Slide - Aula 8 Análise e Projetos de Vigas em Flexão - Construções 1 2022-2

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE TECNOLOGIA Departamento de Arquitetura e Urbanismo Construções I Prof.ª Ana Arai 1 AULA 8 Capítulo 12 – Análise e projetos de vigas em flexão 12.1. Introdução 12.2. Diagramas de esforços 12.3. Relação entre carregamento, esforço cortante e momento fletor 12.4. Dicas para traçado de diagramas de esforços 12.1. INTRODUÇÃO No projeto de vigas, os elementos estruturais suportam forças aplicadas em vários pontos ao longo do elemento. 2 Prof.ª Ana Arai <metalica.com.br/vantagens-da-construcao-em-aco-a-maior-resistencia-do-aco-conduz-a-melhoria- das-condicoes-para-vencer-grandes-vaos-com-menores-dimensoes-das-pecas-e-menores-pesos-2/> 12.1. INTRODUÇÃO O carregamento transversal provoca flexão e cisalhamento na viga. Já as forças inclinadas em relação ao eixo da viga podem produzir forças axiais. O carregamento transversal de uma viga pode ser composto de forças concentradas P1, P2, ... , expressas em newtons ou seus múltiplos, de uma força distribuída q, expressa em N/m ou kN/m. Quando a força q por unidade de comprimento tem um valor constante sobre parte da viga, dizemos que a força está uniformemente distribuída sobre esse trecho. 3 Prof.ª Ana Arai (BEER, 2013) (a) Forças concentradas (b) Forças distribuídas q 12.1. INTRODUÇÃO Tipos de apoios 4 Prof.ª Ana Arai TIPO REPRESENTAÇÃO REAÇÕES DE APOIO Apoio simples Apoio fixo Engaste V H V H V M 12.1. INTRODUÇÃO As vigas são classificadas de acordo com a maneira como são vinculadas ou apoiadas. Note que as reações nos apoios das vigas (a,b e c) envolvem apenas 3 incógnitas e podem ser determinadas pelos métodos da estática, são chamadas de vigas estaticamente determinadas e serão estudadas neste capítulo. 5 Prof.ª Ana Arai (BEER, 2013) 12.1. INTRODUÇÃO 6 Prof.ª Ana Arai <c2iengenharia.com.br/saiba-tudo-sobre-estruturas- pre-moldadas-de-concreto/> <www.meiacolher.com/2017/03/calcular-viga-em- balanco-passo-passo-de.html> 12.2. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Para determinarmos os esforços internos em uma seção do elemento, desenhamos o diagrama de corpo livre (DCL) da viga inteira para obter as reações de apoio. 7 Prof.ª Ana Arai Diagrama de corpo livre (DCL) Equações de equilíbrio ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (BEER, 2013) (BEER, 2013) q x y q 12.2. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Os diagramas de esforços axiais, cortantes e momento fletor serão obtidos por meio da determinação dos valores de N, V e M em pontos selecionados da viga. Corta-se a viga no ponto onde serão determinados os esforços e considera-se o equilíbrio da parte da viga localizada em cada lado da seção. 8 Prof.ª Ana Arai Adaptado de BEER (2013) P2 P2 Ax x y N N’ M’ M Ay By q q 12.2. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Convenção de sinais 9 Prof.ª Ana Arai Adaptado de BEER (2013) Efeitos de forças externas (força normal positiva) (+) Tração e (–) Compressão Efeitos de forças externas (força cortante positiva) Adaptado de BEER (2013) Efeitos de forças externas (momento fletor positivo) (+) Traciona fibra inferior P2 P2 Ax x y N N’ M’ M Ay By q q N N’ Esforços internos (convenções positivas) 12.3. RELAÇÃO ENTRE CARREGAMENTO, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR Para a construção do diagrama de esforço cortante e do diagrama de momento fletor também podem ser consideradas as relações existentes entre carregamento, esforço cortante e momento fletor. Considerando uma viga AB simplesmente apoiada que está submetida a uma força distribuída q por unidade de comprimento, e sejam C e C’ dois pontos da viga a uma distância dx um do outro. 10 Prof.ª Ana Arai q dx q q dx dx V + dV M + dM dx 12.3. RELAÇÃO ENTRE CARREGAMENTO, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR Relação entre carregamento e esforço cortante Equação de equilíbrio: Σ𝐹𝑦 = 0 ∴ 𝑉 − 𝑉 + 𝑑𝑉 − 𝑞 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑉 = −𝑞 𝑑𝑥 Conclusão: Se q(x) é constante, V(x) é linear. Obs.: As equações foram estabelecidas considerando-se a carga q positiva no sentido de cima para baixo. 11 Prof.