Método de Separação de Variáveis em Equações Diferenciais Parciais

9 O método de separação de variáveis Capítulo 9 O Método de Separação de Variáveis No capítulo anterior discutimos a forma mais geral de uma equação a derivadas parciais linear e de segunda ordem bem como a redução de qualquer equação deste tipo à forma canônica No presente capítulo enunciaremos alguns métodos de resolução para tais equações Além é claro da resolução propriamente dita devemos nos preocupar ainda com as chamadas condições iniciais e as chamadas condições de contorno Capítulo 9 O método de separação de variáveis por funções das variáveis independentes Uma solução de uma equação diferencial parcial em alguma região R do espaço das variáveis independentes é uma função que tem todas as derivadas parciais que aparecem na equação em algum domínio contendo R e satisfazendo a equação em todo o domínio R Em geral a totalidade das soluções de uma equação a derivadas parciais é muito grande Veremos mais adiante que a solução única de uma equação diferencial parcial correspondente a um dado problema será obtida usandose informações adicionais que aparecem da situação física 92 O método de separação de variáveis 155 onde os coeficientes A B F são funções das variáveis independentes ξ e η assim como a variável dependente u uξ η Como já vimos é sempre possível encontrar uma transformação de coordenadas do tipo x xξ η e y yξ η com o jacobiano diferente de zero capaz de reduzir esta equação à forma canónica do tipo ax y ²u x² cx y ²u y² dx y u x ex y u y fx yu 0 93 onde a c para as equações hiperbólicas a 0 ou c 0 para as equações parabólicas e a c no caso de uma equação elíptica Vamos então supor que a solução ux y da equação 93 possa ser escrita na forma do produto ux y RxTy 94 onde a função Rx depende somente da variável x e Ty depende somente de y Introduzindo ux y escrito dessa forma na equação diferencial colocada na forma canónica obtemos uma equação a derivadas ordinais envolvendo as funções R e T αT d²R dx² cR d²T dy² dT dR dx eR dT dy fRT 0 95 onde omitimos dos coeficientes e das variáveis dependentes a dependência funcional em x e y Suponhamos agora que seja possível encontrar uma função px y tal que ao dividirmos a equação 95 por px y obtemos uma expressão da forma τ₁ₐ₁χ d²R dx² R₁ₑχ d²T dy² τ₂ₐ₂x dR dx Rₓby dT dy a₃x b₃yRT 0 96 Dividindo esta equação por RT temos então a₁ R d²R dx² a₂ R dR dx a₃ b₁ d²T T dy² b₂ dT dy b₃ É importante notar aqui que nesta igualdade o lado esquerdo contém somente funções da variável x enquanto que o lado direito envolve apenas a variável y Diferenciando ambos os lados da equação 97 em relação a x obtemos d dx a₁ R d²R dx² a₂ R dR dx a₃ 0 98 integrando esta expressão encontramos que 93 Condições de contorno 156 onde a constante λ é chamada a constante de separação De posse deste resultado podemos então escrever a₁ d²R dx² a₂ dR dx a₃ λR 0 910 b₁ d²T dy² b₂ dT dy b₃ λT 0 911 que constitui um sistema de duas equações diferenciais ordinárias Assim ux y é solução da equação diferencial parcial 93 se Rx e Ty são respectivamente soluções das equações 910 e 911 Este procedimento constituiu o primeiro passo para resolver uma equação a derivadas parciais de segunda ordem linear e homogênea através do método de Fourier Ora as equações acima carregam em suas soluções gerais duas constantes de integração arbitrárias Para determinálas devemos proceder ao segundo passo do método a aplicação das condições i Condições de Dirichlet quando é especificado o valor da função para um certo x x₀ ou seja quando é dado ux y xx₀ α₁ onde α é conhecido ii Condições de Neumann em que é dado o valor da derivada da função para um certo valor x x₀ isto é x ux y xx₀ β onde β é dado 94 Problemas resolvidos 157 iii Condições de Cauchy as quais fornecem o valor para h 0 de x ux y hux y xx₀ γ 914 onde γ é conhecido Devemos notar que a escolha correta do sistema de coordenadas é de suma importância para que tenhamos condições separadas Além disso as condições de contorno dadas em x x₀ devem conter somente derivadas de ux y em relação a x e seus coeficientes devem depender apenas de x Finalmente o terceiro passo do método de Fourier consiste em fazer com que as soluções encontradas satisfaçam as equações diferenciais ordinárias correspondentes bem como as condições iniciais do problema específico Para exemplificar o método de Fourier vamos agora discutir o problema de uma corda vibrante fixa em suas extremidades como uma corda de violão Referências 5 9 21 22 25 29 30 31 36 37 43 44 46 49 52 53 56 57 Capítulo 9 O método de separação de variáveis ux t RxTt Repetindo o mesmo procedimento para a equação 929 encontramos que os bns são dados por Capítulo 9 O método de separação de variáveis Multiplicandose o numerador e o denominador pelo fator eta e3ta obtemos 1 e4tsa Uxs fracaf0E s2 left etxsa etxsa e3xsta e3xsta right Visto que o denominador tem um termo do tipo 1 e4tsa a transformada