Slide - Aula 11 - Séries Uniformes - 2024-1

SÉRIES UNIFORMES AULA 11 Prof. Boris Asrilhant 1º semestre 2024 Curso de Administração da FACC - UFRJ Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 1: Os(as) alunos(as) não podem divulgar para terceiros ou divulgar em qualquer domínio público ou privado na internet, em nenhum momento (mesmo após o término da momento (mesmo após o término da disciplina), este arquivo ou o conteúdo deste arquivo, sob pena de infringir os direitos autorais do professor. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER 2: Os slides deste arquivo se baseiam no livro: BOGGISS, G.J. et al. Matemática Financeira. 11ª ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DISCLAIMER Os slides deste arquivo se baseiam no livro: BOGGISS, G.J. et al. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. Empresarial, 2012. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant OBJETIVOS DA AULA Objetivo Geral: Apresentar conceitos e aplicações relacionados às séries uniformes. Objetivos Específicos:  Calcular o valor presente da série diferida  Calcular o valor futuro das séries posteciada e antecipada  Calcular o valor futuro das séries posteciada e antecipada  Calcular a prestação quando o valor presente é conhecido  Calcular a prestação quando o montante é conhecido  Cálculo de séries uniformes com pagamentos ou recebimentos constantes adicionais (ou intermediários)  Compra à vista vs. compra a prazo  Fixar os conceitos através de exercícios Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant ESCOPO DA AULA Apresentação dos conceitos fundamentais e aplicações de pagamentos e recebimentos, dependendo de que lado da operação se esteja, a partir das séries uniformes. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: CONCEITO E UTILIZAÇÃO SERIE POSTECIPADA SERIE ANTECIPADA SÉRIE DIFERIDA DADO PMT CALCULAR PV Finita: PVp = PMT x [1 - (1+i)-n] i Perpétua: PVp = PMT n = infinito i CALCULAR PV PVa = PMT x [1 - (1+i)-n] x (1+i) i CALCULAR PV Finita: PVd= PMT x [1 - (1+i)-n] i (1+i)d-1 Perpétua: PVd = PMT i (1+i)d-1 Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant DADO PMT CALCULAR FV FVp= PMT x [(1+i)n -1] i CALCULAR FV FVa= PMT x [(1+i)n -1] x (1+i) i ___ DADO PV CALCULAR PMT PMTp = PV x i [1 - (1+i)-n] CALCULAR PMT PMTa = PV x i [1 - (1+i)-n ] x (1+i) ___ DADO FV CALCULAR PMT PMTp= FV x i [(1+i)n -1] CALCULAR PMT PMTa= FV x i [(1+i)n -1] x (1+i) ___ Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira Período Letivo 2024.1 Se a série uniforme for postecipada, o valor presente é: PVp = PMTp x [1 - (1+i)-n] i Portanto, PMTp = PV x i CONCEITOS BÁSICOS: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE POSTECIPADA) Portanto, PMTp = PV x i [1 - (1+i)-n] onde PV é o valor presente do bem Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4. Você pretende adquirir um imóvel cujo preço à vista (hoje) é $200.000 e propõe pagar à imobiliária 15% desse valor como sinal (no ato da negociação) e o restante em 36 prestações mensais postecipadas. A taxa de juros compostos é de 24% a.a. Qual é o valor da prestação mensal constante? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE POSTECIPADA) da prestação mensal constante? Dados: Preço à vista=$200.000, sinal = 15% do total, n=36 meses, i=24% a.a., PMT=? PMTp = PV x i [1- (1+i)-n] Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 4. Você pretende adquirir um imóvel cujo preço à vista (hoje) é $200.000 e e propõe pagar à imobiliária 15% desse valor como sinal (no ato da negociação) e o restante em 36 prestações mensais postecipadas. A taxa de juros compostos é de 24% a.a. Qual é o valor da prestação mensal constante? