Notas de Aula sobre Sequências e Séries Aplicadas às Ciências e Tecnologia

Notas de aula de Sequˆencias e Series Aplicadas as Ciˆencias e Tecnologia por Fabricio Forgerini Outubro 2023 Apresentacao Este material e destinado ao componente curricular de Sequˆencias e Series Apli cadas as Ciˆencias e Tecnologia e se destina aos estudantes dos anos finais do curso de Bacharelado em Ciˆencias dos cursos de Engenharias A bibliografia basica a ser seguida e o livro Um Curso de Calculo volume 4 de Hamilton Guidorizzi 1 sendo abordados os nove primeiros capıtulos Essas sao notas de aulas escritas apenas como um roteiro para as aulas ministradas desde 2018 e portanto nao sao de forma alguma substitutas das aulas ou do livro texto do curso Sao ainda recomendados outros livros como suporte para a disciplina tais como o livro de James Sterwart 3 ou ainda a excelente colecao de Louis Leithold 2 1 Introducao Def Uma sequˆencia e uma funcao de inteiros positivos incluindo zero Z ou N onde para cada numero n associamos um numero real na forma Sequˆencia infinita f N R 1 fn an 2 onde n e o ındice da sequˆencia e an e o chamado termo geral da sequˆencia Exemplo 1 an 2n assim a0 20 a1 21 a2 22 4 1 2 4 1 Exemplo 2 1 Qn assim com n 1 n 1 1 a lLla 3143 3h ve 11213 Exemplo 3 Qn 1 assim do tlray 1lja2 1a3 1 v 1111 Podemos ter uma sequéncia que é uma soma de infinitos termos na forma n Sn Sok 3 k1 e portanto Sj 1 Ss 142 S3 1243 e assim por diante Uma nocao intuitiva seria imaginar o que ocorre com a sequéncia quando n é muito grande ou seja quando temos n oo 0 que ocorre com o termo geral da sequéncia Para tal devemos estudar a convergéncia de uma série 11 Convergéncia e Divergéncia de uma Sequéncia No segundo exemplo apresentado acima vemos que quanto maior o valor de n a sequéncia tende a zero 0 quando n oo Ja no terceiro exemplo apresentado podese observar que a sequéncia oscila entre dois valores fixos nao mostrando portanto uma tendéncia a convergir para um valor definido Def Uma sequéncia é convergente quando lim a L noo sendo LE um ntmero real Esta definicao implica que para todo 0 existe um natural no tal que nn LeanLe De um ponto de vista geométrico a convergéncia de uma série pode ser observada como uma faixa de convergéncia de largura como mostra a figura 1 Os valores dos termos da sequéncia convergem para dentro da faixa de convergéncia quando aumentase os valores de n Def Uma sequéncia é divergente quando 1 lim a 00 noo 2 2 Lee Le Figura 1 Representacao grafica da convergéncia de uma sequéncia para n 5 Apés n 4 a sequéncia converge para L ayn De ou 2 lim a co noo No caso 1 para todo 0 existe um natural ng tal que n ng ay Ja no caso 2 para todo 0 existe um natural no tal que n no Gn Assim se lim oo Gn 6 finito a sequéncia é convergente e em caso contrario é divergente Exemplo 4 n3n1 er 2 limpcoo dividindo por n ambos os termos 2n 5 143n1n lim aplicando o limite i 13n 1p iino0 2 512 il oe 2 Exemplo 5 limnoo nn limp 00 ne 3 fazendo n 1 n e ln x x e tomando o logaritmo n 1 n ln n 1 n 1 n ln n ln n n ln e n 1 n ln n n ln e e ln n n n 1 n e ln n n n lim n n lim n e ln n n tomando o limite ln n cresce muito mais lentamente que n de maneira que lim n e ln n n e0 1 limn nn 1 Toda sequˆencia convergente e limitada ou seja existe um numero real k onde an k Porem nem toda sequˆencia limitada e convergente Veja o exemplo 3 12 Sequˆencias Crescentes e Sequˆencias Decrescentes Def Dizemos que uma