Série de Fourier - Função Periódica - Exercício Resolvido

SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA Ex 2 Escreva a função gt como uma série de Fourier gt 1 π x 0 1 0 t π Onde gt 2π gt Séries de Fourier Ex 2 Escreva gt como série de Fourier gt 1 π x 0 1 0 x π onde gt 2π gt A série de Fourier correspondente a gt é definida como a02 Σ an cosnπtL bn SennπtL n1 em que O período da função é 2L a0 1L gt dt L L an 1L gt cos nπt2 dt n12 L L bn 1L gt Sen nπtL dt L L Vamos resolver o problema Primeiro observe que o periodo de gt é 2π pois gt 2π gt logo L π Com isso podem nos determinar os coeficientes a0 1π gt dt π π gt é definida por partes então iremos separar a inte gral em duas integrais 1π 1 dt 1 dt π 0 0 π 1π tπ 0 t0 π 0 π π 0 0π 0 a0 0 an 1π gt Cos nπtπ dt π π 1π gt Cos nt dt π π 1π cosnt dt cosnt dt π 0 0 π 1π 1n Senntπ 0 1n Sennt 0 π 1nπ Sen0 Sennπ Sennπ Sen0 0 sennπ 0 para todos n inteiro Vamos separar a integral an0 n12 bn1π from π to π of gt sen nπtπ dt 1π from π to π of gt sennt dt 1π from π to 0 of sennt dt from 0 to π of sennt dt 1π 1n cosnt from π to 0 1n cosnt from 0 to π 1πn cos0 cosnπ 1 cosnπ cos0 1πn 1 1n 1n 1 n par cosnπ 1 n ímpar cosnπ 1 2 1 1n πn bn 2π 1 1n n n12 Por fim a representação de gt por Série de Fourier será gt g02 Σ from n1 to of an cosnπtπ bn sennπtπ gt Σ from n1 to of 2π 1 1n n sennt