Pontos Extremos Relativos e Testes de Otimização - Aula 06

Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Cálculo Diferencial e Integral Aula 06 Noções de Otimização Prof André Almeida Universidade Federal Rural da Amazônia Bacharelado em Agronomia Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Extremos Relativos Definição 11 Seja x p um número no domínio de uma função f Então x p é chamado o i máximo relativo ou local de f se f p f x para todo x em pδ pδ para algum δ 0 ii mínimo relativo ou local de f se f p f x para todo x em pδ pδ para algum δ 0 Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Extremos Relativos Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Teorema de Fermat Graficamente nos pontos máximos e mínimos quando existe reta tangente pas sando por eles a mesma é paralela ao eixo dos x isto é o coeficiente angular dessa reta é zero e sendo assim a derivada nesses pontos é igual a zero Teorema 11 Fermat Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f c existir então f c 0 em a b Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Teorema de Fermat Graficamente nos pontos máximos e mínimos quando existe reta tangente pas sando por eles a mesma é paralela ao eixo dos x isto é o coeficiente angular dessa reta é zero e sendo assim a derivada nesses pontos é igual a zero Teorema 11 Fermat Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f c existir então f c 0 em a b Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Teorema de Fermat Exemplo 11 A função f x xex possui um mínimo local em x 1 e note que a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 e1 é paralela ao eixo x isto é f 1 0 Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Contraexemplo Exemplo 12 A função f x x3 tem derivada f x 3x2 e f 0 0 mas c 0 não é máximo e nem mínimo Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Contraexemplo Uma informação importante é a de que a função não precisa ser derivável no ponto para que esse seja um ponto de máximo e mínimo Exemplo 13 A função f x x tem seu valor mínimo local e absoluto em 0 mas o valor não pode ser encontrado por considerar f x 0 porque f 0 não existe Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Contraexemplo Uma informação importante é a de que a função não precisa ser derivável no ponto para que esse seja um ponto de máximo e mínimo Exemplo 13 A função f x x tem seu valor mínimo local e absoluto em 0 mas o valor não pode ser encontrado por considerar f x 0 porque f 0 não existe Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Número e Ponto Crítico Definição 12 Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que ou f c 0 ou f c não existe Se x c é um número crítico de f então o ponto c f c é chamado ponto crítico on tos TiextreMmosi Relatives pete Otimizaao pac E eitaekes Otimizaao Namero e Ponto Critico Exemplo 14 Encontre os pontos criticos das fundes abaixo a fx x4x 3 e qx senx cosx x 0 b gx x x 1 c hx x x f rx e x 2 d px 5 x g sx Inx x Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Número e Ponto Crítico Teorema de Fermat Teorema 12 Se f tiver um máximo ou mínimo local em x c então c f c é um ponto crítico de f Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Teste da Primeira Derivada Teorema 21 Suponha que c seja um número crítico de uma função derivável f i Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em x c então f tem um máximo local em x c ii Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em x c então f tem um mínimo local em x c iii Se o sinal de f não sofrer alteração em x c então em x c não há um ponto de máximo local e nem de mínimo local Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Teste da Primeira Derivada Exemplo 21 Determine os pontos de máximo e mínimo relativos caso existam de cada função abaixo a f x 2x3 3x2 36x b f x x3 3x2 1 c f x x3 4x2 4x 10 d f x x4 x2 2 e f x x 1 x f f x x 1 x2 g f x 3x2 4x 1 x2 h f x lnx x i gx x ex Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Teste da Segunda Derivada Teorema 22 Sejam f uma função que admite derivada de 2a ordem contínua no intervalo I e p I i Se f p 0 e f p 0 então p é um ponto de mínimo local ou relativo ii Se f p 0 e f p 0 então p é um ponto de máximo local ou relativo Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Teste da Segunda Derivada Exemplo 22 Determine os pontos de máximo e mínimo relativos caso existam de cada função abaixo a f x 2x3 3x2 36x b f x x3 3x2 1 c f x x3 4x2 4x 10 d f x x4 x2 2 e f x x 1 x f f x x 1 x2 g f x 3x2 4x 1 x2 h f x lnx x i gx x ex Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Pontos Extremos Relativos Testes de Otimizaao Problemas de Otimizaao OCOO0000000000 O0000 O000000 Problemas de Otimizacdo Exemplo 31 A reacdo do organismo a administracdo de um medicamento é frequentemente representada por uma funcao da forma C D RD D 2 3 onde D é a dose e C uma constante é a dose maxima que pode ser adminis trada A taxa de variacdo de R em relacdo a variavel D chamada sensibilidade Determine o valor de D para o qual a sensibilidade 6 maxima 4 Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Problemas de Otimização Exemplo 32 Determine dois números x e y tais que a diferença entre eles seja igual 100 e o produto seja o mínimo possível Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Problemas de Otimização Exemplo 33 O maior constituinte do corpo humano é a água que é muito eficiente na dis solução de sais minerais devido ao fato de suas moléculas combinarem com íons dando origem a íons hidratados A presença de íons de hidrogênio em soluções aquosas H e OH é tal que à uma temperatura constante de 25C temse que HOH 1014 Para que concentração de H a soma H OH é mínima Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Problemas de Otimização Exemplo 34 Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto Ele não precisa de cerca ao longo do rio Quais são as dimensões do campo que tem maior área Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Problemas de Otimização Exemplo 35 Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo medido em unidades apropriadas é Y N 1 N2 Que nível de nitrogênio dá a melhor produção Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização Problemas de Otimização Exemplo 36 A taxa em mg de carbonom3h na qual a fotossíntese ocorre para uma espécie de fitoplâncton é modelada pela função P 100I I 2 I 4 em que I é a intensidade da luz medida em milhares de velas Para qual inten sidade de luz P é máximo Pontos Extremos Relativos Testes de Otimização Problemas de Otimização