Aula 08: Primitivas e Teorema Fundamental do Cálculo

Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Cálculo Diferencial e Integral Aula 08 Primitivas Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Prof André Almeida Universidade Federal Rural da Amazônia Bacharelado em Sistemas de Informação Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Primitivas imediatas Propriedades das primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Primitivas imediatas Propriedades das primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Definição 11 Uma função F é dita primitiva ou antiderivada da função f em um intervalo I se F x f x para todo x I Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 11 Determine a primitiva de cada uma das funções abaixo a f x 5 b f x x c f x 4x3 d f x cosx e f x 1 x Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 11 Determine a primitiva de cada uma das funções abaixo a f x 5 b f x x c f x 4x3 d f x cosx e f x 1 x Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 11 Determine a primitiva de cada uma das funções abaixo a f x 5 b f x x c f x 4x3 d f x cosx e f x 1 x Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 11 Determine a primitiva de cada uma das funções abaixo a f x 5 b f x x c f x 4x3 d f x cosx e f x 1 x Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 11 Determine a primitiva de cada uma das funções abaixo a f x 5 b f x x c f x 4x3 d f x cosx e f x 1 x Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Observação 11 Se F é uma primitiva de uma função f em um intervalo I então para todo C R Fx C é também uma primitiva de f Observação 12 Se F e G são primitivas de f em um intervalo aberto I então Fx Gx C onde C é uma constante Observação 13 As funções da forma Fx C são as únicas primitivas de f Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Observação 11 Se F é uma primitiva de uma função f em um intervalo I então para todo C R Fx C é também uma primitiva de f Observação 12 Se F e G são primitivas de f em um intervalo aberto I então Fx Gx C onde C é uma constante Observação 13 As funções da forma Fx C são as únicas primitivas de f Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Observação 11 Se F é uma primitiva de uma função f em um intervalo I então para todo C R Fx C é também uma primitiva de f Observação 12 Se F e G são primitivas de f em um intervalo aberto I então Fx Gx C onde C é uma constante Observação 13 As funções da forma Fx C são as únicas primitivas de f Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Teorema 11 Se F é uma primitiva de f em um intervalo I então a primitiva mais geral de f em I é Fx C onde C é uma constante arbitrária Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 12 Qual a primitiva mais geral de f x x2 Exemplo 13 Qual a primitiva mais geral de f x senx Exemplo 14 Qual a primitiva mais geral de f x 4 x3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 12 Qual a primitiva mais geral de f x x2 Exemplo 13 Qual a primitiva mais geral de f x senx Exemplo 14 Qual a primitiva mais geral de f x 4 x3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva de uma função Exemplo 12 Qual a primitiva mais geral de f x x2 Exemplo 13 Qual a primitiva mais geral de f x senx Exemplo 14 Qual a primitiva mais geral de f x 4 x3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas a Se f x k então Fx kx C com k uma constante b Se f x xn então Fx xn1 n 1 C com n 1 c Se f x ex então Fx ex C d Se f x 1 x então Fx ln x C e Se f x cosx então Fx senx C f Se f x senx então Fx cosx C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas a Se f x k então Fx kx C com k uma constante b Se f x xn então Fx xn1 n 1 C com n 1 c Se f x ex então Fx ex C d Se f x 1 x então Fx ln x C e Se f x cosx então Fx senx C f Se f x senx então Fx cosx C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas a Se f x k então Fx kx C com k uma constante b Se f x xn então Fx xn1 n 1 C com n 1 c Se f x ex então Fx ex C d Se f x 1 x então Fx ln x C e Se f x cosx então Fx senx C f Se f x senx então Fx cosx C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas a Se f x k então Fx kx C com k uma constante b Se f x xn então Fx xn1 n 1 C com n 1 c Se f x ex então Fx ex C d Se f x 1 x então Fx ln x C e Se f x cosx então Fx senx C f Se f x senx então Fx cosx C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas a Se f x k então Fx kx C com k uma constante b Se f x xn então Fx xn1 n 1 C com n 1 c Se f x ex então Fx ex C d Se f x 1 x então Fx ln x C e Se f x cosx então Fx senx C f Se f x senx então Fx cosx C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas a Se f x k então Fx kx C com k uma constante b Se f x xn então Fx xn1 n 1 C com n 1 c Se f x ex então Fx ex C d Se f x 1 x então Fx ln x C e Se f x cosx então Fx senx C f Se f x senx então Fx cosx C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas g Se f x sec2x então Fx tgx C h Se f x cossec2x então Fx cotgx C i Se f x secx tgx então Fx secx C j Se f x cossecx cotgx então Fx cossecx C k Se f x ax lna então Fx ax C l Se f x 1 x lna então Fx logax C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas g Se f x sec2x então Fx tgx C h Se f x cossec2x então Fx cotgx C i Se f x secx tgx então Fx secx C j Se f x cossecx cotgx então Fx cossecx C k Se f x ax lna então Fx ax C l Se f x 1 x lna então Fx logax