Lista - Cálculo 4 2022 1

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Campus Nova Iguaçu Instituto Multidisciplinar Departamento de Tecnologias e Linguagens Profª Carla Gomes IM434 Cálculo 4 Lista de Exercícios de Revisão 1ª Questão Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 4𝑦𝑖 2𝑧𝑗 3𝑥𝑘 um campo vetorial e seja S a parte do paraboloide z 10 𝑥2 𝑦2 acima do plano z 1 orientado positivamente Verifique o Teorema de Stokes calculando a 𝐶 𝐹 𝑑𝑟 b 𝑆 𝑅𝑜𝑡 𝐹 𝑛 𝑑𝑠 2ª Questão Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑖 𝑦𝑧𝑗 𝑧𝑥𝑘 um campo vetorial e seja S a parte do cilindro 𝑥2 𝑦2 1 compreendido entre os planos z 0 e z 1 orientado positivamente Verifique o Teorema da Divergência de Gauss calculando a 𝑆 𝐹 𝑛 𝑑𝑠 b 𝑊 𝑑𝑖𝑣 𝐹 𝑑𝑉 3ª Questão Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑥𝑦𝑖 𝑥2𝑦3𝑗 um campo vetorial e seja C o triângulo de vértices 00 10 e 12 orientado positivamente Verifique o Teorema de Green calculando a 𝐶 𝐹 𝑑𝑟 b 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 Questao 1 a Uma ilustracgao grafica da superficie paraboloica de interesse pode ser observada a seguir 10 10 5 10 10 Defina C a curva orientada no sentido antihorario que delimita S Como C esta contida no plano z 1 ez 10x yy podemos obter uma equacio para C dada por 110xy xy 9 circunferéncia de raio 3 Dessa forma podemos obter uma representaao vetorial de C dada por 7t 3cost3sint1 027 Entao d Pea f 4n2z 3x 3cost3sint 1 Cc Cc dt Qn d 43 sint213cost ae cost3sint 1 0 Qn 12sin23cosr 3sint 3cosr0dt 0 2n 36 sint 6cost dt 0 20 20 36 sin tdt 6costdt 0 0 Para resolver ap primeira integral do segundo membro da igualdade aplicamos a identidade sinx 1 cos2x a de modo a obtermos 1 cos2r 1 sin2r 2 dt t R ss tdt 5 dt 5 4 CCeE 1 Assim obtemos que 1 sin2r a2 fF ar 36 ro 6sint9 1 36 2 5 em 360 b Parametrizando o paraboldide obtemos x ucosv ouv y usinv Ov2n z 10wcosv uw sinv 10wv Para obter o intervalo de integraao de u utilizamos a limitagao da superficie por z z10 1010w u0 z1 5 110wW u3 Entao 0 u 3 Como a normal a superficie dada por 00 A 00 7 Oudv a6 dof du ov o fluxo de RotF xyz através da superficie ou v é dado por 00 A 00 a du dy 00 00 RotF RotF a I A dud Il otF rids II otF ouv AG Jo ies udv NS du av ds Ou seja 00 00 Rott ias RotF ou sn x dudv onde K éretangulo 0 v 270 u 3 2 Observe também que como Fxyz 4yi 2zj 3xk i j k Io Jc Oucosv Ausinv d10wu7 a Aa ou ou ou du dv Aucosv awsinv 910w2 ov ov ov i j k cosv sinv 2u usinv ucosv 0 2ucosvi2u sinv 7 ucosv sinvk 2w cosvi2u sinvjuk a3x A2z a4y 3x A2z a4y r Rok Joe es ee mee 8 234 oS dz 0z ox ox oy 234 Logo 5 2n 3 i RotF fids 2 34 2u2cosv 2u2 sinv ududv S 0 JO 2n 3 4u cosv 6v sinv 4ududv 0 JO ant 4 3 F18cosv 208 siny 20 dv 0 3 0 2n 4 Fa cos 23 sinv 23 dv 0 2n 36cosv 54sinv 18 dv 0 36sinv 54cosv 18vq 182m 360 Comparando os resultados dos itens a e b concluimos que Far RotF ii Cc S e portanto o Teorema de Stokes foi verificado 3 Questao 2 a Parametrizando a parte do cilindro considerada obtemos x cosu Ouv ysinu Ou2m Ovl Zv Como a normal a superficie dada por as a0 7 Ouov a6 20 du av o fluxo de F xyz xyityzj zxk através da superficie ouv