Jacobiano-2022-2

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Sistemas Elétricos de Automagao e Energia ENG10026 Robotica—A Jacobiano Prof. Walter Fetter Lages 5 de dezembro de 2022 1 Introducao Jacobiano é uma forma multidimensional de derivada. Seja, por exemplo, a fungao vetorial Y = F(X) Derivando-se em rela¢gao ao tempo, tem-se . OF. Y=——X OX ou Y = J(X)X onde J(X) = oF é€ denominado Jacobiano de F’' com relacaéo a X. Em robética geralmente se esta interessado em jacobianos que relacionam ve- locidades nas juntas com velocidades cartesianas da garra, ou seja v= 4 = J(q)4 Normalmente deseja-se determinar as velocidades cartesianas e angulares em representadas no sistema de coordenadas da base do manipulador. Tem-se entao: °V . °y = | ="J(q)4 (1) 1 2 Sistemas de Coordenadas juntai+1 thetai+1 juntai eloi-1 thetai eloi ‘ alphai / vAl al Xi zi-1 di 5 thetai xi-l Figura 1: Atribuigao dos Sistemas de Coordenadas. 3 Calculo das Velocidades my aly 4672, , ‘w= Rit (Ga + 62,1) ty ity pity x IP iy, ='Re 4 (oy pity, x ip) Para juntas prismaticas: 2 ‘wy; ='Ria wii iy, ='Re, (wn pity x Hp 4 di Z.1) 4 Método de Whitney [3] para Calculo do Jacobi- ano [1] O jacobiano é um operador linear. Portanto, pode-se utilizar superposi¢ao para obter a velocidade da garra em func4o das velocidades das juntas. Assim, a parcela de velocidade cartesiana da garra em rela¢gdo ao sistema de coordenadas da base, representada no sistema de coordenadas da base, devido a velocidade da junta 7 é dada por opie OR, 4 (AZ. x IP.) g; para junta rotacional (2) " OR, 1° *Z,_44; para junta prismatica Analogamente, a parcela de velocidade angular da garra em relacao ao sistema de coordenadas da base, representada no sistema de coordenadas da base, devido a velocidade da junta z é dada por 091 — °R,_,'-!Z,_1q; para junta rotacional (3) " 0 para junta prismatica Assim, a 7-ésima coluna do jacobiano representado no sistema de coordenadas de base sera dada por Pe (Zi x “Fi . . o para junta rotacional J;(q) = Ri Zi OR, OZ . . eos 0 | para junta prismatica V(t) . . . ; y= on =I(i=|n(q) i big) i tng] 5 Jacobiano Inverso Se for desejado 0 mapeamento das velocidades cartesianas nas velocidades das juntas, pode-se inverter a expressao (1), obtendo-se: 3 ˙q = 0J−1(q)0ν 6 Jacobiano no Domínio da Força Como o trabalho possui dimensão de energia, ele deve ser o mesmo tanto em coordenadas cartesianas quanto em coordenas de junta. Portanto, tem-se F · δX = τ · δΘ que também pode ser escrito na forma F TδX = τ TδΘ A expressão de definição do jacobiano também pode ser escrita na forma δX = JδΘ e portanto pode-se escrever F TJδΘ = τ T δΘ de onde tem-se F TJ = τ T e transpondo-se ambos os lados chega-se à: τ = JTF Ou seja, o jacobiano transposto mapeia forças estática agindo na garra para torque nas juntas. 