Álgebra e Geometria Analítica

0 y x x IbIbI P bP bP y x 0 B YB YB M YM YM A YA YA M X M X M B X B X B A M C D B x M X M X M B X B X B M C D B X D 0 y x P bP bP x 0 y y 0 B YB YB M YM YM A YA YA A IbIbIbI 0 y x Álgebra e Geometria Analítica SUMÁRIO Apresentação 5 Sistema de Numeração Parte 1 7 Sistema de Numeração Parte 2 19 Noções de Lógica Matemática 35 Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 47 Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 57 Geometria Analítica Parte 1 69 Geometria Analítica Parte 2 79 Geometria Analítica Parte 3 85 Geometria Analítica Parte 4 93 Álgebra Linear Matrizes 99 Álgebra Linear Determinantes 117 Álgebra Linear Sistemas Lineares 123 Álgebra e Geometria Analítica REITORIA Reitor Prof Fernando de Melo Nogueira ViceReitor e PróReitor de Graduação Prof Guilherme Guazzi Rodrigues PróReitor de Planejamento e Administração Prof Márcio Dario da Silva PróReitora de PósGraduação Pesquisa e Extensão Profª Drª Maria Lectícia Firpe Penna FACULDADE DE CIÊNCIAS EMPRESARIAIS FACE DiretorGeral Prof Marco Túlio de Freitas Diretora de Ensino Profª Renata de Sousa da Silva Tolentino FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS SOCIAIS E DA SAÚDE FCH DiretorGeral Prof Antônio Marcos Nohmi Diretor de Ensino Prof João Batista de Mendonça Filho FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA FEA DiretorGeral Prof Eduardo Georges Mesquita Diretora de Ensino Profª Maria Silvia Santos Fiuza BELO HORIZONTE 2017 APRESENTAÇÃO A Geometria surgiu na Grécia Antiga há aproximadamente 2600 anos como Ciência Dedutiva mas apesar do brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador Os gregos porém não eram muito bons em álgebra Mais do que isso somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria Dois grandes filósofos franceses da época Pierre de Fermat 16011665 e René Descartes 1596 1650 curiosamente ambos graduados em Direito nenhum deles matemático profissio nal são os responsáveis por esse grande avanço científico o primeiro movido basicamen te por seu grande amor a matemática e o segundo por razões filosóficas Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial do Cálculo de Probabilidades e especialmente da teoria dos números ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros Sua contribuição à Geometria Analítica encontrase num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo de 1636 mais que só foi publicado em 1679 postumamente junto com sua obra comple ta Como Fermat era bastante modesto e avesso a publicar seus trabalhos resultou daí em parte o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica Assim a Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método obra consi derada o marco inicial da filosofia moderna Nela em resumo Descartes defende o méto do matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos A Geometria Analítica também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana em que certas noções geométricas são consideradas primitivas e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria incluindo geometria algébrica diferencial discreta e computacional Em geral o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos retas curvas e círculos geralmente em duas dimensões mas por vezes também em três ou mais dimensões A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples ela diz respeito a definição e representação de formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa repre sentação O resultado numérico também pode no entanto ser um vector ou uma forma O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseiase no axioma de CantorDedekind FICHA TÉCNICA FUMEC VIRTUAL SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes P Araújo Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M Valadares Design Multimídia Nathan Ackerman Chagas de Souza Therus Santana InfraEstrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA DA DISCIPLINA Profa Isabel Cristina Dias Alves Lisboa BELO HORIZONTE 2015 SISTEMA DE NUMERAÇÃO PARTE 1 HISTÓRIA ANTIGO SISTEMA DE NUMERAÇÃO Sistema de agrupamentos simples Sistema de numeração posicionais Período aproximadamente 3500 aC A numeração escrita nasceu nas épocas mais primitivas do desejo de manter registros de gado ou outros bens com marcas ou traços em paus pedras etc aplicando o prin cípio da correspondência biunívoca Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se conhecem são os dos egípcios e dos babilônios que datam aproximadamente do ano 3500 aC Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples com base 10 Para os egípcios representavase um traço vertical valia 1 Um osso de calcanhar invertido valia 10 Um laço encaracolado valia 100 Uma flor de lótus valia 1000 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 um traço um arco um rolo uma flor um dedo um peixe um homem Um exemplo de um número escrito em símbolos egípcios é dado abaixo 13015 1104 3103 1101 5 que representado fica igual a 13015 Escrevemos esse número da esquerda para a direita embora os egípcios escrevessem em uma ou outra direção dependendo do documento Os babilônios usavam um sistema posicional que em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios Algumas inscrições mostram que surpreendentemente eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal isto é base 60 Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas 1 1 No sistema decimal os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos por exemplo 25 210 5 Sistema de Numeração Parte 1 7 O símbolo para 100 era composto por traços e números superiores a 100 representados novamente por agrupamento Assim por exemplo temos 123 O símbolo indica 10 vezes 100 isto é 1000 1 3 10 13 20 23 100 1000 Egípcios Sumérios Também empregava em algumas tabuletas o sistema sexagesimal Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali se escreviam grupos de cunhas com base 60 Por exemplo 260 3 123 Os babilônios chegaram a empregar um símbolo formado por duas cunhas inclinadas para representar a ausência de um grupo Por exemplo 1602 060 2 3602 Como este símbolo não era de uso frequente e ainda nunca foi usado no fim de uma expressão o sistema babilônio apresentava ambiguidades Por exemplo Essa simbologia poderia representar o número 12 ou 12 60 720 ou 12 602 43200 e outros O sistema de numeração indoarábico é um sistema de numeração posicional de base 10 Ele é preciso e não apresenta ambiguidades justamente porque temos o símbolo 0 zero para representar ausência de uma casa A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos Sistema de Numeração Parte 1 8 SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDOARÁBICO Período 250 aC até século XVI O sistema de numeração indoarábico tem esse nome devido aos hindus que o inventa ram e devido aos árabes que o transmitiram para a Europa Ocidental Na Índia encontramos colunas de pedras datadas no ano 250 aC com símbolos numé ricos que seriam os precursores do nosso sistema de numeração mas nesses não encon tramos nem o zero sinal para marcar ausência de unidade ou o espaço vazio de uma unidade faltante e nem a notação posicional Porém a ideia de valor posicional e zero devem ter sido introduzida na Índia antes do ano 800 aC pois o matemático persa AlKhowârizmî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro datado no ano 825 dC Não sabemos como esses numerais chegaram na Europa provavelmente através de comerciantes e viajantes árabes pelas costas do Mediterrâneo Sabemos que foi uma tradução latina do tratado de AlKhowârizmî feita no século XII seguida de alguns traba lhos europeus sobre o assunto fez com que o sistema se disseminasse mais amplamente Um primeiro divulgador de seu uso foi Gerbert c 950 1003 Nascido em Auvugne França foi um dos primeiros cristãos a estudar nas escolas muçulmanas da Espanha e ao retornar de seus estudos tentou introduzir na Europa cristã os numerais indo arábicos sem o zero Á ele atribuise a construção de ábacos globos terrestres e celestes e um relógio Ele subiu na hierarquia da Igreja tornandose papa com o nome de Silvestre II no ano 999 Foi considerado um erudito profundo escreveu sobre astrologia aritmética e geometria Na época de Gerbert começaram a entrar na Europa Ocidental os clássicos gregos de ciência e matemática Houve assim um período de transição durante o qual o saber grego preservado pelos muçulmanos foi passando para os europeus ocidentais No século XVI Leonardo de Pisa defendeu e utilizou a notação indo arábica em seus trabalhos colaborando para a introdução desses numerais na Europa Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são importantes como a astrono mia a navegação o comércio a engenharia e a guerra fizeram com que esses numerais fossem utilizados para tornar os cálculos rápidos e precisos A Representação de um número em uma base Como sabemos cada sistema de numeração está associado a um conjunto de símbolos a partir dos quais escrevemos todos os outros números Chamamos de base do sistema à quantidade destes símbolos Por exemplo os babilônios usavam um sistema de base 60 e hoje usamos o sistema decimal base 10 A razão de utilizarmos base 10 é convencional e provavelmente é consequência do fato de quase todos os povos terem usado os dedos das mãos para contar Temos então que no nosso sistema todo número pode ser representado por uma sequência an a n1 a1 a0 onde cada ai é um dos algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e que cada ai representa dependendo de sua posição na sequência de acordo com a seguinte regra cada vez que deslocamos uma casa para a esquerda na sequência acima o valor do algarismo fica multiplicado por dez Por exemplo para representar o número de dias do ano civil 365 dias na base 10 o nosso primeiro passo consiste em fatorar grupos de dez dias obtendo o diagrama abaixo onde Sistema de Numeração Parte 1 9 cada cruzinha representa um dia cada retângulo indica um grupo de dez dias e cada coração indica um grupo de 10 de 10 dias Representa 1 dia uma unidade Representa grupo de 10 dias Representa grupo de 100 dias Centenas Dias Dezenas Dias Unidades Dias Assim cada representa 1 dia e cada representa 10 dias e cada representa um grupo de 10 ou seja 100 dias Obtemos assim três grupos de cem dias cada seis grupos de dez dias cada e cinco dias Podemos então representar o número de dias do ano por 365 onde o algarismo 5 repre senta o número de dias que sobraram quando da divisão em grupos de dez o algarismo 6 representa o número de grupos de dez dias e o algarismo 3 o número de grupos de dez grupos de dez dias Em outras palavras como o algarismo 6 está deslocado uma casa à esquerda na sequência 365 seu valor é de 6 vezes 10 e como o algarismo 3 está desloca do duas casas a esquerda seu valor é de 3 vezes 10 vezes 10 Isto significa que 365 3 10 10 6 101 5 100 365 3 102 6 101 5 100 Generalizando se o número de elementos de um conjunto é representado por uma sequ ência anan1 a1 a0 este conjunto tem a0 elementos mais a1 grupos de dez mais a2 grupos de 102 e assim sucessivamente ou seja ele tem a0 100 a1 101 a2 102 an 10n elementos O que fizemos com grupos de dez poderíamos ter feito com outros grupos Por exemplo