Integração Múltipla e Integrais Iteradas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE FURG INSTITUTO DE MATEMÁTICA ESTATÍSTICA E FÍSICA IMEF CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA INTEGRAIS ITERADAS Vimos que tem significado derivar funções de várias variáveis em relação a uma variável mantendo as outras variáveis constantes De modo análogo podemos integrar funções de várias variáveis Por exemplo Se conhecemos 4 3 2 x y y x x y f então considerando y como constante podemos integrar esta função em relação à variável x assim obtemos C y x y xy C y x y x y x dx y y dx dx x y y x x y dx f x y f 2 4 4 2 3 2 2 3 4 4 4 4 Observe que a constante de integração C y é uma função que depende da variável y Assim integrando a função 4 3 2 x y y x x y f em relação à variável x pudemos recuperar C y x y xy f x y 4 2 mas apenas parcialmente pois C y pode ser qualquer função dependente da variável y Considerando agora a definição de integrais definidas para funções de várias variáveis como por exemplo 6 6 2 2 2 4 2 4 2 1 4 1 3 2 1 1 4 y y y y y y y y y y y y x y xy dx x y y y y De modo análogo podemos integrar uma função f x y em relação à variável y mantendo x como constante Resumindo f g y y y y f g f x y x x y dx f y g y g y g g y 1 2 2 1 2 1 f x h x f x h x f x y y x y dy f x h x h x h h x 1 2 2 1 2 1 Observe que a variável de integração não pode aparecer em nenhum dos extremos de integração No exemplo anterior calculamos a integral definida de uma função de duas variáveis x e y mantendo y como constante e integrando a função em relação à variável x Como resultado desta integral definida obtivemos uma função dependente somente da variável x ou seja 6 1 4 3 2 y y dx x y y y Assim podemos calcular a integral definida desta função em relação à variável y num determinado intervalo de integração como por exemplo 14 5 7 1 2 1 7 2 4 1 0 7 2 1 0 6 1 0 1 3 2 y y dy y y dx dy x y y y A integral do exemplo anterior é uma integral iterada neste tipo de integral os colchetes representados no exemplo normalmente não são escritos Usualmente escrevemos as integrais iteradas como x y dxdy f b a y g g y 2 1 ou x y dydx f d c x h h x 2 1 Observe que os extremos de integração internos podem variar com relação à variável externa de integração já os extremos de integração externos devem ser constantes em relação à ambas as variáveis de integração Os extremos de integração para uma integral iterada identificam dois conjuntos de intervalos limitantes para as variáveis No exemplo anterior os extremos de integração internos indicam que a variável x está no intervalo y x 1 e os extremos de integração externos indicam que a variável y está no intervalo 1 0 y Juntos estes dois intervalos determinam a região de integração R da integral iterada como mostra a figura a seguir INTEGRAL DUPLA CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES Seja f x y z uma função não negativa definida em uma região retangular fechada R do plano xy limitada pelas retas d y c b y a x x e conforme mostra a figura abaixo Vamos determinar um número real positivo V que representa o volume do sólido limitado superiormente pela superfície f x y z e inferiormente pela região R Inicialmente traçamos retas paralelas aos eixos dos x e dos y respectivamente a fim de obter uma partição da região R formada por pequenos retângulos conforme mostra a figura abaixo Seja a partição considerada da região R Suponha que a partição possui n subregiões retangulares n Ri i 21 com dimensões i i y x e então a área de cada uma destas subregiões iR será dada por i i i y x A Vamos definir a norma da partição que será denotada por como o comprimento da maior diagonal dos n retângulos desta partição Em cada retângulo n Ri i 21 escolhemos um ponto i yi x e determinamos f xi yi Obtemos assim n prismas retos cujas bases são os retângulos iR com área i i i y x A e a altura f xi yi sendo o volume dado por i i i i A f x y V Formamos assim a seguinte soma n i i i i A x y f 1 que é a soma dos volumes