sequˆencia e crescente se para quaisquer valores de m e n temos que m n am an Se am an entao a sequˆencia e decrescente Def Uma sequˆencia e chamada de monotona se for crescente ou decres cente Def Uma sequˆencia e limitada superiormente se existir um numero real β tal que para qualquer n an β Def Uma sequˆencia e limitada inferiormente se existir um numero real α tal que para qualquer n an α Def Uma sequˆencia e limitada se existirem os numeros reais α e β tal que para qualquer n α an β Teorema Seja an uma sequˆencia crescente entao i se an for limitada superiormente an e portanto convergente ii se an nao for limitada superiormente an e divergente para 4 Exemplo 6 A sequéncia n 1 Sin ip k1 é convergente ou divergente 1 A sequéncia é crescente Vejamos 1 1 1 1 Observase que para quaisquer valores de m e n sendo n m temos que e 1 1 1 1 Snltatgatpet ota Portanto sim a sequéncia é crescente 2 A sequéncia é limitada superiormente Vejamos Fazendo a substituigao do somatério fx por uma integral temos co 1 ed vaszf ae xv 1 x x1 po Assim S é 1 somado a integral da VW Seon fungao fa ou seja 1 2 3 4 5 x oo 1 1 2 al go 2ty 1y fy 1 tim Sav lim lim F4 1 noo J n0o 1 1 f00 Liy n 1 1 1 k1 Observase assim que a sequéncia é limitada superiormente por 2 e ou seja a soma de seus termos cada vez mais se aproxima de 2 convergindo para este ponto 5 Por fim respondese a sequéncia é superiormente limitada e portanto convergente a e 2 e 2 Séries Numéricas Antes de iniciar o estudo de séries numeéricas se faze necessdério uma distingao entre séries de sequéncias Como visto anteriormente uma sequéncia numérica é uma lista ordenada de ntmeros definida com uma funcao tendo como base num subconjunto e definida noutro conjunto Por outro lado uma Série Numérica é uma soma infinita dos termos de uma sequéncia Def Assim temos n Sn y ak 4 kq com n qe sendo g um numero natural fixo definimos a série numérica S associada a sequéncia an O limite da série numérica se ele existir 6 a soma de todos os termos da sequéncia ou seja a soma da série na forma oo n y ay lim y Qk noo0 kq kq Se houver limite a série 6 entao convergente Caso contrario quando o limite nao existe a série é divergente Podemos destacar trés propriedades basicas das séries como se descreve a seguir oo oo Z 1 Seja a um nimero real se 75 ax convergente entao 75 a ar 6 convergente e oo oo aaaQ Qk k0 k0 Prova oo oo y aa lim y aar noo0 k0 k0 como a é constante podemos tiradlo do somatério ficando oo oo oo y aa a lim y Ap a y Qk noo0 k0 k0 k0 2 oo s ss ja que o termo lim 75 ax a propria série ax 6 2 Se 7725 az e 2725 by forem convergentes ento 77 25ax by sera convergente e oo oo oo ax by ap bp k0 k0 k0 Prova oo n n n Gp bp lim ay by lim a bp no0o noo0 k0 k0 k0 k0 n n lim a lim by noo0 no0o k0 k0 oo o primeiro termo da equagao acima é 0 prdéprio 75 a e da mesma forma o segundo termo é igual a 7726 by Assim oo oo oo s ap bg s an y br k0 k0 k0 3 7728 az ser convergente se e somente se para todo natural p ee ak for convergente Além disso se a série for convergente temos para p 1 oo pl oo ap Qk Qk k0 k0 kp Prova oo pl oo dpa dja dan k0 k0 kp com p 1lenp Como p é um ntmero natural e fixo temos que a série yb az também constante e assim n pl n lim a ay limn oo Qk noo k0 k0 kp Como o primeiro termo apos a igualdade é constante temos portanto 7 n pl n Yoo Some t aw k0 k0 kp Veremos agora alguns exemplos de diferentes construcoes de séries numéricas e analisaremos