se estivéssemos contando com os dedos da mão o natural seria usar grupos de cinco isto é base 5 Por exemplo o número 23 na base 5 é representado por Sistema de Numeração Parte 1 10 Temos 4 grupos completos de 5 elementos e 1 incompleto com apenas 3 elementos Cada grupo completo de 5 unidades forma uma nova representação 4 grupos completos de 5 unidades e mais 3 elementos isolados Assim os grupos completos de unidades passam a ocupar uma nova ordem superior conforme vemos abaixo 4 grupos completos de 5 unidades formam uma nova ordem 3 elementos isolados Nenhum grupo completo de 5 unidades 2ª ordem de grupos de 5 1ª ordem que não formam grupos de 5 Assim para a base 5 consideramos cinco símbolos um para cada número de um a quatro e outro para indicar posições vazias usaremos os símbolos 0 1 2 3 e 4 como os algarismos desse sistema Para representar o número 7 na base 2 devemos de maneira análoga aquela utilizada para base 5 formar grupos de dois 7 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 Quantidade de elementos Sistema de Numeração Parte 1 11 1 grupo de 2 elementos de 2 3 grupos de 2 elementos 1 elemento que não forma grupo de 2 1 grupo de 2 grupos de 2 elementos 1 grupo de 2 elementos Sobrou 1 unidade Poderíamos ver assim também SOBROU SÓ 1 A CADA 2 VAI 1 A CADA 2 VAI 1 I I I I I I I I I I I 3ª ORDEM 2ª ORDEM 1ª ORDEM I I I Assim temos 7 3x2 1 7 1x2 1 x 2 1 7 1x2x2 1x2 1 7 1 x 22 1x21 1x20 Escrevemos o número 7 na base 2 como sendo 7 1112 Na verdade não é difícil demonstrar que podemos ter sistemas de numerações posicio nais com qualquer base b 1 Depois de escolhida a base b devemos adotar b símbolos básicos para representar os números de 0 à b 1 tais símbolos são chamados de alga rismos do sistema Se b 10 podemos utilizar os nossos algarismos hinduarábicos se b 10 podemos utilizar os nossos algarismos hinduarábicos de 0 até 9 e escrever outros símbolos geralmente usamos letras para representar os números 10 11 12 b1 Sistema de Numeração Parte 1 12 Assim se b 1 qualquer número natural x pode ser escrito como x b a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn onde os coeficientes an an1 a2 a1 a0 tomam valores de 0 a b 1 Assim o número x acima é representado posicionalmente na base b pela sequência an an1 a2 a1 a0 E escrevemos assim x an an1 a2 a1 a0b Exemplo 7 1x22 1x21 1x20 7 1112 Convencionamos não escrever o subscrito da base b quando estamos utilizando a base usual 10 Cada um dos símbolos ai i 1 an an1 a2 a1 a0 representa portanto um múltiplo de alguma potência da base b a potência dependendo da posição na qual o algarismo aparece de modo que ao mover um símbolo uma casa para a esquerda este tem seu valor multiplicado por b Alguns tipos de sistemas numéricos importantes Um sistema de numeração é um sistema em que um conjunto de números é representado por numerais de forma consistente Esse sistema deve em condições ideais representar uma grande quantidade de números úteis deve dar a cada número representado uma única representação padrão e refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números Nos sistemas digitaiscomputação é frequente recorrerse a diferentes sistemas de nume ração para proceder à representação da informação digital O sistema de numeração deci mal ou na base 10 que usa dez algarismos é sem duvida o sistema mais utilizado por seres humanos no seu dia a dia e o sistema binário é o mais frequente no mundo da computação apenas são utilizados os dois valores 0 e 1 pois facilita a representação de tensões no entanto existem outros como o sistema de numeração Octal Hexadecimal entre outros A quantidade de algarismos disponíveis num sistema de numeração designase de base sendo que a representação numérica mais utilizada é a notação posicional valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que este se encontra num conjunto de símbolos Alguns sistemas de numeração especiais são Decimal base 10 Binário base 2 Octal base 8 Hexadecimal base 16 Inicialmente vamos aprender um pouco sobre cada um desses sistemas Sistema de Numeração Parte 1 13 Sistema Decimal É o sistema mais utilizado pelos seres humanos normalmente para indicar quantidades e é constituído por dez algarismos 0123456789 A origem dessa base provavelmente estás relacionada a normalidade das pessoas possuírem dez dedos nas mãos No sistema decimal cada algarismo tem um valor posicional ou seja cada algarismo tem um peso de acordo com a sua posição na representação do valor unidades dezenas e centenas das classes Sistema Binário O sistema binário é o sistema mais utilizado por máquinas uma vez que os sistemas digi tais trabalham internamente com dois estados ligadodesligado verdadeirofalso aberto fechado O sistema binário utiliza os símbolos 0 1 sendo cada símbolo designado por bit binary digit Para representarmos a quantidade zero utilizamos o algarismo 0 e para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo 1 Podemos então perguntar como representare mos a quantidade dois nesse sistema se nós não possuímos o algarismo 2Responder a essa pergunta requer uma simples comparação com o sistema decimal veja é fácil observar que no sistema decimal nós não possuímos o algarismo dez e nós representa mos a quantidade de uma dezena utilizando do algarismo 1 um seguido do algarismo 0 zero Neste caso o algarismo 1 um significa que temos um grupo de uma dezena e o algarismo 0 zero nenhuma unidade o que significa dez No sistema binário agimos da mesma forma para representarmos a quantidade dois utilizamos o algarismo 1 significa que temos um grupo de dois elementos seguido do algarismo 0 significa que temos um grupo de nenhuma unidade Sistema de Numeração Parte 1 14 Podemos notar na tabela a seguir a numeração em binário DECIMAL BINÁRIO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Sistema Octal O sistema octal é um sistema de numeração de base 8 ou seja recorre a 8 símbolos 01234567 para a representação de um determinado valor O sistema octal foi muito utilizado no mundo da computação como uma alternativa mais compacta do sistema binário na programação em linguagem de máquina Para representarmos quantidades igual ou superior a oito agimos de maneira análoga aos números binários combinando ordenadamente os oito símbolos entre si Este é um sistema que simplifica muito a numeração do mapa de memórias de máquina digitais de palavras de 6 bits Vejamos a sequência da numeração octal DECIMAL OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 18 19 20 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 21 22 23 24 Sistema de Numeração Parte 1 15 Sistema Hexadecimal O sistema hexadecimal ao contrário do sistema decimal que dispõe de apenas dez símbo los necessita da inclusão de seis letras para completar o sistema Esse conjunto exige 16 dígitos e ou letras para expressar um número que fica assim enumerado 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Nesse sistema de numeração as letras de A até F são usados para obter os números 1010 A 1110 B 1210 C 1310 D 1410 E 1510 F Um número no sistema hexadecimal é formado por vários números divididos em pesos diferentes potências 1 16 256 4096 65536 etc A letra A representa o algarismo A que por sua vez representa a quantidade dez A letra B representa o algarismo B que representa a quantidade onze e assim sucessivamente até a letra F que representa a quantidade quinze Pode parecer pouca a diferença para os números decimais porem esses 6 dígitos a mais fazem muita diferença Por exemplo com dois dígitos em decimal é possível fazer 100 combinações diferentes Em hexadecimal esse número sobe para 256 Imagine mãos que contenham 8 dedos cada Para representar a quantidade dezesseis utilizamos o conceito básico da formação de um número ou seja colocamos o algarismo 1 um seguido do algarismo 0 zero Isso repre sentará um grupo de dezesseis adicionado a nenhuma unidade O Sistema Hexadecimal está vinculado a informática pois os computadores costumam utilizar o byte ou octeto como unidade básica da memória Assim são usados para repre sentar números binários de uma forma mais compacta pois é muito fácil converter biná rios pra hexadecimal e viceversa Dessa forma esse sistema é bastante utilizado em aplicações de computadores e micro processadores especialmente nos equipamentos de estudo e sistemas de desenvolvimento programação impressão e displays Sistema de Numeração Parte 1 16 Vejamos a sequência da numeração hexadecimal DECIMAL HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 26 27 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 1A 1B SAIBA MAIS Em 1510 o índice do número significa a base do sistema em que estamos trabalhando neste exemplo a base é 10 O único sistema universal que não se usa índice para a representação da base é o sistema decimal os demais são necessários a indicação da base utilizada Ex O número 110112 está escrito na base binária Sistema de Numeração Parte 1 17 SISTEMA DE NUMERAÇÃO PARTE 2 Conversões de sistemas Nos sistemas digitaiscomputação é frequente recorrerse a diferentes sistemas de nume ração para proceder à representação da informação digital Quando utilizamos sistemas diferentes entre si para operacionalizar precisamos trabalhar na mesma base assim preci samos fazer a conversão para uma única base e para tal existem regras SISTEMA DECIMAL PARA OS OUTROS SISTEMAS Nesse caso vamos utilizar a divisão Euclidiana onde o resto é sempre menor que o divisor base ou módulo e a cada quociente maior ou igual ao módulo gera nova divisão assim utilizamos as Divisões Sucessivas a Conversão do sistema decimal para o sistema binário O método prático utilizado é o das Divisões sucessivas por 2 Exemplo 1 Vamos converter o número 27 para o sistema binário Dividindo o número 27 por 2 teremos 27 2 07 13 1 teremos 2 13 1 27 que poderemos escrever 13 21 1 20 27 1º resto Dividindo agora 13 por 2 encontraremos 13 2 1 6 teremos 2 6 1 21 1 20 27 podendo ser escrito na forma 6 22 1 21 1 20 27 2º resto Se dividirmos o 6 por 2 encontraremos 6 2 0 3 teremos 2 3 0 22 1 21 1 20 27 podendo ser escrito na forma 3 22 0 22 1 21 1 20 27 3º resto E finalmente se dividirmos o 3 por 2 encontraremos 3 2 1 1 4º resto último quociente Sistema de Numeração Parte 2 19 Teremos 27 132 1 27 62 1 2 1 27 32 02 1 2 1 27 12 1 2 0 2 1 2 1 27 122 12 0 2 1 2 1 27 1222 122 02 1 2 1 27 12222 1222 022 12 1 27 124 123 022 121 120 A escrita nessa forma se denomina FORMA POLINOMIAL Assim o número decimal 27 escrito na forma polinomial é 27 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 Desta última expressão podemos fazer a seguinte associação 24 23 22 21 20 1 1 0 1 1 Que pode ser observado pelo método prático das divisões sucessivas 27 2 1 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 último quociente menor que o módulo O último quociente será o algarismo mais significativo maior potência fica colocado á esquerda os outros algarismos seguemse na ordem último resto penúltimo resto ante penúltimo resto até o 1º resto Concluímos 2710 110112 Exemplo 2 Converta o decimal 19 para binário e o represente na forma Polinomial 19 2 1 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 Portanto temos 19 100112 24 23 22 