ª Ana Arai q q dx dx V + dV M + dM dx 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = −𝑞 12.3. RELAÇÃO ENTRE CARREGAMENTO, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR Relação entre carregamento e esforço cortante Para uma viga carregada conforme mostra a figura, a inclinação dV/dx da força cortante é negativa. Integrando entre os pontos C e D, escrevemos: Deve-se observar que essa relação não é válida em um ponto onde é aplicada uma força concentrada, o diagrama de esforço cortante é descontínuo nesse ponto. 12 Prof.ª Ana Arai 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = −𝑞 q dx 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = − න 𝑥𝐶 𝑥𝐷 𝑞 𝑑𝑥 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = − (área sob a curva da força distribuída entre C e D) 12.3. RELAÇÃO ENTRE CARREGAMENTO, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR Relação entre esforço cortante e momento fletor Equação de equilíbrio: Σ𝑀𝐶′ = 0 ∴ 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑀 − 𝑉𝑑𝑥 + 𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 = 0 𝑑𝑀 = 𝑉 𝑑𝑥 − 1 2 𝑞 𝑑𝑥2 Conclusão: Se V(x) é nulo, M(x) é máximo ou mínimo. Se q(x) é constante, M(x) é parabólico. Obs.: As equações foram estabelecidas considerando-se a carga q positiva no sentido de cima para baixo. 13 Prof.ª Ana Arai q q dx dx V + dV M + dM dx 𝑑𝑀 𝑑𝑥 = 𝑉 12.3. RELAÇÃO ENTRE CARREGAMENTO, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR Relação entre esforço cortante e momento fletor Para uma viga carregada conforme mostra a figura, a inclinação dM/dx da curva do momento fletor é igual ao valor do cortante. Isso é verdade em qualquer ponto que não seja aplicada uma força concentrada. Integrando entre os pontos C e D, escrevemos: 14 Prof.ª Ana Arai 𝑑𝑀 𝑑𝑥 = 𝑉 q dx 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 = − න 𝑥𝐶 𝑥𝐷 𝑉 𝑑𝑥 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 = (área sob a curva da força cortante entre C e D) q EXEMPLO 12.3 Trace os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga simplesmente apoiada e determine o valor máximo do momento fletor. Esforço cortante O diagrama de esforço cortante é, portanto, uma linha reta inclinada que cruza o eixo x no ponto x=L/2. Momento fletor MA=0 A curva do momento fletor é uma parábola. 15 Prof.ª Ana Arai q 𝑅𝐴 = 𝑞𝐿 2 𝑅𝐵 = 𝑞𝐿 2 Reações de apoio 𝑉(𝑥) − 𝑉𝐴 = − න 0 𝑥 𝑞 𝑑𝑥 = −𝑞𝑥 𝑉(𝑥) = 𝑉𝐴 − 𝑞𝑥 = 𝑞𝐿 2 − 𝑞𝑥 = 𝑞 𝐿 2 − 𝑥 𝑀(𝑥) − 𝑀𝐴 = න 0 𝑥 𝑉 𝑑𝑥 𝑀(𝑥) = න 0 𝑥 𝑞 𝐿 2 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑞 2 𝐿𝑥 − 𝑥2 𝑞𝐿2 8 12.3. RELAÇÃO ENTRE FORÇA, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR O valor máximo do momento fletor ocorre quando x = L/2, pois V é zero para esse valor de x. Substituindo x = L/2 na equação de M (x), obtemos Mmáx = qL²/8. Conclusões: • Se a carga distribuída é constante, o trecho do D.E.C é linear • Se a carga distribuída é constante, o trecho do D.M.F. é parabólico • Se o cortante é nulo, o momento é máximo ou mínimo 16 Prof.ª Ana Arai D.E.C. Adaptado de BEER (2013) D.M.F. Mmáx Área = Mmáx 1 2 𝑞𝐿 − 1 2 𝑞𝐿 − 1 2 𝑞𝐿 12.4. DICAS PARA TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Roteiro para traçado de diagramas 1) Cálculo das reações de apoio a partir das equações da Estática; 2) Determinação dos esforços seccionais em todos os pontos de aplicação ou transição de carga. Observações: a) Os valores dos esforços seccionais serão marcados em escala, em retas perpendiculares ao eixo da peça, nos pontos onde estão atuando; b) Valores positivos de esforço normal e esforço cortante serão marcados para cima nas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas); 17 Prof.ª Ana Arai 12.4. DICAS PARA TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Roteiro para traçado de diagramas Observações: c) Valores positivos de momento fletor serão marcados para baixo nas barras horizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas); d) Sob a ação de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforço cortante uma descontinuidade de intensidade igual ao da carga atuante; 18 Prof.ª Ana Arai 12.4. DICAS PARA TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Roteiro para traçado de diagramas Observações: e) Sob a ação de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta uma descontinuidade de intensidade igual ao da carga momento; f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha paralela em relação ao eixo da peça; 19 Prof.ª Ana Arai REFERÊNCIAS • BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., DEWOLF, J. T., MAZUREK, D. F. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013. 20 Prof.ª Ana Arai