O uso de software e seu impacto na resolução de exercícios de geometria

Universidade Federal de Goias Regional de Jataı Programa de Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional O uso de software e seu impacto no tipo de resolucao de exercıcios de geometria Helber dos Santos Ferreira JataıGO 2018 TERMOS DE CIÊNCIA E DE AUTORIZAÇÃO PARA DISPONIBILIZAR VERSÕES ELETRÔNICAS DE TESES E DISSERTAÇÕES NA BIBLIOTECA DIGITAL DA UFG O uso de software e seu impacto no tipo de resolucao de exercıcios de geometria Trabalho de Conclusao de Curso apre sentado a Unidade Acadˆemica Especial de Ciˆencias Exatas da Universidade Fe deral de Goias como parte dos requisitos para obtencao do grau de Mestre Profis sional em Matematica Area de Concen tracao Mestrado Profissional em Ma tematica Universidade Federal de Goias UFG Unidade Acadˆemica Especial de Ciˆencias Exatas e Tecnologicas Programa de Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional Orientador Prof Dr Esdras Teixeira Costa JataıGO 2018 Universidade Federal de GoiásUFG REGIONAL JATAÍ Mestrado profissional em Matemática em Rede Nacional PROFMATUFG Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor através do Programa de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG CDU 51 Ferreira Helber dos Santos O uso de software e seu impacto no tipo de resolução de exercícios de geometria manuscrito Helber dos Santos Ferreira 2018 LXVI 66 f il Orientador Prof Dr Dr Esdras Teixeira Costa Costa Dissertação Mestrado Universidade Federal de Goiás Unidade Acadêmica Especial de Ciências Exatas e Tecnológicas Jataí 2018 Bibliografia Inclui fotografias lista de figuras 1 Geometria 2 Geogebra 3 Realidade aumentada I Costa Dr Esdras Teixeira Costa orient II Título Capítulo 1 A visualização de elementos geométricos Este trabalho e dedicado a minha famılia Agradecimentos Agradeco em primeiro lugar a Deus por toda inteligˆencia e sabedoria concedida para escrita deste trabalho e para conclusao deste curso de mestrado profissional A Ele toda honra e toda a gloria Agradeco tambem a minha famılia Ao meu pai Helio que me ajudou e incentivou durante todo o tempo do mestrado sem ele nao seria possıvel A minha mae Silvia Helena que sempre esteve cuidando de mim todos esses dias difıceis a quem eu nunca vou desamparar A meus irmaos Helder e Herica que estiveram comigo e me apoiaram Ao meu sobrinho Heitor Henrique ao qual eu vi nascer durante esse tempo em que estive no Mestrado A todos eles o meu muito obrigado Agradeco a cada professor que ministrou aulas para minha turma Wender Gecirlei Adriana Cintra Adriana Molina Flavio Claudinei e em especial ao professor Esdras que me incentivou e me ajudou com todo o suporte para que todo o esforco que foi feito nao fosse em vao sem essa ajuda nao seria possıvel concluir o Mestrado Agradeco aos meus colegas de turma que foram perseverantes e me ajudaram Em especial ao meu amigo Calebe pelos tipos raros de tardes de estudos por telefone Tambem ao meu companheiro de viagem Ronaldo que tambem foi de grande importˆancia para mim em toda essa trajetoria A vocˆes o meu muito obrigado Ainda agradeco meus amigos e colegas de longas datas Agradeco ao meu irmao Heides que esteve sempre comigo nos momentos da graduacao Agradeco tambem ao meu amigo Paulao companheiro de jornada Porque Deus tanto amou o mundo que deu o seu Filho Unigˆenito para que todo o que nele crer nao pereca mas tenha a vida eterna Joao 316 RESUMO Este Trabalho de Conclusao de Curso tem como tema a melhoria da compreensao e resolucao de exercıcios que apresentam difıcil visualizacao de certas figuras quando vistas bidimensionalmente impressas em uma folha de um livro ou desenhadas em uma folha de papel ou ainda no quadro pelo professor O objetivo e fornecer subsıdios para a realizacao de atividades em sala de aula que usem o Geogebra e realidade aumentada para ajudar na visualizacao de elementos tridimensionais geometricos Para tanto realizouse a construcao de modelos geometricos tridimensionais utilizando o software Geogebra tomando como base exercıcios cuidadosamente selecionados para demonstrar a diferenca no grau de dificuldade entre uma solucao dedutiva abstrata e uma solucao geometrica visual Concluise por meio deste trabalho que a realidade aumentada tem papel importante como facilitadora do processo de ensinoaprendizagem tanto para permitir o uso de exercıcios de nıvel superior no nıvel medio quanto para facilitar a visualizacao da resolucao para alunos com dificuldades de abstracao Considerando o desenvolvimento dos softwares de realidade aumentada podese inferir tambem que ha um prospecto positivo para uma maior aplicabilidade dessa tecnologia no futuro Palavraschave Geogebra Geometria Realidade aumentada ABSTRACT This masters dissertation aims to improve understanding and resolution of exercises that present difficult to visualize certain figures when viewed twodimensional printed on a sheet of a book or drawn on a sheet of paper or still on the board by the teacher The objective is to provide performing classroom activities that use Geogebra and augmented reality to help in visualizing threedimensional geometric elements In order to do so the construction of threedimensional geometric models was carried out using Geogebra software based on carefully selected exercises to demonstrate the difference in the degree of difficulty between an abstract deductive solution and a geometric visual solution It is concluded through this work that augmented reality has an important role as facilitator of the teachinglearning process both to allow the use of higher level exercises at the middle level and to facilitate the visualization of the resolution for students with difficulties of abstraction Considering the development of augmented reality software it can also be inferred that there is a positive prospect for a greater applicability of this technology in the future KeyWords Geogebra Geometry Augmented Reality Lista de ilustracoes Figura 1 Poliedros de Platao 18 Figura 2 Exercıcio 2 da unidade 11 20 Figura 3 Exercıcio 1 da unidade 122 21 Figura 4 Exercıcio 9 da unidade 13 21 Figura 5 Interface Janela 3D Geogebra 28 Figura 6 Modelo Sistema Solar Geogebra 29 Figura 7 Angry Birds L2 Geogebra 30 Figura 8 Primeiro Passo 32 Figura 9 Segundo Passo 32 Figura 10 Terceiro Passo 33 Figura 11 Poliedros de Platao Planificacao 34 Figura 12 Poliedros de Platao Geogebra 3D 37 Figura 13 Plano passando pelo paralelepıpedo 40 Figura 14 Solucao do exercıcio em realidade aumentada 41 Figura 15 Posicionamento dos planos 42 Figura 16 Reta formada pela interseccao dos dois planos em realidade aumentada 42 Figura 17 Plano que passa pelo ponto e a respectiva reta 43 Figura 18 Resolucao do exercıcio em realidade aumentada 44 Figura 19 Posicionamento das retas sob vistas diferentes em realidade aumentada 45 Figura 20 Construcao da seccao no Tetraedro 46 Figura 21 Seccao no Tetraedro sob vistas diferentes em realidade virtual 46 Figura 22 Seccao no Tetraedro sob vistas diferentes em realidade aumentada 47 Figura 23 Poliedro solucao do exercıcio sob vistas diferentes 48 Figura 24 Poliedro solucao do exercıcio sob vistas diferentes em realidade aumentada 49 Figura 25 Construcao do cubo 50 Figura 26 Construcao dos Tetraedros 52 Figura 27 Altura do Triˆangulo Equilatero 52 Figura 28 Circunferˆencia inscrita e circunscrita no Triˆangulo Equilatero 54 Figura 29 Altura do Tetraedro 55 Figura 30 Volume retirado do Cubo 56 Figura 31 Montagem do poliedro P com as faces triangulares 58 Figura 32 Montagem do poliedro P sob duas visoes diferentes 59 Figura 33 Poliedro P 59 Figura 34 Poliedro P visto com realidade aumentada 60 Figura 35 Prisma de base triˆangular com as seccoes 61 Figura 36 Prisma seccionado em trˆes pirˆamides de mesmo volume 61 Figura 37 Prisma seccionado em trˆes pirˆamides de mesmo volume em realidade au mentada 62 Sumario Introducao 14 1 A VISUALIZAC AO DE ELEMENTOS GEOMETRICOS 17 11 Os Poliedros de Platao 17 12 Sobre os exercıcios escolhidos 20 121 Criterios de Escolha 20 122 Exercıcios Escolhidos 22 2 O USO DO GEOGEBRA E AS POSSIBILIDADES DE VISUALIZAC AO DE ELEMENTOS GEOMETRICOS 25 21 Apresentando as ferramentas do sistema 26 211 Interface grafica 28 22 Exemplos de aplicacoes do Geogebra 29 23 Solucao Geometrica Utilizando o Geogebra 30 24 Os poliedros de Platao no Geogebra 33 25 Realidade aumentada 34 251 Geogebra 3D 36 3 SOLUC OES PARA OS PROBLEMAS DE GEOMETRIA COM USO DE SOFTWARE 39 31 Qual a secao determinada em um paralelepıpedo ABCDEFGH pelo plano ABG 39 32 Duas retas r e s sao concorrentes em um ponto O Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer Qual e a intersecao do plano definido por r e P com o plano definido por s e P 41 33 Sejam r e s duas retas reversas A um ponto em r e B um ponto em s Qual e a intersecao do plano definido por r e B com o plano definido por s e A 43 34 Sejam r e s duas retas reversas Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s Qual e a posicao relativa das retas AC e BD 44 35 Qual e a secao determinada em um tetraedro regular ABCD por um plano paralelo as arestas AB e CD e passando pelo ponto medio da aresta AC 45 36 Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vertices so possui faces tri angulares e quadrangulares Determine os numeros de faces de cada gˆenero 47 37 Um cubo de aresta a e seccionado por oito planos Cada plano contem os pontos medios das trˆes arestas que concorrem em um vertice Retirandose os tetraedros formados obtemos um poliedro P Des creva as faces e calcule o volume de P 49 38 Outros exemplos 60 4 CONCLUSAO 63 REFERˆENCIAS 66 Introducao O programa de mestrado stricto sensu PROFMAT e um Mestrado Profissional em Ma tematica em Rede Nacional semipresencial que atende Instituicoes de Ensino Superior que sao associadas ao Sistema de Universidade Aberta do Brasil UAB e e coordenado pela Dire toria da Sociedade Brasileira de Matematica SBM com apoio do Instituto de Matematica Pura e Aplicada IMPA e tem como objetivo principal atender professores em exercıcio na rede de Educacao Basica especialmente de escolas publicas proporcionando formacao matematica mais profunda O programa conta com quatro disciplinas obrigatorias dentre elas a Disciplina MA 13 Ge ometria que e vista no segundo semestre do curso Essa disciplina vem despertando curi osidade para a pesquisa devido a difıcil visualizacao de certas figuras de alguns exercıcios quando vistas impressas em uma folha do livro ou desenhadas em uma folha de papel ou no quadro pelo professor em 2 dimensoes