Método de Separação de Variáveis em EDPs

IGE UNIFESSPA Professor Evaldiney Ribeiro Monteiro Disciplina Cálculo IV Tópico Métodos de soluçãoes de EDPs MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIAVEIS FEMMA 1 1INTRODUÇÃO O método de separação de variáveis é um método para se obter solução analítica de EDPs lineares homogêneas e com condições de contorno homogêneas 2DESCRIÇÃO DO MÉTODO Para aplicar o método devese seguir os seguintes passos 1 Separar as variáveis 2 Escolha de um problema auxiliar 3 Resolver as EDOs 4 Resolver as integrais 5Montar a solução 3DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO Para ilustrar a metodologia apresentase o desenvolvimento de um problema a ser solucionado de forma geral como se segue Problema e suas condições inicial e de contorno 2 2 u u 0 x 1 t 0 t x ux0 fx 0 x 1 u0t 0 u1t 0 t 0 31Separação das variáveis Inicialmente propõemse uma solução que seja produto de duas outras funções de suas variáveis dependentes Proposta de solução uxt gxht As derivadas são u g dh t dt u h dg x dx 2 2 2 2 u h d g x dx A substituição das derivadas na EDP fornece uma igualdade entre as funções em ambos os membros da equação 2 2 1 dh 1 d g h dt g dx IGE UNIFESSPA Professor Evaldiney Ribeiro Monteiro Disciplina Cálculo IV Tópico Métodos de soluçãoes de EDPs MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIAVEIS FEMMA 2 32Escolha de um problema auxiliar A igualdade resultante da separação de variáveis é verdadeira desde que se iguale ambos os membros a uma constante que é denominada de constante de separação 2 2 2 2 2 2 2 1 dh h dt 1 dh 1 d g h dt g dx 1 d g g dx A escolha do problema auxiliar deve ser feita a partir das condições de contorno homogêneas da equação ou seja condições iguais a zero neste caso na direção x Problema auxiliar 2 2 2 1 d g g 0 0 x 1 g dx g0 0 g1 0 33Resolver as EDOs As EDOs resultantes podem ser solucionadas por métodos vistos anteriormente em um curso de cálculo III por serem EDOs lineares de primeira e segunda ordem de coeficientes constantes Têmse as soluções respectivamente Solução das EDOs 2 2 2 t 1 dh dh dt ht Ae h dt h 2 2 1 2 2 d g g 0 gx C sen x C cos x dx Onde as constantes A C1 e C2 devem ser determinadas a partir das condições de contorno e da condição inicial Usando as condições de contorno 1 2 2 g0 0 C sin0 C cos0 0 C 0 1 g1 0 C sin 0 sin 0 n A constante C1 não pode ser determinada mas em compensação podese determinar a constante de separação Que fornece a solução do problema auxiliar 1 gx C senn x IGE UNIFESSPA Professor Evaldiney Ribeiro Monteiro Disciplina Cálculo IV Tópico Métodos de soluçãoes de EDPs MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIAVEIS FEMMA 3 Até o momento foram determinadas duas constantes C2 e a constante de separação das variáveis Entretanto ainda precisase determinar as constantes C1 e A Estas constantes são determinadas usandose a condição inicial seguindo o procedimento desenvolvido a seguir Usando a condição inicial 2t 1 1 uxt gxht uxt Ae C sinn x ux0 AC sinn x Verificase que nesta última equação aparece um produto entre as constantes A e C1 de forma que pode se escrever esse produto em apenas uma única constante que será denotada por Cn visto que esse produto sempre será função de n A constante C1 deve ser igual 1 o que não altera o resultado Usando a condição inicial 1 n n ux0 AC sinn x ux0 C sinn x fx C sinn x Para determinar Cn aplicase o desenvolvimento em serie de Fourier em ambos os membros de forma a ser utilizada a propriedade de ortonormalidade das autofunções Desenvolvendo a série de Fourier na condição inicial Para este desenvolvimento multiplicase ambos os membros pela autofunção trocando o índice n por m e integrase no domínio fazse uso da propriedade de ortogonalidade das autofunções para obter Cn 1 1 n n 0 0 fx C sinn x fxsinm xdx C sinm xsinn xdx A propriedade de ortogonalidade é observada no segundo membro da equação e é definida apenas para valores de mn Onde 1 n 0 0 se m n sinm xsinn xdx N se m n Usando esta propriedade a última constante fica determinada 1 1 n n n n 0 0 1 fxsinn xdx C N C fxsinn xdx N IGE UNIFESSPA Professor Evaldiney Ribeiro Monteiro Disciplina Cálculo IV Tópico Métodos de soluçãoes de EDPs MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIAVEIS FEMMA 4 34Resolver as integrais As integrais que aparecem no desenvolvimento podem ser resolvidas manualmente ou com uso de software aplicativos eou usando uma tabela de integrais para o cálculo de Nn e Cn Resolução das integrais 1 2 n n 0 1 N sin n xdx N 2 1 1 n n n 0 0 1 C fxsinn xdx C 2 fxsinm xdx N Resolver a integral acima que depende da condição inicial do problema Ou seja desenvolver em série de Fourier a função fx 35Montar a solução Para montar a solução devese atentar para o fato de que a proposta de solução inicial deve satisfazer o princípio da superposição linear Pois para n temos uma solução neste