21 20 1 0 0 1 1 19 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 Sistema de Numeração Parte 2 20 b Conversão do sistema decimal para o sistema octal O método é análogo à conversão do sistema decimal para o binário utilizando ao invés da divisão por 2 a divisão por 8 pois o sistema é octal Exemplo 1Converta o decimal 95 em número octal 95 8 7 11 8 3 1 último quociente 9510 1378 Na forma polinomial teremos 82 81 80 1 3 7 95 1 82 3 81 7 80 c Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal O método também é análogo à conversão do sistema decimal para o binário utilizando ao invés da divisão por 2 a divisão por 16 pois o sistema é hexadecimal 1002 16 10 11 16 14 3 último quociente Mas no sistema hexadecimal 1010 A e 1410 E então 1002 10 3EA16 Na forma polinomial temse 1002 3162 14 161 10 160 Concluindo temse 1002 3162 E 161 A 160 Exemplo 2 Converta o decimal 28459 em hexadecimal 28459 16 11 1778 16 2 111 16 15 6 28459 11 160 2 161 15 162 6 163 ordem crescente 28459 6 163 F 162 2 161 B 160 ordem decrescente 28459 6F2B16 Sistema de Numeração Parte 2 21 OUTROS SISTEMAS PARA O SISTEMA DECIMAL A transformação de um sistema qualquer para a forma decimal a volta fazse utilizando a forma Polinomial a Conversão do sistema binário para o sistema decimal Utilizando o conceito básico de formação de um número ou seja a forma polinomial Exemplo 1 Converta o binário 101 em número decimal Podemos mostrar que o número 101 na base 2 sistema binário é igual ao número 5 na base 10 sistema decimal Vejamos 22 21 20 1 0 1 1012 1 22 0 21 1 20 1012 1 4 0 2 1 1 1012 4 0 1 1012 5 1012 5 Exemplo 2 Converta o número 101012 para o sistema decimal 24 23 22 21 20 1 0 1 0 1 101012 1 24 0 23 1 22 0 21 1 20 101012 1 16 0 8 1 4 0 2 1 1 101012 16 0 4 0 1 101012 21 101012 2110 Exemplo 3 Converta o binário 100011 para a forma decimal 1000112 125 024 023 022 1 21 120 1000112 1 32 0 0 2 1 1000112 32 2 1 1000112 35 No Quadro das Potências temos 25 24 23 22 21 20 1 0 0 0 1 1 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 1 1 1000112 32 2 1 1000112 35 1000112 35 Sistema de Numeração Parte 2 22 b Sistema Octal Para o Sistema Decimal Utilizase a Forma Polinomial ou o Quadro das Potências que geram os conceitos básicos de formação de um número para convertermos um número octal em decimal Exemplo 1 1328 10 82 81 80 1 3 2 132 8 1 82 3 81 2 20 132 8 1 64 3 8 2 1 132 8 90 132 8 90 Exemplo 2 74568 10 83 82 81 80 7 4 5 6 74568 783 482 581 680 74568 7512 464 58 61 74568 3584 256 40 6 74568 3886 74568 3886 c Sistema hexadecimal para o sistema decimal A transformação é análoga aos outros sistemas ou seja utilizandose a Tabela das Potências ou seja a Forma Polinomial Exemplo 1 Converter para o sistema decimal o número hexadecimal 4E 161 160 4 E 4E16 4 161 14 160 4E16 64 14 4E16 78 Exemplo 2 Converter para o sistema decimal o número hexadecimal DAD04 164 163 162 161 160 65536 4096 256 16 1 D A D 0 4 13 10 13 0 4 DAD0 416 1365536 104096 13256 016 41 DAD0 416 851968 40960 3328 0 4 DAD0 416 896260 Sistema de Numeração Parte 2 23 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA OS DEMAIS a Sistema binário para o sistema octal O número 8 transformado em potência de base 2 é 8 23 Assim utilizamos três bases 2 para se obter um octal ou seja agrupamos de três em três binários para obter um octal Exemplo 1 Consideremos o número binário 11001 para transformarmos esse número em octal vamos separálo em grupos de três algarismos a partir da direita Mas antes iremos acrescentar zeros à esquerda até completarmos o grupo de três algarismos Assim Acrescentamos um zero à esquerda 011001 Faremos então a conversão desses grupos de algarismos para o sistema decimal ver tabela Notemos que o maior número que se pode formar com três algarismos binários é o número sete 7 11001 2 31 8 Exemplo 2 1111111102 8 111 111 100 7 7 6 111 111 100 7 7 6 1111111102 776 8 b Sistema binário para sistema hexadecimal É análoga à conversão do sistema binário para o octal apenas agrupamos de quatro em quatro algarismos da direita para a esquerda porque 16 24 Exemplo 1 10 0011 11002 16 Acrescentamos dois zeros à esquerda 0010 0011 1100 2 3 C 10001111002 23C16 Exemplo 2 1110 0001 1011 10002 16 1110 0001 1011 1000 1 8 E B 1110 0001 1011 10002 E1B816 Sistema de Numeração Parte 2 24 c Sistema octal para o sistema binário utilizaremos a mesma regra ou seja como 8 23 o método consiste em desmembrar o número octal em que cada algarismo é composto por três binários Exemplo 1 728 2 7 2 111 010 7281110102 Exemplo 2 357068 2 3 5 7 0 6 011 101 111 000 110 357068011 101 111 000 1102 d Sistema hexadecimal para o sistema binário É análoga à conversão do sistema octal para binário apenas necessitamos de quatro algarismos binários para representarmos um algarismo hexadecimal Exemplo Converter o número hexadecimal F1316 para o sistema binário 1 3 1111 0001 0011 F F13161111000100112 CONVERSÕES ENTRE OS SISTEMAS OCTAL E HEXADECIMAL Não há uma transformação direta o ideal é intermediar com o sistema binário porque 8 23 e 16 24 Assim agrupamos de três em três ou de quatro em quatro como veremos a seguir Exemplo 1 73418 16 Inicialmente transformamos o octal em binário 7 3 4 1 111 1 11 00 0 001 O binário originalizado é transformado em hexadecimal a partir de agrupamentos de quatro em quatro binários da direita para a esquerda 0 11 111 10 1 0 0 01 E E 7341 8 1111000100112 EE1 16 73418 EE116 Sistema de Numeração Parte 2 25 Exemplo 2 100648 16 001 000 100 001 000 100 001 1 0 0 6 4 000 110 000 110 0 000 11 0 1 0 00 00 0 4 1 3 100648 103416 Exemplo 3 8A01F16 8 Inicialmente transformamos o hexadecimal em binário agrupamento de 4 em 4 8 A 0 1 F 1000 1010 0000 0001 1111 E depois esse binário em octal agrupamento de 3 em 3 010 001 010 000 000 011 111 2 1 2 0 0 3 7 E assim a conversão de Hexadecimal para Octal é realizada dessa forma passando inicial mente pelo sistema Binário 8A01F16 21200378 Exemplo 4 FEDE16 8 Passando para binário 4 em 4 1111 1110 1101 1110 Separando de 3 em 3 octal 001 111 111 011 011 110 1 7 7 3 3 6 FEDE116 1773368 Operações envolvendo os sistemas de numeração Quando operamos no mesmo sistema de numeração basta seguir a regra prática da opera ção como foi visto no sistema decimal desde o início de nosso aprendizado fazemos os agrupamentos de bases Mas como faremos com outros sistemas Faremos as operações de forma análoga lembrando que só poderemos trabalhar com os dígitos que compõem o correspondente sistema em questão Assim quando num agrupamento conseguimos formar um conjunto completo de elemen tos que compõe aquele sistema automaticamente a ordem supera isto é vai um Vamos verificar isso com alguns exemplos Sistema de Numeração Parte 2 26 Exemplo 1 12 12 2 A cada conjunto de dois algarismos 1 do sistema binário formaremos uma ordem superior 1 1 1 0 12 12 102 Exemplo 2 12 12 12 2 A cada conjunto de dois algarismos 1 do sistema binário formaremos uma ordem superior 1 1 1 1 12 12 12 112 Exemplo 3 1100112 100102 2 Veja como formamos os resultados e aumentamos a ordem 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 2 0 0 2 1 Mas não existe o símbolo 2 no sistema binário A quantidade 2 é representada pelo número 10 ou seja dois dígitos dois algarismos aí vai 1 e assim sucessivamente 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Assim o resultado da operação 110011 100102 10001012 Exemplo 4 15A16 7B16 16 Vamos lembrar inicialmente que o algarismo A representa a quantidade 10 e que o algaris mo B representa a quantidade 11 assim ao somarmos 10 11 obtemos 21 vamos a cada agrupamento completo da base subir uma ordem no sistema ou seja supera 1 unidade e fica apenas o resto que não forma um agrupamento completo do sistema Assim A B 10 11 21 que representa 16 5 isto é temos uma quantidade comple ta de 16 e restam 5 portanto Sistema de Numeração Parte 2 27 1 1 5 A 0 7 B 5 A B 21 menos 16 sobram 5 e vai uma ordem 1 1 5 A 0 7 B D 5 1 5 7 13 que representamos pelo algarismo D 1 1 5 A 0 7 B 1 D 5 1 0 1 Exemplo 5 548 378 8 1 5 4 3 7 3 4 7 11 tirando uma classe completa restam 3 11 8 3 e vai um 1 1 5 4 3 7 1 3 1 5 3 9 tirando uma classe comple ta resta 1 9 8 1 e vai um 1 1 0 5 4 0 3 7 1 1 3 1 0 0 1 Assim 548 378 1138 Com base nos conhecimentos de cálculos envolvendo operações no sistema decimal de forma análoga faremos cálculos também em outros sistemas de numeração basta lembrarmos dos conjuntos de algarismos que compõe cada sistema pois as regras para as outra operações têm os mesmos procedimentos A forma mais simples de operar com outros sistemas é trabalhando tudo na base binária porque tem menos algarismos nesse sistema 0 e 1 gerando menos possibilidades de erros Exemplo 6 100112 7 8 Inicialmente vamos transformar o decimal 7 em binário depois multiplicar e o resultado obtido passar para a base octal agrupando os binários encontrados de três em três Sistema de Numeração Parte 2 28 7 1112 10011 1112 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 10011 1112 100001012 Agora passando o binário encontrado para octal basta agrupar de 3 em 3 010 000 101 2 0 5 100112 7 2058 Exemplo 7 5718 3C16 16 Transformando o octal 571 e o hexadecimal 3C em binários teremos 5 7 1 3 101 111 001 0011 0 e 110 C 5718 3C16 1011110012 001111002 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 e 0 0 0 mas 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 Nesse caso vamos tomar emprestados da casa anterior E continuamos até que tenhamos que tomar emprestados de novo 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 e voltamos a 1 0 emprésti mo da casa anterior E assim sucesivamente Sistema de Numeração Parte 2 29 Mas o resultado foi pedido na base hexadecimal então agora é só fazer agrupamentos de 4 em 4 que teremos o correspondente número hexadecimal 1 0000 0001 1 0 000 1 5718 3C16 10116 SUBTRAÇÃO Outro processo de efetuar a subtração numa certa base é por meio do Complemento da base b1 Mas como isso acontece Vamos aprender o processo do Complemento de base 1 maior algarismo do sistema binário Numa subtração temos x y z onde os termos são x minuendo y subtraendo z é a diferença Procedimentos 1º Completamos com zeros à esquerda do número minueno ou subtraendo que possuir o menor número de casas dígitos 2º Para o subtraendo vamos trocar todos os algarismos pelos seus complementos zero vira 1 e 1 vira zero 3º Adicionamos o subtraendo ao novo número encontrado complemento do subtraendo 4º Se o minuendo for maior que o subtraendo significa que a diferença é positiva Nesse caso se o número obtido pela soma anterior terá o 1º dígito da esquerda igual a 1 positivo portanto ele sai da poisição em que se encontra 1º da esquerda e será adicionado ao último algarismo da direita do número encontrado Esse novo resultado será o resultado final da diferença proposta Exemplo 1110112 101012 2 Resolução Vamos seguir os procedimentos anteriores 1º Completar com zeros o menor dos números 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 2º Trocamos os dígitos do subtraendo pelos complementos 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 Sistema de Numeração Parte 2 30 3º Somamos esses números do passo anterior 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 