Lista de Exercicios - Calculo Integral UFPR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Lista 1 Módulo 3 CM311 1 Determine a função fx no caso em que a fx cos x b fx 1 3 sqrtx com f4 25 c fx 41x2 com f1 0 d fx 2 12x 12x2 com f0 4 e f0 12 e fx 2 cos x com f0 1 e fpi2 0 f fx x2 com x 0 f1 0 e f2 0 2 O gráfico de uma função fx é mostrado na figura abaixo Esboce um gráfico de fx admitindo que f é contínua e que f0 1 3 Se fx ex 2 com 0 x 2 calcule sua soma de Riemann com exatidão nas primeiras 6 casas decimais com n 4 e tomando como pontos amostrais os pontos médios dos subintervalos O que representa tal soma de Riemann Ilustre com um diagrama 4 Uma tabela de valores de uma função crescente f é dada abaixo Use a tabela para encontrar estimativas inferior e superior para integral025 fx dx x 0 5 10 15 20 25 fx 42 37 25 6 15 36 5 Considere o gráfico da função f abaixo dado Calcule as seguintes integrais a integral02 fx dx b integral05 fx dx c integral57 fx dx d integral09 fx dx 6 Para a função f cujo gráfico é mostrado abaixo liste as seguintes quantidades em ordem crescente a A integral08 fx dx b B integral03 fx dx c C integral38 fx dx d D integral48 fx dx e E f1 7 a Prove que se f é contínua em ab então integralab fx dx integralab fx dx b Mostre que integral02pi fx sen 2x dx integral02pi fx dx 8 Seja gx integral0x ft dt em que f é a função cujo gráfico é mostrado abaixo a Calcule g0 g1 g2 g3 e g6 b Em que intervalos g é crescente c Onde g tem um valor máximo d Faça um esboço do gráfico de g 9 Calcule a integral14 5 2x 3x2 dx b integral01 x45 dx c integral19 x1sqrtx dx d integral01 xe ex dx e integral11 ex1 dx f integral0pi fx dx onde fx sen x se 0 x pi2 cos x se pi2 x pi g integral22 fx dx onde fx 2 se 2 x 0 4 x2 se 0 x 2 10 Calcule a integral integral12 x3 dx e interpretea como uma diferença de áreas 11 Calcule gx sendo gx integral2x3x u2 1u2 1 du 12 Calcule o valor de f4 sabendo que f1 12 f é contínua e integral14 fx dx 17 13 Nos itens abaixo calcule a integral utilizando a substituição sugerida a integral cos 3x dx u 3x b integral x2 sqrtx3 1 dx u x3 1 c integral cos3 theta sen theta d theta u cos theta 14 Nos casos abaixo determine a integral indefinida utilizando quando possível o método de substituição a integral x senx2 dx b integral x1 sqrt2xx2 dx c integral sqrta b x23 a x b x3 dx d integral ln x2x dx e integral sec2 x tg3 x dx f integral ex sqrt1 ex dx g integral 1 x1 x2 dx 15 Em cada um dos casos abaixo calcule a integral definida a integral01 cos pi x2 dx b integral12 e1x x2 dx c integral013 dx 3 sqrt1 2 x2 d integral0a x sqrtx2 a2 dx a 0 e integralee4 dx x sqrtln x f integral01 dx 1 sqrtx4 16 Verifique quais áreas são iguais y vs x graphs labeled y esqrtx y 2x ex and y esen x sen 2x with shaded areas 9 a 63 b 59 c 403 d 1e1 e 1 e e² 1 f 0 g 283 10 375 11 gx 24x² 14x² 1 39x² 19x² 1 Considere a integral em cada um dos intervalos 2x 0 e 0 3x separadamente 12 29 13 a 13 sen 3x C b 29x³ 132 C c 14 cos⁴θ C 14 a 12 cos x² C b 132x x²32 C c 233ax bx³ C d 13ln x³ C e 14 tg⁴x C f 231 eˣ32 C g arctg x 12 ln1 x² C 15 a 2π b e e c 3 d 1322 1a³ e 2 f 16 16 As 3 áreas são iguais Respostas 1 a fx sen x Cx² Dx E b fx x 2 x³² 5 c fx 4 arctg x π d fx x² 2x³ x⁴ 12x 4 e fx x² cos x 12 π x f fx ln 2 x ln 2x 2 Gráfico de f 3 2322986 A soma de Riemann representa a soma das áreas dos três retângulos acima do eixox menos a área do retângulo abaixo do eixox 4 475 85 5 a 4 b 10 c 3 d 2 6 B E A D C 7 a Note que fx fx fx integre esta desigualdade dupla e em seguida use a propriedade A B A B A com B ᵃᵇ fx dx e A ᵃᵇ fxdx b Note que fx sen 2x é contínua no intervalo 0 2π use o resultado do item a e em seguida use que sen 2x 1 para todo x 8 a 0 2 5 7 3 b 03 c x 3 d Esboço do gráfico de g