é dado por 00 A 00 ou dv Oo 00 F F OuOv I iids II ouVv a0 a0 Se 4 55 auav oY II du ov ds Ou seja 00 00 Fids F 2 I rids II ouv A x dudy onde K éretangulo0 u2n0vl Observe também que i j k do 6 Acosu Aasinu Av a ov 0 0 0 du dy acosu asinu dv dv ov dv i jk sinu cosu 0 0 0 1 cosuisinuj Fouv sinucoswvsinwvcosu 4 Assim obtemos 1 20 Fiids sinu coswvsinuvcosw cosusinu0 dudv Ss 0 JO 2n rl sinw cosu vsinu dvdu 0 JO 2n y2 1 c sinu cosu sin du 0 2 0 21 2 sinu os2 a du 0 2 2n 20 cin sinucosudu sin oy 0 0 2 Para resolver as integrais no segundo membro da igualdade defina para a primeira delas m cosu 1 2 dm sinudu e para a segunda aplicamos a identidade sin x teeosts Desta forma obtemos 2 2 mm cos u sin w 00s udu nm dm 47 toceR a 6 CER 2 sin u 1 cos2u 1 sin2u du u R 5 du 4 du re 8 CCeE Logo 3 1 sin2u Faas cos u ie sin2u S 3 4 8 0 3 3 cos2m 1 sin227 cos0 1 sin20 P S46 am AEE J eg ee 3 1 gn 8 3 4 8 it 5 b Como F xyz xyi t yzj zxk temos que O 0 0 VF 209 902 Ae ytz4x ox oy dz Logo I divFdV I xtyzdV W W Como o sélido é dado por um cilindro de raio um limitado por z 0 e z 1 é prundente aplicar uma mudanga de coordenadas para coordenadas cilindricas para que os intervalos de integragaéo sejam simplificados Nesta perspectiva a mudana de coordenadas natural é x rcos8 yrsin Orl OO02n Oz 1 ZZ 5 Além disso 0 Jacobiano desta transformagao é conhecido J r Assim obtemos 1 p2n pl I divFdv rcos rsin8 zrdrddz W 0 Jo JO 1 p2n pl r2cos r sin rzdrd0dz 0 Jo JO 1 p2n 73 3 271 F cos0 5 sin 52 dea 1 2m 1 1 1 5 c0s0 5s 52 dOdz Tt 1 17 5 in0 5 e0s 526 dz 1 5Oma 1 zxaz 0 fea 15 ot 5 Comparando os resultados dos itens a e b concluimos que as fff div Ss W e portanto o Teorema da Divergéncia de Gauss foi verificado 6 Questao 3 a Seja a curva C dividida em trés partes suaves C Cz e C3 conforme figura ilustrada a seguir 22 1 2 2 18 16 14 12 1 C3 C2 08 06 04 02 0 0 1 0 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 Dessa forma temos que F dF Goi vy jd xyi ey jar xyi ey jar xyi try jd Cc Cc Ci C2 C3 Uma parametrizacgao de C pode ser obtida por t Cy Or y0 Entio 7t ti t 0 1 Portanto 1 cxey az 0P0ar0 0 C1 0 C2 por sua vez pode ser parametrizada por x 1 o ox Ot2 Ft i4tj t 02 y Portanto 2 2 47 74 xy2y3d7 11 1230dt Bdt F f 4 C 0 0 4 o 4 7 O caminho C3 pode ser representado por x1t 5 C3 Ot1 Ft1ri22rj t 01 y22t Assim obtemos 1 oxeryae 922912 209at 2a C3 0 1 2 4t 2t7dt 1 2r 17 89 241 241 8 2d1 0 1 24t 217dt 8r5 4074 8023 807 401 8 2dr 0 1 161 8014 1601 16227 84t 18dt 0 8 6 5 4 3 2 3 16t 40t 541 421 18 0 8 3 1 161 401 541 421 181 10 5 Dessa forma temos Fea wwitey drt witey art xyi txy dr Cc Ci C2 C3 10 044 3 2 3 b Como F xyixyj entio Pxy xy e Oxy xy Observando a imagem ilustrada no item anterior percebe que a reta y 2x tem C3 com suporte Assim é possivel obter limitantes para a regiao D tais que D Osxsl Oy2x 8 Dessa forma obtemos 0Q OP 0Q OP dxdy dyd Ig x ey Ig yan 1 2x dxy Axy dyd I I dx oy 1 2x 2xy x dydx 0 JO 1 xy4 2x xy dx Lr 1 Qx4 AS x08 dx 0 2 1 8x5 21 dx 0 f 6 3 Jo 4 2 33 2 3 Comparando os resultados dos itens a e b concluimos que 0Q OP Fedf dxd I ILS x nO e portanto o Teorema de Green foi verificado 9