4º O primeiro dígito da esquerda é 1 ele sai da posição em que se encontra esquerda e vai ser adicionado ao último algarismo da direira do número encontrado 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 Portanto 1110112 101012 1001102 5º Se o minueno for menor que o subtraendo significa que a diferença é negativa Nesse caso após o 3º procedimento teremos o resultado encontrado terá como primeiro dígito à esquerda igual a zero negativo ainda teremos que trocar cada dígito desse novo número pelo seu complemento de 1 ou seja zero vira 1 e 1 vira zero Exemplo 101012 1100112 2 Vamos aos procedimentos 1º Completamos o meor número com zeros à esquerda 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 2º O subtraendo é substituído pelo seu complemento 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 3º Somamos esses números 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4º O 1º díigito da esquerda é zero significa que a diferença é negativa portanto despre zamos esse dígito e trocamos cada um dos outros dígitos desse resultado pelo seu complemtento de 1 e o novo resultado será o resultado final 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 02 Sistema de Numeração Parte 2 31 TOME NOTA NOTA O Zero à esquerda representa o sinal negativo nesse caso teremos 100001 onde cada algarismos será substituído pelo seu complemento de 1 ou seja 011110 Assim teremos que 101012 1100112 111102 Dessa forma você pode operar em qualquer sistema bastando para isso você utilizar uma base padrão A seguir apresentaremos a Tabela de Conversões dos Sistemas para que você possa exercitar ou convertendo ou operando os números de qualquer sistema Tabela de Conversões de Sistemas Decimal Binário Octal Hexadecimal 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F AGORA VOCÊ JÁ ESTÁ PRONTO PARA PRATICAR SOZINHO 1 Converter os seguintes números a 1A3ED16 8 b 34578 16 c 110110 8 d B0DE16 2 e C3FB516 10 f 92CD16 2 g 16428 2 h 47028 10 Sistema de Numeração Parte 2 32 2 Quantos dígitos são necessários sem fazer a conversão para escrever os seguintes números nas bases indicadas a 342 2 dígitos b 5217 16 dígitos c 1343 8 dígitos 3 Calcule a 111110111012 EB716 8 b 7458 111011012 16 c EB416 10112 8 d 6713758 FACA16 2 e DAD516 1111100011012 8 f 1111011101012 73758 16 4 Calcule as seguintes subtrações utilizando o processo do Complemento de 1 a 11000110002 1100112 2 b 11011012 1110111002 2 Confira as respostas na próxima página Sistema de Numeração Parte 2 33 RESPOSTAS 1 a 3217558 b 72F16 c 3270368 d 10110000110111102 e 802741 f 10010010110011012 g 11101000102 h 2498 2 a 9 dígitos b 4 dígitos c 4 dígitos 3 a 132248 b F816 c 1206748 d 4740638 100 111 100 000 110 0112 e 1455108 f 7816 4 a 10111001012 b 111011112 Sistema de Numeração Parte 2 34 NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA História Alguns autores definem lógica como sendo a Ciência das leis do pensamento e neste caso existem divergências com essa definição pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia que é uma ciência distinta da lógica ciência Segundo Irving Copi uma definição mais adequada é A lógica é uma ciência do raciocínio pois a sua ideia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que dependem dos estruturados argu mentos envolvidos nele Assim a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento isto é seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições A Lógica tem por objeto de estudo as leis gerais do pensamento e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade Considerada como ciência do racio cínio e da demonstração começou a desenvolverse com Aristóteles 384322 aC e os antigos filósofos gregos passaram a usar em suas discussões sentenças enunciadas nas formas afirmativas e negativa resultando assim grande simplificação e clareza com efeito de grande valia em toda a Matemática Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que a partir de conhecimentos considerados verdadeiros permitiam obter novos conhecimentos A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta de novas verdades Essa forma de encadeamento é chamada em Lógica de argumento Argumento é uma sequência de proposições na qual uma delas é a conclusão e as demais são premissas As premissas justificam a conclusão Proposições sentenças afirmativas que podem ser verdadeiras ou falsas Premissas afirmações disponíveis O objetivo de um argumento é justificar uma afirmação que se faz ou dar as razões para uma certa conclusão obtida Por volta de 1666 Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716 usou em vários trabalhos o que se chamou calculus ratiotinator ou logica mathematica ou logística estas ideias nunca foram teorizadas por Leibniz porém seus escritos trazem a idéia da Lógica Matemática No século XVIII Leonhard Euler 17071783 introduziu a representação gráfica das relações entre sentenças ou proposições mais tarde ampliada por John Venn 1834 1923 EW Veitch em 1952 e M Karnaugh em 1953 Em 1847 Augustus De Morgan 18061871 publicou um tratado Formal Logic envolvendose em discussão pública com o filósofo escocês William conhecido por sua aversão à Matemática o qual entre outras coisas escreveu A Matemática congela e embota a mente um excessivo estudo da Matemática incapacita a mente para as energias que a filosofia e a vida requerem George Boole 18151864 ligado pela amizade de De Morgam interessouse pelo deba te entre o filosofo e o matemático escrevendo The mathematical analysis of logic 1848 em defesa de seu amigo mais tarde publicou um livro sobre Álgebra de Boole chamado Na investigation of the laws of thought 1854 e em 1859 escreveu Treatise on differen tial equations no qual discutiu o método simbólico geral O trabalho de Boole foi ampliado por Lewis Carrol 1896 Whitehead 1898 Huntington 1904 e 1933 Sheffer 1913 e outros Esse período de desenvolvimento da Lógica culminou com a publicação do Principia mathematica por Alfred NorthWhitehead 18611947 e Bertrand Russel 1872 1970 que representou grande ajuda para completar o programa sugerido por Leibniz que visava dar uma base lógica para toda a Matemática Noções de Lógica Matemática 35 A Álgebra de Boole embora existindo há mais de cem anos não teve qualquer utilização prática até 1937quando foi feita a 1ª aplicação à análise de circuitos de relés por A Nakashima que não foi bem sucedido pois ao invés de desenvolver a teoria já existen te tentou desenvolver a Álgebra Booleana por conceitos próprios Em 1938 Claude E Shannon mostrou em sua tese de mestrado no Departamento de Engenharia Elétrica do MIT Massachusetts Institute of Technology a aplicação da Álgebra de Boole na análise de circuitos de relés usandoa com rara elegância o que serviu de base para o desenvol vimento da teoria dos interruptores Sistemas dicotômicos O mundo em que vivemos apresenta situações com dois estados apenas que mutuamen te se excluem como veremos na tabela a seguir alguns exemplos 1 0 Sim Não Dia Noite Preto Branco Ligado Desligado Há situações como morno e tépido diferentes tonalidades de vermelho e outros que não se apresentam como estritamente dicotômicas ou seja com dois estados excludentes bem definidos Tipos de linguagens Linguagem é o uso da palavra como meio de expressão e de comunicação entre pessoas É a forma de expressão pela linguagem própria do indivíduo Os tipos de linguagens que serão usados na Lógica serão Linguagem comum usual escrita e falada Exemplo Ana é professora Linguagem simbólica com gráficos diagramas tabelas símbolos Exemplo Ana é professora Linguagem simbólica A Linguagem técnica com termos técnicos específicos de cada área Exemplo Ana é professora A Conjunto de professores P Linguagem Técnica Ana pertence ao conjunto de professores A P Noções de Lógica Matemática 36 Cálculo das proposições A Lógica matemática ou Lógica Simbólica trata do estudo das proposições as quais devem satisfazer ou seja ser governada por três princípios fundamentais Princípio do Terceiro Excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa isto é nunca um terceiro caso outra alternativa De acordo com esses princípios podemos afirmar que toda proposição admite um e um só dos valores 1 ou 0 Exemplo 2 é par Essa proposição é verdadeira não é falsa e jamais terá outra possibilidade Princípio da Não Contradição Uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo Exemplo Se 2 é par então não pode ser ímpar Uma contraria a outra Princípio da Identidade Todo objeto é idêntico a si mesmo Ex 2 é par porque é par todo par termina em 0 2 4 6 ou 8 portanto 2 é par Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas sendo mutuamente exclusivos os dois casos por isso a Lógica Clássica é Bivalente A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial e Ciência da computação Nas décadas de 50 e 60 pesquisadores previram que quando o conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática supunham que seria possí vel criar uma máquina com a capacidade de pensar ou seja inteligência artificial Isto se mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano A programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para isto Na lógica simbólica e lógica matemática demonstrações feitas por humanos podem ser auxiliadas por computador Usando demonstração automática de teoremas os computa dores podem achar e verificar demonstrações assim como trabalhar com demonstrações muito extensas Na ciência da computação a álgebra booleana é a base do projeto de hardware As aplicações da Álgebra de Boole ou Álgebra Lógica são usadas não só no processamento automático de dados computação como também na automatização da produção industrial mediante a utilização da teoria aplicada aos fluidos A Lógica simbólica aplica se em alguns ramos da eletricidade da computação e da eletrônica Noções de Lógica Matemática 37 Proposição ou sentença DEFINIÇÃO É uma frase afirmativa jamais exclamativa imperativa ou interrogativa que assume um e apenas um valorverdade ou é verdadeira ou é falsa É toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa Portanto de acordo com as considerações acima as expressões do tipo O dia está lindo Que dia é hoje 26 x x é um número real Vá estudar não são proposições lógicas uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido verdadeiro ou falso ou por serem interrogativas imperativas ou exclamativas CLASSIFICAÇÃO 1 PROPOSIÇÃO SIMPLES Conhecida pelo verbo de ligação se não tem operador lógico Proposição Simples Proposição Atômica Átomo As proposições atômicas são indicadas por letras isoladas do nosso alfabeto Minúsculas a b c ou maiúsculas A B C Exemplo 1 Ana é professora Letra sentencial A Exemplo 2 π é um número racional Letra Sentencial P 2 PROPOSIÇÃO COMPOSTA Conhecida pelo operador lógico é formada através de junção de duas ou mais proposições ou da transformação de uma proposição simples por um conectivo ou operador lógico Chamamse conectivos lógicos ou operadores lógicos palavras ou expressões que se usam para formar novas proposições a partir de proposições dadas Veja algumas propo sições compostas formadas por diferentes conectivos grifados P O número 4 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar Q O triângulo ABC é retângulo ou isósceles R Se 2 é par então π é racional Noções de Lógica Matemática 38 Operadores lógicos ou conectivos Os operadores lógicos são elos ligação entre duas ou mais proposições ou é um modifi cador de valor verdade de uma proposição Os operadores se classificam em 1 Monádicos É o operador que gera uma sentença a partir de uma proposição dada por uma partícula de Negação Operador Monádico de Negação Se é uma proposição alterada pelo negador NÃO partícula que inverte o valor de uma proposição Exemplo Proposição Simples Ana é professora A Proposição Composta por Negação Ana não é professora não A 2 Diádicos São operadores que geram novas proposições a partir de pelo menos duas 2 proposições dadas denominadas proposições compostas ou moleculares Os operadores diádicos são Conjunção Alternação Discordância Condicional e Bicondicional Assim as proposições compostas moleculares são classificadas em a Conjunção Formada de duas proposições ligadas pelo conjuntor e ou termo semelhante Exemplo Proposições Simples Ana é professora A Ana é bonita B Proposição Composta por Conjunção Ana é professora e é bonita A e B b Alternação Formada por duas proposições ligadas pelo alternador ou Exemplo Proposições Simples Ana é professora A Ana é bonita B Proposição Composta por Alternação Ana é professora ou é bonita A ou B Noções de Lógica Matemática 39 c Discordância Formada de duas proposições ligadas pelo discordante ou ou Exemplo Proposições Simples Ana é professora A Ana é bonita B Proposição Composta por Discordância Ana ou é professora ou é bonita ou A ou B d Condicional Formada de duas proposições ligadas pelo condicionador Se então Exemplo Proposições Simples Ana é professora A Ana é bonita B Proposição Composta por Condicional Se Ana é professora então ela é bonita Se A então B e Bicondicional Formada por proposições ligadas pelo bicondicionador se e só se Exemplo Proposições Simples Ana é professora A Ana é bonita B Proposição Composta por Bicondicional Ana é professora se e somente se é bonita A se e somente se B Na Tabela abaixo temos a representação de todos os tipos de proposições compostas com as respectivas expressões e os símbolos desses operadores lógicos PROPOSIÇÂO EXPRESSÃO SÍMBOLO 1 Negação Não 2 Conjunção e 3 Alternação ou v 4 Discordância ou ou w v 5 Condicional Se então 6 Bicondicional se e somente se Noções de Lógica Matemática 40 Vamos exercitar um pouco Exemplo 1 Para as proposições a seguir 1 O meu gato é amarelo 2 Alguns gatos são amarelos 3 Os gatos são pretos 4 Alguns gatos não são pretos 5 O gato de Maria é branco 6 O meu gato é amarelo ou o gato de Maria não é branco no entanto existem gatos amarelos 7 Se meu gato é amarelo então existem gatos que não são pretos 8 Alguns gatos são amarelos se e somente se existem gatos pretos ou brancos 9 Ou o gato de Maria é branco ou o meu não é amarelo mas alguns gatos são pretos 10 Se meu gato é azul então o gato de Maria é branco ou o meu gato não é amarelo pedese Construir o esquema Abreviador letras sentenciais Átomos Simbolizálas Classificálas em Simples ou Compostas tipo Resolução Esquema Abreviador átomos A O meu gato é amarelo B Alguns gatos são amarelos C Os gatos são pretos D O gato de Maria é branco E Os gatos são brancos F O meu gato é azul A simbolização e classificação de cada uma delas 1 Simples A 2 Simples B 3 Simples C 4 Composta por Negação não C C 5 Simples D 6 Composta por Conjunção A ou não D e B A v D B 7 Composta por Condicional Se A então não C A C 8 Composta por Bicondicional B se e só se C ou E B C v E 9 Composta por Conjunção Ou D ou não A mas C D w A C 10 Composta por Condicional Se F então D ou não A F D v A Noções de Lógica Matemática 41 CONSTRUÇÃO DE TABELASVERDADE DE UMA PROPOSIÇÂO COMPOSTA QUALQUER NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELAVERDADE Considerando que as proposições admitem um e só um valorverdade cada uma delas é verdadeira ou é falsa Indiferentemente os valores lógicos também costumam ser repre sentados por 0zero para proposições falsas e 1um para proposições verdadeiras Proposições verdadeiras valor lógico 1 ou falsas valor lógico 0 estão associadas à analogia de que zero0 significa um circuito elétrico desligado e um1 significa um circui to elétrico ligado que nos lembra alguma coisa vinculada aos computadores ou seja a base lógica da arquitetura dos computadores VERDADE OU FALSIDADE V1 e F0 P P F 0 V 1 P F V OPERAÇÔES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES Nas composições o valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes ficando por eles univoca mente determinado Usaremos como meio auxiliar na construção das tabelasverdade o diagrama da árvore que se vê ao lado das tabelas Na situação atual os números que aparecem na primeira coluna têm apenas a finalidade de indicar o número de linhas para cada exemplo apresentado Para as proposições compostas veremos que o número das componentes simples deter mina o número de linhas das tabelasverdade Se a proposição é formada por dois átomos P e Q teremos 4 linhas P Q Q 0 0 0 0 1 1 1 LINHAS P Q 1a 0 0 2a 0 1 3a 1 0 4a 1 1 Noções de Lógica Matemática 42 Assim a cada átomo novo duplica o número de possibilidades valores 1 e 0 Se a proposição é formada por três átomos P Q e R teremos 8 linhas P Q Q R R R R 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 LINHAS P Q R 1ª 0 0 0 2ª 0 0 1 3ª 0 1 0 4ª 0 1 1 5ª 1 0 0 6ª 1 0 1 7ª 1 1 0 8ª 1 1 1 E assim sucessivamente Portanto o número de linhas da tabelaverdade depende do número de átomos combinações dos binários que a compõem Sendo assim cada proposição simples P tem dois valores 1 ou 0 que se excluem Daí para n proposições atômicas distintas P1 P2 P3 Pn há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 elementos 0 e 1 n a n isto é A2n 2n Seguese que o número de linhas da tabelaverdade é 2n onde n é o número de átomos distintos que a compõe Portanto para a construção prática da tabela de uma proposição composta basta verifi carmos o número de átomos que a compõe e daí combinarmos alternadamente os valores verdade 0 e 1 sendo que o primeiro átomo levará o maior número possível de valores 0 e 1 seguidamente metade da tabela será composta com número 0 e a outra metade será completada com número 1 e assim sucessivamente A convenção que adotaremos inicia rá por falso e depois por verdadeiro Assim para a proposição composta com dois átomos distintos teremos 22 4 linhas para 3 átomos distintos teremos 23 8 linhas e assim sucessivamente como foi visto acima Além disso para determinar o valorverdade da proposição composta precisase saber o valorverdade de cada operador conectivo que a compõe e isso será dado pelas defini ções de cada operador lógico Noções de Lógica Matemática 43 Definições dos operadores lógicos valorverdade a NEGAÇÃO lêse não P inverte o valorverdade da proposição P Exemplificamos a seguir algumas proposições onde escreveremos ao lado de cada uma delas seu valor lógico V ou F podendo ser também 1 ou 0 Exemplo 1 P 2 0 V P 2 0 F Exemplo 2 P 3 é o divisor de 5 F P 3 não é o divisor de 5 V b CONJUNÇÃO lêse e P Q só e verdadeiro quando as proposições P e Q são ambas verdadeiras Exemplificamos a seguir algumas proposições onde escreveremos ao lado de cada uma delas seu valor lógico V ou F podendo ser também 1 ou 0 Exemplo 1 P 2 0 V Q 2 1 V P Q 20 e 2 1 V Exemplo 2 P 35 3 é o divisor de 5 F Q 45 F P Q 35 e 45 F Exemplo 3 P A Lua é quadrada F Q A neve é branca V P Q A Lua é quadrada e a neve é brancaF TABELA VERDADE P Q P e Q são chamados conjuntores P Q 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 Noções de Lógica Matemática 44 c DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE lêse ou inclusivo P Q só será falsa se ambas P e Q forem falsas Exemplificamos a seguir algumas proposições onde escreveremos ao lado de cada uma delas seu valor lógico V ou F podendo ser também 1 ou 0 Exemplo 1 P 10 é nº primoF Q 10 é nº composto V P Q 10 é nº primo ou é nº composto V Exemplo 2 P 34 26 F Q 22 35 V P Q 34 26 ou 22 35 V Exemplo 3 P A lua é quadrada F Q A neve é branca V P Q A lua é quadrada ou a neve é branca V TABELA VERDADE P Q P e Q são chamados disjuntores P v Q 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 d DISJUNÇÂO EXCLUSIVA w lêse ou excludente P w Q só será falsa se ambas P e Q receberem o mesmo valor lógico Exemplo P O número 2 é ímpar F Q π é um número racional F P w Q Ou 2 é ímpar ou π é número racional F A TABELAVERDADE P w Q P w Q 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 Noções de Lógica Matemática 45 e CONDICIONAL lêse se então P Q só será falsa se P for verdadeira e Q for falsa Na Condicional P Q teremos P é o antecedente hipótese e Q é o consequente tese Exemplo P a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por S1 180n2 V Q O Sol é um planeta F P Q Se a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si180n2 então o Sol é um planeta F Q p Se O Sol é um planeta então a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por S i 180 n 2V Podemos verificar que na proposição composta abaixo é logicamente verdadeira não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase Se o Sol é um planeta então a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si180n2 V A TABELA VERDADE P Q P Q 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 f BICONDICIONAL lêse se e somente se P Q só será verdadeira se P e Q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas Exemplo 1 P 2 14 2 é divisor de 14 V Q 2 5 14 5 V P Q 2 14 se e somente se 2 5 14 5 V Exemplo 2 P O Sol é um planeta F Q Tiradentes morreu afogado F P Q O Sol é um planeta se e somente se Tiradentes morreu afogado V A TABELA VERDADE P Q P Q 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 Noções de Lógica Matemática 46 NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA CÁLCULO PROPOSICIONAL PARTE 1 Tabela verdade de uma proposição composta qualquer Para determinar o valor lógico de uma proposição composta vai depender do número de proposições simples e dos operadores que a compõem Vejamos como proceder através de alguns exemplos de construção da tabelaverdade de proposições formadas por átomos quaisquer cujos valores verdade não são conhecidos Exemplo 1 Construir a tabelaverdade da proposição P Q Resolução Como a proposição é formada por dois átomos distintos P e Qdos quais não conhecemos seus valores verdade então pesaremos em todas as suas possibilidades de V ou F ou seja teremos 4 linhas A proposição negada começará com o valorverdade 1 Assim a tabelaverdade será P Q 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 Resposta Exemplo 2 Construir a tabelaverdade da proposição Q v P R Resolução Essa proposição é formada por 3 átomos distintos portanto são 8 possibilidades ou seja a tabelaverdade é formada por 8 linhas As combinações dos valores verdade seguirá a ordem das letras do alfabeto portanto P ganhará o maior número sucessivo de combinações falsas e depois verdadeiras de quatro em quatro Q será a segunda de duas em duas e finalmente R será a última cujos valores aparecem alternadamente falso e verdadeiro de uma em uma lembrando