sua convergéncia e seus limites 21 Série Geométrica Uma série geométrica é uma série na forma co k yor 6 k0 com 0 r 1 Assim com n 00 CO Sp Sort ltrtrtretrtte tr k0 Se multiplicarmos a série por i ficamos com CO 1lr 1f rtp prt Steere err pee ge hat ORD EP U 78 Oar lr 1r k0 de forma que os termos se cancelam restando apenas o primeiro e o ultimo termo da equacao acima na forma prt Sn 1lr onde tomando o limite ficamos com 1 phat li Sn n 00 lr pois temos que por definigao r 1 e assim 1 Sn 1r sendo portanto convergente para qualquer valor de r definido com 0 r 1 8 22 Série Harm6nica Uma série harmonica é uma série na forma co 1 eo 6 k1 com sendo um numero real Temos que para a 1 a série é convergente e para a 1 a série é diver gente Para o caso em que a 1 para provar a convergéncia da série podemos demonstrar que a mesma é crescente e limitada Uma série é crescente sem n Gm Gn para quaisquer valores de men Sendo a 1 temos ni d getty goat 1 dre 2 1 at1 at1 atl como temos o caso de a 1 0 limite lim nt 00 noo e portanto I lim dzx c no0 Jy eo 23 Série Telescépica Uma série telescépica tem a forma 00 S Ak 7 k1 com ap by be4 e kl n Sn So ax b1 bn gts k1 Se o limite lim 6 6 noo n com b real entao a série é infinita e apresenta soma igual a b b 1 n So ax b1 b2 BE BS WE ba fbn Bn k1 9 observase que os termos centrais se cancelam de forma que temos So ax by On1 k1 2 tim Sax tim bs dni blb k1 Exemplo 1 Calcular a soma 7 RET Shh at kk1 k kl observe que o termo apos a igualdade é uma série telescépica de forma que sua soma sera by byn41 Assim oo 1 1 1 1 li lim 1 k kl nto 1 A Exemplo 2 Calcular a soma S77 EETIEED Primeiramente mostre que 1 1 1 1 kk1k2 2kk1 k1k2 Resolvendo temos 1 1 1 1 li rs 5 foe vt kk 1k 2 vt 2 Ee 1 kKEDk 5 O primeiro termo do somatério a direita da equacao acima é igual a 1 vide o exemplo anterior 3 Convergéncia para Série Alternada Um série alternanda é definida como uma série do tipo 00 So 1 ax 8 k0 onde ax 0 para qualquer k Exemplos de séries alternadas sao 10 oo 1 1 1 21 441 1 JoeL4 242 L4 1k1a a 273 45 67 Wk 1 1 11 Ts 1 b J a4 22 ye 1 al Bl 7 Ol RkD 00 c 1243445647 Sip tk k1 Nota Podemos escrever a série alternada com inicio em k 0 ou k 1 fazendo uma pequena alteracao no termo geral da série 00 00 1 1 k1 1 k Set Sey k1 k0 31 Critério de Convergéncia para Série Alternada Dada a série 00 dae k0 se a sequéncia az for decrescente e se o limite lim az 0 koo entao esta série alternada sera convergente Exemplo 1 Mostre que as séries sfo abaixo convergentes Para tal devemos mostrar que a sequéncia da série é decrescente e que seu limite tende a zero 00 n3 a S ras nt 3 8 27 64 125 t decimai mados t k 555 55 em termos decimais aproximados temos 19 84 259 628 P a 0 422105 032 0 24710 019904 de forma que podemos ver claramente a os termos da sequéncia da série sao decrescentes Agora precisamos verificar o limite 11 3 3 3 n n n 1 1 1 lim lim lim lim 0 n0 nt3 nc nn3 3n noo n 3n3 n00 n 34 oO Assim portanto mostramos que a série 6 convergente we Ink b Sopet da mesma forma k3 In3 In4 1In5 In6 Lo ar 304 eo em termos decimais aproximados temos ay 0366 0346 0321 2986 Note que nao consideramos os sinais da sequéncia Podemos ver que os termos da sequéncia da série sao decrescentes Novamente agora precisamos verificar o limite Ink In lim 0 Assim portanto mostramos que a série 6 convergente 32 Condigao necessaria para a convergéncia de uma série Uma condigao necessaria mas nao suficiente