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE POSTECIPADA) da prestação mensal constante? Dados: Preço à vista=$200.000, sinal = 15% do total, n=36 meses, i=24% a.a., PMT=? $200.000 x 0,85= $170.000 ie,p = (1+0,24 a.a.)1/12 -1= 1,81% a.m. = 0,0181 a.m. PMTp = PV x i = $170.000 x 0,0181 = $6.466,47 [1- (1+i)-n] [1 – (1+0,0181)-36] Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Para relacionar a fórmula da prestação constante de uma serie uniforme postecipada com a série antecipada com os mesmos (a) número de prestações; (b) valor da taxa de juros; e (c) valor da prestação, utiliza-se o seguinte raciocínio que, para facilitar a compreensão, CONCEITOS BÁSICOS: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) seguinte raciocínio que, para facilitar a compreensão, considerará apenas duas prestações. Seja i a taxa de juros efetiva composta utilizada e estabeleça-se o valor presente das duas referidas séries uniformes de recebimentos apresentadas a seguir: Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) Períodos PMTp PMTp Por simplificação, considerando apenas dois períodos: 1 0 2 Períodos (Unidades de tempo) 1 0 Períodos (Unidades de tempo) PMTa PMTa Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) PMTa + PMTa / (1+i) = PMTp / (1+i) + PMTp / (1+i)2 Multiplicando ambos os lados por (1+i), tem-se: PMTa x (1+i) + PMTa = PMTp + PMTp / (1+i) PMTa x [1+ (1+i)] = PMTp x [1+ (1/1+i)] Colocando-se o termo à direita de PMTp sob o mesmo denominador, tem-se: PMTa x [1+ (1+i)] = PMTp x [(1+i) + 1] (1 + i) Assim: PMTa = PMTp / (1+i) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) Assim: PMTa = PMTp / (1+i) Se: PMTp = PVp x i [1 – (1+ i)-n] [1 – (1+ i) ] Então: PMTa = PVa x i [1– (1+i)-n ] x (1+i) onde PV é o valor presente do bem Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5. Você pretende adquirir um imóvel cujo preço à vista (hoje) é $200.000 e propõe pagar à imobiliária 15% desse valor como sinal (no ato da negociação) e o restante em 36 prestações mensais antecipadas. A taxa de juros compostos é de 24% a.a. Qual é o valor da prestação mensal constante? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) da prestação mensal constante? Dados: Preço à vista=$200.000, sinal = 15% do total, n=36 meses, i=24% a.a., PMT=? PMTa = PVa x i [1– (1+i)-n ] x (1+i) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 5. Você pretende adquirir um imóvel cujo preço à vista (hoje) é $200.000 e e propõe pagar à imobiliária 15% desse valor como sinal (no ato da negociação) e o restante em 36 prestações mensais antecipadas. A taxa de juros compostos é de 24% a.a. Qual é o valor da prestação mensal constante? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O VALOR PRESENTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) da prestação mensal constante? ie,p = (1+0,24 a.a.)1/12 -1= 1,81% a.m. = 0,0181 a.m. PMTa = PVa x i = [1- (1+i)-n] x (1+i) = $170.000 x 0,0181 = $6.351,59 [1 - (1+0,0181)-36] x (1,0181) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant Se a série uniforme for postecipada, o montante é: FVp = PMTp x [(1+i)n -1] i Portanto, PMTp = FVp x i CONCEITOS BÁSICOS: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O MONTANTE É CONHECIDO (SÉRIE POSTECIPADA) Portanto, PMTp = FVp x i [(1+i)n -1] onde FV é o valor futuro do bem ou montante -- Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 6. Um individuo pretende ter $200.000 em 20 anos e considera que conseguirá aplicar seus recursos durante esse período à taxa de juros efetiva composta de 0,6% a.m. Calcule o valor do depósito mensal postecipado constante para se atingir esse objetivo? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O MONTANTE É CONHECIDO (SÉRIE POSTECIPADA) objetivo? Dados: FV=$200.000, n=20 anos, i=0,6% a.m., PMTp=? PMTp = FVp x i [(1+i)n -1] Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 6. Um individuo pretende ter $200.000 em 20 anos e considera que conseguirá aplicar seus recursos durante esse período à taxa de juros efetiva composta de 0,6% a.m. Calcule o valor do depósito mensal postecipado constante para se atingir esse objetivo? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O MONTANTE É CONHECIDO (SÉRIE POSTECIPADA) objetivo? Dados: FV=$200.000, n=20 anos, i=0,6% a.m., PMTp=? PMTp = FV x i = $200.000 x 0,006 = [(1+i)n -1] [(1+ 0,006)240 – 1] PMTp = $374,70 Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant No caso série uniforme antecipada, por analogia à postecipada: PMTa = FVa x i [(1+i)n -1] x (1+i) CONCEITOS BÁSICOS: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O MONTANTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) [(1+i)n -1] x (1+i) onde FV é o valor futuro do bem ou montante Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 7. Um individuo pretende ter $200.000 em 20 anos e considera que conseguirá aplicar seus recursos durante esse período à taxa de juros efetiva composta de 0,6% a.m. Calcule o valor do depósito mensal antecipado constante para se atingir esse objetivo? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O MONTANTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) objetivo? Dados: FV=$200.000, n=20 anos, i=0,6% a.m., PMTp=? PMTa = FVa x i [(1+i)n -1] x (1+i) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant 7. Um individuo pretende ter $200.000 em 20 anos e considera que conseguirá aplicar seus recursos durante esse período à taxa de juros efetiva composta de 0,6% a.m. Calcule o valor do depósito mensal antecipado constante para se atingir esse objetivo? EXERCICIO: CÁLCULO DA PRESTAÇÃO QUANDO O MONTANTE É CONHECIDO (SÉRIE ANTECIPADA) objetivo? Dados: FV=$200.000, n=20 anos, i=0,6% a.m., PMTp=? PMTa = FV x i = [(1+i)n -1]x (1+i) = $200.000 x 0,006 = $372,46 = $374,70/1,006 [(1+ 0,006)240 -1] x (1+ 0,006) Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant CONCEITOS BÁSICOS: COMPRA À VISTA VS. COMPRA A PRAZO O decisor se depara permanentemente com duas opções ou alternativas de compra: (a) Comprar à vista; ou (b) Comprar a prazo. (b) Comprar a prazo. Suponha que i seja a taxa de oportunidade efetiva composta que permite aplicar os recursos que estejam disponíveis. Nessa condição, para essa opção (alternativa) a atitude será de escolher entre as opções apresentadas. Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant EXERCICIO: COMPRA À VISTA VS. COMPRA A PRAZO 8. Uma empresa está analisando a compra de uma máquina, cujo valor à vista de $250.000. A empresa analisou a opção de pagar em 12 prestações mensais postecipadas no valor de $22.000, cada. A taxa de juros efetiva composta adotada pela empresa nesta juros efetiva composta adotada pela empresa nesta análise é 2% a.m. Que alternativa deverá ser escolhida pela empresa? Dados: PV= $250.000, PMT= $22.000, n= 12meses, i=2%a.m. PVp = PMT x [1 - (1+i)-n] i Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant EXERCICIO: COMPRA À VISTA VS. COMPRA A PRAZO 8. Uma empresa está analisando a compra de uma máquina, cujo valor à vista de $250.000. A empresa analisou a opção de pagar em 12 prestações mensais postecipadas no valor de $22.000, cada. A taxa de juros efetiva composta adotada pela empresa nesta análise é 2% a.m. Que alternativa deverá ser escolhida pela 2% a.m. Que alternativa deverá ser escolhida pela empresa? Dados: PV= $250.000, PMT= $22.000, n= 12meses, i=2%a.m PVp = PMT x [1 - (1+i)-n] => PVp = $22.000 x [1 - (1+0,02)-12] i 0,02 PVp = $ 232.657,51 < $ 250.000 => Comprar a prazo Disciplina ACA 226 – Matemática Financeira - Curso de Administração da UFRJ - Período Letivo 2024.1 – prof. Boris Asrilhant