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Engenharia de Alimentos ·
Cálculo 4
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U F R R UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Professor: Andrés Mauricio Lopez Barragan LISTA 2 SERIES DE POTENCIAS IC 244 CALCULO IV TURMA 01 A. Determine o raio de convergéncia e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de poténcia convergem. oo (—1)r-lyn ea (x= 2)” 1.) x ss 7.) xu ase 13.) mo (n1)a" S (—1)"a" 8. ~ et co (_1)\n-1 _ 9)2n 2.) > 4” In(n) ) mo [n2 43 14.) >> a foe) _14)\n n co 4nr 2n n=1 3) > (-D)"@ +2)" 9) a n-1 nal n2r n=1 0 n 4) Yo (-1(4e +1)" 10.) Yo na” nai \en + n=0 n=1 oo ler © (a — 2)” e (=1)"* (a +2)" 16) >) yy ~ 10r ") > n2” net co (-1)"a" co gg 2n—t 22 n(x — 3)” 6.) ms — aT 12.) mo mol 17.) mo a B. Achar uma representagdo por meio de séries de poténcias das seguintes fungdes e determine o intervalo de con- vergéncia. = we __ 3t 1 2 2. =—— 2 __% ) f(z) P35 6) fle)=— 9) f(®)= 3, 3.) f(x) = Ota 4 10.) f(x) =In(a@ + 1) 4.) f(x) =In(5—- 2) 7) f(a) = (x +1)? 11.) f(x) = rarctan(2?) C. Determine a série de Taylor gerada pela f em xz =a 1.) f(x)=e"*, a=0 5.) f(xv)=a3-24+4, a=2 1 1 2.) f(2)= 7 a=0 6.) f(x) = =: a=1 3.) f(x) =sen(32), a=0 7.) f(~)=e", a=2 4.) f(x) =cosh(z)= +2, a=0 8.) f(z) =a*+a27+1, a=-2 D. Achar uma representagao por meio de séries de poténcias centrada em x = a, das seguintes fungdes 1 n 1.) f(a) =—-—, empoténcias dex —1 x 1 a 2.) f(x) = zz? em poténcias de x + 1 1 3. = —+————.., em poténcias de 4 ) f(z) Pa Be p a+ E. Verificar as seguintes igualdades: oo (-1)"*1 3 1. ——— =Iln(s ) mo nan n (3) oo (—1)"*12" 7 2. ——_— =ln(¢ ) mo n5r n (Z) 3) Soo tan (4) . TooToo CO = arctan (5 n=o (2n + 1)(2)?"*1 ° F. Achar uma representagao por meio de série de poténcias da fungao, calcular a integral indefinida como una série de poténcias e determinar o intervalo de convergéncia. t 1. —— dt ) [= 2.) fro (t?) dt G. DESCANSE... Rta: A 1) 1, [-1,1] 10.) 0, ©=0 2) 4, (-4,4] 11.) 2, (—4,0] 3.) 2, (—4,0] 12) 1, (-1,1) 4.) 1/4, (—1/2,0) 13.) 2, [0,4) 5.) 10, (—8, 12) 6.) oo, R 14.) 2, [1,3] 7) 3, [-3,3] 15.) 4, (4,4) 8.) 1, [-1,1) 16.) e, (—e,e) 9.) 1/2, [—1/2,1/2) 17.) e, (-e—3,e—3) B14) S22, (-1,1) 7) SS (-1)"4(n + 1)2", (-1,1) n=0 n=0 2) — Bw (89) 8) [(-2)-" Ja", (4) 3) Guar, (-3,3) . um 9) do 2"a"t?, (-1/2, 1/2) oo antl n=0 4.) ~ 2 Garnett +In(5), (—5,5) 2 (njant? 10.) So ure" (21,1) 5.) 2 onet (—2, 2) n=0 oo So (4) 4n+3 6.) 2 ee (-1,1) 11.) LSA (-1,1) e141) Soy 5.) 8+10(a — 2) + 6(@ — 2)? + (a — 2) n=0 2) $2 (-1)2” 6) (1) (n+ Y@ = 1)" n=0 n= So (_yyng2n41,2n41 oo n 3.) > Se 7) > ee 4.) Daa 8.) 21 — 36(a + 2) + 25(a + 2)? — 8(a + 2)? + (a + 2)* D. 1.) s (-1)"(a@—-1)", O<a<2 3.) S (2-7-1 —3°>""1) (@+4)", -6<a<-2 n=0 n=0 2) S(nt+1(e4+1)", —2<a<0 n=0