C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas g Se f x sec2x então Fx tgx C h Se f x cossec2x então Fx cotgx C i Se f x secx tgx então Fx secx C j Se f x cossecx cotgx então Fx cossecx C k Se f x ax lna então Fx ax C l Se f x 1 x lna então Fx logax C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas g Se f x sec2x então Fx tgx C h Se f x cossec2x então Fx cotgx C i Se f x secx tgx então Fx secx C j Se f x cossecx cotgx então Fx cossecx C k Se f x ax lna então Fx ax C l Se f x 1 x lna então Fx logax C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas g Se f x sec2x então Fx tgx C h Se f x cossec2x então Fx cotgx C i Se f x secx tgx então Fx secx C j Se f x cossecx cotgx então Fx cossecx C k Se f x ax lna então Fx ax C l Se f x 1 x lna então Fx logax C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Imediatas g Se f x sec2x então Fx tgx C h Se f x cossec2x então Fx cotgx C i Se f x secx tgx então Fx secx C j Se f x cossecx cotgx então Fx cossecx C k Se f x ax lna então Fx ax C l Se f x 1 x lna então Fx logax C Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades das Primitivas Proposição 11 Sejam F e G primitivas das funções f e g respectivemente e k uma constante Então a A primitiva de kf é kF b A primitiva de f g é F G Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades das Primitivas Exemplo 15 Calcule a primitiva G de gx 3 senx Exemplo 16 Calcule a primitiva de hx x4 x2 3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades das Primitivas Exemplo 15 Calcule a primitiva G de gx 3 senx Exemplo 16 Calcule a primitiva de hx x4 x2 3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades das Primitivas Exemplo 17 Calcule a primitiva Z da função zx x 1 x3 Exemplo 18 Calcule Fx que é a primitiva da função f x 3x5 2x 5 x3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades das Primitivas Exemplo 17 Calcule a primitiva Z da função zx x 1 x3 Exemplo 18 Calcule Fx que é a primitiva da função f x 3x5 2x 5 x3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades das Primitivas Exemplo 19 Calcule F que é a primitiva de f x x 2 3x x Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo COCCOOCCO00008O OO00C000000 OOOCONO0C00000000 OOO0000000 Primitiva e PVI Exemplo 110 Determine a expressdo da fundo y yt que satisfaz as seguintes condicées dy 3t5 2 y0 2 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva e PVI Exemplo 111 Determine a função posição x xt de uma partícula cuja velocidade é dada por vt 4t 7 e x1 1 Exemplo 112 Determine a função posição de uma partícula que possui aceleração dada por at 7t 2 e satisfaz v0 2 e x0 1 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitiva e PVI Exemplo 111 Determine a função posição x xt de uma partícula cuja velocidade é dada por vt 4t 7 e x1 1 Exemplo 112 Determine a função posição de uma partícula que possui aceleração dada por at 7t 2 e satisfaz v0 2 e x0 1 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Primitivas imediatas Propriedades das primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área Problema 21 Como calcular a área da região limitada pela função y x o eixo x e as retas x 0 e x 2 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área Problema 22 Como medir a área A delimitada pelo gráfico da função f x x2 o eixo x e as retas x 0 e x 1 A região cuja área queremos calcular é a seguinte Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área Vamos adotar a seguinte estratégia para resolver este problema Vamos dividir o intervalo 0 1 em 4 subintervalos cujo comprimento será x 1 0 4 1 4 Vamos construir quatro retângulos de base x e altura igual a ao valor de f nas extremidades à esquerda dos subintervalos Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área Calculamos a soma das quatro áreas destes retângulos conforme figura a seguir BS sce eisai aid Integral de Riemann Toone Fundamental de Calevle Problema da Area Veja que lo 1 f1 1 1 1 3 7 A0 021875 gO 4 GG 3 5 3 4 320 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área n An 10 02850000 20 03087500 30 03168519 50 03234000 100 03283500 1000 03328335 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Problema da Área Dos valores da tabela é razoável conjecturar que a área A à medida que aumen tamos n aproximase de 1 3 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Primitivas imediatas Propriedades das primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann Consideremos uma função não negativa y f x definida em um intervalo a b Chamamos de uma partição do intervalo a b ao conjunto de pontos x0 x1 xn a b tais que a x0 x1 x2 xn1 xn b a figura a seguir ilustra essa definição Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann Agora note que os pontos da partição dividem o intervalo a b em n subintervalos fechados I1 x0 x1 I2 x1 x2 In1 xn2 xn1 In xn1 xn como mostra a figura abaixo Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann x1 x1 x0 x2 x2 x1 xi xi xi1 xn xn xn1 λ1 I1 λ2 I2 λn In Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann x1 x1 x0 x2 x2 x1 xi xi xi1 xn xn xn1 λ1 I1 λ2 I2 λn In Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann Dessa forma construiremos n retângulos cujas bases são o comprimento xi de cada subintervalo e a altura é o valor de f λ1 para todo i 1 2 n como ilustrado abaixo Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral