909553 14 | 13.003703 | 12.106249 | 11.296073 | 10.563123 | 9.898641 | 9.294984 | 8.745468 | 8.244237 | 7.786150 | 7.366500 | 6.981065 | 6.628165 | 5.724476 | 5.008602 15 | 13.865053 | 12.849246 | 11.939781 | 11.118387 | 10.379654 | 9.712249 | 9.107914 | 8.559479 | 8.059237 | 7.600850 | 7.179108 | 6.810864 | 5.847370 | 5.091578 16 | 14.717874 | 13.577709 | 12.561102 | 11.652946 | 10.837700 | 10.105899 | 9.446649 | 8.851369 | 8.312558 | 7.823709 | 7.379162 | 6.973986 | 5.954253 | 5.162354 17 | 15.562251 | 14.291787 | 13.166113 | 12.166669 | 11.274068 | 10.477260 | 9.773222 | 9.122313 | 8.523654 | 7.962329 | 7.548794 | 7.107956 | 6.047161 | 5.223655 18 | 16.398262 | 14.991657 | 13.754768 | 12.662548 | 11.689521 | 10.836740 | 10.081353 | 9.368812 | 8.720606 | 8.089331 | 7.705924 | 7.230151 | 6.128428 | 5.277146 19 | 17.225987 | 15.677462 | 14.327395 | 13.133992 | 12.085353 | 11.158116 | 10.373595 | 9.603989 | 8.901509 | 8.200301 | 7.849674 | 7.341478 | 6.200391 | 5.324614 20 | 18.045530 | 16.349333 | 14.877745 | 13.590326 | 12.462210 | 11.469921 | 10.646490 | 9.818147 | 9.068943 | 8.305464 | 8.158463 | 7.469444 | 6.259331 | 5.366358 SÉRIE ANTECIPADA EXEMPLO Uma pessoa deve pagar por um financiamento seis prestações mensais antecipadas de $ 13.000 cada uma. Calcular o valor do financiamento efetivo se a taxa de juros cobrada for de 15% a.m. Dados: n = 6 , P = $ 13.000, i = 15% a.m., financiamento efetivo = ? 1 FORMA A= 13000 x [(1,15)^5 -1] / (1,15)^5 x 0,15 = 43578,08 + 13000 = 56578,08 SÉRIE DE PAGAMENTOS DIFERIDAS Séries diferidas ocorrem quando há um período de carência. Tal carência deve ser maior que 1 período e o primeiro pagamento ocorre ao final do período ou no início do período logo após da carência. Série Diferidas antecipada Série Diferidas postecipadas SÉRIES DIFERIDAS EXEMPLO Um financiamento de $50.000 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros efetivos de 8 % a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das prestações. Dados: A=$50.000, n=12, c=3, i=8%a.m., P=? Antecipada 50.000x(1,08)^2 = 58320 58320 = PMT x 7,536078 = PMT = 7.738 SÉRIES DIFERIDAS EXEMPLO Um financiamento de $50.000 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros efetivos de 8 % a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das prestações antecipadas e postecipadas. Dados: A=$50.000, n=12, c=3, i=8%a.m., P=? Antecipada 50.000x(1,08)^2 = 58320 58320 = PMT x [(1,08)^12 -1] / (1,08)^12 x 0,08 = PMT = 7.738 SÉRIES VARIÁVEIS DE PAGAMENTOS São comuns as situações em que as projeções dos fluxos de caixa das aplicações financeiras ou dos projetos de investimento são crescentes ou decrescentes ao longo do tempo. SÉRIES DIFERIDAS EXEMPLO Quanto devemos aplicar hoje, a uma taxa de juros efetiva de 6 % a.m., de modo que sejam possibilitados quatro saques consecutivos? O primeiro saque deverá ser de $ 2 0 . 