Controladores PID e Projeto de Compensadores para Servomecanismos - Análise e Projeto

Parte 1 Controladores PID 50 pontos A função de transferência do controle de velocidade de uma unidade de fita magnética é dada pela figura mostrada O sensor de velocidade é rápido o suficiente para que sua dinâmica possa ser desconsiderada e o diagrama apresenta uma realimentação unitária a Assumindo uma referência igual a zero qual o erro de regime permanente devido a um distúrbio de torque em forma de degrau com 1 Nm Qual deve ser o ganho K de um amplificador que atenue o erro de regime permanente de modo que erp 001 radseg b Determine e plote quais os polos complexos do sistema em malha fechada e gere a curva da saída do sistema para uma entrada em degrau utilizando o ganho K determinado no item a c Determine a região no plano complexo com os polos de malha fechada que correspondem a respostas aceitáveis para as especificações de um tempo de acomodação menor que 01 segundos para um critério de 1 e um overshoot menor que 5 d Determine valores de kp e kd para um controlador PD que irá atender às especificações do item c e Para o esquema de controle montado no item d como o erro de regime permanente se comporta em face a um distúrbio Como esse erro a um distúrbio pode ser levado a zero J 010 kgm2 b 100 Nmsec Parte 2 Projeto de Compensadores através do LGR 50 pontos O controle de posição de um servomecanismo tem sua função de transferência dada por Gs 10 ss1s10 Desenvolva um compensador Cs em série com a planta e com uma realimentação unitária que encontre as seguintes especificações desejadas A resposta a uma entrada em degrau não deve possuir um overshoot maior que 16 A resposta a uma entrada em degrau deve ter um tempo de acomodação que não passe de 1 segundo O erro em regime permanente a uma entrada do tipo rampa unitária deve ser menor que 005 a Desenvolva um compensador do tipo lead que faça o sistema respeitar os requisitos dinâmicos desejados ignorando o erro de regime permanente b Qual a constante Kv do sistema utilizando o compensador lead Ele está de acordo com a especificação de erro de regime desejado c Desenvolva uma compensação lag para ser colocada em série com o compensador lead desenvolvido de modo que o sistema consiga respeitar todos os requisitos desejados d Plote o LGR do sistema original e do sistema compensado e Plote a resposta ao degrau do sistema compensado PARTE 1 a Ds DISTURBANCE TORQUE ΩmsDs 1 Jsb 1 K 10 05s1 b Jsb ΩmsDs 05s 1 05s 1Js b 10K Ωms 05s 1 05s1Jsb 10K Ds PARA Ds 1s Ωms 05 1 05s1Jsb10K Ds PERO TEOREMA DO VALOR FINAL ωm lim s Ωms lim s 05s 1 05s1Jsb10K 1s s0 s0 Wm 1 1 b 10 K 1 1 b 10 K P02 b 100 Nms Wm 1 1 10 K 001 1 10 K 1 1 001 K 1 001 1 110 k 99 J 910 Kgm² Δs 015 s 3Js b 10 K Δs 015 s 1010 s 1 10 K Δs 005 s² 06 s J 10 K Aplicandose o critério de