Exercícios de Integração por Partes e Substituição

Exercidos 81 Integração por partes Capítulo 8 Técnicas de integração 447 Combinamos os produtos das funções ligadas por setas de acordo com os sinais de operação indicados e obtemos J x2ex dx x2ex 2xex 2ex e Compare esse resultado com o do Exemplo 3 EXEMPLO 8 Calcule J x3senx dx Solução Com fx x3 e gx sen x relacionamos f x e suas derivadas gx e suas integrais x3 senx 3x2 cos X 6x senx 6 COS X o senx Novamente combinamos os produtos das funções ligadas por setas de acordo com os sinais de operação indicados e obtemos J x3senxdx x3cosx 3x2senx 6xcosx 6senx C Os exercícios adicionais ao final deste capítulo mostram como a integração tabular pode ser usada quando nem a função f nem a função g podem ser derivadas repetidamente até se tornar zero 15 20 Calcule as integrais nos Exercícios 124 usando integração por partes j x3ex dx j t2e41 dt j xsen dx j xe3x dx 16 j p 4ep dp 21 j e0 sen li dli 1 8 j x2 5xex dx j e7 cosydy J li cos 1Tli dli j x 2 e xdx 17 22 2 9 j r2 r 1 e dr j elx cos 3x dx J t 2 cos t dt j x2 2x 1 e2x dx 18 23 3 10 j x 5ex dx 24 j e 2 sen 2x dx 19 j x 2senxdx 11 tg 1 y dy 4 Uso da substituição 1 2 x ln x dx 5 12 j sen 1 y dy Calcule as integrais nos Exercícios 2530 usando uma substituição antes da integração por partes 6 1 x 3 ln x dx 13 j xsec2 xdx 25 j e V3s9 ds 261 1 xdx j 4x sec2 2x dx 7 j xexdx 14 448 Cálculo i w3 j sen ln x dx 27 X ti X dx 29 28 j ln x x 2 dx 30 j zlnz2 dz Cálculo de integrais Calcule as integrais nos Exercícios 3150 Algumas integrais não re querem integração por partes 31 j x sec x2 dx 32 cos Vx dx Vx 33 j x lnx2 dx 34 j 1 2 dx X ln X 35 J dx J ln x3 36 X dx 37 j x3 ex dx 38 j x5 e dx 39 j x3 WI dx 40 j x2 sen x3 dx Teoria e exemplos 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 j sen 3x cos 2x dx j sen 2x cos 4x dx j exsenex dx J eVx Vx dx f cos Yx dx J VxeVX dx 1Tf2 l O 82 sen 28 d8 1Tf2 lo x3 cos 2x dx f 2 t sec 1 t dt l 2JV3 lfV2 lo 2x sen 1 x2 dx 51 Determinação de área Determine a área da região delimita da pela curva y x sen x e pelo eixo das abscissas veja a figura a seguir para a Ü X TT b 1T X 21T C 27T X 31T d Que padrão pode ser reconhecido aqui Qual é a área entre a curva e o eixo das abscissas para nTT x n lTT sendo n um inteiro arbitrário não negativo Justifique sua resposta 10 5 o 5 y y x sen x 52 Determinação de área Determine a área da região delimita da pela curva y x cos x e pelo eixo das abscissas veja a figura a seguir para a TT2 X 31T2 b 37T2 X 51T2 C 51T2 X 77T2 53 54 55 d Que padrão pode ser reconhecido aqui Qual é a área entre a curva e o eixo das abscissas para 2n 1 2n 1 2 1T X 2 TT sendo num inteiro positivo arbitrário Justifique sua resposta y 10 o 10 y X COSX 77T 2 Determinação de volume Detennine o volmne do sólido ge rado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados pela curva y ex e pela reta x ln 2 em torno da reta x ln 2 Determinação de volume Detennine o volu1ne do sólido ge rado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados pela curva y ex e pela reta x 1 a em torno do eixo das ordenadas b em torno da reta x l Determinação de volume Detennine o volume do sólido ge rado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y cos x O x TTl2 em torno a do eixo das ordenadas b da reta TT2 56 Determinação de volume Determine o volume do sólido ge rado pela rotação da região delimitada pelo eixo das abscissas e pela curva y x sen x O x 1T em torno a do eixo das ordenadas b da reta x TT Veja o gráfico do Exercício 51 57 Considere a região delimitada pelos gráficos de y ln x y Oex e a Determine a área da região b Detennine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas e Determine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno da reta x 2 d Detennine o centroide da região 58 Considere a região delimitada pelos gráficos de y tg I x y Oex 1 a Determine a área da região b Detennine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das ordenadas 59 Valor médio Uma força de retardamento simbolizada pelo amortecedor na figura a seguir freia o movimento da massa presa à mola de modo que a posição da massa no instante t é y 2e1 cos t t O