de todos os prismas retos de bases retangulares determinados de acordo com a figura abaixo Esta soma é chamada de soma de Riemann de f x y z sobre R Suponha agora que mais retas paralelas aos eixos dos x e dos y são traçadas de modo que as dimensões dos retângulos n Ri i 21 se tornem cada vez menores Fazemos isso de tal modo que a maior diagonal dos retângulos iR tende a zero quando o número n de retângulos tende ao infinito Neste caso se n i i i i A x y f 0 1 lim existe ele será igual ao volume V procurado ou seja n i i i i A f x y V 0 1 lim DEFINIÇÃO Dizemos que uma função f x y é integrável em uma região fechada R se f for definida em R e se existir o limite n i i i i A x y f 0 1 lim sendo este limite a integral dupla de f x y sobre a região R Escrevemos f x ydA A x y f R n i i i i lim 0 1 Outros símbolos para a integral dupla acima são x ydydx f R ou x ydxdy f R OBS 1 A região R é denominada de região de integração 2 O limite na definição acima deve ser independente da escolha das retas que subdividem a região R e dos pontos i yi x tomados nos retângulos n Ri i 21 3 A existência do limite na definição acima depende da função f x y z e também da região R No nosso estudo vamos supor que o contorno da região R é formado por um número finito de arcos de curvas suaves isto é arcos de curvas que não contêm pontos angulosos Nesse caso se f é contínua sobre R temos a garantia da existência da integral dupla 4 Quando 0 f x y z para todo R x y então a integral dupla R f x y dA pode ser interpretada com o volume do sólido limitado superiormente pela superfície f x y z e inferiormente pela região R No caso do exemplo anterior o volume do sólido limitado superiormente pela superfície f x y z e inferiormente pela região retangular fechada R que é limitada pelas retas d y c b y a x x e sendo 0 f x y z para todo R x y é dado por b a d c d c b a f x y dxdy f x y dydx V se f x y for contínua na região R 5 Quando 1 f x y na integral dupla R f x y dA temos que R dA representa a área da região R PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA Para enunciar as propriedades a seguir supomos que a fronteira da região R é formada por um número finito de arcos de curvas suaves e que as funções f x y e g x y são contínuas sobre a região R Assim temos a garantia da existência das integrais duplas envolvidas Proposição 1 f x ydA k f x y dA k R R para todo k IR 2 g x ydA f x y dA g x y dA x y f R R R 3 Se g x y f x y para todo R x y então g x ydA x y dA f R R 4 Se 0 f x y para todo R x y então 0 x y dA f R 5 Se a região R é composta de duas subregiões 1 R e 2 R que não têm pontos em comum exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras então f x ydA f x y dA x y dA f R R R 2 1 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GENÉRICAS 1 Considere uma região R no plano xy limitada pelas retas b x a x e e pelas curvas x g y g x y 2 1 e conforme mostra a figura a seguir Se f x y é uma função contínua na região R então b a x g x g R f x y dy dx x y dA f 2 1 OBS Se na integral dupla acima consideramos 1 f x y temos que 1 2 2 1 2 1 g x dx x g dx y dy dx A b a b a x g x g b a x g x g R onde R A representa a área da região R 2 Considere agora que R é uma região do plano xy limitada pelas retas d y c y e e pelas curvas h x x h x x 2 1 e conforme mostra a figura a seguir Se f x y é uma função contínua na região R então d c y h y h R f x y dxdy x y dA f 2 1 OBS Se na integral dupla acima consideramos 1 f x y temos que 1 2 2 1 2 1 h y dy y h dy x dxdy A d c d c y h y h d c y h y h R onde R A representa a área da região R Exemplos 1 Calcular por integração dupla a área da região limitada pelas curvas x y 2 e y x2 Solução Vamos determinar a área da região representada na figura a seguir Temos 3 4 3 8 12 3 8 4 3 3 2 2 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 u a x x x x dx x x dx y dy dx A x x x x R 2 Calcule R xy dA sendo R a região compreendida entre x y 2 e y x2 Solução A região de integração está representada na figura do exemplo