P2 - Álgebra 3 2021 2

QUESTÃO 5 Questão 15: Mostre que f: Q(√2) → M₂(ℝ) dado por: f(a + b√2) = (a 2b) (b a) é um homomorfismo de anéis. P₂ - Álgebra 3 01.c) 𝒥 = {f(x) ∈ Q[x] : f(√3) = 0} • (𝒥 , +) é subgrupo de (Q[x], +) pois f(x) = 0 ∈ 𝒥 (elem. neutro) e f,g ∈ 𝒥 , f + g (√3) = f(√3) + g(√3) = 0, logo f + g ∈ 𝒥 por fim, se f ∈ 𝒥 , então -f(√3) = 0, logo -f ∈ 𝒥 . • ∀ f ∈ Q[x] e g ∈ 𝒥 , f·g (√3) = f[√3]·g(√3) = f(√3)·0 = 0, logo f·g ∈ 𝒥 Portanto, 𝒥 é ideal de Q[x]. É fácil ver que 𝒥 = (x² - 3)·Q[x] , pois x² - 3 é o polinômio minimal de √3 em Q[x] c - \{f(x) \in \mathbb{Q}[x] \ / \ f(\sqrt{3}) = 0\}. QUESTÃO 2 AeD Questão 4: Prove que os seguintes polinômios são irredutíveis sobre \( \mathbb{Q} \) justificando suas afirmações? a-\( F(x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 \) dF(x) = x^3 + 6x^2 + 5x + 25 QUESTÃO 3 E e F Questão 1: Dados os anéis e seus respectivos ideais verifique se cada um dos ideias são maximais. Use o fato de que se a é um anel comutativo com unidade, então A/I é um corpo se e somente I é um ideal maximal em A A/I onde: 02. \(\mathbb{2}\) Escrevendo \( F(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \) \text{Tome} \ p = 2, \ \ \text{temos que} \ p \ \text{divide} \ a_3, a_1, a_2 \ \text{e} \ a_3 \ \ \text{(todos 2)} \text{p não divide} \ a_4 \ \text{e} \ p^2 = 4 \ \text{não divide} \ a_0. \ \text{Logo, pelo critério de Eisenstein,} \ F(x) \ \text{é irredutível sobre} \ \mathbb{Q}. 03. \ Seja \( \varphi : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n, \varphi \) \ \text{é claramente homomorfismo e} \( (x,y) \longmapsto ([x]_m,[y]_n)_m \) \ \ \text{(aqui} \ [a]_k \ \text{é a classe de} \ a \ \text{em} \ \mathbb{Z}_k) \ \text{é claramente sobrejetor.} \text{Ker} \ \varphi = \{ (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : \varphi(x,y) = ([0]_m,[0]_n) \} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \{ (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x \equiv 0 (\text{mod} \ m) \ \text{e} \ y \equiv 0 (\text{mod} \ n) \} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = m \mathbb{Z} \times n \mathbb{Z} : x = m \cdot q \ \text{e} \ y = n \cdot p \} \text{Assim, pelo Teo. dos Isomorfismos} \frac{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}}{m \mathbb{Z} \times n \mathbb{Z}} \approx \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(*)} \text{e)} \text{Se } I = 3\mathbb{Z} \times 4\mathbb{Z}, \text{temos, por \ (*)} , \text{que} \ A/I \approx \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4 , \ \text{que não é corpo, pois} \ \{ [0]_3,[1]_4 \} \text{não tem inverso multiplicativo, logo} \ A/I \ \text{não é corpo.} \ \ \text{Portanto,} \ I \ \text{não é ideal maximal.} \text{f)} \text{Se} \ I = 3\mathbb{Z} \times 2, \text{temos, por \ (*)} ,\ \ \text{que} \ A/I \approx \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \approx \mathbb{Z}_3 \times \{e\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \approx \mathbb{Z}_3 \\ \text{Como} \ \mathbb{Z}_3 \ \text{é corpo, pois} \ 3 \ \text{é primo,} \ A/I \ \text{também é corpo.} \\ \text{Portanto,} \ I \ \text{é ideal maximal.} \blacksquare 04. \( f: \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) x \longmapsto (x, 0) \bullet \ f(x+y) = (x+y, 0) = (x,0) \oplus (y,0) = f(x) \oplus f(y) \bullet \ f(x) \otimes f(y) = (x,0) \otimes (y,0) = (x \cdot y - 0 \cdot 0, x \cdot 0 + 0 \cdot y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x \cdot y, 0) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = f(x \cdot y) Portanto, \ f \ \text{é homomorfismo de anéis} \blacksquare 05. f : \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow M_2(\mathbb{R}) a + b\sqrt{2} \mapsto \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix} \cdot \ f((a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2})) = f((a+c) + (b+d)\sqrt{2}) = \begin{pmatrix} a+c & 2(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & 2d \\ d & c \end{pmatrix} = f(a+b\sqrt{2}) + f(c+d\sqrt{2}) \cdot \ f(a+b\sqrt{2}) \cdot f(c+d\sqrt{2}) = \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & 2d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2bd+ac & 2(ad+bc) \\ ad+bc & 2bd+ac \end{pmatrix} = f((2bd+ac) + (ad+bc)\sqrt{2}) = f((a+b\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2})) \ (a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = ac + ad\sqrt{2} + b c\sqrt{2} + 2bd = (2bd+ac) + (ad+bc)\sqrt{2} \ \text{Portanto, } f \ \text{é homomorfismo de anéis}