Nesse sentido a Visualizacao Geometrica tem fundamental importˆancia na compreensao e resolucao dos exercıcios Segundo 15 a visualizacao Geometrica vem sendo bastante explorada por varios auto res como tema de pesquisa em Educacao Matematica de diversas formas associados aos diferentes nıveis de escolaridade Podese definir visualizacao segundo 6 apud 15 como sendo um processo de for mar imagens mentais com a finalidade de construir e comunicar determinado conceito ma tematico com vistas a auxiliar na resolucao de problemas analıticos ou geometricos p 111 Dada a importˆancia da visualizacao Geometrica saber compreendˆela e essencial para mostrar que os conceitos e teorias vistos em aulas sejam realmente compreendidos e assimi lados prontos para serem utilizados na resolucao de exercıcios Alguns exercıcios vistos na disciplina de Geometria MA13 tem visualizacao complexa e de difıcil compreensao caso nao se utilize ferramentas auxiliares em sua resolucao por exemplo os seguintes exercıcios do Livro 8 utilizado na disciplina supracitada O exercıcio 5 da Unidade 23 Um cubo de aresta a e seccionado por oito planos Cada plano contem os pontos medios das trˆes arestas que concorrem em um vertice Retirandose os tetraedros formados obtenha um poliedro P O exercıcio 5 da Unidade 15 Duas retas r e s sao concorrentes em um ponto O Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer Qual e a intersecao do plano definido por r e P com o plano definido por s e P O exercıcio 8 da Unidade 19 Qual e a secao determinada em um tetraedro regular ABCD por um plano paralelo as arestas AB e CD e passando pelo ponto medio da aresta AC Saber o que esta acontecendo por tras das ideias de cada um desses exercıcios e ainda conseguir imaginar tais figuras de maneira tridimensional e uma tarefa trabalhosa uma vez que em alguns destes exercıcios nao e possıvel observar a esquematica satisfatoriamente em duas dimensoes como por exemplo em uma folha de papel Procurar uma forma de facilitar a visualizacao e o entendimento das figuras de tais exercıcios usando ferramentas de tecnologia foi o que motivou a elaboracao deste trabalho por acreditar que atraves destas ferramentas e possıvel trazer para a aula algo que nao e possıvel apenas com desenhos em papel De acordo com 11 ha uma sistematica carˆencia de utilizacao de laboratorios de in formatica por parte dos alunos nas escolas ou ate mesmo sequer a existˆencia dos labo ratorios de tal forma que o uso de smartphones tornase uma opcao cada vez mais propıcia para sanar a escassez de recursos tecnologicos uma vez que esses smartphones estao cada vez mais permeados de recursos avancados e acessıveis aos alunos Cabe portanto ao professor aproveitar tal disponibilidade para incrementar tecnologicamente suas aulas fazendo o uso dos recursos de informatica disponıveis nos smartphones para construir solidos geometricos resolver problematicas dos mais variados tipos em especial as que envolvem a visualizacao de graficos de funcoes figuras e solidos e assim alcancar a primazia no processo de ensino aprendizagem no Seculo XXI As Tecnologias da Informacao e Comunicacao TICs podem e devem ser utilizadas pelos professores de maneira ampla lancando mao de softwares livres tal como o Geogebra como salienta 12 Diante deste contexto foram escolhidos exercıcios e figuras geometricas cuja compreensao tende a ser mais complexa quando visualizadas em uma superfıcie plana tal como a pagina de um livro para depois implementar essas figuras em software que facilite a compreensao Assim a presente dissertacao tem por objetivo geral fornecer subsıdios para a realizacao de atividades em sala de aula que usem o Geogebra e realidade aumentada para ajudar na visualizacao de elementos tridimensionais geometricos Para alcancar esse objetivo o mesmo foi subdividido em trˆes objetivos especıficos os quais sao 1 escolher exercıcios e objetos tridimensionais em que a visualizacao e notadamente mais complicada quando feita apenas a partir de desenhos bidimensionais 2 construir no Geogebra os modelos tridimensionais relativos a estes exercıcios e que possam ser usados em sala de aula e por fim 3 verificar a possibilidade de uso deste material no Geogebra e sua recemlancada plataforma de realidade aumentada Para alcancar esses objetivos esse trabalho foi dividido em quatro capıtulos O capıtulo 1 trata dos exercıcios escolhidos e como visualizalos dando uma atencao especial aos Polie dros de Platao O capıtulo 2 apresenta o software Geogebra como uma ferramenta poderosa na visualizacao geometrica dos exercıcios E mostrada sua interface apresentado seus mo dos de operacao algumas aplicacoes em outros contextos a resolucao de alguns problemas utilizandoo este capıtulo e concluıdo tratando do futuro proximo com realidade aumentada abordando os sofwares Geogebra AR e Geogebra 3D O capıtulo 3 traz a resolucao geometrica dos exercıcios escolhidos no Geogebra em alguns casos comparando com a resolucao dedutiva classica E por fim no capıtulo 4 concluise o trabalho fazendo uma apreciacao qualitativa do cumprimento dos objetivos propostos bem como um prospecto para o futuro 17 Capıtulo 1 A visualizacao de elementos geometricos Nesse capıtulo iremos elencar topicos de Geometria assim como exercıcios cuja visua lizacao geometrica pode se beneficiar do uso de software O material aqui exposto foi visto na disciplina de Geometria MA13 durante o curso do Profmat Estes sao os topicos que de ram a ideia para este trabalho Falaremos sobre os criterios usados na escolha dos exercıcios e mostraremos o porquˆe de alguns exercıcios nao terem sido selecionados Sera feito uma abordagem sobre os Poliedros de Platao que sao um tema classico e recorrente em geome tria espacial euclidiana deixando bem claro os benefıcios de se usar esta abordagem para visualizalos 11 Os Poliedros de Platao Platao um discıpulo de Socrates nasceu em Athenas na Grecia por volta do ano 427aC onde se interessou pelas ideias de Pitagoras Depois de dedicar varios anos de sua vida a Geometria e amadurecer suas ideias Platao abriu uma escola a qual ele deu o nome de Academia Foi um dos primeiros a provar a existˆencia de apenas cinco poliedros regulares motivo pelo qual tais poliedros recebem o nome de Poliedros de Platao 10 Definicao 1 Poliedros podem ser definidos de acordo com 16 apud 7 como uma reuniao de um numero finito de polıgonos onde devem ser observadas trˆes restricoes Cada lado de um polıgono tem que ser tambem lado de um unico outro polıgono Cada polıgono e chamado de face cada segmento de reta comum a duas faces e chamado de aresta e cada vertice do polıgono e tambem vertice do poliedro A interseccao de duas faces ou e uma aresta ou e um vertice ou e vazia Capıtulo 1 A visualizacao de elementos geometricos 18 E sempre possıvel ir de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra sem passar por nenhum vertice ou seja cruzando apenas arestas Uma classe especıfica de poliedros e constituıda pelos Poliedros de Platao tambem cha mados de Poliedros Regulares ainda segundo 10 sao poliedros que possuem as seguintes caracterısticas Sao convexos Suas faces sao formadas por polıgonos regulares Lados e ˆangulos congruentes O numero de arestas que concorrem nos vertices sao iguais Ja se sabe desde a antiguidade que os poliedros que possuem essas caracterısticas sao um total de cinco Tetraedro Regular Formado por quatro faces iguais sendo cada face um triˆangulo equi latero Cubo Tambem chamado de Hexaedro Regular formado por seis faces iguais sendo cada face um quadrado Octaedro Regular Formado por oito faces iguais sendo cada face um triˆangulo equilatero Dodecaedro Regular Formado por doze faces iguais sendo cada face um pentagono regu lar Icosaedro Formado por vinte faces iguais sendo cada face um triˆangulo equilatero Figura 1 Poliedros de Platao Fonte Fonte 8 Capıtulo 1 A visualizacao de elementos geometricos 19 De acordo com 7 os poliedros de Platao destacamse por sua singularidade e regularidade dada a congruˆencia entre seus ˆangulos e faces e alem do mais tais solidos platˆonicos tem grande relacao com estruturas encontradas na natureza p 62 Esses objetos por sua simetria e propriedades possibilitam fazer suas planificacoes em duas dimensoes de modo que ha um vasto material disso em livros revistas e na inter net Por exemplo no artigo 1 o autor teve a oportunidade de construir um conjunto de recursos didaticos destinados a sala de aula utilizando materiais concretos de baixo custo e desenvolvendo atividades para ampliar habilidades geometricas dando ˆenfase aos estudos envolvendo poliedros regulares de Platao com uma revisao teorica dedicada aos professores variadas acoes complementares para construcao de seus modelos e se explorou tambem suas construcoes interativas por meio de aplicacoes no software GeoGebra Ja em seu artigo Camaduro 2 tem como objetivo em seu trabalho amenizar as de fasagens com relacao ao conteudo basico da Geometria Espacial mais especificamente dos Poliedros de Platao proporcionando uma aprendizagem efetiva e significativa atraves de uma abordagem interativa dinˆamica e significativa Utilizando como metodologia situacoes problemas do cotidiano a historia da geometria e oficinas que incluem a construcao das representacoes dos solidos platˆonicos Segundo o autor foi obtido resultados satisfatorios sendo possıvel perceber que o trabalho desenvolvido com uma metodologia diferenciada e atrativa proporciona aprendizagem mais significativa aos alunos Ha ainda outros trabalhos como o texto 9 da Revista do Professor de Matematica cedido pela Sociedade Brasileira de Matematica que responde a seguinte pergunta sobre os Poliedros de Platao Por que sao assim chamados e qual a razao de serem apenas cinco os poliedros regulares fazendo uma abordagem ao numero de faces e a soma dos ˆangulos de cada poliedro Sendo assim e possıvel montar esses solidos usando materiais concretos Tambem e possıvel encontrar bastante material sobre os Poliedros de Platao em varios softwares voltados para a geometria o Geogebra por exemplo em seu site httpswwwgeogebraorg tem uma vasta gama de materiais relacionados a esses Poliedros Esse acesso permite o facil contato do aluno com a visualizacao Geometrica ou ate mesmo com a Construcao Geometrica em trˆes dimensoes de cada um desses solidos Os Poliedros de Platao foram os primeiros objetos a serem escolhidos para construcao geometrica nesse trabalho foram escolhidos nao pela dificuldade mas por serem objetos classicos da Geometria desde a antiguidade que com o auxılio do