que a negação inverte essa combinação Notamos que o operador mais forte último a ser resolvido é a Disjunção Não Excludente ou Inclusiva v A Tabelaverdade ficará assim Q v P R 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Resposta Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 47 Exemplo 3 Construir a tabelaverdade da proposição A v C w B A Resolução Essa proposição é formada por 3 átomos distintos AB e C portanto são 8 possibilidades ou seja a tabelaverdade é formada por 8 linhas As combinações dos valores verdade seguirão a ordem das letras do alfabeto portanto A ganhará o maior número sucessivo de combinações falsas e depois verdadeiras de quatro em quatro B será a segunda de duas em duas e finalmente C será a última cujos valo res aparecem alternadamente falso e verdadeiro de uma em uma Notamos que o operador mais forte último a ser resolvido é a Disjunção Excludente w A Tabelaverdade ficará assim A v C w B A 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 Resposta Hierarquia dos operadores Certas proposições já possuem hierarquias de operadores impostas por meio de parênte ses colchetes e chaves Quando não há imposição de indicadores de ordem parêntese colchetes chaves a hierarquia deverá respeitar a seguinte ordem de resolução primeiro os mais fracos e por último os mais fortes a saber 1º Negação é o mais fraco por isso é o primeiro a ser resolvido 2º Conjunção e Disjunção Não Excludente possuem a mesma força e nesse caso a hierarquia de resolução é da esquerda para a direita 3º Disjunção excludente 4º Condicional 5º Bicondicional é o mais forte por isso é o último Quando o operador aparecer repetidamente a ordem será da esquerda para a direita Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 48 Exemplo Construir a Tabelaverdade da seguinte proposição A v C w B A C Resposta final operador principal A v C w B A C 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 AGORA FAÇA VOCÊ 1 Construir a Tabelaverdade das seguintes proposições a B A B A b C A w B A C c M N M N M 2 Eliminar o maior número de parênteses sem modificar a estrutura da proposição respeitando as convenções d P Q R v S P v R e P Q v R S P w Q f P v R v P R S R P g P v Q R v Q R Q Respostas 1a B A B A B A v B A 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 49 1b C A w B A C C A w B A C 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1c M N M N M M N v M N M 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2a P Q R v S P v R P Q R v S P v R P Q R v S P v R P Q R v S P v R 2b P Q v R S P w Q P Qv R S P w Q P Q v R S P w Q 2c P v R v P R S R P P v R v P R S R P P v R v P R S R P 2d P v Q R v Q R Q P v Q R v Q R Q P v Q R v Q R Q Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 50 APLICAÇÃO DE TABELA VERDADE A lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações que podem ser verdadei ras ou falsas ou ainda como construir a partir de certo conjunto de hipóteses proposi ções verdadeiras num determinado contexto uma demonstração de que uma determina da conclusão é verdadeira no mesmo contexto Assim são fundamentais as noções de proposição verdade dedução e demonstração A lógica proposicional clássica é um dos exemplos mais simples de lógica formal Esta lógica leva em conta somente os valoresverdade verdadeiro e falso e a forma das propo sições O estudo detalhado dessa lógica é importante porque ela contém quase todos os conceitos importantes necessários para o estudo de lógicas mais complexas Assim vejamos algumas aplicações envolvendo o cálculo proposicional e as tabelasverdade Exemplo 1 Mamãe fez um bolo de chocolate e deixouo sobre a mesa para que ele esfriasse e saiu para comprar um refrigerante Ao voltar encontrou na cozinha seus três filhos Ana Bruno e Clara Imediatamente percebeu que o bolo havia desaparecido e que as três crianças estavam envolvidas Desejando saber quem comeu o bolo e quem diria a verdade indagou cada uma delas e obteve os seguintes depoimentos Ana Eu não comi o bolo mas pelo menos um dos outros comeu Bruno Se eu comi Ana também comeu Clara Eu não comi mas Bruno comeu Com base nessas informações podemos deduzir que o caso envolve fatos ações e depoi mentos das pessoas envolvidas no fato FATOS COMER O BOLO DEPOIMENTOS PESSOAS ENVOLVIDAS A ANA COMEU O BOLO ANA A B v C B BRUNO COMEU O BOLO BRUNO B A C CLARA COMEU O BOLO CLARA C B Vamos construir a tabela de possibilidades de valores verdade ou falsidade para os fatos e para os depoimentos onde FATOS 0 Não comeu o bolo 1 Comeu o bolo DEPOIMENTOS 0 Mentiu 1 Falou a Verdade Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 51 ÁTOMOS PROPOSIÇÕES PESSOAS E FATOS A B E C Como são três átomos as nossas tabelasverdade terão 8 linhas cada 23 8 a saber FATOS DEPOIMENTOS ANA BRUNO CLARA A B C A B v C B A C B 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 E assim podemos tirar várias conclusões a partir das tabelas veja a seguir 3 Supondo que as três crianças comeram o bolo quem disse a verdade Na 8ª linha da Tabela de Fatos todas as crianças comeram o bolo 1 portanto na 8ª linha da Tabela de Depoimentos vemos que Ana mentiu 0 Bruno disse a verdade 1 e Clara mentiu 0 A 8ª linha das duas Tabelas Fatos e Depoimentos FATOS DEPOIMENTOS ANA BRUNO CLARA 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 Se as três crianças comeram o bolo então Bruno disse a verdade 4 Se apenas Clara comeu o bolo quem mentiu Somente a Clara mentiu porque na 2ª linha da tabela de Fatos só Clara comeu 1 tiramos em frente na Tabela de Depoimentos que apenas Clara mentiu 0 Tomando a linha 2 das tabelas Fatos e Depoimentos FATOS DEPOIMENTOS ANA BRUNO CLARA 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 Apenas Clara mentiu Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 52 5 Se apenas Bruno disse a verdade quem comeu o bolo Na 6ª linha da Tabela de Depoimentos quando apenas Bruno disse a verdade 1 tiramos na mesma linha na Tabela de Fatos que Ana e Clara comeram o bolo 1 FATOS DEPOIMENTOS ANA BRUNO CLARA 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 Apenas Bruno disse a verdade 1 AGORA FAÇA VOCÊ Três amigos Armando A Bruno B e Carlos C foram ao campo assistir um clás sico e quando o jogo acabou relataram Arnaldo Bruno gostou do jogo mas eu não Bruno Se Armaldo não gostou do jogo então Carlos gostou Carlos Eu não gostei do jogo mas pelo menos um dos outros gostou Baseandose nos depoimentos dos rapazes acima pedese 1º Simbolizar cada um desses depoimentos 2º Construir as Tabelasverdade dos Fatos e dos Depoimentos 3º Se apenas Carlos não gostou do jogo quem mentiu 4º Se apenas Carlos mentiu quem não gostou do jogo Resolução 1º FATOS A Armando gostou do jogo B Bruno gostou do jogo C Carlos gostou do jogo DEPOIMENTOS Armando B A Bruno A C Carlos C A v B Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 53 2º Construção das Tabelas Verdade FATOS e DEPOIMENTOS Como são três átomos as nossas tabelasverdade terão 8 linhas cada 23 8 a saber FATOS DEPOIMENTOS ARMANDO BRUNO CARLOS A B C B A A C C A v B 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 3º Na 7ª linha só Carlos não gostou do jogo 0 então quem mentiu foi o Armando 0 4º Na 4ª linha se apenas Carlos mentiu 0 então Armando não gostou do jogo 0 CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUANTO AOS VALORESVERDADE A Classificação de uma proposição composta por meio de sua tabelaverdade será realiza da pela sua última coluna de resolução ou seja pelo operador mais forte da composição que poderá ser tautológica antilógica ou indeterminada Tautologia Se uma proposição composta encerra apenas o valor lógico 1 verdadeira na coluna prin cipal de sua tabelaverdade independente dos valores lógicos das outras então dizemos que é uma TAUTOLOGIA ou proposição logicamente verdadeira Assim chamase tautologia toda proposição composta cuja última coluna da sua tabe laverdade é totalmente verdadeira ou seja é toda proposição composta que assume somente o valor 1 para todas as combinações possíveis de suas proposições simples As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logi camente verdadeiras Exemplo 1 Verificar se a proposição P Q P v Q é Tautológica Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 54 Resolução Vamos construir a tabelaverdade da proposição e verificar o que a sua última coluna de resolução operador bicondicional encerra P Q P v Q Só encerra o valorverdade 1 P Q P v Q 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 Assim a proposição é tautológica ou é uma tautologia TOME NOTA a as tautologias são também conhecidas como Regras de Inferências b como uma tautologia é sempre verdadeira podemos concluir que a negação de umatauto logia é sempre falsa ou seja uma contradição Exemplo 2 Verifique fazendo o uso da tabelaverdade se a proposição abaixo é uma tautologia P Q Q P Resolução Construção da tabelaverdade que nesse caso a última coluna a ser resolvida é a Condicional P Q Q P A Tabelaverdade ficará assim Resposta é Tautológica P Q Q v P 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Antilogia Denominase Antilogia toda proposição que encerra em sua tabelaverdade na coluna prin cipal apenas o valorverdade 0 falsidade ou seja é toda proposição composta que assu me somente o valor F para todas as combinações possíveis de suas proposições simples Também se denomina contradição que é a negação de uma tautologia já que esta é sempre verdadeira e sua negação será então sempre falsa Outras denominações para as contra dições são proposições contra válidas ou proposições logicamente falsas Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 55 Exemplo 1 Verificar se é uma Antilogia a proposição p p Resposta Contradição P P 0 0 1 1 0 0 A classificação da proposição P P é uma Antilogia Indeterminação ou contingência Denominase Contingência ou Proposição Indeterminada toda proposição que simboliza encerra em sua tabelaverdade na coluna principal a última a ser resolvida os dois valoresverdade 1 verdade e 0 falsidade indiferentemente pelo menos uma vez cada um ou seja contingência é toda proposição composta que não pode ser classificada como tautologia nem como contradição Outra denominação para as contingências é proposições indeterminadas ou proposições contingentes Exemplo 1 Classificar a proposição abaixo conforme seus valoresverdade Q P Q P Q P Q P 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 Resposta Contingente A classificação da proposição Q P Q P é uma Contingência AGORA FAÇA VOCÊ Sendo P Q e R três proposições simples quaisquer Verifique se as seguintes proposições compostas são Tautologias Antilogias ou Contingências 1 P R P Q 2 P P Q w Q 3 P R P v Q 4 P Q Q R P R Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 1 56 NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA CÁLCULO PROPOSICIONAL PARTE 2 Relações entre operadores RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA Dadas duas proposições P e Q dizemos que P é equivalente a Q quando P e Q têm tabelas verdades iguais isto é quando P e Q têm sempre o mesmo valores lógicos E indi camos P Q Dizemos que a relação P Q é uma equivalência quando a proposição bicondicional PQ é tautológica P Q se e só se PQ é tautológica Exemplo 1 Verificar a Equivalência Q P Q v P Construimos a tabelaverdade trocando o símbolo de relação pelo símbolo de opera dor e verificamos se acontece a tautologia Q P Q v P 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 Resposta Bicondicional tautológica Portanto a proposição Q P Q v P é uma relação de Equivalência Q P Q v P Exemplo 2 Verificar a Equivalência Q P Q v P Construimos a tabelaverdade trocando o símbolo de relação pelo símbolo de opera dor e verificamos se acontece a tautologia Resposta A Bicondicional não é tautológica Q P Q v P 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 A proposição Q P Q v P não é uma Relação de Equivalência Q P Q v P RELAÇÂO DE IMPLICAÇÃO Dadas duas proposições P e Q dizemos que P implica Q quando a proposição condi cional P Q é tautológica E indicamos P Q P Q se e só se P Q é tautológica Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 57 TOME NOTA Os símbolos e são distintos dos símbolos e Os dois primeiros representam Relações enquanto os dois últimos representam Operadores Lógicos Exemplo Verificar a Implicação Q v P Q v P Construindo a tabelaverdade trocando a implicação pela condicional teremos Q v P Q v P 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Resposta A Condicional é Tautológica Portanto a proposição Q v P Q v P é uma Relação de Implicação AGORA FAÇA VOCÊ Verificar as Implicações ou as Equivalências Lógicas a seguir 1 P Q P R Q 2 P P Q Q 3 P P v Q P Q P 4 P Q P 5 P QQ P 6 P Q R P Q R Respostas Todas são verdadeiras Negação de uma proposição A Negação de uma proposição é a transformação de forma que seu valor verdade inverta Se é verdadeira1 se torna falsa 0 Se é falsa 0 se torna verdadeira 1 Vejamos os critérios para modificar o valor verdade de uma proposição composta MODIFICADOR DE NEGAÇÃO Dada a proposição P indicaremos a sua negação por P lêse não p Exemplo P Vasco da Gama descobriu o Brasil F P Vasco da Gama não descobriu o Brasil V Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 58 LEIS DE MORGAN a Dupla negação Duas negações equivalem a uma afirmação Em símbolos P P ou seja P P Verificando a Relação de Equivalência P P P Q 0 1 1 0 1 0 1 1 P P Exemplo A proposição P O número 2 é par tem como dupla negação a sentença Não é verdade que o número 2 não é par que equivale a O número 2 é par b Negação da disjunção não excludente ou negação conjunta de duas proposições Definição Sejam P e Q dois átomos quaisquer A negação da proposição composta P v Q que denominase Negação Conjunta de duas proposições P e Q é a proposição não P e não Q isto é simbolicamente P Q A Negação Conjunta de duas proposições P e Q também se indica pela notação P Q Portanto P v Q P Q P Q A proposição P Q é verdadeira somente no caso em que P e Q são ambas falsas Exemplo A negação da proposição Tiradentes morreu afogado e Cabral descobriu as Índias é Tiradentes não morreu afogado ou Cabral não descobriu as Índias c Negação da conjunção ou negação disjunta de duas proposições Definição Sejam P e Q dois átomos quaisquer A negação da Conjunção P Q que também denominase Negação Disjunta de duas proposições P e Q é a proposição não P ou não Q isto é simbolicamente P v Q A Negação Disjunta de duas proposições P e Q também se indica pela notação P Q Portanto temos P Q P v Q P Q A proposição P v Q é falsa somente no caso em que P e Q são ambas verdadeiras Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 59 TOME NOTA Os símbolos e são denominados operadores ou conectivos de Sheffer Exemplo A negação da proposição 2 é par ou Tiradentes morreu afogado é 2 não é par e Tiradentes morreu afogado AGORA FAÇA VOCÊ Escreva em linguagem comum a Negação das proposições a seguir 1 2 não é par e Tiradentes morreu afogado 2 A Lua é um satélite natural da Terra ou Cabral não descobriu o Brasil Respostas 1 2 é par ou Tiradentes não morreu afogado 2 A Lua não é um satélite natural da Terra e Cabral descobriu o Brasil Forma normal de uma proposição Uma proposição está na forma normal FN se é formada apenas pelos conectivos não e e ou Para escrever a negação de uma proposição inicialmente ela deverá estar na forma normal pois só conseguimos negar os operadores e v As formas Normais são Conjuntiva ou Disjuntiva Quando a proposição apresenta outros operadores w deveremos substituílos pelas suas respectivas definições em função apenas dos operadores e v Faremos isso por meio de relações lógicas equivalentes como você verá a seguir Nesse caso basta trocar os outros operadores disjunção excludente condicional e a bicondicional pelas suas respectivas definições Disjunção Excludente w É a discordância ou seja apenas um deles acontece é verdadeiro P w Q P Q v P Q Assim para a Disjunção Excludente P w Q a sua forma normal Conjuntiva e Disjuntiva é a proposição P Q v P Q Condicional A definição da condicional é P Q é dada por P Q P v Q Assim para a Condicional P Q a sua forma normal Conjuntiva e Disjuntiva é a propo sição P v Q Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 60 Bicondicional A definição da bicondicional é P Q é dada por P Q P Q Q P E que transformada se torna P Q P v Q Q v P Assim para a Bicondicional P Q a sua forma normal Conjuntiva e Disjuntiva é a propo sição P v Q Q v P Exemplo Represente a seguinte proposição na forma normal Conjuntiva e Disjuntiva Q R w P Resolução Inicialmente trocamos os operadores lógicos e w pelas suas respectivas definições Q R w P Q R P v Q R P Q R w P Q v R P v Q v R P Q R w P Q v R P v Q R P Q R w P Q v R P v Q R P Portanto a proposição ficou representada apenas pelos operadores e v AGORA FAÇA VOCÊ Escrever a Negação na linguagem simbólica utilizando as formas normais conjuntivas e disjuntivas das seguintes proposições 1 P R w Q 2 P w R Q 3 Se hoje não chover e não fizer frio amanhã fará bom tempo no entanto esperase que amanhã haja uma tempestade ou faça um bom tempo RESPOSTAS COM RESOLUÇÕES 1 P R w Q Substituição de w pela sua equivalência P R Q v Q R Substituição de pela sua equivalência P v R Q v Q R Negação P v R Q v Q R P R Q v Q R P R Q Q R P R v Q Q v R P R v Q Q v R Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 61 2 Substituição de w pela sua equivalência P R v R P Q Substituição de pela sua equivalência P R v R P v Q Negando P R v RP v Q P R v R P Q P R v R P Q 3 Se hoje não chover e não fizer frio amanhã fará bom tempo no entanto esperase que amanhã haja uma tempestade ou faça um bom tempo Esquema abreviador A Hoje choverá B Hoje fará frio C Amanhã fará bom tempo D Amanhã haverá tempestade Proposição na linguagem simbólica A B C D v C Substituição de pela sua equivalência A B v C D v C Negação A B v C D v C A B v C v D v C A B C v D C A B C v D C Regras de inferências A seguir serão definidas algumas proposições por meio de relações de equivalências também denominadas Regras de Inferências Condicional p q p v q Bicondicional p q p q q p p v q q v p Disjunção Excludente p w q p q v q p Dupla Negação p p Negação de uma Conjunção p q p v q Negação de uma Disjunção Não Excludente p q p q Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 62 Negação de uma Disjunção Excludente p w q p v q p v q Negação de uma Condicional p q p q Negação de uma Bicondicional p Q P Q P Q Veja os exemplos de negações de proposições com suas equivalências 1 Carlos é médico e a Lua é quadrada é Carlos não é médico ou a Lua não é quadrada 2 Todo quadrado é um retângulo ou 2 é primo é Todo quadrado não é um retângulo e 2 não é primo 3 Ou compro uma bicicleta ou caso Compro uma bicicleta e não caso ou não compro uma bicicleta e caso 4 Se 2 é par então π é irracional é 2 é par e π não é irracional 5 tgπ1 se e somente se Andorra é um país europeu é tgπ 1 e Andorra não é um país europeu ou tgπ 1 e Andorra é um país europeu Proposições associadas a uma condicional Definição Dada a condicional P Q chamamse proposições associadas a P Q as seguintes proposições que contêm P e Q P 1 Proposição Recíproca de P Q Q P P 2 Proposição Contrária de P Q P Q P 3 Proposição Contra Recíproca ou Contra Positiva de P Q Q P As tabelasverdade destas quatro proposições são P Q P Q Q P P Q Q P 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 A partir dessas tabelas verdade podemos encontramos as propriedades demonstradas por equivalências de proposições A Condicional P Q e sua Contra recíproca Q P são equivalentes P Q Q P A Reciproca Q P e a Contraria P Q da condicional P Q são equivalentes Q P P Q Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 63 As mesmas tabelasverdade também demonstram que a condicional P Q e a sua Recíproca Q P ou a sua Contraria P Q não são equivalentes A contraria de P Q também é denominada a inversa de P Q e a Contra Recíproca ou Contra Positiva de P Q outra coisa não é que a Contraria da Reciproca de P Q e por isso também é denominada Contra Reciproca de P Q RELAÇÃO RECÍPROCA Dada a condicional basta troca o antecedente com o consequente de posição na nova condicional Exemplo Condicional Se meu pai é médico então a Lua é quadrada Antecedente Meu pai é médico Consequente A Lua é quadrada Recíproca da Condicional Se a Lua é quadrada então meu pai é médico RELAÇÃO CONTRÁRIA Dada a condicional basta negar o antecedente e negar o consequente da condicional Exemplo Condicional P Q Se meu pai é médico então a Lua é quadrada Antecedente P Meu pai é médico Consequente Q A Lua é quadrada A Contrária da Condicional P Q Se meu pai é não médico então a Lua não é quadrada RELAÇÃO CONTRA POSITIVA OU CONTRA RECÍPROCA Troca o antecedente pelo consequente e os nega Exemplo Condicional P Q Se meu pai é médico então a Lua é quadrada Antecedente P Meu pai é médico Consequente Q A Lua é quadrada Contra Recíproca Q P Se a Lua não é quadrada então meu pai não é médico Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 64 Vamos fazer mais alguns exemplos 1 Seja a Condicional relativa a um triangulo T P Q Se T é equilátero então T é isósceles A Reciproca desta Condicional é Q P Se T é isósceles então T é equilátero Nesse exemplo temos a Condicional P Q é verdadeira 1 mas sua Reciproca Q P é falsa 0 2 Para a Condicional P Q Se Carlos é professor então é pobre A Contra recíproca dessa condicional é Q P Se Carlos não é pobre então não é professor 3 Para a proposição condicional P Q Se X² é impar então X é impar A Contra recíproca dessa condicional é Q P Se x não é ímpar então X² não é ímpar ou Q P Se x é par então X² é par AGORA FAÇA VOCÊ 1 Dada a condicional P Q Se o triângulo é equilátero então é isósceles Determine a recíproca dessa condicional e determine o valorverdade de cada uma delas 2 Dada a condicional P Q P Q Se Carlos é professor então é pobre Determine a Contra Positiva 3 Dada a proposição Se x é negativo então x é menor que zero Determine a Contra Positiva e a Contrária da Condicional Respostas 1 Recíproca Q P Se triângulo é isósceles então é equilátero ValorVerdade A condicional P Q é verdadeira V A sua recíproca Q P é falsa F 2 A contra positiva Q P Se Carlos não é pobre então não é professor Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 65 3 A contra positiva Q P Se x não é menor que zero então x não é negativo A contrária de P Q é a proposição P Q Se x