inversa é uma função periódica com período igual a T 4Ea de onde podemos escrever uxt fracaf0E begincases 0 0 t fraclxa fractlx2a fraclxa t fraclxa fraclxa frac3exa t frac3xea 0 3ex t 4Ea endcases PR 94 Obtenha a temperatura num cilindro circular infinito com a condição de que a temperatura inicial seja dada por ur 0 u0 left 1 fracr2r02 right com r0 e u0 constantes positivas e sobre a superfície se mantém igual a zero Resolução Devemos resolver a equação do calor em coordenadas cilíndricas r ϕ z Devido à simetria a solução é independente de ϕ e de z isto é fracpartialpartial t urt a2 left fracpartial2partial r2 urt frac1r fracpartialpartial r urt right 957 onde a2 é uma constante positiva Vamos considerar o método de separação de variáveis e para tanto introduzimos a função urt RrTt de onde obtemos a seguinte equação diferencial na variável r fracd2dr2 Rr frac1r fracddr Rr lambda2 Rr 0 onde λ2 é a constante de separação A solução da equação acima é dada por Rr A J0λr B Y0λr 960 94 Problemas resolvidos com A e B constantes e sendo J0x e Y0x as funções de Bessel de ordem zero regulares respectivamente em zero e no infinito A fim de que tenhamos soluções nãotriviais devemos ter J0λr0 0 Sendo μn λr0 as raízes positivas da equação acima podemos escrever Rr A J0 left fracμn rr0 right Para a outra equação na variável t temos fracddt Tt a2 λ2 Tt 0 cuja solução é dada por Tt B ea2 λ2 t onde B é uma constante Combinando as soluções das equações diferenciais ordinárias podemos escrever pelo princípio de superposição o seguinte resultado urt sumn0 An ea2 λ2 t J0 left fracμn rr0 right 965 Utilizando a condição inicial obtemos ur 0 sumn0 An J0 left fracμn rr0 right u0 left 1 fracr2r02 right que é uma série de FourierBessel cujos coeficientes An são dados pela seguinte integral An frac2 r02J1μn2 int0r0 J0 left fracμn rr0 right u0 left 1 fracr2r02 right dr 967 Esta é uma integral tabelada de onde podemos escrever An frac4 u0μn2 fracJ2μnJ1μn2 logo obtemos a solução para nosso problema inicial ou seja urt 4u0 sumn0 frac1μn2 fracJ2μnJ1μn2 ea2 λ2 t J0 left fracμn rr0 right 969 PP 91 Classifique quanto à linearidade as seguintes equações diferenciais parciais a fracpartial2 upartial x2 fracpartial2 upartial y2 fracpartial2 upartial z2 0 u uxyz b fracpartial upartial t frach22m fracpartial2 upartial x2 onde h e m são constantes c leftfracpartial upartial tright2 fracpartial2 upartial x2 fxt u uxt d fracpartial upartial t fracpartial3 upartial x3 u utx PP 96 Mostre que a A equação de Laplace fracpartial2 upartial x2 fracpartial2 upartial y2 0 é elíptica b A equação do calor fracpartial upartial t k fracpartial2 upartial x2 é parabólica c A equação de onda fracpartial2 upartial t2 c2 fracpartial2 upartial x2 é hiperbólica d A equação de Tricomi fracpartial2 upartial x2 y fracpartial2 upartial y2 0 é elíptica no semiplano superior e hiperbólica no semiplano inferior PP 911 Usando as mesmas coordenadas do problema anterior escreva e separe a equação de DAlembert de DAlembert fracpartial2 upartial t2 fracpartial2 upartial x2 fracpartial2 upartial y2 fracpartial2 upartial z2 abla2 u 0 onde u ut x y z e emerge o operador de Laplace ou laplaciano abla2 fracpartial2partial x2 fracpartial2partial y2 fracpartial2partial z2 e o chamado operador de DAlembert ou dalembertiano Box fracpartial2partial t2 fracpartial2partial x2 fracpartial2partial y2 fracpartial2partial z2 PP 918 Proceda como no PP917 para resolver um problema nãohomogêneo independente do tempo a saber PP 923 Obtenha uma solução da equação do calor PP 930 Utilize a transformada de Laplace para resolver Capítulo 9 O método de separação de variáveis PP 934 Resolve o problema para u uxt ²ut² ²ux² x t com ux0 x utₜ₀ x²2 u0t t e u1t t²2 PP 935 Encontre a temperatura de estado estacionário num cilindro circular reto de raio 2 e altura 4 ou seja resolva ²ur² 1r ur ²uz² 0 0 r 2 0 z 4 com u2z 0 ur0 u₀ e ur4 0 PP 936 Mostre que a temperatura de estado estacionário na esfera ou seja a solução de ²ur² 2r ur 1r² ²uθ² cotg θ uθ 0 para 0 r a e 0 θ π com uaθ fθ é dada por urθ 2k 12 ₀ᵏ fθPkcos θ sen θ dθ raᵏ onde os Pkθ são os polinômios de Legendre de ordem k PP 937 Encontre uma solução do estado estacionário ψx para o seguinte problema k ²ux² ut 0 x π e t 0 u0t u₀ u0t uxtx ₜπ uπt u₁ t 0 uxt 0 0 x π onde u₀ e u₁ são constantes PP 938 Fórmula de Poisson Resolva a equação de Laplace no semiplano y 0 utilizando a transformada de Fourier isto é encontre uxy tal que ²ux² ²uy² 0 x uxy M para x onde fx é uma função suave por partes e tal que ⁿ fxdx PP 939 Encontre a solução da equação do calor num cilindro infinito de raio R isto é resolva o seguinte problema ut kΔu Ω para t 0 0 ρ R π φ π com uRφt Tₑ e uRφ0 Tₒ onde Tₑ k Tₒ e Tₖ são constantes positivas Note que ρ e φ são coordenadas cilíndricas no plano e que u é independente de z PP 940 Determine o potencial entre duas esferas concêntricas mantidas a potenciais distintos e constantes ua A e ub B