Routh s² 005 10 K 1 s 06 s⁰ a a 06 10 k 1 005 0 06 10 k 170 k 110 01 O sistema é estável para k 01 logo para k 99 a condição de erro é satis feita P03 k99 b ΩmsΩRs K 10055 1 1Js b 1 K 10055 1 1Js b ΩmsΩRs 10K 055 1Js b 10K ΩmsΩRs 10 99 055 1015 1 10 99 Δs 055 1015 1 990 Δs 005 s² 06 s 100 005 s² 06 s 100 0 s₁ 6 j4432 s₂ 6 j4432 Polos Complexos Diagrama de polos e zeros Ims Res P04 42432 6 0 4432 Curva de saída Gs 99 005 s² 06 s 100 1980 s² 12 s 2000 Gs 099 2000 s² 12 s 2000 Ks Wn² s² 2 ξ Wn s Wn² Wn² 2000 Wn 2000 4472 rads 2ξWn 12 ξ 12 2Wn 12 22000 0134 Ts 4 ξ Wn 4 12 2 0167s Mp eξπ1ξ² e0134 π 10134² 01654 ou 654 ωm 099 1 099 rads ωmmax 1654 099 1638 rads 102 099 10098 rads 098 099 09702 rads P05 Gráfico ωm rads 1638 10098 09900 09702 0 0071 067 ts Tp π ωd π 44132 0071 s c PARA Mp 5 ξ ln 5 100 π² ln² 5 100 069 P06 θ cos¹ 069 4636 PARA Ts 01 s eξωnTs 1ξ² 001 1 eξωn 01 1 069² 005 ξωn 2626 Região do plano complexo aceitável Ims 4636 2626 4636 0 Res d PARA UM CONTROLADOR PD P07 Cs Kp Kd s ωms ωrs Kp Kd s 99 10 05 s 1 1 01 s 1 1 Kp Kd s 99 10 05 s 1 1 01 s 1 ωms ωrs 99 Kp Kd s 05 s 101 s 1 99 Kp Kd s VAMOS ESCOLHER UM PAR DE POLOS DENTRO DA REGIÃO DESEJADA E FAZER A ALOCAÇÃO P12 30 j10 sD s 30 j10s 30 j10 s² 60 s 1000 sS 05 s 101 s 1 99 Kp Kd s sS 005 s² 06 99 Kd s 1 99 Kp sS s² 06 99 Kd 005 s 1 99 Kp 005 016 99 kd 005 60 kd 00242 1 99 kp 0125 2000 Kp 04949 P08 e wms Ds 1 Js b 1 Kp KdS 99 055 1 1 015 1 wms Ds 055 s 1 055 s 1015 s 1 99 Kp Kd s wm lim s0 s 055 s 1 055 s 1015 s 1 99 Kp Kd s 1 s wm 1 11 99 Kp 1 1 99 04949 wm 002 rads 1 UNIDADE DE TORQUE EM Ds PRODUZIRA UM DESVIO DE 002 rads EM wm PARA FAZER O ERRO DO DISTURBIO SER NULO E PRECISSO ACRESCENTAR UM INTEGRADOR NA MALHA DIRETA PARTE 1 a Ds DISTURBANCE TORQUE P05 wms Ds 1 Js b 1 K 10 05 s 1 b Js b wms Ds 05 s 1 05 s 1Js b 10 K wms 05 s 1 05 s 1Js b 10 K Ds PARA Ds 1 s wms 05 1 05 s 1Js b 10 K Ds PERO TEOREMA DO VALOR FINAL wm lim s0 s wms lim s0 s 05 1 05 s 1Js b 10 K 1 s wm 1 1 b 10 K 1 1 b 10 K P02 b 100 Nms wm 1 1 10 K 001 1 10 K 1 1 001 K 1 001 1 1 10 K 99 J 910 Kgm2 Δs 015 s 1Js b 10 K Δs 015 s 1010 s 1 10 K Δs 005 s2 06 s 1 10 K APLICANDOSE O CRITERIO DE ROUTH s2 005 10K 1 s 06 s0 a 06 10 K 1 005 0 06 10 K 170 K 110 01 O sistema é estável para K 01 logo para K 99 a condição de erro é satisfeta P03 K99 b Ωms ΩRs K 10055s 1Jsb 1 K 10055s 1Jsb Ωms ΩRs 10 K 055sJsb 10 K Ωms ΩRs 10 99 055s015s 10 99 Δs 05s1015s 990 Δs 005 s2 06 s 100 005 s2 06 s 100 0 s1 6 j 4432 s2 6 j 4432 Polos complexos Diagrama de polos e zeros Ims P04 42432 6 0 4432 Res Curva de saída Gs 99 00552 06 s 100 1980 s2 12 s 2000 Gs 099 2000 s2 12 s 2000 Ks wn2 s2 2 ζ wns wn2 wn2 2000 wn 2000 4472 rads 2 ζ wn 12 ζ 12 2 wn 12 2 2000 0134 Ts 4 ζ wn 4 12 2 0167 s Mp e ζ π1ζ2 e 0134 π 1 01342 01654 ou 654 Δm 099 1 099 rads ΩmMAX 1654 099 1638 rads 102 099 