Lista de Exercicios - Calculo Integral - UFPR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Lista 2 Módulo 3 CM311 1 Encontre o valor médio da função dada no intervalo dado a fx 4x x2 0 4 b fx ³x 1 8 c fx x ex2 0 5 2 Seja fx x 32 com x I 2 5 a Encontre fmed o valor médio de f no intervalo I b Determine x I tal que fmed fx c Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área seja a mesma que a área sob o gráfico de f 3 Encontre fmed onde f é a função cujo gráfico sobre o intervalo 0 8 é mostrado abaixo 4 Em uma certa cidade a temperatura em C t horas depois das 9h foi aproximada pela função Tt 20 6 sen πt12 Calcule a temperatura média durante o período entre 9h e 21h 5 Em cada um dos itens abaixo calcule a integral dada a x cos 5 x dx b x2 2x cos x dx c ln ³x dx d ln x2 dx e 012 x cos πx dx f 01 x e2x dx 6 Nas integrais abaixo faça uma substituição e em seguida use integração por partes para calcular a integral a cos x dx b π2π x3 cos x² dx c x ln 1 x dx 7 Encontre a área da região delimitada pelas curvas y x² ln x e y 4 ln x 8 Calcule as integrais abaixo a 0π2 sen7 x cos5 x dx b sen2 π x cos5 π x dx c cos5 x sen x dx d tg x sec3 x dx e sen 5 x sen x dx f 0π6 1 cos 2x dx 9 Calcule o valor médio da função fx sen2 x cos3 x no intervalo π π 10 Encontre a área da região delimitada pelas curvas y sen2 x e y cos2 x no intervalo π 4 π 4 11 Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada a 1x² x² 9 dx x 3 sec θ b x3 x² 9 dx x 3 tg θ 12 Nos itens abaixo utilize se necessário substituição trigonométrica para calcular a integral dada a 22 1 x³ x² 1 dx b dx x² 16 c 1 4x² dx d 0a x² a² x² dx e 5 4x x² dx f x x² x 1 dx 13 Nos itens abaixo escreva as formas de decomposição em frações parciais da função dada sem calcular os valores numéricos dos coeficientes a 1 6x 4x 32x 5 b 10 5x² 2x³ c x4 1 x5 4x3 d 1 x² 9² e x6 x² 4 f x4 x² x 1x² 2² 14 Calcule as seguintes integrais a 01 2 2x² 3x 1 dx b 34 x³ 2x² 4 x³ 2x² dx c x² 1 x 3x 2² dx d x³ 4 x² 4 dx e 4x x³ x² x 1 dx f x³ x² 2x 1 x² 1x² 2 dx 15 Encontre a área da região sob a curva y 1 x³ de x 1 a x t e calculea para t 10 100 e 1000 Então encontre a área total dessa curva para x 1 16 Nos itens abaixo decida se a integral dada é convergente ou divergente e calcule o valor se a mesma for convergente a 3 1 x 232 dx b 0 1 3 4x dx c 2 e5x dx d 0 x² 1 x3 dx e x ex² dx f 1 ln x x dx g e 1 x ln x3 dx h 23 1 x4 dx i 09 1 ³x 1 dx j 03 dx x² 6x 5 17 Nos itens abaixo dê um esboço da região S e encontre sua área a S x y ℝ² x 1 0 y ex b S x y ℝ² x 1 0 y 1 x³ x c S x y ℝ² 0 x π2 0 y sec² x 18 Utilize o Teorema da Comparação para determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente a 0 x x³ 1 dx b 1 2 ex x dx c 1 x 1 x⁴ x dx 19 A integral 0 1 x 1 x dx é imprópria por duas razões o intervalo 0 é ilimitado e o integrando tem uma assíntota vertical em x 0 Calcule escrevendoa como a soma das duas integrais impróprias 0 1 x 1 x dx 01 1 x 1 x dx 1 1 x 1 x dx 20 Nos itens abaixo admita que a ℝ com a 0 n ℕ e verifique as seguintes identidades a 𝓛tn n sn1 com s 0 b 𝓛ea t 1 s a com s a c 𝓛sen at a s² a² com s 0 d 𝓛cos at s s² a² com s 0 e 𝓛ea t sen bt b s a² b² com s a f 𝓛ea t cos bt s a s a² b² com s 0 Respostas 1 a 83 b 4528 c 110 1 e25 2 a 1 b 24 c Gráfico de f e retângulo 3 98 4 20 12πC 24C 5 a 15 x sen 5x 125 cos 5x C b x2 2x sen x 2x 2 cos x 2 sen x C c x ln ³x 13 x C d xln x2 2 x ln x 2x C e π 22π2 f 14 34 e2 6 a 2x sen x 2 cos x C b 12 π4 c 12 x2 1 ln 1 x 14 x2 12 x 34 C 7 163 ln 2 299 8 a 1120 b 13π sen³π x 25π sen⁵π x 17π sen⁷π x C c 245 sen x 45 18 sen²x 5 sen⁴x C d 13 sec³x C e 18 sen 4x 112 sen 6x C f 22 9 0 10 1 11 a x² 99x C b 13 x² 18x² 9 C 12 a π24 38 14 b lnx² 16 x C c 14 arcsen 2 x 12 x1 4x² C d π16 a4 e 92 arcsen x 23 x 22 5 4x x² C f x² x 1 12 lnx² x 1 x 12 C 13 a A4x 3 B2x 5 b Ax Bx² C5 2x c Ax Bx² Cx³ D x Ex² 4 d Ax 3 Bx 3² Cx 3 Dx 3² e x⁴ 4x² 16 Ax 2 Bx 2 f A x B x2 x 1 C x D x2 2 E x F x2 22 14 a 2 ln 3 2 b 7 6 ln 2 3 c 10 ln x 3 9 ln x 2 5 x 2 C d 1 2 x2 2 lnx2 4 2 arctg x 2 C e 2 ln x 1 lnx2 1 2 arctg x C f 1 2 ln x2 1 1 2 arctg x 2 C 15 1 2 1 2 t2 0495 049995 04999995 05 16 a 2 b Divergente c 1 5 e10 d Divergente e 0 f Divergente g 1 2 h Divergente i 9 2 j Divergente 17 a 1 e b 1 2 ln 2 c Area Infinita 18 a Convergente no intervalo 1 temse que x x3 1 1 x2 e no intervalo 01 o integrando e uma funcao contınua sendo integravel neste intervalo fechado e limitado b Divergente no intervalo 1 temse que 2 ex x 1 x e a integral desta ultima funcao e divergente no intervalo em questao c Divergente note que x 1 x4 x x 1 x2 1 x 19 π