Geogebra e da realidade aumentada oferecem um incentivo a mais para que o aluno possa ver os poliedros de Platao por ˆangulos que sao impossıveis de outra forma como por exemplo por dentro atraves de qualquer face do poliedro alem de ser possıvel aumentar e diminuir o zoom desmanchar apagardeletar facilmente qualquer aresta ou face que quisermos Capıtulo 1 A visualizacao de elementos geometricos 21 O exercıcio 1 da unidade 122 ABCD e um retˆangulo de lados AB 32m e BC 20m Os pontos E e F sao respectivamente os pontos medios dos lados AB e AD Calcule a area do quadrilatero AECF Figura 3 Exercıcio 1 da unidade 122 Fonte Fonte 8 O exercıcio 9 da unidade 13 Por um ponto P no interior de um triˆangulo ABC tracamos retas paralelas aos lados de ABC Tais retas particionam ABC em trˆes triˆangulos e trˆes paralelogramos Se as areas dos triˆangulos sao iguais a 1 cm2 4 cm2 e 9 cm2 calcule a area de ABC Figura 4 Exercıcio 9 da unidade 13 Fonte Fonte 8 Como pode ser observado nas ilustracoes esses trˆes sao exercıcios cujas representacoes geometricas estao em duas dimensoes e sao de facil representacao podendo ser ilustrados fa cliente utilizado apenas uma folha de papel ou algum programa como o próprio Geogebra por tal facilidade de expressão gráfica exercícios desse tipo não foram selecionados Existem ainda outros tipos de exercícios com representações em duas dimensões como O exercício 1 da unidade 146 Um polígono regular de 2n lados está inscrito em uma circunferência de raio 1 Mostre que a área desse polígono é S2n n senπn O exercício 8 da unidade 11 Mostre que em qualquer triângulo ABC temse senA senB senC No entanto tais exercícios têm resolução completamente algébrica e esta não exige um esboço detalhado de cada uma das respectivas figuras Por esse motivo tais exercícios que possuem essas características de resolução inteiramente algébrica não foram escolhidos na elaboração desse trabalho Ainda há outros tipos de exercícios esses agora com representação em 3 dimensões que não foram escolhidos por exemplo O exercício 3 da unidade 20 Considere três retas mutuamente perpendiculares x y e z concorrentes em O Uma reta r passa por O e forma ângulos iguais a α β e γ com x y e z Mostre que cos²α cos²β cos²γ 1 O exercício 3 da unidade 23 Determine o volume do maior tetraedro que pode ser guardado dentro de um cubo de aresta a O exercício 6 da unidade 23 Calcule o volume de um octaedro regular de aresta a O motivo para a não escolha destes é bem simples são exercícios que contemplam uma resolução mais algébrica e que possuem uma visualização geométrica bastante simples são figuras um tanto quanto fáceis de se imaginar sendo opcional sua representação em algum meio completamente diferentes dos exercícios que foram escolhidos que por outro lado possuem uma visualização geométrica mais detalhada eou difícil de ser representada em duas dimensões Exercícios desse tipo exigem um pouco mais de atenção pois são trabalhosos de se fazer Vamos falar a seguir sobre os exercícios que foram escolhidos apresentálos e explicar brevemente o motivo de escolha de cada um deles Capıtulo 1 A visualizacao de elementos geometricos 23 possa imaginar e desenhar figuras com varios detalhes em ˆangulos diferentes sugerindo as sim a eventual assistˆencia de um software para aumentar a eficiˆencia de sua visualizacao entendimento e resolucao Mais uma vez e bom citar a fonte principal deste trabalho e de onde foram retirados os exercıcios abaixo 8 Esses sao os exercıcios selecionados para a elaboracao deste trabalho O exercıcio 4 da unidade 15 Qual a secao determinada em um paralelepıpedo ABCDEFGH pelo plano ABG Este exercıcio por si so depende puramente de visualizacao O plano ABG e de difıcil visualizacao O exercıcio 5 da unidade 15 Duas retas r e s sao concorrentes em um ponto O Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer Qual e a intersecao do plano definido por r e P com o plano definido por s e P Mais um exercıcio onde a visualizacao correta faz toda a dife renca O exercıcio 6 da unidade 15 Sejam r e s duas retas reversas A um ponto em r e B um ponto em s Qual e a intersecao do plano denido por r e B com o plano denido por s e A Retas reversas sempre geram dificuldade de visualizacao quando representadas em duas dimensoes O exercıcio 7 da unidade 15 Sejam r e s duas retas reversas Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s Qual e a posicao relativa das retas AC e BD Mais um bom exercıcio que precisa de uma visualizacao correta para ser bem entendido O exercıcio 8 da unidade 19 Qual e a secao determinada em um tetraedro regular ABCD por um plano paralelo as arestas AB e CD e passando pelo ponto medio da aresta AC As propriedades do plano em questao nao sao faceis de serem visualizadas no papel ou no quadro A quantidade de elementos e o numero de pontos de tangˆencia torna este um problema de visualizacao tridimensional interes sante O exercıcio 1 da unidade 21 Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vertices so possui faces triangulares e quadrangulares Determine os numeros de faces de cada gˆenero Mais uma vez a quantidade de elementos neste caso pontos e segmentos e grande para termos uma precisao usando uma folha de papel Capıtulo 1 A visualizacao de elementos geometricos 24 O exercıcio 5 da unidade 23 Um cubo de aresta a e seccionado por oito planos Cada plano contem os pontos medios das trˆes arestas que concorrem em um vertice Retirando se os tetraedros formados obtemos um poliedro P Dificuldade de visualizacao semelhante ao ultimo exercıcio sele cionado No geral sao exercıcios que de certa forma sao consideravelmente trabalhosos para serem escritos em uma folha de papel comum mesmo aplicando os conceitos do proprio conteudo visto em sala Por esta causa uma abordagem a eles junto as suas figuras ja desenhadas e colocadas de maneira que se possa ter um entendimento geometrico mais abrangente tende a facilitar bastante o entendimento dos discentes Cada exercıcio tem suas peculiaridades singulares e um motivo pelo qual cada um foi escolhido sendo alguns motivos considera velmente semelhantes uma vez que a priori sao de exercıcios que possuem a mesma ideia mas com propositos diferentes Assim sendo decidimos construılos no Geogebra pela sua praticidade por ser um software de facil acesso e por oferecer desde 2018 um aplicativo de realidade aumentada que serve aos nossos propositos aqui 25 Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos Geogebra e o nome de um software que permite a construcao de modelos matematicos e geometricos com relativa facilidade disponıvel para a instalacao gratuita em computadores e smartphones Foi criado em 2001 por Markus Hohenwarter desde entao vem crescendo em popularidade traduzido para 55 idiomas atualmente e usado em 190 paıses e conta com 62 Institutos Geogebra em 44 paıses para oferecer assistˆencia para seu uso 14 Tambem recebeu inumeros prˆemios educacionais tais como Arquimedes 2016Prˆemio MNU na ca tegoria Matematica Hamburgo Alemanha Prˆemio Parceiro Microsoft do Ano de 2015 Finalista Setor Publico Educacao Redmond WA EUA Comenius 2004 Prˆemio de Mıdia Educacional Alema Berlim Alemanha Prˆemio MERLOT Classics 2013 Recurso Educacional Multimıdia para Aprendizagem e Ensino Online Las Vegas Nevada EUA 13 entre outros Em computadores o software pode ser facilmente baixado no website oficial wwwgeogebraorg e instalado para a utilizacao offline ou ainda pode ser executado diretamente no navegador Em smartphones o Geogebra pode ser instalado diretamente pela App Store em smartpho nes que executam o sistema operacional iOS ou pela Google Play Store em smartphones que executam o sistema operacional Android Por intermedio da interface amigavel desse software o usuario pode inserir valores de pontos em duas e trˆes dimensoes e atraves destes construir uma mirıade de figuras e solidos geometricos das mais variadas medidas e proporcoes tais como pontos retas planos qua drados retˆangulos triˆangulos cırculos esferas paralelepıpedos cilindros alem de plotar funcoes multivariaveis e analisar suas propriedades intrınsecas tais como vertices vetores Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 26 diretores segmentos orientados focos raios dentre outras Assim o usuario do Geogebra pode visualizar de maneira satisfatoria a interpretacao geometrica de funcoes que seriam muito mais imprecisas trabalhosas e consumidoras de tempo se fossem feitas a mao no papel ou mesmo simplesmente imaginadas 21 Apresentando as ferramentas do sistema Ao executar o Geogebra classico no computador o usuario tem a disposicao sete modos de operacao 1 Grafico 2 Geometria 3 Janela 3D espacial 4 Janela CAS Computer Algebraic System algebracalculadora 5 Planilha de calculos 6 Probabilidade 7 Modo Exame Dentre esses devem ser escolhidos inicialmente um ou mais de um para que seja executado aquilo que e de interesse do usuario Cada modo de operacao apresenta uma proposta diferente fornecendo uma barra de ferramentas com uma selecao de ferramentas especıficas para a visualizacao com a qual se esta trabalhando Com isso permitese que seja feito um determinado ramo de tarefas especıficas que serao detalhadas a seguir O modo de operacao Grafico permite a criacao de novos objetos por exemplo pontos linhas funcoes usando as Ferramentas Graficas fornecidas na Barra de Ferramentas ou inse rindo suas equacoes e coordenadas na Entrada de Algebra e pressionando a tecla Enter Por exemplo podese representar graficamente uma equacao linear y mx b cujos parˆametros podem ser modificados usando controles deslizantes ou ainda gerar o grafico de um po linˆomio cubico na forma fx ax3 bx2 cx d exibir as raızes e os extremos locais com suas tangentes correspondentes O modo de operacao Geometria possibilita a construcao de uma ampla gama de objetos no plano cartesiano desde pontos retas semiretas segmentos de retas a polıgonos dos mais variados tipos circunferˆencias arcos cˆonicas ˆangulos calculo de areas distˆancia entre pontos entre outros Podendo varios destes objetos ser representados simultaneamente na mesma janela Ainda com o controle deslizante e possıvel fazer algumas animacoes Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 27 O modo de operacao Janela 3D e parecido com o modo de operacao citado anteriormente no entanto agora seus objetos sao representados no espaco em trˆes dimensoes por isso cada ponto precisa de trˆes coordenadas x y z permitindo que se criem as representacoes graficas tridimensionais de objetos diretamente na Visualizacao Grafica 3D