10098 rads 098 099 09702 rads P05 Gráfico Wm rads 1638 10098 09900 09702 0 0071 0167 t s Tp πωd π 4432 0071 s c PARA Mp 5 ξ ln5100 π² ln²5100 069 θ cos¹069 4636 PARA Ts 01 s eξwnTs 1ξ² 001 1 eξwn01 1069² 005 ξwn 2626 REGIÃO DO PLANO COMPLEXO ACEITÁVEL Ims Res 4636 2626 4636 d PARA UM CONTROLADOR PD Cs Kp Kd s rms oRs Kp Kd s9910 05 s 101 s 1 1 Kp Kd s9910 05 s 101 s 1 rmsDs 99 Kp Kd s 05 s 101 s 1 99 Kp Kd s VAMOS ESCOLHER UM PAR DE POLOS DENTRO DA REGIÃO DESEJADA E FAZER A ALOCAÇÃO P12 30 j 10 ΔsD s 30 j 10s 30 j 10 s² 60 s 1000 ΔsS 05 s 101 s 1 99 Kp Kd s ΔsS 005 s² 06 99 Kd s 1 99 Kp ΔsS s² 06 99 Kd 005 s 1 99 Kp 005 06 99 Kd 005 60 Kd 00242 1 99 Kp 005 1000 Kp 04949 e rms Ds 1 Js b 1 Kp Kd s99 05 s 101 s 1 rms Ds 05 s 1 05 s 101 s 1 99Kp Kd s wm lim s0 s05 s 1 05 s 101 s 1 99 Kp Kd s 1s wm 1 199 Kp 1 1 9904949 wm 002 rads 1 UNIDADE DE TORQUE EM Ds PRODUZIRÁ UM DESVIO DE 002 rads EM wm PARA FAZER O ZERO DO DISTÚRBIO SER NULO É PRECISO ACRESCENTAR UM INTEGRADOR NA MALHA DIRETA a Especificações g ln016 π2 ln2016 01504 θ cos101504 5973 Swm 4 1 4 Critério de 2 Controlador avanço Gcs 1 sT 1 s2T α 1 Utilização do LGR O controlador avanço puxa o LGR para a esquerda do plano complexo Pelo LGR de Gs Esboça do abaixo verifica que apenas um ganho não atende às especificações P12 4 4 01504 1 015042 4 j685 Foi escolhido em cima do limiar da região de alocação por questões didáticas mas dever escolhe dentro da região Gs 10 ss1s10 G4 j685 10 ss1s10 s 4 j685 G4 j685 1 ss1s10 s 4 j685 7728 G4 j685 7728 360 28272 Logo o controlador deve contribuir com 28272 180 10272 A contribuição máxima de um controlador avanço é 90 logo iremos usar dois estágios em série iguais com contribuições individuais 10272 2 5136 φ φ 2 5136 2 2568 tg4137º z 4 685 z 685 tg4137º 4 4524 z 4524 tg5573º p 4 685 p 685 tg5573º 4 1405 p 1405 Gcs s 4524 s 1405 Kc pela condição de módulo Gs² Gss 4 j685 1 Kc² s 1405² 5s 1s 10 s 4524² 10 s 4 j685 1693 Kc 1693 1301 Controlador projetado completo Gccs Gcs² 1301 s 4524 s 1405 ² b Kv lim s Gccs Gs s 0 Kv lim s 1301 s 4524 s 1405 ² 10 s s 1s 10 s 0 Kv 1301 4524 1405² 10 1 10 1755 Kv 1755 eccs 1 Kv 1 1755 0057 005 O erro não está de acordo com a especificação de erro de regime desejado c compensador por atraso de fase Gcs sT 1 sβT 1 1 β s 1 T s 1 βT 1 β 10 Ims Res 1T 1βT LGR e polos de malha fechada assíntota de 60º Res assíntota de 60º 1405 10 4524 4 1 0 Ims 685 685 cssβ β css005 0057 005 11397 escolha do polo e zero próximo a origem para não interferir significativamente no LGR logo 1T 01 T 101 10 P25 1βT 11139710 0088 Gcs 111397 s01s0088 Código no Matlab para letras D e E clear all clc stfs G10ss1s10 Gav1301s4524s14052 Gat111397s01s0088 figure rlocusGred hold on rlocusGatGavGblue legendNão compensadoCompensado figure stepGatGavG1GatGavG D Lugar das raízes E Resposta ao degrau