Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais Parciais

Lista de Exercícios Tipo 4 Exercício 01 Considere o problema k ²ux² ut sujeito às seguintes condições de contorno u0t 0 e uLt 0 t 0 Mostre que na técnica de separação de variáveis a escolha das constantes de separação c 0 ou c λ² 0 gera soluções nulas Exercício 02 Resolva o problema k ²ux² hu ut em que h é constante sob as seguintes condições iniciais uxx0 0 uxxL 0 t 0 ux0 fx 0 x L Exercício 03 Resolva a equação de Laplace sujeita às seguintes condições u0y gy uxx1 0 uyy0 0 uyyπ 0 Equações Diferenciais Parciais 1 Temos que k ²ux² ut ²ux² 1k ut com u0t uLt 0 e t 0 Separação de variáveis uxt XxTt d²dx² XT 1k ddt XT T X 1k X T XX TkT a com a c 0 XX 0 X 0 A solução Xx A Bx com X0 B e XL A 0 vai sup a solução deve ser Xx 0 e agora a λ² 0 XX λ² X λ² X 0 a solução Xx Aeλx Beλx com X0 A B e XL AeλL BeλL A B 0 A B A eλL BeλL 0 B eλL B eλL 0 B eλL eλL 0 0 logo B 0 A 0 e solução deve ser nula Também Temos que k ²ux² hu ut com ux x0 ux xL 0 ux0 fx ²ux² hk u 1k ut Separação de variáveis uxt Xx Tt T X hk T X Xk T XX TkT h λ² 1 X λ² X u 2 T kh T λ² k T Da 1 Solução Xx A cos λ x B sen λ x Xx A λ sen λ x B λ cos λ x então X0 B 0 u XL A λ sen λ L 0 logo λ L n π λ n πL com n 1 2 3 Solução Xₙx Aₙ cos n πL x Da 2 dTdt kh T λ² k T dTdt kh λ² T dTT k h λ² dt ln T k h λ² t c T C eᵏʰ ʷ²ᵗ Cₙ eᵏʰ ᶰ²ⁿ²ᴸ²ᵗ A solução geral uxt ₙ₁ Cₙ eᵏʰ ᶰ²ⁿ²ᴸ²ᵗ cos n πL x fazendo ux0 ₙ₁ Cₙ cos n πL x fx então Cₙ 2L ₀ᴸ fx cos n πL x dx Portanto uxt ₙ₁ 2L ₀ᴸ fx cos n πL x dx eᵏʰ ᶰ²ⁿ²ᴸ²ᵗ cos n πL x 3 Temos que ²ux² ²ut² 0 com ux x1 uy y0 uy yπ 0 u0y gy Separação de variáveis uxy Xx Tt γ X X γ 0 XX γγ 0 XX γγ λ² 1 X λ²X 0 e 2 Y λ²Y 0 Del 2 Solução Yy A cos λy B sin λy Yy A λ sin λy B λ cos λy Y0 B 0 Yπ A λ sin λπ 0 λπ nπ λ n com n 1 2 3 logo Yny A n cos nπ De 1 Solução Xx C eλx D eλx usando cosh x ex ex 2 e sinh x ex ex 2 6 A solução toma a forma Xx C cosh λ x D sinh λ x Xnx Cn cosh n x Dn sinh n x A solução geral ux y from n0 to An cosh n x Bn sinh n x cos n y u0 y from n0 to An cos n y gy então An 2 π from 0 to π gy cos n y dy ux x1 from n 0 to An n sinh n x Bn n cosh n x 0 ou seja An n sinh n x Bn n cosh n x 0 Bn An sinh n x cosh n x An tg h n x 7 Portanto Yxy from n0 to An cosh n x Bn sinh n x cos n y Yxy from n0 to An cosh n x tgh n x sinh n x cos n y Yxy from n0 to 2 π from 0 to π gy cos n y cosh n x tgh n x sinh n x cos n y