Questão - Concavidade e Máximos e Mínimos - 2023-2

3. (3,0 pontos) Considere a função f(x) = x^2e^{-x} definida para todo x real. (a) Encontre os intervalos onde f é crescente, onde é decrescente e calcule os pontos críticos. (b) Determine os pontos de máximo e de mínimo locais de f(x). (c) Estude a concavidade do gráfico de f(x) e determine os pontos de inflexão. f(x) = x^2e^{-x} (a) f'(x) = (x^2)' e^{-x} + x^2 (e^{-x})' f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = (2x-x^2) e^{-x} Pontos críticos f'(x) = 0 (2x-x^2)e^{-x}=0, e^{-x} \neq 0 2x-x^2=0 x(2-x)=0 x=0 x=2 Estudo do sinal de f'(x) f é crescente em (0,2) f é decrescente em (-\infty,0) e (2,+\infty) (b) Em x=0, f'(x) muda de - para +, então há um mínimo em x=0 Em x=2, f'(x) muda de + para -, então há máximo em x=2 c) f''(x)=(2x-x^2)' e^{-x} + (2x-x^2)(e^{-x})' f''(x)=(2-2x)e^{-x} - (2x-x^2)e^{-x} f''(x)=(2-4x+x^2)e^{-x} Estudo do sinal de f''(x) f(x) concava para cima em (-\infty,2-\sqrt{2}) e (2+\sqrt{2},+\infty) f(x) concava para baixo em (2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}) f''(x)>0 para cima f''(x)<0 para baixo Há pontos de inflexão em x=2-\sqrt{2} e x=2+\sqrt{2}.