anterior Temos 3 8 3 16 24 3 16 8 12 64 2 16 12 2 6 2 1 4 2 2 2 2 2 4 2 2 0 6 4 2 0 6 4 2 0 5 3 2 0 4 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 x x x x dx x x dx x x x dx y x y dy dx x x y dy dx dA xy x x x x x x R 3 Calcular por integração dupla a área da região limitada pelas curvas x y 4 2 e 16 2 2 y x Solução Vamos determinar a área da região representada na figura a seguir Reescrevendo as equações da reta e da parábola obtemos respectivamente 2 16 e 2 4 2 y x y x Assim a área da região R será dada por 12 343 3 3 2 3 3 12 3 4 2 4 2 12 4 1 3 2 2 12 1 12 2 1 16 4 2 1 3 2 3 2 4 3 3 2 4 3 2 4 3 2 4 2 1 16 2 1 4 3 4 3 4 2 1 16 2 1 2 2 a u y y y dy y y dy y y dy x dxdy A y y y y R 4 Calcule R y dA sendo R a região compreendida entre 2 16 e 2 4 2 y x y x Solução A região de integração está representada na figura do exemplo anterior então 24 343 4 3 3 3 3 6 4 4 3 4 2 6 4 1 4 3 2 12 2 1 12 2 1 16 4 2 4 3 2 4 3 2 4 3 4 3 2 4 3 3 2 4 3 2 4 2 1 16 2 1 4 3 4 3 4 2 1 16 2 1 2 2 y y y dy y y y dy y y y dy x y y dxdy dA y y y y y R CÁLCULO DE VOLUMES POR INTEGRAÇÃO DUPLA Exemplos 1 Calcular por integração dupla o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelos planos 2 1 e 1 y x z y x Solução Vamos calcular o volume representado na figura a seguir Temos 1 2 1 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 2 2 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 v u x x x dx dx x dx y xy y y dy dx x V 2 Calcular por integração dupla o volume do sólido limitado pelos planos coordenador e pelo plano y x z 1 Solução Vamos calcular o volume representado na figura a seguir 6 1 3 1 0 2 1 3 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 u v x dx x dx x x dx x x x x dx y xy y y dy dx x V x x 3 Calcular o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelas superfícies y z 2 e 2 4 y x Solução Vamos calcular o volume representado na figura a seguir 3 68 8 2 4 3 2 4 8 4 2 4 4 2 2 2 2 0 2 3 4 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 4 0 2 0 4 0 2 2 u v y y y y dx y y y y dx y y dx xy x y dxdy V y y 4 Calcular por integração dupla o volume do sólido limitado no 1º octante pelos planos coordenados pelo plano 2 2 x y e pelo parabolóide 2 2 4 y x z Solução Vamos calcular o volume representado na figura a seguir 6 19 16 3 30 4 14 3 1 16 30 14 3 1 2 2 3 2 2 2 2 4 3 4 4 1 0 3 4 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 2 0 2 3 1 0 2 2 0 2 2 u v y y y dx y y dy y y y y dy xy x x dxdy y x V y y CÁLCULO DE VOLUMES POR INTEGRAÇÃO TRIPLA Vimos que a área de uma região plana R pode ser calculada através de uma integral definida simples e também por uma integral dupla sobre a região R De modo análogo podemos calcular o volume de um sólido através de uma integral dupla e também através de uma integral tripla Exemplos 1 Calcular por integração dupla o volume do sólido limitado no primeiro octante pelos planos coordenados 0 0 e z y e pelas superfícies 2 1 y z x y x 2 3 e Solução Vamos calcular por integração tripla o volume do sólido representado na figura a seguir 6 11 12 1 1 4 1 3 12 3 3 4 3 3 3 2 3 2 3 1 1 1 1 0 4 3 2 1 0 3 2 1 0 2 3 2 1 0 2 1 0 3 2 2 1 0 3 2 1 0 1 0 3 2 1 0 2 2 u v y y y y dy y y y y dy y dy x y dxdy y dxdy z dz dxdy V y y y y y y 2 Calcular por integração dupla o volume do sólido limitado no primeiro octante pelos planos coordenados e pelos planos y z 6 4 3 e y x Solução Vamos calcular por integração tripla o volume do sólido representado na figura a seguir u v x dx dx y y y dy dx dy dx z dz dy dx V y y 48 16 3 16 8 24 2 6 6 3 0 3 0 4 0 3 0 2 3 0 4 0 3 0 4 0 6 0 3 0 4 0 6 0 3 Calcular por integração dupla o volume do sólido limitado no primeiro octante pelos planos coordenados e pelos cilindros 1 2 2 y z 1 2 2 x z Solução Vamos calcular por integração tripla o volume do sólido representado na figura a seguir 3 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 0 3 1 0 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 u v z z dz z z dz z dz x z z dxdz dxdz y dy dxdz V z z z z z z