Questoes 1 e 2 Avaliação Resolvidas-2023 1

Questão 2 Ainda não respondida Vale 10,00 ponto(s). Marcar questão Prove os seguintes fatos: (a) Para todo inteiro positivo n e todo número real x, se x^n for irracional, então x é irracional. A recíproca é verdadeira? (b) 2^√2 é irracional. Caminho: p Questão 1 Ainda não respondida Vale 10,00 ponto(s). Marcar questão Demonstre os seguintes fatos: (a) Se n é par, então n(n + 2) é múltiplo de 8. (b) Se n é ímpar, então (n + 1)(n + 3) é múltiplo de 8, mas não necessariamente múltiplo de 3. Caminho: p 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟏 − 𝒂) 𝑆𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 é 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 2𝑘 𝑐𝑜𝑚 𝑘 𝜖 ℤ. 𝐷𝑎í 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑛(𝑛 + 2) = 2𝑘(2𝑘 + 2) = 4𝑘(𝑘 + 1) 𝑀𝑎𝑠 𝑘(𝑘 + 1) é 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑎 𝑑𝑒 4 ∙ 2 = 8. 𝒃) 𝑆𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 é 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 2𝑘 + 1 𝑐𝑜𝑚 𝑘 𝜖 ℤ. 𝐷𝑎í 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: (𝑛 + 1)(𝑛 + 3) = (2𝑘 + 1 + 1)(2𝑘 + 1 + 3) = (2𝑘 + 2)(2𝑘 + 4) = 2(𝑘 + 1)2(𝑘 + 2) = 4(𝑘 + 1)(𝑘 + 2), 𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2 𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑎 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑎 𝑑𝑒 8. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑛 + 1)(𝑛 + 3) é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3, 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑛 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑡𝑜𝑚𝑒 𝑛 = 1, 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑚 8 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3. 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟐 − 𝒂) 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑝 𝑞 , 𝑥𝑛 = 𝑝𝑛 𝑞𝑛 , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜) 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑥𝑛 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 𝐴 𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑛ã𝑜 é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎, 𝑡𝑜𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑥 = √2 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 = 2, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙. 𝒃) 𝑄𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 √2 3 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 √2 3 = 𝑎 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 𝜖 ℕ. 𝐸𝑛𝑡ã𝑜 2𝑏3 = 𝑎3 → 𝑏3 + 𝑏3 = 𝑎3, 𝑒 𝑖𝑠𝑠𝑜 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖çã𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑒𝑟𝑚𝑎𝑡.