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U F R R UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Professor: Andrés Mauricio Lopez Barragan LISTA 2 SERIES DE POTENCIAS IC 244 CALCULO IV TURMA 01 A. Determine o raio de convergéncia e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de poténcia convergem. oo (—1)r-lyn ea (x= 2)” 1.) x ss 7.) xu ase 13.) mo (n1)a" S (—1)"a" 8. ~ et co (_1)\n-1 _ 9)2n 2.) > 4” In(n) ) mo [n2 43 14.) >> a foe) _14)\n n co 4nr 2n n=1 3) > (-D)"@ +2)" 9) a n-1 nal n2r n=1 0 n 4) Yo (-1(4e +1)" 10.) Yo na” nai \en + n=0 n=1 oo ler © (a — 2)” e (=1)"* (a +2)" 16) >) yy ~ 10r ") > n2” net co (-1)"a" co gg 2n—t 22 n(x — 3)” 6.) ms — aT 12.) mo mol 17.) mo a B. Achar uma representagdo por meio de séries de poténcias das seguintes fungdes e determine o intervalo de con- vergéncia. = we __ 3t 1 2 2. =—— 2 __% ) f(z) P35 6) fle)=— 9) f(®)= 3, 3.) f(x) = Ota 4 10.) f(x) =In(a@ + 1) 4.) f(x) =In(5—- 2) 7) f(a) = (x +1)? 11.) f(x) = rarctan(2?) C. Determine a série de Taylor gerada pela f em xz =a 1.) f(x)=e"*, a=0 5.) f(xv)=a3-24+4, a=2 1 1 2.) f(2)= 7 a=0 6.) f(x) = =: a=1 3.) f(x) =sen(32), a=0 7.) f(~)=e", a=2 4.) f(x) =cosh(z)= +2, a=0 8.) f(z) =a*+a27+1, a=-2 D. Achar uma representagao por meio de séries de poténcias centrada em x = a, das seguintes fungdes 1 n 1.) f(a) =—-—, empoténcias dex —1 x 1 a 2.) f(x) = zz? em poténcias de x + 1 1 3. = —+————.., em poténcias de 4 ) f(z) Pa Be p a+ E. Verificar as seguintes igualdades: oo (-1)"*1 3 1. ——— =Iln(s ) mo nan n (3) oo (—1)"*12" 7 2. ——_— =ln(¢ ) mo n5r n (Z) 3) Soo tan (4) . TooToo CO = arctan (5 n=o (2n + 1)(2)?"*1 ° F. Achar uma representagao por meio de série de poténcias da fungao, calcular a integral indefinida como una série de poténcias e determinar o intervalo de convergéncia. t 1. —— dt ) [= 2.) fro (t?) dt G. DESCANSE... Rta: A 1) 1, [-1,1] 10.) 0, ©=0 2) 4, (-4,4] 11.) 2, (—4,0] 3.) 2, (—4,0] 12) 1, (-1,1) 4.) 1/4, (—1/2,0) 13.) 2, [0,4) 5.) 10, (—8, 12) 6.) oo, R 14.) 2, [1,3] 7) 3, [-3,3] 15.) 4, (4,4) 8.) 1, [-1,1) 16.) e, (—e,e) 9.) 1/2, [—1/2,1/2) 17.) e, (-e—3,e—3) B14) S22, (-1,1) 7) SS (-1)"4(n + 1)2", (-1,1) n=0 n=0 2) — Bw (89) 8) [(-2)-" Ja", (4) 3) Guar, (-3,3) . um 9) do 2"a"t?, (-1/2, 1/2) oo antl n=0 4.) ~ 2 Garnett +In(5), (—5,5) 2 (njant? 10.) So ure" (21,1) 5.) 2 onet (—2, 2) n=0 oo So (4) 4n+3 6.) 2 ee (-1,1) 11.) LSA (-1,1) e141) Soy 5.) 8+10(a — 2) + 6(@ — 2)? + (a — 2) n=0 2) $2 (-1)2” 6) (1) (n+ Y@ = 1)" n=0 n= So (_yyng2n41,2n41 oo n 3.) > Se 7) > ee 4.) Daa 8.) 21 — 36(a + 2) + 25(a + 2)? — 8(a + 2)? + (a + 2)* D. 1.) s (-1)"(a@—-1)", O<a<2 3.) S (2-7-1 —3°>""1) (@+4)", -6<a<-2 n=0 n=0 2) S(nt+1(e4+1)", —2<a<0 n=0