caso devemos fazer combinação linear de todas as soluções Solução n n n n 1 uxt gxht u xt g xh t Onde Funções n g x senn x 2t n n h t C e Constante 1 n 0 C 2 fxsinm xdx A integral na constante Cn é feita dependo da forma especifica de fx que nos dá o desenvolvimento em serie de Fourier da função IGE UNIFESSPA Professor Evaldiney Ribeiro Monteiro Disciplina Cálculo IV Tópico Métodos de soluçãoes de EDPs MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIAVEIS FEMMA 5 ATIVIDADE AVALIATIVA Desenvolver a constante Cn definida pela integral apresentada no método para a função fx dada e acoplar na solução desenvolvida em sala de aula e expandir a série nos seus dois primeiros termos Alunos N Nome Matricula Função inicial 01 CATARINA DOS SANTOS CAMPOS 202140605003 fx x1 x 0 x 1 02 DIEVILA PEREIRA CORREA 202140605004 f x senx 0 x 1 03 FABRICIO SOUSA DE ARAUJO 202140605006 x fx 1 e 0 x 1 04 GHISLENE REIS LOPES 202140605009 2x 0 x 1 2 fx 21 x 1 2 x 1 05 JOSE FABIO SERAFIM RODRIGUES 201940605019 2 fx 8x1 x 0 x 1 06 KLEYDBAN SOARES SILVA 202140605014 x 0 x 1 2 fx 1 x 1 2 x 1 07 MATEUS SOUZA ALVES 202140605018 1 x 0 x 1 2 2 fx 1 x 1 2 x 1 2 08 RAPHAEL SOUSA DAMASCENA 201840605031 2 0 0 x 1 2 fx x 1 2 x 1 09 RAYANE CRISTINA TONICO LOPES 202140605021 2 x 0 x 1 2 fx 1 1 2 x 1 4 10 RICARDO DOS REIS SOUSA 202140605022 f x cosx 0 x 1 11 SABRINE MENEZES PETRI 202140605032 x 0 x 1 2 fx x 1 2 x 1 Data de envio aos alunos 04042023 Data máxima de entrega 10042023 Entrega deve ser feita mediante a inserção de arquivo em PDF no sistema SIGAA da Unifesspa IGE UNIFESSPA Professor Evaldiney Ribeiro Monteiro Disciplina Cálculo IV Tópico Métodos de soluçãoes de EDPs MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIAVEIS FEMMA 6 ANOTAÇÔES Para que serve o método de separação de variáveis e em que contextos ele é aplicado O método de separação de variáveis é uma técnica usada para resolver equações diferenciais parciais que envolvem várias variáveis independentes É frequentemente aplicado em física e engenharia para modelar fenômenos naturais Como o método de separação de variáveis é usado para resolver equações diferenciais parciais O método de separação de variáveis é usado para transformar uma equação diferencial parcial em uma série de equações diferenciais ordinárias cada uma envolvendo apenas uma variável independente Quais são as etapas básicas do método de separação de variáveis As etapas básicas do método de separação de variáveis são separar as variáveis independentes e dependentes aplicar as condições de contorno resolver cada equação diferencial ordinária resultante e recombinar as soluções para obter a solução geral Quais são as principais dificuldades associadas ao uso do método de separação de variáveis As principais dificuldades associadas ao uso do método de separação de variáveis incluem a necessidade de identificar uma separação adequada das variáveis independentes e dependentes bem como a complexidade das condições de contorno e das equações diferenciais ordinárias resultantes O que é a condição de contorno e por que ela é importante no método de separação de variáveis A condição de contorno é uma restrição que deve ser satisfeita pela solução da equação diferencial parcial em pontos específicos do domínio Ela é importante porque fornece informações adicionais que ajudam a determinar a solução geral O método de separação de variáveis é sempre aplicável a qualquer equação diferencial parcial O método de separação de variáveis nem sempre é aplicável a todas as equações diferenciais parciais pois algumas equações podem não ser passíveis de separação Como o método de separação de variáveis pode ser usado para resolver problemas em engenharia e física O método de separação de variáveis pode ser usado para resolver problemas em engenharia e física tais como problemas de condução de calor propagação de ondas eletromagnéticas e mecânica quântica Quais são algumas das limitações do método de separação de variáveis em relação a outras técnicas de solução de equações diferenciais parciais Algumas das limitações do método de separação de variáveis em relação a outras técnicas de solução de equações diferenciais parciais incluem a sua aplicabilidade limitada a certas classes de equações e a dificuldade de encontrar soluções precisas em alguns casos Qual é a relação entre a técnica de expansão em séries e o método de separação de variáveis A técnica de expansão em séries pode ser vista como uma generalização do método de separação de variáveis pois envolve a decomposição da solução em uma série infinita de termos Quais são as aplicações práticas do método de separação de variáveis em ciências e engenharia O método de separação de variáveis é amplamente utilizado em aplicações práticas em ciência e engenharia incluindo a modelagem de fenômenos naturais em física química e engenharia bem como em áreas como finanças e economia