desde pontos retas reversas a poliedros pirˆamides cilindros esferas podendo escrever tambem funcoes de mais de uma variavel entre outros Esse foi o modo de operacao principal utilizado nesse trabalho falaremos mais dele a seguir na secao 211 O modo de operacao Janela CAS propicia a fatoracao de numeros naturais o calculo de expressoes numericas sua simbolizacao e representacao escolhendo a formatacao do texto desejado por exemplo permite a escolha de representar um numero sob a forma decimal ou fracao Ainda nesse modo podemos realizar a construcao e a operacao de matrizes e sistemas lineares encontrar raızes de uma determinada funcao os pontos de interseccao de duas funcoes e ate mesmo a derivada e a integral de uma certa funcao O modo de operacao Planilha de Calculos como o nome ja diz e uma planilha composta por celulas dividida em linhas que sao representadas pelos numeros naturais e colunas que sao representadas pelas letras do alfabeto Cada celula possui uma linha e uma coluna que as representa funcionando como uma especie de coordenada por exemplo podemos representar as celulas da seguinte forma A1 B2 C4 D10 Nesse modo podemos fazer relacoes entre as celulas utilizando soma media o numero maximo ou mınimo de um determinado conjunto de celulas Tambem podemos fazer uma forte relacao com a Janela CAS utilizando o modo de matrizes e fazer a analise de dados Univariada Bivariada e Multivariada O modo de operacao Probabilidade possui uma interface mais simplificada e objetiva e voltado ao ramo de da Estatıstica Inferencial permitindo a montagem e representacao em grafico das distribuicoes de frequˆencia e realiza com facilidade os Testes de Hipotese para medias e proporcoes Teste Z e Teste t de Student Teste de Adequacao Teste Quiquadrado Teste de estimativas Teste Z e Teste t de Student e outros E por ultimo o Modo Exame no GeoGebra permite que o professor e seus alunos usem os recursos falados anteriormente durante exames em papel por exemplo uma calculadora grafica ou calculadora de bolso enquanto restringe o acesso a Internet ou outro software que nao deve ser usado durante o exame Esse Modo de Exame tambem pode ser acessado facilmente na pagina httpswwwgeogebraorgexam e e executado no seu navegador por tanto nenhuma instalacao adicional e necessaria Caso seja preciso o Geogebra pode ser personalizado restringindo o acesso a alguns recursos ou modos de operacao assim faz com que os alunos nao tenham acesso a todos os recursos limitando somente aquilo que sera utilizando durante um teste Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 28 211 Interface grafica Devido a natureza tridimensional das figuras encontradas na realizacao desse trabalho o modo de operacao Janela 3D foi o utilizado por ter ferramentas eficazes para a construcao de objetos no espaco assim lida melhor com a geometria espacial Por isso e importante situar o leitor no ambiente computacional utilizado neste trabalho Portanto nessa sessao sera mostrada a interface grafica no modo geometria espacial Janela 3D e falado brevemente o que faz cada uma de suas ferramentas A interface se divide em trˆes partes principais a Janela de Visualizacao a Janela de Algebra e a Barra de Ferramentas como mostra a figura 5 Figura 5 Interface Janela 3D Geogebra Fonte Proprio autor Na Janela de Visualizacao que fica na lateral direita serao exibidos objetos como pontos retas funcoes polıgonos solidos ou seja todos aqueles objetos que possuem representacao grafica Na Janela de Algebra que fica na lateral esquerda serao exibidas todas as repre sentacoes algebricas ou numericas dos objetos construıdos nessa parte tambem fica o Campo de Entrada neste campo podem ser digitados comandos para construir objetos para realizar movimentos ou para modificar propriedades de objetos ja construıdos Na barra de ferramen tas localizada na parte superior da tela ha no modo Janela 3D treze botoes cada botao Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 29 da acesso a uma selecao de ferramentas que tˆem propositos similares entre si Por exemplo para construir uma esfera basta apertar o decimo botao e ele oferecera duas opcoes para a construcao dado centro e um de seus pontos ou dado centro e raio Um outro exemplo seria o botao pirˆamide que alem da construcao de uma pirˆamide tambem e possıvel a construcao de outros solidos tais como cubo cilindro cone prismas e ate mesmo a planificacao desses objetos 22 Exemplos de aplicacoes do Geogebra O Geogebra nao se limita a realizar somente modelos aplicados a matematica com ele e possıvel realizar mirıades de modelos matematicos e aplicacoes em diversas areas Em fısica por exemplo e possıvel modelar sistemas planetarios como o sistema solar e realizar a dinamizacao dos planetas em orbita criando o movimento de translacao desses planetas em orbita elıptica ao redor do Sol Tudo isso pode ser feito utilizando as mesmas equacoes orbitais planetarias em escala e assim simular com precisao o movimento dos astros do Sistema Solar como mostra o exemplo a seguir figura 6 Figura 6 Modelo Sistema Solar Geogebra Fonte httpswwwgeogebraorgmXKzhH9DG Um outro modelo interessante de exemplo do uso da aplicacao do Geogebra e a criacao e montagem de pequenos games que desafiam os alunos de uma maneira divertida e dinˆamica O modelo do jogo Angry Birds no Geogebra e um exemplo com ele e possıvel estudar toda a teoria de funcao do segundo grau e seu esboco grafico Nesse game o objetivo e tentar Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 30 acertar o inimigo com o passaro Angry Bird cuja dinˆamica de voo e a trajetoria de uma parabola Para isso e necessario que o aluno escreva a funcao do segundo grau que fara com que o passaro voe e acerte o inimigo que so acontecera caso ele consiga inserir a funcao correta na Caixa de Algebra como mostra a figura 7 Figura 7 Angry Birds L2 Geogebra Fonte httpswwwgeogebraorgmYWCCgeqB Sem duvidas exemplos assim quebram o padrao da aula deixando aquilo que outrora eram apenas conceitos abstratos e difıceis de visualizar em algo com uma outra perspectiva dinˆamica colorida facilitando o entendimento e mexendo com o interesse dos alunos 23 Solucao Geometrica Utilizando o Geogebra A partir deste contexto o exemplo a seguir foi construıdo para demonstrar a simplicidade e elegˆancia com que o software Geogebra lida com uma problematica bidimensional envolvendo trigonometria de um triˆangulo facilitando assim a visualizacao da solucao outrora abstrata e de difıcil visualizacao quando feita no papel mas tornada tangıvel e plenamente observavel atraves dos recursos computacionais Para isso vamos tomar como exemplo o exercıcio 2 da unidade 11 do livro8 da disciplina de geometria MA13 utilizado no Profmat e resolvêlo de duas formas algebraicamente e utilizando o Geogebra Exercício 2 Unidade 11 No triângulo ABC BC 8 AC 7 e B 60 Calcule o lado AB Os dois valores que você encontrou são possíveis Com os dados informados pelo enunciado do exercício podemos tentar construir um triângulo com dois segmentos de retas da mesma origem e com um ângulo entre eles de tal forma que a Lei dos Cossenos possa ser facilmente aplicada Logo assim segue que b² a² c² 2accosB r² s² c² 2sccos60 49 64 c² 28c12 49 64 c² 8c c² 8c 64 49 0 c² 8c 15 0 Existem outra forma de resolver utilizando o Software Geogebra o qual torna dispensável a aplicação da Lei dos Cossenos além de facilitar a visualização da interpretação geométrica do problema dando uma nova visão a respeito do exercício Este fato de que um novo tipo de solução é possível através de uso de software é um ponto primordial dentro da proposição deste trabalho Veremos que isto ocorre em diversas situações diferentes e tem impacto inclusive sobre o capítulo 4 Figura 8 Primeiro Passo Fonte Próprio autor O segundo passo é traçar uma circunferência de centro C e raio r 7 escrevendo A e A como sendo os pontos de intersecção da circunferência com o segmento que contém o ângulo B que é o lado oposto ao vértice Ā Assim garantese que as distâncias CA e CA são iguais a 7 como mostra a Figura 9 Esse passo pode ser executado facilmente escolhendo a ferramenta Círculo dado Centro e Raio selecionando o centro no caso o ponto C e depois digitar a medida do raio que é 7 Figura 9 Segundo Passo Fonte Próprio autor Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 33 Para finalizar e suficiente que o usuario do Geogebra execute a Funcao Polıgono para criar os triˆangulos ABC e ABC como exemplificado na Figura 10 A funcao polıgono auto maticamente informara o tamanho dos segmento AB e AB que sao as respostas esperadas para o exercıcio evitando assim que o usuario necessite aplicar e calcular manualmente a lei dos cossenos tendo uma outra concepcao do exercıcio Figura 10 Terceiro Passo Fonte Proprio autor 24 Os poliedros de Platao no Geogebra No seu site o Geogebra conta com uma ampla gama de materiais referentes aos poliedros de Platao Acessando httpswwwgeogebraorgsearchpoliedros e possıvel encontrar varios trabalhos criados por outros usuarios Alguns contam a historia de Platao outros ensinam a construir seus poliedros passo a passo dando ˆenfase no numero de vertices arestas e faces Outros com os poliedros prontos ensinam a identificalos Ainda outros dao mais enfase a planificacao sendo possıvel fazer planificacoes dinˆamicas com os solidos como mostra o exemplo da figura 11 Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 34 Figura 11 Poliedros de Platao Planificacao Fonte httpswwwgeogebraorgmbJnh7hmM A construcao de solidos tridimensionais do zero atraves do Geogebra constitui uma boa oportunidade de ensinoaprendizagem todavia sua aplicacao em sala de aula e dificultada por conta do limite do tempo A propria preparacao das figuras utilizadas neste exemplo ja tomou um tempo consideravel e se fossem solidos tridimensionais o tempo gasto para a confeccao seria ainda maior Felizmente a criacao de qualquer um dos poliedros de Platao no Geogebra e relativa mente facil pois ele ja conta com alguns comandos que permitem sua construcao quase que imediata Para fazˆela basta abrir no Geogebra o modo de operacao Janela 3D construir dois pontos e inserir na Janela de Algebra o nome de algum dos cinco Poliedros de Platao feito isso o Geogebra pedira para selecionar dois pontos para que o seguimento formado por esses dois pontos seja o tamanho das arestas do referido poliedro Diante do exposto percebee que o Geogebra e um poderoso software capaz de lidar com as mais variadas problematicas geometricas tanto bidimensionais quanto tridimensionais