0 0 0 daqui a três meses e os outros gradativamente crescentes, formando uma série gradiente uniforme igual a $ 2 0 .0 0 0 , $40.000, $60.000 e $80.000. Método das divisões em partes. P1 =20.000 x 0,943396 = 18867,92 P2 =20.000 x 1,833393 = 36667,86 P3 =20.000 x 2,673012 = 53460,24 p4 =20.000 x 3,465106 = 69302,12 Total = 178.298,14 178.298,14 / (1,06)^2 = 158.684,71 CÁLCULO MONTANTE Geralmente, o montante está localizado temporalmente na data do último depósito. CÁLCULO MONTANTE EXEMPLO Calcular o capital formado até o fim do quinto mês, mediante cinco aplicações mensais e consecutivas de $ 100 cada. Considere que os depósitos são realizados: a) o primeiro daqui a um mês; b) o primeiro hoje. Os juros são calculados à razão de 10% a.m. Dados: R = $ 100, n = 5, i = 10%, S5 = ? a) primeiro depósito daqui a 1 mês 100 x [(1,1^5)- 1/0,10] = 100 x 6,10510 = 610,51 CÁLCULO MONTANTE EXEMPLO Calcular o capital formado até o fim do quinto mês, mediante cinco aplicações mensais e consecutivas de $ 100 cada. Considere que os depósitos são realizados: a) o primeiro daqui a um mês; b) o primeiro hoje. Os juros são calculados à razão de 10% a.m. Dados: R = $ 100, n = 5, i = 10%, S5 = ? a) primeiro depósito no ato 100 x [(1,1^5)- 1/0,10] = 100 x 6,10510 = 610,51 x (1,1) =671,56 TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS S_n i = (1+i)^n -1/i \ n\ 1%\ 2%\ 3%\ 4%\ 5%\ 6%\ 7%\ 8%\ 9%\ 10%\ 12%\ 15%\ 18% 1\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000\ 1,0000 2\ 2,0100\ 2,0200\ 2,0300\ 2,0400\ 2,0500\ 2,0600\ 2,0700\ 2,0800\ 2,0900\ 2,1000\ 2,1200\ 2,1500\ 2,1800 3\ 3,0301\ 3,0604\ 3,0909\ 3,1216\ 3,1525\ 3,1836\ 3,2149\ 3,2464\ 3,2781\ 3,3100\ 3,3748\ 3,4725\ 3,5724 4\ 4,0604\ 4,1216\ 4,1836\ 4,2465\ 4,3101\ 4,3746\ 4,4399\ 4,5061\ 4,5723\ 4,6410\ 4,7793\ 4,9934\ 5,2154 5\ 5,1010\ 5,2040\ 5,3091\ 5,4163\ 5,5256\ 5,6371\ 5,7507\ 5,8666\ 5,9847\ 6,1051\ 6,3528\ 6,7424\ 7,1542 6\ 6,1520\ 6,3081\ 6,4684\ 6,6330\ 6,8019\ 6,9753\ 7,1533\ 7,3359\ 7,5233\ 7,7156\ 8,1152\ 8,7537\ 9,4420 7\ 7,2135\ 7,4343\ 7,6625\ 7,8983\ 8,1420\ 8,3938\ 8,6540\ 8,9228\ 9,2004\ 9,4872\ 10,1148\ 11,0668\ 12,1416 8\ 8,2857\ 8,5830\ 8,8969\ 9,1637\ 9,4731\ 9,8975\ 10,3388\ 10,7971\ 11,2734\ 11,7795\ 13,7366\ 15,2268\ 16,3328 9\ 9,3685\ 9,7546\ 10,1595\ 10,5828\ 11,0278\ 11,4913\ 11,9730\ 12,4739\ 12,9950\ 13,5454\ 17,8450\ 21,5100\ 24,0133 10\ 10,4622\ 10,9497\ 11,4639\ 12,0061\ 12,5779\ 13,1810\ 13,8169\ 14,4866\ 15,1929\ 15,9374\ 21,9384\ 24,9815\ 28,2647 11\ 11,5668\ 12,1687\ 12,8078\ 13,4864\ 14,2068\ 14,9766\ 15,8431\ 16,6455\ 17,5630\ 18,5312\ 24,2701\ 30,7286\ 34,3317 12\ 12,6825\ 13,4121\ 14,1920\ 15,0258\ 15,9170\ 16,8749\ 17,9528\ 18,9972\ 20,0537\ 21,3843\ 26,1636\ 35,6389\ 39,5044 13\ 13,8093\ 