para que uma série seja conver gente é dada pelo seguinte teorema Teorema Se an a for convergente entao lim a 0 koo Com base no teorema visto temos o seguinte critério para testar a con vergéncia na verdade testamos a divergéncia de uma série Seja a série oo dak k0 se 0 limite limp a 0 ou nao existir entao a série é divergente Exemplo 1 12 A série 00 k2 UB ha é divergente pois seu limite é dado por i k i kk i 1 1 1 im lim lim 1 k300 k 3 k 00 k k 3k ks00 1 3K 1 Assim como o limite do termo geral da sequéncia nao é nulo a série é divergente Exemplo 2 A série oo yi k k1 é divergente ou convergente Ao analisarmos o limite do termo geral vemos que i 1 lm 0 kook CO Porém lembrando que essa condicao é necessdria mas nao suficiente preci samos analisar com mais cuidado Essa série nao é uma série alternada uma vez que nao alterna os sinais dos termos Essa é uma série harmonica como visto na equacao 6 com a 1 Como vimos anteriormente essa série é divergente para esse valor de a Exemplo 3 A série oo 1 LB k1 é divergente ou convergente E uma série convergente pois é uma série harménica com a 1 Para o caso em que a 1 para provar a convergéncia da série podemos demonstrar que a mesma é crescente e limitada Lembrando que uma série é crescente sem n Gm Gy para quaisquer valores de men Sendo a 3 temos n 1 dk k31 n 1 n 1 1 1 kB L8 1 2 2 A2 2 0 2 13 4 Critérios de convergéncia e divergéncia para séries de termos positivos Neste capitulo estudaremos uma série de diferentes critérios para a andlise de convergéncia de séries infinitas de termos positivos Esses critérios serao usados para uma grande variedade de diferentes tipos de séries 41 Critério da Integral Considerando a série ys ay e havendo um numero natural p e uma funcgao f p too continua decrescente e positiva tal que fk a para k p temos Se a integral oo fxdax P for convergente a série oo da k0 também sera convergente Por outro lado se a integral divergir a série também ira divergir Exemplo 1 Analise a convergéncia da série kink k2 Para estudarmos a convergéncia dessa série podemos fazer a fungao 1 fz rlnx com x 2 Essa é uma funcao continua positiva e decrescente para o inter valo 200 Assim podemos calcular a integral e estudar sua convergéncia Calculando a integral oo oo 1 fadx dz InInz5 InInoo InIn2 oo 2 2 xlnaz Como a integral tem como solucao oo ou seja é divergente a série é por tanto divergente 14 Exemplo 2 Analise a convergéncia da série coma 0OeaFl Sm 3 kInk Fazendo da mesma forma que antes a fungao 1 x Ax aIn x é uma funcao positiva continua e decrescente Podemos aplicar o critério da integral Assim integrando 00 00 1 xdx dz f tere stay 1 1 1 1 LaInxje La Inco In2e No ultimo termo da expressao acima pet vai a zero se a 1 e portanto a integral sera convergente Assim a série seré convergente se a 1 Por outro lado se 0 a 1 0 termo moet vai a infinito de forma que a integral sera infinita e assim divergente Portanto se 0 a 1 a série sera divergente Exemplo 3 Analise a convergéncia da série p24 a0 k21 Escrevendo a fungao 1 x fi vemos que é uma funcao positiva continua e decrescente para 0oo Podemos aplicar 0 critério da integral Assim integrando cd T dr x21 2 e portanto essa integral juntamente com a série é convergente A seguinte integral é tabelada na forma oe T a 9 a 2a 15 42 Critério da Comparacao No critério de comparacao sejam as séries oo oo Sra e Sok k0 k0 e supondo haver um numero natural p tal que para todo k p 0 az