Slide - Aula 12 Tensão de Cisalhamento - Construções 1 2022-2

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE TECNOLOGIA Departamento de Arquitetura e Urbanismo Construções I Prof.ª Ana Arai 1 AULA 12 Capítulo 13 – Tensão de cisalhamento 13.1. Introdução 13.2. Força cortante na face horizontal de um elemento de viga 13.3. Determinação das tensões de cisalhamento em uma viga 13.4. Tensões de cisalhamento em tipos comuns de viga PLANO DE AULA • Tensão de cisalhamento devido à flexão • Exercícios de tensão de cisalhamento 2 Prof.ª Ana Arai 13.1. INTRODUÇÃO Vimos que um carregamento transversal aplicado a uma viga resultará em esforços cortantes e de momento fletor em qualquer seção transversal da viga. As tensões normais são provocadas pelo momento fletor M na seção, e as tensões de cisalhamento, pela força cortante V. A distribuição de tensões normais e de cisalhamento satisfazem: 𝐹𝑥 = න 𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0 𝐹𝑦 = න 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 = −𝑉 𝐹𝑧 = න 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴 = 0 3 Prof.ª Ana Arai 𝑀𝑥 = න 𝑦𝜏𝑥𝑧 − 𝑧𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴 = 0 𝑀𝑦 = න 𝑧 𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 0 𝑀𝑧 = න −𝑦 𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 𝑀 13.1. INTRODUÇÃO Considerando um pequeno elemento de volume localizado no plano vertical de simetria da viga e examinaremos as tensões aplicadas em suas faces. Quando tensões de cisalhamento são exercidas sobre as faces verticais de um elemento, tensões iguais devem ser exercidas sobre as outras faces horizontais. Em qualquer elemento submetido a carregamento transversal, deve existir cisalhamento longitudinal. Apesar do deslizamento não ocorrer quando uma força transversal é aplicada a uma viga de material homogêneo e coesivo (aço), a tendência ao deslizamento existe 4 Prof.ª Ana Arai 13.2. FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM ELEMENTO DE VIGA Considere uma viga prismática AB com um plano vertical de simetria que suporta várias forças concentradas e distribuídas. A uma distância x da extremidade A, separamos da viga um elemento CDC’D’ de comprimento Δx que se estende por sua largura desde a sua superfície superior até um plano horizontal localizado a uma distância y1 da linha neutra. As forças exercidas nesse elemento consistem em forças cortantes verticais V’C e V’D, uma força cortante horizontal ΔH aplicada na face inferior do elemento, forças elementares horizontais normais σC dA e σD dA e, possivelmente, uma força w Δx . 5 Prof.ª Ana Arai 13.2. FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM ELEMENTO DE VIGA Para a equação de equilíbrio: ∑𝐹𝑥 = 0 ∴ ∆𝐻 + න 𝒶 𝜎𝐶 − 𝜎𝐷 𝑑𝐴 = 0 Resolvendo essa equação para ∆𝐻 e usando 𝜎 = 𝑀𝑦/𝐼, temos: ∆𝐻 = 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 𝐼 න 𝒶 𝑦𝑑𝐴 Momento estático: 𝑄 = ׬𝒶 𝑦𝑑𝐴 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 = ∆𝑀 = 𝑑𝑀 𝑑𝑥 ∆𝑥 = 𝑉 ∆𝑥 Substituindo, temos: ∆𝐻 = 𝑉𝑄 𝐼 ∆𝑥 Fluxo de cisalhamento: 𝑞 = ∆𝐻 ∆𝑥 = 𝑉𝑄 𝐼 6 Prof.ª Ana Arai 13.2. FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM ELEMENTO DE VIGA O momento estático Q da parte A seção transversal localizada abaixo da linha y=y1 é igual em intensidade e oposta em sinal ao momento estática da parte A localizada acima da linha. 7 Prof.ª Ana Arai 13.3. DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA VIGA A tensão de cisalhamento média na face horizontal do elemento é obtido dividindo a força de cisalhamento no elemento pela área da face. Nas superfícies superior e inferior da viga, τyx= 0. Segue-se que τyx = 0 nas bordas superior e inferior das seções transversais. Se a largura da viga é relativamente pequena comparável com a altura, as tensões de cisalhamento em D’1 e D’2 variam ligeiramente ao longo da linha, podendo considerar a 𝜏𝑚é𝑑. 8 Prof.ª Ana Arai 𝜏𝑚é𝑑 = ∆𝐻 ∆A = 𝑉𝑄 𝐼 ∆𝑥 𝑡∆𝑥 = 𝑉𝑄 𝐼𝑡 ∆𝐻 = 𝑉𝑄 𝐼 ∆𝑥 𝜏𝑚é𝑑 𝜏𝑚é𝑑 13.4. TENSÕES DE CISALHAMENTO EM TIPOS COMUNS DE VIGA Para uma viga retangular estreita: Para uma viga do tipo I ou W 9 Prof.ª Ana Arai 𝜏𝑥𝑦 = 𝑉𝑄 𝐼𝑏 = 3 4 𝑐2 − 𝑦2 𝑏𝑐3 𝑉 = 3 2 𝑉 𝐴 1 − 𝑦2 𝑐2 𝑄 = 𝐴′ത𝑦 = 𝑏 𝑐 − 𝑦 𝑐 + 𝑦 2 = 1 2 𝑏 𝑐2 − 𝑦2 𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 𝑉 𝐴 𝜏𝑚é𝑑 = 𝑉𝑄 𝐼𝑡 𝜏𝑚á𝑥 = 𝑉 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 EXERCÍCIO 1 Para a viga engastada e livre de seção I, mostrada na figura, traçar o diagrama de tensão de cisalhamento para a seção mais solicitada. 10 Prof.ª Ana Arai 150 kN Dimensões em mm REFERÊNCIAS • BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., DEWOLF, J. T., MAZUREK, D. F. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013. 11 Prof.ª Ana Arai