facilitando a vida do usuario ao tornar triviais resolucoes de problemas outrora mais difıceis quando feitos a mao Nao e exagero dizer que o Geogebra e um dos melhores senao o melhor software da categoria 25 Realidade aumentada Sem duvida alguma a tecnologia vem evoluindo exponencialmente desde os primeiros anos do seculo XXI esse avanco permitiu a construcao de mini computadores conhecidos como celulares smartphones que cabem na palma da mao e sao capazes de executar varias tarefas Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 35 Toda essa tecnologia colocada em um dispositivo portatil que pode ser levado no bolso permitiu a elaboracao e implementacao de ferramentas poderosas como alguns softwares que utilizando a captura de imagens do ambiente atraves de uma cˆamera combinam essas imagens da realidade com elementos computacionais graficos Essa tecnologia e chamada de Realidade Aumentada que segundo Cardoso 3 Podese definir Realidade Aumentada RA como a amplificacao da per cepcao sensorial por meio de recursos computacionais Assim associando dados computacionais ao mundo real a RA permite uma interface mais natural com dados e imagens geradas por computador Comumente as solucoes de Realidade Aumentada envolvem a geracao de elementos virtuais que sao inseridos no ambiente real de tal forma que o usuario crˆe que os mesmos sao partes do meio na qual esta inserido3 p 8 Ainda segundo Kirner A realidade aumentada e uma particularizacao de um conceito mais geral denominada realidade misturada que consiste na sobreposicao de ambientes reais e virtuais em tempo real atraves de um dispositivo tecnologico 5 p 116 Essa tecnologia tambem conhecida como AR abreviacao de realidade aumentada em inglˆes vem sendo bastante aprimorada nos ultimos anos se popularizando mundialmente com jogos e aplicativos para smartphones como o jogo Pokemon Go um dos mais famosos jogos que se utiliza da realidade aumentada tendo ate entao mais de oitocentos milhoes de downloads por varios paıses de todo o mundo O que softwares de jogos como esses fazem e misturar simultaneamente elementos do mundo real com objetos de computacao grafica que por meio de tecnicas de visao compu tacional e processamento de imagens fazem uma fusao da cena do ambiente real capturada pela cˆamera com objetos virtuais produzidos pelo computador ou smartphone O software tambem lida com posicionamento oclusao e interacao dos objetos virtuais dando a impressao ao usuario que o cenario e unico 5 Ainda segundo Cardoso Um sistema de RA deve prover ao usuario condicoes de interagir com estes dados de forma natural Comumente as solucoes de Realidade Aumentada envolvem a geracao de elementos virtuais que sao inseridos no ambiente real de tal forma que o usuario crˆe que os mesmos sao partes do meio na qual esta inserido Uma das caracterısticas mais importantes da RA e a modificacao no foco da interacao homem computador 3 Uma tecnologia como esta vem sendo uma aliada a educacao e aplicada em diversas areas do conhecimento como medicina biologia quımica engenharias Aprimorando os conceitos visuais tornando aquilo que antes era impossıvel de se observar perante as limitacoes de um livro em uma abordagem mais completa real palpavel aos olhos Por exemplo ao apontar seu celular smartphone para algum elemento da tabela periodica e obter a imagem e caracterısticas desse elemento como a sua estrutura atˆomica Ou ainda e muito mais Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 36 interessante visualizar os sistemas do corpo humano como o sistema cardiovascular muscular esqueletico digestorio em trˆes dimensoes sob ˆangulos de todas as perspectivas Em matematica a geometria seria amplamente beneficiada com uso desse recurso prin cipalmente a geometria espacial uma vez que num ambiente de duas dimensoes como livros um objeto com trˆes dimensoes como um cubo tem sua representacao grafica limitada Por isso a importˆancia de softwares que utilizanse dessa tecnologia aplicados a matematica prin cipalmente a geometria e o caso do o Geogebra AR e do Geogebra 3D que serao abordados mais detalhadamente na secao 251 251 Geogebra 3D Nessa secao falaremos sobre os dois aplicativos para celulares smartphones da famılia Geogebra que utilizam a tecnologia de realidade aumentada o Geogebra AR que e utilizado em celulares que possuem o sistema operacional iOS e o Geogebra 3D utilizados em celulares com o sistema operacional Android Ambos os programas usufruem da tecnologia porem o Geogebra AR com algumas li mitacoes Este foi lancado em setembro de 2017 e tambem e conhecido como Geogebra Augmented Reality Seu software e completamente gratuito e esta disponıvel por enquanto na App Store apenas para dispositivos que possuem sistema iOS Esse aplicativo e relati vamente novo a ponto de que sua versao atual nao contemple o suporte para o formato nativo do Geogebra convencional limitandose apenas a insercao manual de funcoes e alguns modelos restritos como a pirˆamide de Sierpinski e o triˆangulo de Penrose Esta limitacao no Geogebra AR e o que o distingue do aplicativo Geogebra 3D disponıvel para a plataforma Android Lancado em novembro de 2016 o Geogebra 3D e uma versao para celular idˆentica e com todas as ferramentas da Janela 3D do Geogebra Classico Porem no seu lancamento o aplicativo ainda nao contava com o uso da realidade aumentada pois nessa epoca a plataforma android nao continha o kit ARCore do Google de desenvolvimento para essa tecnologia que so passou a ser disponıvel em dezembro de 2017 So depois desta data que os desenvolvedores do software Geogebra tiveram a oportunidade de elaborar as primeiras versoes do Geogebra 3D que permitiam o uso de realidade aumentada A funcionalidade dos dois softwares sao semelhantes no que tange o uso da realidade aumentada No em tando como ja foi dito o Geogebra 3D destacase principalmente em trˆes pontos pela compatibilidade dos arquivos nativos do Geogebra Classico ou seja podese construir um modelo em seu computador e representalo em realidade aumentada apenas transferindo o arquivo ggb para o celular pelo acesso a biblioteca virtual do Geogebra disponibilizada em seu site fazendo assim o uso de modelos ja prontos feito por outras Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 37 pessoas ainda e possıvel que o docente crie modelos para que estes possam ser baixados na biblioteca virtual pelos alunos e assim serem utilizados na aula ou em futuras aulas ja que uma vez os modelos colocados na biblioteca virtual ficam disponıveis o tempo que o docente achar necessario e por ultimo ele destacase por conter todas as ferramentas do modo de operacao Janela 3D do Geogebra Classico isso permite que os usuarios possam fazer alguma alteracao ou ate mesmo a construcao de algum modelo Por sua nao limitacao e pela grande popularidade da plataforma que o contem o Geogebra 3D foi o aplicativo escolhido para a confeccao desse trabalho O GeoGebra 3D insere visualmente objetos matematicos no mundo do usuario em uma plataforma de realidade aumentada de maneira que o usuario possa explorar tais objetos sob diferentes ˆangulos conforme utiliza livremente a cˆamera de seu dispositivo Isto pode ser observado na figura 12 que utilizando o Geogebra 3D introduz todos os poliedros de Platao reunidos em um ambiente real Figura 12 Poliedros de Platao Geogebra 3D Fonte Proprio autor Este aplicativo foi criado com o intuıto de que o usuario possa ensinar ou aprender Ma tematica explorando o potencial da realidade aumentada No GeoGebra 3D incluise varios exemplos de objetos de matematica 3D que podem ser posicionados em uma mesa no chao ou em qualquer superfıcie plana ao redor do usuario Enquanto os objetos solidos sao inse Capıtulo 2 O uso do Geogebra e as possibilidades de visualizacao de elementos geometricos 38 ridos visualmente e permitodo ainda pequenas animcoes com o uso do controle deslizante Usuarios mais avancados podem visualizar objetos como o triˆangulo de Penrose funcoes 3D escada em espiral e pirˆamide de Sierpinski dentre tantos outros disponıveis em dua biblioteca virtual Movendose fisicamente em torno dos objetos virtuais o usuario pode concluir as tarefas propostas e tirar fotos fazendo as capturas de tela necessarias pois a impressao a se ter e que de o objeto e real e se faz presente no ambiente O processo de aprendizagem da geometria tornase mais atrativo com o auxılio da reali dade aumentada uma vez que os conceitos outrora abstratos tornamse visualmente muito mais claros Tecnologias como estas estao criando novas formas de interacao entre os alunos com os objetos matematicos dentro de sala de aula processo este que tende a tornar as aulas mais dinˆamicas e atraentes o que diminui a dispersao discente associada a reducao de foco oriunda do desinteresse pelo conteudo ja que segundo 2 a visualizacao e a construcao de objetos Geometricos proporciona aprendizagem mais significativa aos alunos A elaboracao do presente trabalho se insere no contexto supracitado levandose em con sideracao que e possıvel apresentar uma nova forma de interpretar e aprender matematica possibilitando ao aluno a oportunidade de interagir de forma visual com objetos que outrora abstratos tornamse sensorialmente concretos E razoavel admitir que em um futuro proximo a tendˆencia seja de que tal tecnologia atue amplamente em sala de aula afetando diretamente o processo de ensino nao so de ma tematica como tambem de outras disciplinas O entendimento dos alunos pode ser facilitado pela capacidade de visualizar animacoes em realidade aumentada ou de um corpo humano com todas as suas estruturas seria de grande auxılio nas aulas de biologia e o mesmo podese dizer sobre a visualizacao de uma estrutura atˆomica de um determinado atomo em aulas de quımica e fısica Ja em matematica a aplicacao de toda a geometria principalmente a ge ometria espacial seria de grande ajuda A tıtulo de exemplificacao seria possıvel ministrar uma aula inteira sobre os Poliedros de Platao utilizando os celulares dos alunos desde que estes instalem o aplicativo adequado para fazer uso dos modelos disponibilizados para este fim 39 Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software No presente capıtulo estao listadas as resolucoes em realidade aumentada dos exercıcios escolhidos diretamente do livro8 da disciplina de Geometria do Profmat MA13 Estas resolucoes foram construıdas com o auxılio do software Geogebra classico no computador buscando facilitar o processo e otimizar o tempo gasto Os resultados foram implementados no software Geogebra 3D