Exercício 2-2022 1

2) Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais. (Dica: verifique se são subespaços de algum espaço vetorial.) a) W = {(a, 2a, 3a) ∈ ℝ³ | a ∈ ℝ} b) W = {(a, a, a, a) ∈ ℝ⁴ | a ∈ ℝ} c) W = {(1, a, b) ∈ ℝ³ | a, b ∈ ℝ} d) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ⁴ | x + y = 0 e z − t = 0} e) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ⁴ | 2x + y − t = 0 e z = 0} f) W = { [a b] | a, b, c, d ∈ ℝ e b = c } [c d] g) W = { [a b] | a, b, c, d ∈ ℝ e b = c + 1 } [c d] Questão 4. para verificar se W é subespaço, deve satisfazer as três: (i) 0 ∈ W (ii) ω₁, ω₂ ∈ W ⇒ ω₁ + ω₂ ∈ W (iii) ω ∈ W, λ ∈ ℝ ⇒ λω ∈ W a) ✓0 ∈ W? Sim, a = 0 ∀ω₁, ω₂ ∈ W? Sim, (a₁ + a₂, 2a₁ + 2a₂, 3a₁ + 3a₂) = (λ, 2λ, 3λ) ∀ω ∈ W ⇒ λω ∈ W? Sim, (λa, 2λa, 3λa) ∈ W b) ✓0 ∈ W? Sim ∃ω₁, ω₂ ∈ W ⇒ ω₁ + ω₂ ∈ W? Sim, ω₁ + ω₂(a₁, a₁ + a₂, a₁ + a₂, a₁ + a₂) ∀ω ∈ W ⇒ λω ∈ W ⇒ Sim, (λa, λa, λa, λa) c) ✗0 ∈ W? Não, pois (0, 0, 0) ∉ W Logo, não atende alguma condição, não é subespaço. d) ✓0 ∈ W? Sim, (0, 0, 0, 0) ∈ W ∀ω₁, ω₂ ∈ W ⇒ ω₁ + ω₂ ∈ W? Sim (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂, t₁ + t₂) = = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂, t₁ + t₂) ∃1 ∈ W: (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) = 0, mas (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) = 0 (z₁ + z₂) - (t₁ + t₂) = 0, mas (z₁ - t₁) + (z₂ - t₂) = 0 ∀ω ∈ W ⇒ λω ∈ W? ∃1 ∈ W ⇒ (λx₁, λy₁, λz₁, λt₁) ∃1 ∈ W ⇒ λ(λ)λ = 0 =⇒ λ [x₁ + y₁] = 0 λ(z₁, 1) - (λt₁) = 0 ⇒ λ[z₂, Continuação da questão 4. e) ✓0 ∈ W? Sim ∀ω₁, ω₂ ∈ W ⇒ ω₁ + ω₂ ∈ W? Sim 2(x₁ + x₂) + y₁ + y₂ - t₁ + t₂ = = 2(x₁ + x₂) + y₁ + y₂ - t₁ - t₂ = = 0 ⇒ ω₁, ω₂ ∈ W ∀ω ∈ W ⇒ λω ∈ W? (λx₁, λy₁, λz₁, λt₁) 2(λx₁) + λy₁ - λt₁ = = 0 ⇒ ω, ω ∈ W f) W = [a b] [b d] ✓0 ∈ W? Sim ∀ω₁, ω₂ ∈ W? Sim [a₁ + a₂ b₁ + b₂] [b₁ + b₂ d₁ + d₂] ∀λω ∈ W? Sim λ [a b] = [λa λb] [b d] [λb λd] g) ✗0 ∉ W? Não pois 0 ∉ W [0 1] [0 0] Não é subespaço vetorial * Dica: quando um elemento é nomeado por escalar não nulo, preste atenção! Provavelmente não será subespaço.