Lista de Exercicios - Equacao da Onda e Separacao de Variaveis

Lista de Exercícios Tipo 6 Exercício 01 Considere o problema k 2 ux2 ut sujeito às seguintes condições de contorno u0t 0 e uLt 0 t 0 Mostre que na técnica de separação de variáveis a escolha das constantes de separação c 0 ou c λ2 0 gera soluções nulas Exercício 02 Resolva a equação da corda a2 2 ux2 2 ut2 0 x L t 0 sujeita às seguintes condições u0t 0 uLt 0 t 0 ux0 14 x L x ut t0 0 0 x L Exercício 03 Uma corda é distendida e fixada ao eixo x em x 0 e x π para t 0 Se as vibrações transversais ocorrem em um meio que oferece uma resistência proporciona à velocidade instantânea então a equação da onda toma a forma 2 ux2 2 ut2 2 β ut 0 β 1 t 0 Ache o deslocamento uxt se a corda parte do repouso com deslocamento fx De 2 Solução Tt C cos a t D sen a t ou seja Tnt Cn cos n π a t L Dn sen n π a t L A solução geral uxt Σn0 An cos n π a t L Bn sen n π a t L senn π L x Aplicando ut t0 Σn0 Bn n π a L senn π L x 0 Bn 0 ux0 Σn0 An sen n π L x x4 Lx x L 4 x2 4 então An 2L 0L x L 4 x2 4 sen n π L x 2 L2 2 L2 cos n π 2 π3 n3 Temos que a2 2 u x2 2 u t2 com u0t uLt 0 ut t0 0 e ux0 14 x Lx Separação de variáveis uxt Xx Tt a2 T X X T XX Ta2 T λ2 1 X λ2 X 0 u 2 T a2 λ2 T 0 De 1 Solução Xx A cos λ x B sen λ x com X0 A 0 XL B sen λ L 0 λ L n π λ n π L com n 1 2 3 então Xnx Bn sen n π L x An L2 nπ3 1 1n 0 se n par 2L2 nπ3 se n impar Portanto uxt 2L2π3 Σ 1n3 cosnπaL t sinnπL x n impar 3 Temos que 2u x2 2u t2 2β u t com 0 β 1 t 0 u0t uπt 0 u t t0 0 Partida do repouso ux0 fx Deslocamento inicial Separação de variáveis uxt Xx Tt T X X T 2β X T XX TT 2β TT λ2 4 1 X λ2 X 0 e 2 T 2β T λ2 T 0 De 1 Solução Xx A cos λ x B sin λ x X0 0 A 0 Xπ 0 B sin λ π 0 λ π n π λ n com n 1 2 3 De 2 Solução u2 2β u λ2 0 u 2β 4β2 4 λ2 2 β β2 λ2 Sendo 0 β 1 β2 1 e sendo λ n menos que β2 λ2 0 β2 n2 0 Logo u β n2 β2 i 5 então Tnt eβ t Cn cosn2 β2 t Dn sinn2 β2 t e a solução geral uxt Σ eβ t An cosn2 β2 t Bn sinn2 β2 t sinn x u t t0 Σ Bn n2 β2 β An sin n x 0 0 Bn n2 β2 β An Bn β n2 β2 An Logo uxt eβ t Σ An cosn2 β2 t β n2 β2 sinn2 β2 t sin x ux0 Σ An sin n x fx então An 2π ₀π fx sinnx dx e por fim uxt eβt Σ n0 até 2π ₀π fx sinnx dxcosn² β² t βn² β² sm n² β² t sinnx