P2 - Álgebra 3 2021-2

e-A = ℤ x ℤ e l= 3ℤ x 4ℤ f-A = ℤ x ℤ e l= 3ℤ x ℤ QUESTÃO 4 Questão 6: Sabe-se que ℤ x ℤ munido das operações de adição e multiplicação definidas por: (a, b)⊕(c, d) = (a + c, b + d) (a, b)⊗(c, d) = (ac - bd, ad + bc) é um anel.. Mostre que a aplicação f : ℤ → ℤ x ℤ é um homomorfismo de anéis onde f(x)=(x,0). d. F(x) = x^3 + 6x^2 + 5x + 25 QUESTÃO 2 A e D Questão 4: Prove que os seguintes polinômios são irredutíveis sobre Q justificando suas afirmações? a- F(x) = x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 2 QUESTÃO 5 Questão 15: Mostre que f: Q(√2) → M₂(ℝ) dado por: f(a + b√2) = (a 2b) (b a) é um homomorfismo de anéis. P₂ - Álgebra 3 01.c) J = {f(x) ∈ Q[x] : f(√3) = 0} • (J, +) é subgrupo de (Q[x], +) pois f(x) = 0 ∈ J (elem. neutro), e f,g ∈ J → f(√3) = 0 e g(√3) = 0, logo f + g ∈ J, por fim, se f ∈ J, então -f(√3) = 0, logo -f ∈ J. • ∀f ∈ Q[x] e g ∈ J, f·g (√3) = f(√3)·g(√3) = f(√3)·0 = 0, logo f·g ∈ J Portanto, J é ideal de Q[x]. É fácil ver que J = (x² - 3)·Q[x], pois x² - 3 é o polinômio minimal de √3 em Q[x] 05. \(f : \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow M_2(\mathbb{R})\) \(a + b\sqrt{2} \mapsto \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix}\) - \(f((a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2})) = f((a+c) + (b+d)\sqrt{2})\) \(= \begin{pmatrix} a+c & 2(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & 2d \\ d & c \end{pmatrix}\) \(= f(a+b\sqrt{2}) + f(c+d\sqrt{2})\) - \(f(a+b\sqrt{2}) \cdot f(c+d\sqrt{2}) = \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & 2d \\ d & c \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} 2bd+ac & 2(ad+bc) \\ ad+bc & 2bd+ac \end{pmatrix}\) \(= f((2bd+ac) + (ad+bc)\sqrt{2})\) \(= f((a + b\sqrt{2}) \cdot (c + d\sqrt{2}))\) \((a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + 2bd\) \(= (2bd+ac) + (ad+bc)\sqrt{2}\) Portanto, \(f\) é homomorfismo de anéis