para serem vistos em realidade aumentada Em seguinda cada exercıcio foi analisado tendo suas devidas explicacoes dedutivas explicitadas e descricoes conceituais envolvidas per se 31 Qual a secao determinada em um paralelepıpedo ABCDEFGH pelo plano ABG Dedutivamente de maneira abstrata podemos resolver esse exercıcio da seguinte forma O plano que passa por ABG contem a aresta AB e passa pelo ponto G Entretanto no paralelepıpedo a aresta GH e paralela a aresta AB e passa por G e portanto coplanar tanto a aresta AB quanto ao ponto G Logo a aresta GH tambem pertence ao plano que passa por ABG Podemos concluir que a seccao que o plano ABG determina no paralelepıpedo ABCDEFGH e o paralelogramo ABGH No entanto a resolucao deste exercıcio se beneficia grandemente da assistˆencia do Geo gebra ao permitir que o usuario possa rotacionar um modelo tridimensional para visualizar em mais de uma vista Foi construıdo nesta oportunidade um modelo do solido no Geogebra e foi facil cortalo com um plano tambem com o auxılio do software Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 40 Inicialmente construımos na tela do software um paralelepıpedo ABCDEFGH usando as ferramentes descritas no capıtulo 2 para em seguida construir nele um triˆangulo usando os mesmos vertices A B e G Posteriormente usamos a ferramenta que constroi o plano que passa por estes trˆes pontos para exibir o plano que contem o triˆangulo ABG Ja nessa etapa visualizando o solido e possıvel observar que a aresta GH faz parte do plano que passa por ABG e portanto concluir que a seccao sera o parelelogramo ABGH como mostra a figura 13 Figura 13 Plano passando pelo paralelepıpedo Fonte Proprio autor Nessas circunstˆancias o plano que contem o triˆangulo ABG corta o paralelepıpedo como mostrado na figura 13 seccionandoo tal como exibido na figura 14 Observamos que o seccionamento do objeto geometrico em si ja e uma atividade que esta ao alcance dos alunos de ensino medio uma vez que tenham acesso ao Geogebra e e uma situacao interessante para buscar a atencao destes em sala Para realizar este seccionamento fixamse os pontos C D G e H e aumentase proporcionalmente uma das coordenadas dos pontos A B E e F para que uma parte seccionada do paralelepıpedo no paralelepıpedo ABGH se desloque em um dos eixos criando assim um efeito visual mais destacado para o corte Construir e ter em maos solidos como a figura 13 para serem melhor observados sem duvida e essencial para uma melhor compreensao do exercıcio uma vez que dentro do en sino da geometria e comprovado que a visualizacao de objetos concretos torna muito melhor a compreensao e a aprendizagem discente No entanto para um unico exercıcio este pro cesso tomaria muito tempo da aula exigindo habilidades e materiais com certo custos e alguns exercıcios mais complexos seriam de difıcil construcao A figura 14 mostra a solucao geometrica do exercıcio 31 com o uso do Geoebra 3D utilizando realidade aumentada Dando a sensacao que o objeto e real e esta de fato presente no ambiente Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 41 Figura 14 Solucao do exercıcio em realidade aumentada Fonte Proprio autor Dessarte fica obvio perceber que desenhar um paralelepıpedo de oito pontos com o auxılio do software tende a ser um processo mais simples e sobretudo mais preciso do que dese nhar a mao com o adendo de se poder visualizar de varios ˆangulos inclusive por dentro do objeto geometrico Em sala de aula e com um aplicativo de celular que faz uso de reali dade aumentada esta tarefa e chamativa e coloca o aluno para pensar nas possibilidades de visualizacao 32 Duas retas r e s sao concorrentes em um ponto O Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer Qual e a intersecao do plano definido por r e P com o plano definido por s e P Se as retas r e s sao concorrentes em um mesmo ponto O entao O r e O s Se r e P definem um plano entao todos os pontos da reta r pertencem a este plano Semelhantemente se s e P definem outro plano todos os pontos da reta s pertencerao a este outro plano Esta sequˆencia de operacoes e mostrada na figura 15 E bom observar que em sala de aula usando o Geogebra no telao ou em um celular o entendimento da situacao e bem mais claro Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 42 Figura 15 Posicionamento dos planos Fonte Proprio autor Girando e observando o posicionamento dos objetos no software concluımos que tanto o ponto P quando o ponto O sao comuns em ambos os planos assim como a reta que passa por eles Usando a ferramenta de construcao de retas do Geogebra a partir destes dois pontos e facil construir esta reta que e a interseccao entre os dois planos a qual sera portanto a resposta do exercıcio como visualizado na figura 16 Assim como no exercıcio anterior o metodo de solucao foi completamente distinto sendo ideal para o ensino medio No ˆambito universitario este exercıcio seria complementado com a prova dedutiva de que a reta pertence aos dois planos e que qualquer ponto da intersecao pertence a esta reta Figura 16 Reta formada pela interseccao dos dois planos em realidade aumentada Fonte Proprio autor Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 43 33 Sejam r e s duas retas reversas A um ponto em r e B um ponto em s Qual e a intersecao do plano definido por r e B com o plano definido por s e A Figura 17 Plano que passa pelo ponto e a respectiva reta Fonte Proprio autor Para resolver esse exercıcio precisamos usar o fato de que se dois planos α e β possuem pontos A e B em comum entao a reta definida por A e B tambem esta contida em ambos os planos Essa afirmacao e garantido pela definicao de planos secantes encontrada no capıtulo 15 do livro 8 que diz Se dois planos distintos possuem mais de um ponto em comum sua intersecao e uma reta e reforcado no postulado 3 na seccao 152 so livro 8 Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano ela esta contida no plano Sabendo disso segue a resolucao do exercıcio As retas r e s sao retas reversas e nao possuem pontos em comum assim sendo existe um plano α definido pelo ponto A e pela reta s e analogamente existe um plano β definido pelo ponto B e pela reta r Tanto as retas quanto os planos sao objetos construıdos automatica mente na janela de Geometria 3D do Geogebra com as ferramentas descritas no capıtulo 2 Uma vez feita a construcao e facil observar que os pontos A e B pertencem tanto ao plano α quanto ao plano β ou seja sao comuns aos dois planos Considerando que por dois pontos passa uma unica reta entao a interseccao de α com β e a reta t definida pelos pontos A e B que esta contida nos dois planos A contrucao geometrica da solucao desse exercıcio no Geogebra nao teve grandes com plicacoes Apos construir duas retas reversas e seus respectivos pontos bastou usar a ferra menta que constroi planos a partir de um ponto de uma reta como mostra em etapas a figura Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 44 17 para entao com a construcao dos dois planos finalizar o exercıcio como e mostrado na figura 18 em realidade aumentada Figura 18 Resolucao do exercıcio em realidade aumentada Fonte Proprio autor Como nota final da secao observase que este exercıcio e exigente em termos de intuicao geometrica ja que e preciso um objeto de conjectura para que entao se parta para a deducao Sem o uso do Geogebra e um exercıcio pesado para a maioria dos alunos do Ensino Medio 34 Sejam r e s duas retas reversas Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s Qual e a posicao relativa das retas AC e BD Recordemos o seguinte duas retas distintas sao reversas se e somente se nao existe um plano que as contenha seccao 153 do livro 8 Agora vamos supor que as retas AC e BD sao coplanares isto significaria que os pontos A B C e D seriam coplanares ou seja as retas r e s seriam coplanares o que contradita a hipotese de serem reversas Logo AC e BD nao sao coplanares e portanto sao reversas Apesar da prova dedutiva simples apresentada e facil perceber em sala de aula que o entendimento do que e um par de retas reversas escapa de boa parte dos alunos o que se Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 45 pode dizer entao de um exercıcio que apresenta dois pares de tais retas Ate mesmo as figuras reproduzidas do proprio Geogebra direto para o papel perdem muito em clareza Aqui o uso do software e fundamental no entendimento geometrico ja que o mesmo permite inclusive que se altere a posicao dos pontos A B C e D para verificar que o resultado continua valendo A figura 19 mostra a solucao do exercıcio em realidade aumentada Figura 19 Posicionamento das retas sob vistas diferentes em realidade aumentada Fonte Proprio autor 35 Qual e a secao determinada em um tetraedro regular ABCD por um plano paralelo as arestas AB e CD e passando pelo ponto medio da aresta AC O Geogebra na sua janela de Geometria 3D oferece um botao para a construcao de tetraedros que quando e clicado mostra o tamanho de cada aresta sendo assim e facil executar a construcao de um tetraedro regular ABCD como e proposto pelo exercıcio e mostrado na figura 20 Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 46 Figura 20 Construcao da seccao no Tetraedro Fonte Proprio autor A partir deste modelo de tetraedro no Geogebra e usando a ferramenta de construcao de plano que passa por um ponto neste caso pelo ponto medio da aresta AC a restricao de paralelismo com as arestas AB e CD forcam que a secao requerida seja um paralelogramo ja que as retas de intersecao com as faces sao paralelas a uma das duas arestas e este fato e visualizado perfeitamente quando movimentamos a cˆamera na janela do Geogebra ou em um aplicativo de realidade aumentada No caso do tetraedro regular e facil ver que tais secoes sao retˆangulos ja que as arestas opostas sao ortogonais 8 Alem disso no caso de passar pelo ponto medio de uma aresta cada lado e igual a metade da aresta do tetraedro Portanto a secao e um quadrado que e visualizado sem distorcoes em um ambiente naturalmente tridimensional como uma tela de realidade aumentada Figura 21 Seccao no Tetraedro sob vistas diferentes em realidade virtual Fonte Proprio autor Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 47 Na figura 22 pode se ver o objeto geometrico solucao desse exercıcio em realidade au mentada Figura 22 Seccao no Tetraedro sob vistas diferentes em realidade aumentada Fonte Proprio autor 36 Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vertices so possui faces triangulares e quadrangulares Determine os numeros de faces de cada gˆenero Esse exercıcio