de Riemann Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo OOO000000000000 OO000000000 OO0CO0000000000 O00000000 Integral de Riemann A soma da area desses retangulos é dada por n Sn fA Ax fA2 Axo An AXxn fA AXx i1 Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo OOO000000000000 OO000000000 OO0CO0000000000 O00000000 Integral de Riemann A soma da area desses retangulos é dada por n Sn fA Ax fA2 Axo An AXxn fA AXx i1 Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo OCOO0000000000 OO000000000 OOCO0000000000 OO00000000 Integral de Riemann n A lim A lim SFAAx 1 n00 n0o0 4 i1 Ufra Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo OCOO0000000000 OC00000000 OOCO00000008000 O00000000 Integral de Riemann O nimero A é 0 limite das somas de Riemann e é chamado integral de Riemann da funcdo f sobre o intervalo a b Em nossos cAlculos esse limite sera representado pelo simbolo b n A fx dx lim fA Ax a noo 4 1 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral por Somas de Riemann 1 Dividise o intervalo a b em n subintervalos Iii 1 n todos de comprimento igual a x b a n Sejam a x0 xn b os pontos que dividem o intervalo 2 Em cada um destes subintervalos escolhemos um ponto λi como sendo o extremo esquerdo de cada subintervalo Ii 3 Formamos então n retângulos com base x e altura f λi i 1 2 3 n Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral por Somas de Riemann 1 Dividise o intervalo a b em n subintervalos Iii 1 n todos de comprimento igual a x b a n Sejam a x0 xn b os pontos que dividem o intervalo 2 Em cada um destes subintervalos escolhemos um ponto λi como sendo o extremo esquerdo de cada subintervalo Ii 3 Formamos então n retângulos com base x e altura f λi i 1 2 3 n Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Integral por Somas de Riemann 1 Dividise o intervalo a b em n subintervalos Iii 1 n todos de comprimento igual a x b a n Sejam a x0 xn b os pontos que dividem o intervalo 2 Em cada um destes subintervalos escolhemos um ponto λi como sendo o extremo esquerdo de cada subintervalo Ii 3 Formamos então n retângulos com base x e altura f λi i 1 2 3 n PO cocen Oe insegral og Riera Tas fapsamensal de atau Propriedades da Integral Definida Teorema 31 Sejam f e g uma fundo continua em a b e c uma constante real a b 1 fx dx fx dx b a 2 Fx dx 0 b 3 c dx cb a ab b b 4 te eeold fo fdas ala ax PO cscs Obama Aes Insearal oe Riga Tere Lapsemenl te leu Propriedades da Integral Definida b b 5 cf x dx Fx dx b c b 6 Fx dx Fx dx Fx dx com c ab b 7 Se fx 0 para todo x a b entao fx dx 0 b b 8 Se fx gx entSo Fx dx gx dx Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Primitivas imediatas Propriedades das primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo BOCCOOCCCCOCCT Oona ae PO SeOSOSCOROSOS oC Teorema Fundamental do Calculo Teorema 41 Teorema Fundamental do Calculo Se f for continua em a b entado b Fx dx Fb Fa onde F é qualquer primitiva de f isto 6 uma funcdo tal que F f Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo OOOOOO00000000 OOO0000000 OOOCONO0C00000000 O0000000 Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 41 Usando o Teorema Fundamental do Calculo calcule b xX dx a Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo OOOOOO00000000 OOO0000000 OOOCONO0C00000000 O0000000 Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 41 Usando o Teorema Fundamental do Calculo calcule b xX dx a Exemplo 42 Calcule 3 x 4x 5 dx o Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo 00000000000000 0000000000 000000000000000 00000000 Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 43 Calcule 1 dx 3 x Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo OOOOOO00000000 OO00C000000 OOOCONO0C00000000 O0000000 Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 43 Calcule 64 dx 3 xX Exemplo 44 Calcule 27 cos 6 dé Tv Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo 00000000000000 0000000000 000000000000000 00000000 Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 45 Calcule 5 v3 3v ae dv 1 Vv ee sooc008 Problema ga Aves aire erate See eons samen do Calcul Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 45 Calcule 23 3y8 dv 1 v4 Exemplo 46 Calcule x 1 dx 1 Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo 0000000000000 0000000000 000000000000000 00000000 Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 47 Calcule senx dx 1 ee sooc008 Problema ga Aves aire erate See Sbeone wamenta do Calcul Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 47 Calcule senx dx 1 Exemplo 48 Calcule 3 Wxx 1 dx 0 Primitivas O Problema da Area Integral de Riemann Teorema Fundamental do Calculo 00000000000000 0000000000 000000000000000 00000000 Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 49 Calcule 4 2 In2 dx 3 Primitivas ooo Problema da Area Integral de Riemann et ee Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 49 Calcule 4 2 In2 dx 3 Exemplo 410 Calcule a 1 dx xin3 Primitivas ooo Problema da Area Integral de Riemann Bd i a a Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 411 Calcule e x dx 0 ee sooc008 Problema ga Aves aire erate Sees eows ments do Calcul Teorema Fundamental do Calculo Exemplo 411 Calcule 2 e x dx 0 Exemplo 412 Calcule x cosx 2 In2 dx 0 Primitivas O Problema da Área Integral de Riemann Teorema Fundamental do Cálculo