7 Mapeamento de Acelerações [2] Derivando-se em relação ao tempo a expressão (1) obtém-se ˙ν = ˙J(q, ˙q) ˙q + J(q)¨q (4) Considerando-se apenas a contribuição da i-ésima junta tem-se ˙νi = ˙Ji(q, ˙q) ˙qi + Ji(q)¨qi Resolvendo-se para ˙Ji(q) tem-se 4 Ta @ = (vi — Silas) a" Para junta 7 rotacional tem-se Iq.) = | vi - i i) ap! Rea Zit De (2) e (3) tem-se = ORi-1 (44 x 1P,) Gi + °Riu1 (2.4 x IP.) di OR IZ ad Tem-se ainda que Ap — inlyi . MZ. x i-1P 4, e portanto . . OR (12. x (14. x “1p,)) i? . J(a@ = | ' : ' 4 qj : 0 ou ainda ; op... (i-1%. i7 “1p,)) i, Ji(q, q) _ | Ri ( Zi-1 x ( i-1 X* " 0 Para junta 7 prismatica: - — PPR IZ a). \ Jad) = (« _ 0 ' i) qi ' De (2) e (3) tem-se 2 Rat Ziad n= [PR 0 que resulta 5 8 Jacobiano Analitico O jacobiano apresentado na secao | relaciona a velocidade das juntas com a ve- locidade linear e angular da garra. No entanto, velocidade angular é um vetor cuja integral nao tem significado ffsico, o que causa problemas em algumas si- tuagdes. Para evitar estes problemas é conveniente definir um outro jacobiano, relacionando a velocidade das juntas com a velocidade linear e a derivada da ori- entacao da garra representada por exemplo, pelos angulos de roll, pitch and yaw ou pelos angulos de Euler. Ou seja: ; P J, A . ; X= |.|/=|7 = Ja 5 3 eA qd (a)q (5) 9 Calculo do Jacobiano Analitico Obviamente, 0 calculo do jacobiano analitico depende de qual representacao é usada para a orientacgao. Aqui serao utilizados os angulos de roll, pitch and yaw. 1. Roll: & em torno de ° Xo: Q = aX (6) 2. Pitch: 6 em torno de °Y: OQ = R,(3)a°X + 8 Yo (7) 3. Yaw: yem torno de °Zo: Q = R.(7) Ry(B)a&°Xo + R.(7)8 Yo +4 °Zo (8) Portanto: cosycos3 —seny cosysen(@} }1 Q2 = a|senycosG cosy senysenf| |0 —seny 0 cos Y 0 _|cosy —seny O} |0 0 + Biseny cosy Of; {1l] +7 40 (9) 0 0 1} |0 1 cos y cos 3 _ | —seny 0 = q@|senycos$} +8} cosy | +¥ {0 (10) —seny 0 1 6 ou cosycosG —seny O] Ja Q=|senycos8 cosy 0] |B (11) —sen 7 0 1} |¥ e definindo: cosycos3 —seny 0 T(®) = |senycosG cosy 0 (12) —sen 7 0 1 tem-se: 0 =T(6)6 (13) 10 Relacao entre Jacobiano Geométrico e Jacobi- ano Analitico V IO Vv se rl -no com I 0 T,(®) = 0 10) (15) Assim: vy = JqG=Ty(®)X = T,(®) Jag (16) e portanto: J=T,(®)Jq (17) e I 0]” I 0 Jg =T,'(®)J = A 10) J= 0 rie) J (18) 7 11 Mapeamento de Aceleracdes com o Jacobiano Ana- litico De (5): X= Je(G d+ Jala (19) De (14) tem-se: v = T,(®, )X + T,(6)X (20) Substituindo (4) e (19) em (20): J(a, 44+ Iqi = Ta(®, ®)Ja(a)d + Tal®) (Jala, a+ Jala) que lembrando (17) torna-se: J(4, 44 = Ta(®, ©) Ja(a)d + Ta(®) Jala, 4 De onde conclui-se que: Ja(a.4) =T.(®) (Ja, d) ~ Ta(®, )Fa(@)) restando calcular T;,(®, ©), que pode ser obtido derivando-se (15): . . 0 0 T,(®, d) —_ F T(6, iy| onde T'(®, &) é obtido derivando-se (12): —¥ sen 7 cos 8 — 6 cos7sen 8 —ycosy 0 T(®,®) = | ycosycosB—Bsenysen8 —yseny 0 (21) —7 cos y 0 0 Referéncias [1] K. S. Fu, R. C. Gonzales, and C. S. G. Lee. Robotics Control, Sensing, Vision and Intelligence. Industrial Engineering Series. McGraw-Hill, New York, 1987. 8 [2] W. F. Lages. Ambiente para controle em tempo real e simulação de manipu- ladores robóticos. Tese (mestrado em engenharia eletrônica e computação), Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, setembro 1993. Orientador: Elder M. Hemerly. [3] D. E. Whitney. The mathematics of coordinated control of prosthetic arms and manipulator. Trans. ASME J. Dynamic Systems, Measurement and Control, 94(4):303–309, 1972. 9