constituıse basicamente em duas partes Para resolver a primeira parte desse exercıcio basta utilizar os dados e recorrer a formula de Euler V F A 2 e assim descobrir o numero total de faces Resolvendo temos que 10 F 20 2 F 20 2 10 Portanto F 12 Descoberta a quantidade total de faces agora resta saber a quantidade de faces trian gulares e quadrangulares Aqui chegamos na segunda parte do exercıcio que consiste em montar um sistema de equações com as incógnitas x e y representando a quantidade de faces triangulares e quadrangulares respectivamente Montando o sistema temos x y 12 3x 4y 40 Onde a primeira linha do sistema representa o número de faces e a segunda representa o dobro do número de arestas já que cada aresta é contada em duas faces Resolvendo o sistema encontramos o número de faces triangulares x 8 e o número de faces quadrangulares y 4 Mas que poliedro é esse É interessante para a formação intuitiva geométrica tentar entender e construir um poliedro com estas propriedades e ter a sua visualização em um software que o represente tridimensionalmente assim terseá a completude da ideia que o exercício propõe Mais uma vez as ferramentas mostradas no capítulo 2 são suficientes se construir um modelo Pensando nisso esse poliedro foi montado no Geogebra como mostra a figura 23 Figura 23 Poliedro solução do exercício sob vistas diferentes Fonte Próprio autor Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 49 face escolhida ou seja com a face EFGH concluindo assim a construcao do poliedro O resultado e visto abaixo na figura 24 em realidde aumentada Figura 24 Poliedro solucao do exercıcio sob vistas diferentes em realidade aumentada Fonte Proprio autor 37 Um cubo de aresta a e seccionado por oito planos Cada plano contem os pontos medios das trˆes arestas que concorrem em um vertice Retirandose os tetraedros formados obtemos um poliedro P Descreva as faces e calcule o volume de P Esse e um exercıcio interessante mas de difıcil visualizacao geometrica Por isso antes de comecar a resolver as proposicoes e propıcio que se observe esse solido com uma visao tridimensional pois e muito difıcil de imaginar ou ate mesmo de se escrever em uma folha Dando foco inicial a visualizacao permitimos nao somente o pleno entendimento do exercıcio mas tambem que se tenha uma ampla visao do objeto de estudo ja que e permitida a observacao deste solido sob varios ˆangulos Portanto esse e um exercıcios que se enriquece imensamente com o auxilio do Geogebra Para a montagem deste solido no Geogebra foi necessario um processo dividido em etapas Na primeira delas foi construıdo um cubo de aresta a 2 nessa parte e necessario informar Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 50 ao Geogebra o tamanho da aresta para a construcao do mesmo esta e uma exigˆencia da ferramenta de construcao de cubos mas para efeito do exercıcio este cubo tem lado a Em seguida com a ferramenta ponto medio encontramos as coordenadas dos pontos medios de todas as arestas essa seria uma tarefa relativamente tranquila caso fosse feito a mao no entanto o programa facilita muito utilizando esse recurso simplificando o trabalho e ganhando tempo na montagem do solido Na proxima etapa usufruindo da ferramenta Segmento que e uma ferramenta no proprio Geogebra utilizada para construir segmentos de reta de um ponto a outro foram construıdos segmentos de retas entre todos os dois pontos medios que pertencem a mesma face e possuem vertices adjacentes Como pode ser visto na figura 25 Figura 25 Construcao do cubo Fonte Proprio autor Como visto acima ao realizar esse processo e formado em cada face um quadrado de lado l cujo comprimento pode ser calculado facilmente utilizando o Teorema de Pitagoras A priori a Figura 25 mostra o resultado obtido com esse processo podendo observar em cada uma das faces o quadrado de lado l a 2 2 Como na montagem do nosso modelo utilizamos α 2 então resulta que l 2 Esse resultado será importante depois de fazer os devidos cortes Depois dessa parte segundo o que foi pedido no exercício foi feito a construção dos tetraedros Para isso foi utilizada a ferramenta do Geogebra denominada Pirâmide essa ferramenta permite que se construa uma pirâmide a partir de uma base e um ponto que não esteja no mesmo plano que essa base Manipulando essa ferramenta escrevemos como base da pirâmide o triângulo formado pelos três pontos médios adjacentes ao mesmo vértice cada uma dessas bases está contida no respectivo plano que contém os pontos médios das três arestas que convergem em um vértice que é o que pede o exercício em seguida basta clicar no respectivo vértice pois esse será o topo da pirâmide Executando esse mesmo processo para cada um dos vértices do cubo serão construídos oito pirâmides que na verdade como já foi dito essas pirâmides serão os próprios tetraedros que o exercício pede a exclusão como mostra a Figura 26 Como faz parte do exercício a retirada dos tetraedros encontrados para formar esse novo sólido é importante encontrar a face que irá restar depois do processo de retirada sua área como também o volume de cada tetraedro Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 52 Figura 26 Construcao dos Tetraedros Fonte Proprio autor Depois de ter concluıdo quem e a base desse tetraedro iremos encontrar agora o seu volume Para isso e necessario obter o valor da altura H e de sua base Ab No entanto devemos relembraremos dois conceitos relacionados a um triˆangulo equilatero o primeiro e e a formula obtida para encontrar sua area dado o valor dos lados o segundo e o centro de simetria Figura 27 Altura do Triˆangulo Equilatero Fonte Autores Para encontrar a area de um triˆangulo e preciso encontrar a altura h desse triˆangulo para tanto basta aplicar o Teorema de Pitágoras conforme a figura 27 que resulta l² h² l 2 ² h² l² l² 4 h² 3 l² 4 h 3 l² 4 Concluímos que h l 3 2 Agora é sabido a altura h de um triângulo equilátero de lado l Basta aplicar A b h 2 para encontrar sua área Fazendo b l e h l 3 2 temos A l 3 2 2 Logo A l² 3 4 Utilizando esse primeiro conceito podemos encontrar a área da base Ab do tetraedro em função da aresta a do cubo Como a base do tetraedro é um triângulo equilátero de lado l então sua área é dada por Ab l² 3 4 no entanto l a2 2 concluise que Ab l² 3 8 Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 54 A proxima parte e encontrar a altura H do tetraedro que e perpendicular ao centro de simetria do triˆangulo equilatero Tal centro e o centro de uma circunferˆencia inscrita e tambem e o centro da outra circunferˆencia circunscrita que no triˆangulo equilatero e tambem o circuncentro ortocentro baricentro e incentro Figura 28 Circunferˆencia inscrita e circunscrita no Triˆangulo Equilatero Fonte Proprio Autor O raio da circunferˆencia circunscrita equivale a dois tercos da altura do triˆangulo equilatero Enquanto o raio da circunferˆencia inscrita equivale a um terco da altura do triˆangulo equilatero 8 Com isso podemos calcular o tamanho do segmento que vai do vertice do triˆangulo ao centro de simetria O substituindo h l 3 2 temos R 2 3 h R 2 3 l 3 2 Portanto R l 3 3 No entanto no exercıcio l a 2 2 O que resulta em R a 2 2 3 3 R a 2 3 2 1 3 Portanto a distˆancia R a 6 6 que e o tamanho do segmento que liga o centro de simetria ate o vertice do triˆangulo e conhecida Por outro lado e facil verificar que as arestas laterais al do tetraedro e o seguimento que parte do ponto medio da aresta do cubo Capítulo 3 Soluções para os problemas de Geometria com uso de software Depois de encontrada a altura H a 12 12 e a área da base Ab a² 3 8 do tetraedro enfim podese calcular seu volume V 1 3 Ab H V total 8 V V total 8 a³ 48 V total a³ 6 Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 58 A segunda proposicao pede para calcular o volume VP do poliedro P para isto basta subtrair o volume dos oito tetraedros do cubo inicial de aresta a O que e facil de se obter ja que anteriormente foi calculado o volume dos oito tetraedros Portanto VP Vcubo Vtotal VP a3 a3 6 VP 5a3 6 Depois de ter feito todos os calculos e respondido as alternativas propostas no exercıcio ainda sim tersea uma certa dificuldade para imaginar ou escrever esse poliedro P Por isso a importˆancia de se usar um ambiente geometrico virtual ou aumentado que em casos como esse dao a completude do entendimento do exercıcios em si Resumindo a implementacao do poliedro P no Geogebra seguiuse em etapas Para construılo foi necessario inicialmente usar a funcao cubo escolhendo trˆes pontos para ser a base do cubo foi criado entao em nosso modelo um cubo de aresta de tamanho igual a dois O proximo passo foi utilizar o comando ponto medio para encontrar o ponto medio de cada aresta do cubo Em seguida foi utilizado a funcao polıgono para construir polıgonos com os pontos medios das trˆes arestas adjacentes a cada um dos vertices nessa etapa terıamos o poliedro P ja com todas as faces triangulares O resultado pode ser observado abaixo na figura 31 Figura 31 Montagem do poliedro P com as faces triangulares Fonte Proprio autor Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 59 Sob as vistas laterais e interessante notar que nesta etapa o poliedro P fornece uma visao um tando confusa tendo uma interpretacao em 2D como mostra a figura 32 abaixo Figura 32 Montagem do poliedro P sob duas visoes diferentes Fonte Proprio autor Finalizando o processo basta agora construir os quadrados que ainda faltam Para isso mais uma vez foi utilizado a funcao polıgono aplicandoa aos quatro pontos medios respectivos a cada uma das seis faces do cubo Assim concluıse a construcao do poliedro P que pode ser visto na figura 33 abaixo Figura 33 Poliedro P Fonte Proprio autor Em seguida estao outras vistas do poliedro P em realidade aumentada que ainda sim tem sua visualizacao limitada por estar expressa nesse trabalho em duas dimensoes em uma folha de papel Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 60 Figura 34 Poliedro P visto com realidade aumentada Fonte Proprio autor 38 Outros exemplos Diversos modelos podem ser implementados utilizando realidade virtual ou aumentada para que se possa ter uma melhor compreensao O teorema do volume da pirˆamide que diz que o volume de qualquer pirˆamide e igual a um terco do produto da area da base pela altura e um exemplo Por isso foi construıdo um modelo aos moldes da figura 239 do livro 8 que e a representacao visual desse teorema Para a construcao logo apos abrir a Janela 3D utilizamos a ferramenta Prisma essa ferramenta cria prismas para isto basta selecionar ou criar um polıgono para