14,6803\ 15,6187\ 16,6268\ 17,7129\ 18,8869\ 20,1505\ 21,4620\ 22,6595\ 24,5228\ 28,5052\ 41,9847\ 45,6152 14\ 14,9474\ 15,9739\ 17,0863\ 18,2919\ 19,5985\ 21,0231\ 22,4416\ 24,0465\ 25,4179\ 27,9751\ 32,2858\ 49,2824\ 52,8220 15\ 16,0969\ 17,2934\ 18,5980\ 20,0236\ 21,5784\ 23,2934\ 24,8314\ 26,7623\ 28,3395\ 31,7726\ 35,9582\ 57,6747\ 61,3312 16\ 17,2579\ 18,6393\ 20,1569\ 21,8245\ 23,6576\ 25,7050\ 27,3255\ 29,6233\ 31,4350\ 35,9497\ 40,2337\ 67,3253\ 71,3539 17\ 18,4304\ 20,0121\ 21,7616\ 23,6974\ 25,8404\ 28,2673\ 29,9285\ 32,6412\ 34,7152\ 40,5447\ 44,0615\ 78,4361\ 83,1486 18\ 19,6147\ 21,4123\ 23,4144\ 25,6454\ 28,1245\ 30,9873\ 32,6455\ 35,8285\ 38,1926\ 45,5997\ 48,3499\ 85,0680\ 103,7403 PERPETUIDADE O termo perpetuidade sugere fluxos de duração infinita sem limite. Entretanto, é mais apropriado dizer que uma perpetuidade se constitui de um conjunto de rendas cujo número não pode ser determinado exatamente, pois é muito grande e tende ao infinito, como sucede, por exemplo, com os dividendos pagos pelas empresas. Valor Presente = Parcela/i (para parcelas sem reajuste) Valor Presente = Parcela / i- c (para parcelas que sofrem reajuste) CÁLCULO PERPETUIDADE EXEMPLO Uma ação promete pagar um dividendo de $3,5/ação ao ano. Estimando-se que os dividendos cresçam a uma taxa constante de 5% a.a., calcular o valor do título se o custo de oportunidade do capital for de 14% a.a. Considere os dividendos como uma perpetuidade. Dados: R=$3,5/ação, i= 14%a.a., c=5%a.a., P=? VP = 3,50/ 0,14 - 0,05 = $ 38,89 MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Considerando uma taxa de juros efetiva de 3% a.m., calcular o valor da prestação na hipótese de serem pagas: a) postecipadamente (fim de cada mês); b) antecipadamente (início de cada mês). 2. Uma pessoa deposita $2.450 todo fim de mês em um fundo de investimento que paga juros nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante da aplicação no fim do 16 mês. 3. Uma compra no valor de $16.000 será paga por meio de uma entrada de 20% e um determinado número de prestações mensais de $4.038,02, sendo a primeira, um mês após a compra. A juros efetivos de 10% a.m., calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida. 4. Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 10% a.m., qual deveria ser seu valor à vista? 5. Um eletrodoméstico de $330 será pago por meio de uma entrada de 15% mais oito prestações mensais. A juros efetivos de 5% a.m., calcular o válor das prestações na hipótese de serem: a) postecipadas; b) antecipadas. 