bx Nessas condigoes temos que oo oo Se S by convergente S Gp sera convergente k0 k0 oo oo Se S a divergente S by sera divergente k0 k0 Exemplo Vamos estudar a convergéncia da série sen kok k0 Podemos escrever que o 1 1 c 1 1 sen k kk k pois k 1 e senk k de modo que para qualquer valor de k a série oo oo S sera sempre menor ou igual a série b S ak sen k Kk P 6 ke k0 k0 Como by é convergente pois é uma série harmonica de ordem 2 entao a série ay sera também convergente 43 Critério do Limite Sejam as séries 00 00 Ym Yo k0 k0 com a 0 e cy 0 para todo k q onde g é um ntmero natural fixo Supondo que a lim L entao k00 Ck 16 a Se L 0 com L ou ambas as séries so convergentes ou ambas sao divergentes b Se L 00 e se 77 cy for divergente entaéo S7 a também serd divergente oo oo 2 c Se L 0 e se So 9 cx for convergente entaéo a também sera convergente Exemplo Analisar a divergéncia da série oo ke k0 Sabemos que a série 7725 e 6 convergente pois tratase de uma série geométrica com razio e que é menor que 2 Assim chamando a ke e c e e aplicando o critério do limite 0 dk ke k lim lim lim 0 k00 Ck k00 e7k2 k00 2 pois a funcao linear k cresce muito mais lentamente que a funcdo e2 Como o limite tende a zero e sabemos que cy é convergente entao a série oo y ke 6 convergente k0 Exemplo 2 A série oo ir Ink k2 é convergente ou divergente Fazendo a x e usando como comparagao a série harmonica an 1k que é divergente é uma série harmonica de ordem 1 temos k lim 0o koo Ink pois k cresce muito mais rapido que Ink Assim ak 24 oe ae lim ooe como cy é divergente a também é divergente k00 Cr 17 44 Critério de Comparacao de Razoes Esse critério é bastante util e importante visto que serve como base de desen volvimento de outros critérios de convergéncia e divergéncia de séries co co Sejam S dk e S by duas séries de termos positivos e k0 k0 a b kel Okt ak Dk nessas condigoes temos que oo oo Se S by convergente S ad sera convergente k0 k0 oo oo Se S a divergente S by sera divergente k0 k0 45 Critério da Razao Seja a série oo du k0 com az 0 e supomos que Ak1 lim L k00 Qk entao se oo L 1 entao S ay convergente k0 oo L 1 entao So ax é divergente k0 L 1 nada se pode afirmar Exemplo Avalie a série abaixo quando a sua convergéncia n1 3 18 Para estudar essa série fazemos n3 n 1 an 3n e Anti 3ntl Aplicando o limite para analisar a convergéncia da série temos i n 18 37 i n 3n3n1 3 Imnstse Sapte MS Rd 0 0 0 n843n3nt1sn3 0 14343441 1 limnpo0 5 lim 3n3 n n00 3 3 Como o limite calculado é 13 1 temos entao que a série é convergente Exemplo 2 Avalie a convergéncia da série 00 Rk irs k1 Usando o critério da razao para estudar a convergéncia da série fazemos kk k 1k1 dk Qpy eR nn Calculando o limite i K Ly kUR k1 k mk Foo ETL RR ktoo OE kk 11k 1 limpo0 Grea mas observe que im 1 i e 1 limp 00 1 i e 1e portanto a série diverge 46 Critério da Raiz Seja a série oo da k0 com a O0e li Va L kos VOR entao se 19 00 Ll S az convergente k0 oo L1 S az divergente k0 L1 nada se pode afirmar Exemplo Avalie a convergéncia da série s 2n3 3n2 Dividindo numerador e denominador por n ficamos com 22 E G4 Qa 2 n1 t 2 n1 3 n usando o critério da raiz nl 2 Z 2 nae VO0 Mae p 3 1 347 e portanto a série é convergente TO BE CONTINUED Referéncias 1 Hamilton Luiz Guidorizzi Um Curso de Cdlculo volume 4 LTC Editora 2015 2 Loius Leithold Cdlculo com Geometria Analitica volumes 1 2 e 3 Harbra 1994 3 James Sterwart Cdlculo volume 2 Cengage Learning 2014 20