ser a base do prisma e entao basta selecionar ou criar um ponto referente a base oposta Logo apos criar o prisma como mostra a Figura 35 foram criadas as devidas seccoes para os cortes para isso foi utilizado a ferramenta polıgono Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 61 Figura 35 Prisma de base triˆangular com as seccoes Fonte Proprio autor Em seguida utilizando um processo parecido com o exercıcio 31 foram feitos os cortes nas seccoes separando as pecas aumentando proporcionalmente uma das coordeadas de cada aresta referente a seccao superior e em seguida fazendo o mesmo com as arestas da seccao inferior movendoas na mesma direcao porem com sentido oposto Dividindo o prisma em 3 pecas cada uma dessas novas pecas agora e uma pirˆamide e possuem o mesmo volume como mostra a figura 36 Figura 36 Prisma seccionado em trˆes pirˆamides de mesmo volume Fonte Proprio autor A seguir a figura 37 mostra o modelo acima em realidade aumentada Foi procurado colocar as mesmas vistas feitas em realidade virtual para poder comparalas com ambiende ao fundo e assim perceber que a realidade aumentada da a sensacao de que o objeto esta naquele ambiente Capıtulo 3 Solucoes para os problemas de Geometria com uso de software 62 Figura 37 Prisma seccionado em trˆes pirˆamides de mesmo volume em realidade aumentada Fonte Proprio autor Modelos como esses aplicados a realidade virtual eou aumentada trazem benefıcios ao entendimento do aluno permitindo uma nova perspectiva podendo alcancar qualquer ˆangulo de visao ao rotacionar o solido e nao se limitando somente a uma vista em duas dimensoes numa folha de papel 63 Capıtulo 4 Conclusao Diante de tudo o que foi exposto ate o momento retomamos que a presente dissertacao teve por objetivo geral fornecer subsıdios para a realizacao de atividades em sala de aula que usem o Geogebra e realidade aumentada para ajudar na visualizacao de elementos tri dimensionais geometricos Para garantir que esse objetivo fosse alcancado o mesmo foi sistematicamente subdividido em trˆes objetivos especıficos os quais eram 1 Escolher exercıcios e objetos tridimensionais em que a visualizacao e notadamente mais complicada quando feita apenas a partir de desenhos bidimensionais 2 Construir no Geogebra os modelos tridimensionais relativos a estes exercıcios e que possam ser usados em sala de aula 3 Verificar a possibilidade de uso deste material no Geogebra e sua recemlancada plata forma de realidade aumentada Inicialmente a escolha dos exercıcios pautouse no grau de dificuldade relativa a cada um de maneira a justificar a aplicacao da solucao auxiliada por software para facilitar o processo Ponderouse sobre a tematica diversificada para abordar os diversos segmentos da geometria e sobre a necessidade de abstracao imposta nas solucoes convencionais para contrastalas com a facilitacao das solucoes visuais permitidas pela realidade aumentada Assim as escolhas mostraramse efetivas satisfatorias e condizentes com a proposta inicial do trabalho Posteriormente a construcao dos modelos tridimensionais deuse no computador atraves do software Geogebra convencional buscando detalhar visualmente o passoapasso na re solucao dos problemas que do contrario teriam que ter as solucoes simplesmente imaginadas Embora esse processo de construcao seja consideravelmente trabalhoso a correta e minuciosa explicitacao do modus operandi de resolucao garante a facilitacao do processo de aprendi zagem do corpo discente em sala de aula poupando os alunos da abstracao que desvia o Capıtulo 4 Conclusao 64 foco e tambem economizando o tempo da aula para ser melhor aproveitado em outras ati vidades Uma outra vantagem e que a construcao precisa ser feita apenas uma vez para que o arquivo depois possa ser usado por qualquer pessoa com acesso a ele Pensando nisso modelos feitos nesse trabalho serao disponibilizados na plataforma online do geogebra httpswwwgeogebraorg para que qualquer pessoa ter acesso e usalos Quanto a possibilidade de uso dos modelos construıdos no Geogebra convencional em suas plataformas de realidade aumentada ha de se destacar que o Geogebra AR ainda e muito recente e carece do suporte necessario para aproveitar os modelos preconstruıdos no entanto o Geogebra 3D mostrouse eficaz na apresentacao desses modelos alem de permitir a edicao ou ate mesmo a confeccao desses modelos no proprio aplicativo Contudo acreditamos que este trabalho mostrou que as solucoes usando software de visualizacao contrastam bastante com as solucoes tradicionais encontradas em livros como o proprio livro utilizado no Profmat 8 bem como outros e mais ainda constituem uma forma mais concreta e portanto mais ao alcance da maioria dos alunos como pode ser visto em 4 ao concluir que Se existe uma diversidade de materiais elaborados com a finalidade de melhorar a aprendizagem do indivıduo e cabıvel o uso desses materiais para enriquecer as aulas de matematica estimular a criatividade dos alunos e tornaremse menos exaustivas Conforme pode ser visto em todo o capıtulo 3 e principalmente na secao 31 as solucoes com uso de software sao claramente mais inteligıveis quando o elemento de percepcao visual esta presente uma conclusao semelhante aquela que consta em 15 que trata da visualizacao como elemento fundamental no processo de ensino aprendizagem de matematica alem disso segundo 4 O material concreto e uma forma de apresentar ao aluno uma maneira mais facil e palpavel de aprender matematica e como ela pode ser usada no nosso cotidiano com isso os exercıcios que precisam de uma abordagem mais visual sao grandemente beneficiados pois sua solucao em realidade aumentada faz com que se tenha a percepcao de que o objeto visto e real e faz parte do ambiente Comparativamente uma solucao convencional puramente dedutiva requer um nıvel de abstracao maior para compensar a falta do elemento visual o que pode dificultar a compre ensao do aluno Dessarte a solucao geometrica tem o potencial de facilitar a resolucao a ponto de tornar possıvel a aplicacao de um exercıcio como aquele exposto na secao 31 no ensino medio sendo que sem o uso da realidade aumentadada este e um exercıcio de um livro especıfico para mestrado profissional em Matematica Com o potencial de melhoramento do entendimento da resolucao usando realidade aumen tada e possıvel tambem ajudar os alunos com maior dificuldade pois a partir do momento que o discente consegue visualizar a solucao geometrica ela pode ser usado como primeiro passo na compreensao da solucao dedutiva ainda que o aluno tenha dificuldades maiores com o processo de abstracao Capıtulo 4 Conclusao 65 Ainda no contexto do ensino medio o fator tempo deve ser levado com consideracao pois o mesmo e muito limitado Sendo um recurso escasso e ainda mais preocupante quando a maior parte do tempo da aula e gasto tentando diminuir a dificuldade de abstracao comum a grande parte dos discentes E neste contexto que os modelos ja construıdos das figuras geometricas mostramse eficientes em otimizar o tempo de aula reduzindo principalmente o tempo gasto na imaginacao de resolucoes dedutivas onde o elemento visual e ausente Em suma todas as vantagens supracitadas serao ainda maiores quando o aplicativo Ge ogebra AR fornecer novas funcionalidades especialmente a importacao de modelos tridi mensionais do Geogebra convencional no formato ggb para serem utilizados em realidade aumentada Alem do mais a disponibilizacao do aplicativo Geogebra 3D para Android per mite alcancar um maior numero de usuarios tornando mais factıvel uma aplicacao pratica e dinˆamica com o uso dos smartphones dos proprios alunos em sala de aula Assim sendo a importˆancia deste trabalho tende a aumentar com o tempo aguardando o florescimento do uso e da popularizacao da realidade aumentada em um futuro proximo Assim sendo o objetivo geral inicial foi alcancado uma vez que este trabalho fornece os modelos cuidadosamente selecionados como subsıdios satisfatoriamente adequados para a realizacao de atividades em sala de aula que incluem a visualizacao de elementos geometricos tridimensionais facilitada por realidade aumentada alem de ter mostrado a viabilidade de uso e a grande importˆancia deste tipo de abordagem que liga aspectos classicos como os Poliedros de Platao ao futuro nao muito distante do uso da realidade aumentada em sala de aula 66 Referˆencias 1 Almeida C R M d Kaleff A M M R Poliedros de platao sob uma perspectiva de educacao matematica usando recursos didaticos concretos e virtuais In XII Encontro Nacional de Educacao Matematica 2016 2 Cadamuro S d S L Araujo N S R d Descobrindo os poliedros de platao e sua relacao com o cotidiano Os desafios da escola publica parana ense na perspectiva do professor Cadernos PDE Band 1 2013 URL http wwwdiaadiaeducacaoprgovbrportalscadernospdepdebuscaproducoes pde20132013fafipamatartigosuelidesouzaladeiacadamuropdf 3 Cardoso A Kirner C Junior E L et al Tecnologias e ferramentas para o desen volvimento de sistemas de realidade virtual e aumentada Editora Universitaria UFPE 119 2007 4 da Silva F M Cunha U D A da Silva U A A et al O uso do material concreto no ensino da matematica Anais do VIII Forum Internacional de Pedagogia 5 Kirner C Zorzal E R Aplicacoes educacionais em ambientes colaborativos com realidade aumentada In Brazilian Symposium on Computers in Education Simposio Brasileiro de Informatica na EducacaoSBIE Band 1 114124 2005 6 LEIVAS J C P Imaginacao intuicao e visualizacao a riqueza de possibilidades da abordagem geometrica no currıculo de cursos de licenciatura de matematica Parana UFPR 2009 7 Minchilo M Um artefato para a construcao de solidos geometricos com isopor e aplicacoes PROFMAT Mestrado Profissional em Matematica 2013 8 Neto A Antonio Caminha Muniz e Caminha Geometria colecao profmat 2013 9 Pedone N M D Poliedros de platao Revista do Professor de Matematica 15 1989 Referˆencias 67 10 Reis E A d Os poliedros de platao PROFMAT Mestrado Profissional em Ma tematica 2013 11 Silva C d O O uso do smartphone para pesquisas em sala de aula e sua potencializacao das aprendizagens em biologia um estudo de caso no primeiro ano do ensino medio 2015 12 Souza D d O d Ensino de matematica com o uso das tic 2015 13 Team T G About geogebra 2015 URL httpswwwgeogebraorgabout 14 Team T G Sobre o geogebra 2015 URL httpswwwpucspbrgeogebrasp geogebrahtml 15 Trentin Oliveira M Pinto Leivas J C Visualizacao e representacao geometrica com suporte na teoria de van hiele Ciˆencia e Natura Band 391 2017 16 Wagner E Poliedros 2012 URL httpvideoimpabrindexphppage janeirode2005