6. Um financiamento será pago em oito prestações mensais de $66.000 nos próximos oito meses, e mais 14 prestações de $13.500 nos meses subseqüentes. Considerando-se que as taxas de juros efetivas são de 10% a.m. para o primeiro ano e 15% a.m. para o segundo ano, respectivamente, determinar o valor do pagamento único que quita toda a dívida no quinto mês. 7. Um equipamento cujo valor à vista é $33.000 pode ser pago com uma entrada e 18 prestações mensais de $2.489,91. Sabendo-se que há um período de carência de 3 meses para início do pagamento das prestações, calcular o valor da entrada, considerando-se juros efetivos de 5% a.m. 8. Por um financiamento, pagam-se cinco prestações mensais de $1.500, a primeira depois do término de um período de carência de cinco meses. Um mês após o pagamento da última prestação, inicia-se o pagamento de mais quatro parcelas mensais de $1.000. Considerando-se juros efetivos de 7% a.m., calcular o valor do financiamento. LISTA - Séries Séries de pagamentos Lista de exercícios 1)\ PV = 132000\ i = 3% a.m.\ n = 14\ P = ? \ a) Postecipada: \ PV = P\ a_n \ - i % \ P = \frac{PV}{a_{14} \ 3%} \ P = \frac{132000}{a_{14} \ 3%} \ P = 132000 = 11.685,43 \ P = 11.296043 b) Antecipada: \ 132000 = a14\ P-\frac{P1}{a_{13} \ 3%} Tal que\ P = P1 \ P = 12.411,89 \ - \frac{P}{10,6349....} P + \frac{P}{10,6349....} = 12.411,89 10,6349.... P + P = 12.411,89 . 10,6349.... P (11,6349....) = 131999,89 P = 11.345,11 \ Pegando os valores dele \ a_{14} 3% \ e \ a_{13} 3% \ na \ tabela! 3)\ P: 2450\ i: 10% a.a.\ Capitalizados mensalmente\ a.m.: ?\ n: 16 meses 1° \ Calculo taxa efetiva mensual \left(1 + \frac{1_{a}}{12}\right)^n - 1 = 10% a.m. <-\ lembrar da fórmula de taxa efetiva. 2° \ Montante: \ M = P\ \overline{a_n}\ i% \ M = P. \left[\frac{(1+i)^n - 1}{i} \right] \ M = 2450 . 35,9497\n= 88,076.84 3)\ Compra - 16,000 \ Entrada - 20% - 3200 \ Postecipada i = 10% a.m. \ Calcular número de prestações (n) 16,000 = 3200 + 4,038,02\, 2401 16,000 - 3200 = a_n 10% 4,038,02 = a_n 10% \ Od\ tabela \ que \ 4. Ou \text{{An}} \_ 10i: \frac{(1,10)^n - 1}{(1,10)^n-1} -\text{aplico log}. \text{n = }\frac{\log(1,46)}{\log(1,10)} = 4 16.000 - 3200 = A\_n 10% \ A\_n 10i: \ (1,10)^n - 0,316735\n\n\n\text{Aplico log.log}. 4) 12 prestações de 307 $ i = 10% a.m Qual PV? PV = 307 an (10%) PV = 307 * 6,81309 = 2.091,80 ou PV = 307 * \left[\frac{(1,10)^{12} - 1}{(1,10)^{12} * 0,1}\right] 307 * 6,81309 = 2091,80 5) M = 2300 000 m = 16 i = 6% a.m Parcela? 2300 000 = P * \left[\frac{(1,06)^{16} - 1}{0,06}\right] 2300 000 = P * 25,67215 P = 89589,93 6) 7 prestações de 66.000 14 prestações de 13.500 Qual parcela que quita a dívida no 5o mês. 10% a.m. (1o ano) 15% a.m. (2o ano) @ 66.000 a j (10%) * 13.500 a j (10%) * ! 13500 a j (10%) ! a) 66.000 * 0,832943 = 62,105,13 b) 13.500 * 0,649984 = 62,739,45 c) 13500 * 0,504516 = 68,750,38 Agora levaremos de C para data 0. * = 127993,27 (1,10)^8 = 19.946,24 * = 64773,23 (1,10)^12 = 28744,20 A + B + C = 295,815,67 2 levar para data final ano mês 5 295815,67 * (1,10)^5 = 632465,10 Pagamento único