não é menor que zero então x não é negativo VARIANTES ESTILÍSTICAS São formas ou estilos diferentes de representar uma ou mais palavras ou expressões Considerandose as diferentes circunstâncias de comunicação se está em um ambien te familiar profissional o grau de intimidade o tipo de assunto tratado e quem são os receptores Sem levar em conta as graduações intermediárias é possível identificar dois limites extremos de estilo o informal quando há um mínimo de reflexão do indivíduo sobre as normas linguísticas utilizado nas conversações imediatas do cotidiano e o formal em que o grau de reflexão é máximo utilizado em conversações que não são do diaadia e cujo conteúdo é mais elaborado e complexo Não se deve confundir o estilo formal e informal com língua escrita e falada pois os dois estilos ocorrem em ambas as formas de comunicação As diferentes modalidades de variação linguística não existem isoladamente havendo um interrelacionamento entre elas A seguir veremos algumas variantes estilísticas para os operadores lógicos a NEGAÇÃO P Não P Não se dá que P Não é verdade que P É falso P Não tendo P Não é fato que P Não se tem que P b CONJUNÇÃO P Q P e Q P embora Q P mas Q P assim como Q P em adição Q P além disso Q Não apenas P como também Q P apesar disso Q P no entanto Q P todavia Q P porém Q Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 66 c CONDICIONAL P Q éoantecedente temos éoconsequente P P Q Q Se P então Q P somente se Q tendo P resulta Q P apenas se Q Sempre que P Q P implica Q Quando P Q P quando Q P é condição necessária para Q A menos que P não Q No caso de P Q P é suficiente para Q É suficiente P para Q É bastante que P para Q Q se P Q quando P Q é condição necessária para P Q admitindo P Q é preciso que P É necessário Q para P d BICONDICIONAL P Q P se e somente se Q P é condição necessária e suficiente para Q P é equivalente a Q O fato de P é condição necessária e suficiente para que Q P quando e apenas quando Q e DISJUNÇÃO EXCLUDENTE P w Q ou P ou Q P ou Qmas não ambos P ou Q e não ambos P ou Q mas não P e Q Apenas P e não Q ou apenas Q e não P Apenas um P ou Q P ou Q mas não simultaneamente os dois P e Q Noções de Lógica Matemática Cálculo Proposicional Parte 2 67 GEOMETRIA ANALÍTICA PARTE 1 Introdução UM POUCO DE HISTÓRIA UMA SÍNTESE DO SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria surgiu na Grécia Antiga há aproximadamente 2600 anos como Ciência Dedutiva mas apesar do brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador Os gregos porém não eram muito bons em álgebra Mais do que isso somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria Dois grandes filósofos franceses da época Pierre de Fermat 16011665 e René Descartes 1596 1650 curiosamente ambos graduados em Direito nenhum deles matemático profissio nal são os responsáveis por esse grande avanço científico o primeiro movido basicamen te por seu grande amor a matemática e o segundo por razões filosóficas Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial do Cálculo de Probabilidades e especialmente da teoria dos números ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros Sua contribuição à Geometria Analítica encontrase num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo de 1636 mas que só foi publicado em 1679 postumamente junto com sua obra comple ta Como Fermat era bastante modesto e avesso a publicar seus trabalhos resultou daí em parte o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica Assim a Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método obra consi derada o marco inicial da filosofia moderna Nela em resumo Descartes defende o méto do matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos A Geometria Analítica também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana em que certas noções geométricas são consideradas primitivas e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria incluindo geometria algébrica diferencial discreta e computacional Em geral o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos retas curvas e círculos geralmente em duas dimensões mas por vezes também em três ou mais dimensões A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples ela diz respeito a definição e representação de formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa repre sentação O resultado numérico também pode no entanto ser um vetor ou uma forma O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseiase no axioma de CantorDedekind Geometria Analítica Parte 1 69 COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO Vamos iniciar tratando do Sistema de Coordenadas Cartesianas falando primeiramente de eixos reais ou retas orientadas Eixo real é a reta na qual se fixou um ponto como sendo a origem e um sentido de percur so escolhido como positivo A essa reta orientada é que denominamos de eixo e eixo real por causa da correspondência biunívoca CantorDedekind a cada ponto da reta está associado a um e apenas um número real e viceversa Cada número real é denominado imagem do ponto ou abscissa do ponto e a reta denominamos de eixo das abscissas que representaremos por OX o 0 No plano tomados dois eixos perpendiculares entre si formaremos o plano cartesiano ortogonal ou simplesmente o Sistema de Coordenadas cartesianas Temos assim dois eixos denominados eixo das abscissas OX ou eixo horizontal eixo das ordenadas OY ou eixo vertical Sistema cartesiano ortogonal ou Plano Cartesiano XOY OX OY Origem do sistema OX OY 0 ponto associado ao par de números reais 00 Ponto Genérico do Plano PxP yP associado a um par ordenado de números reais xP e yP Temos xP é a abscissa do ponto P e yP é a ordenada do ponto P Os números reais xP e yP são as coordenadas do ponto P ou seja o par ordenado y x p Y p X P 0 Quando os eixos OX e OY se interceptam o plano fica dividido em quatro regiões denominadas quadrantes portanto as regiões compreendidas entre os eixos são deno minadas de quadrantes e são enumeradas no sentido positivo ou seja antihorário da direita para a esquerda como representado a seguir Geometria Analítica Parte 1 70 y x 0 2º quadrante 1º quadrante 3º quadrante 4º quadrante Temos duas retas especiais no plano retas bissetrizes dos quadrantes a saber Reta Bissetriz dos Quadrantes Ímpares passa pela origem no 1º e no 3º quadrante bI Reta Bissetriz dos Quadrantes Pares passa pela origem no 2º e no 4º quadrante bP 0 y x 0 y x Ib P b Generalizando temos as localizações dos Pontos no Plano Cartesiano assim definidas Se o ponto P pertence ao 1º quadrante xP 0 e yP 0 ou seja P Se o ponto P pertence ao 2º quadrante xP 0 e yP 0 ou seja P Se o ponto P pertence ao 3º quadrante xP 0 e yP 0 ou seja P Se o ponto P pertence ao 4º quadrante xP 0 e yP 0 ou seja P Se o ponto P pertence ao Eixo das Abscissas AxP R yP 0 ou seja PxP 0 Se o ponto P pertence ao Eixo das Ordenadas AyP R xP 0 ou seja P0 yP Se o ponto P pertence à Reta Bissetriz dos Quadrantes Ímpares xP yP ou seja Px x Se o ponto P pertence à Reta Bissetriz dos Quadrantes Pares xP yP ou seja Px x Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Determine o valor real de t para que o ponto At 1 2t 3 pertença ao 1º quadrante Resolução Se o ponto A pertence ao 1º quadrante deve obedecer a condição xP 0 e yP 0 Assim temos A abscissa xP t 1 e a ordenada yP 2t 3 que atendendo a condição de localização no 1º quadrante xP 0 e yP 0 t 1 0 e 2t 3 0 t 0 1 e 2t 3 t 1 e t 3 2 Geometria Analítica Parte 1 71 As duas condições têm que ser atendidas ao mesmo tempoou seja é uma interseção 1ª Solução S1 xP 0 t 1 2ª Solução S2 yP 0 t 3 2 Solução Final S1 S2 1 1 3 2 S t R t 1 Exemplo 2 Determine o valor real de t para que o ponto M 2t 5 1 3t pertença ao 3º quadrante Resolução Se o ponto M pertence ao 3º quadrante deve obedecer a condição xP 0 e yP 0 Assim temos A abscissa xP 2t 5 e a ordenada yP 1 3t que atendendo a condição de localização no 3º quadrante xP 0 e yP 0 2t 5 0 e 1 3t 3 0 2t 5 e 3t 1 x 1 2t 5 e 3t 1 t 5 2 e t 1 3 As duas condições têm que ser atendidas ao mesmo tempo ou seja é uma interseção 1ª Solução S1 t 5 2 2ª Solução S2 t 1 3 Solução Final S1 S2 S t R 1 3 t 5 2 Exemplo 3 Determine o valor real de t para que o ponto B 3t 1 3 t2 pertença a reta bissetriz dos quadrantes ímpares Resolução Se o ponto B pertence a reta bissetriz dos quadrantes ímpares deve obedecer a condição xP yP 1 3 2 5 2 5 2 1 3 1 3 Geometria Analítica Parte 1 72 Assim temos A abscissa xP 3t 1 e a ordenada yP 3 t2 que pela condição terão que ser iguais 3t 1 3 t2 3t 1 3 t2 0 t2 3t 4 0 Os valores de t que anulam são as raízes da equação de segundo grau at2btc0 fórmula de Bhaskara Temos a 1 b 3 e c 4 2 4 2 b b ac t a 2 3 3 41 4 21 t 3 9 16 2 t 3 25 2 t 3 5 2 t 3 5 2 t ou 3 5 2 t t 4 ou t 1 S 4 1 AGORA FAÇA VOCÊ Determine o valor de a para que 1 O ponto A 2a 3 3 a pertença ao 2º quadrante 2 O ponto M a2 1 7a3 5a2 3a 2a 4 pertença ao eixo das ordenadas 3 O ponto P 2a 1 5 7a pertença a reta bissetriz dos quadrantes pares Respostas 1 a R a 3 2 2 1 1 3 a R a 6 5 SEGMENTO DE RETA Dados dois pontos A e B vamos representar o segmento de reta de extremidades A e B por AB e sua medida por AB A B Geometria Analítica Parte 1 73 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Seja dado o segmento AB e seja M um ponto pertencente a esse segmento de tal forma que ele divida o segmento em dois segmentos congruentes ou seja de mesma medida M é denominado o ponto médio de AB Os triângulos ACM e AMD são congruentes pelo caso LAL ACM MDB AC MD ˆC ˆD 2 π e CM DB y x 0 B y M y A y xM Bx Ax A M C D B Se AC MD então xM xA xB xM xM xM xB xA 2xM xA xB xM 2 A B x x E se CM DB então yM yA yB yM yM yM yB yA 2yM yA yB yM 2 A B y y As coordenadas do ponto M médio de AB são 2 A B M x x x e 2 A B M y y y Exemplo 1 Determine as coordenadas do ponto M médio do segmento de extremos A 1 2 e B 5 4 Resolução Se M é médio de AB então temos M 2 A B x x 2 A B y y M 1 5 2 2 4 2 M 4 2 6 2 O ponto M 2 3 é médio de AB Geometria Analítica Parte 1 74 Exemplo 2 Sabendose que as coordenadas do ponto M médio de um segmento AB são M 1 2 determine as coordenadas do extremo B tendo o extremo A 2 5 Resolução Se M é médio de AB temos 2 A B M x x x e 2 A B M y y y 2 1 2 xB e 5 2 2 yB 1 x 2 2 xB e 2 x 2 5 yB 2 2 xB e 4 5 yB XB 4 e y B 1 Portanto as coordenadas do extremo B 4 1 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam AxA yA e BxB yB os extremos de um segmento AB inicialmente não paralelo a nenhum dos eixos A distância entre os pontos A e B que se indica por δAB é encontrada pela construção auxiliar no plano cartesiano do Triângulo ABC retângulo em C conforme figura a seguir y x 0 B Y A Y XA B X A B C AB δ A D B é retângulo então aplicando o teorema de Pitágoras temos 2 2 2 AB AC AB ① Como B A B A AC x x CB y y ② ③ Substituindo as equações ③ e ② em ① temos AB ² xB xA² yB yA² 2 2 AB B A B A x x y y δ ou 2 2 AB x y δ OBS Se o segmento AB for paralelo a um dos eixos também vale a fórmula Geometria Analítica Parte 1 75 Exemplo 1 Determine o comprimento do segmento cujos extremos são A 1 2 e B 5 1 Resolução A medida do segmento AB é a distância entre os pontos A e B 2 2 AB B A B A x x y y δ 2 2 5 1 1 2 δAB 2 2 4 3 δAB 16 9 δAB 25 δAB 5 δAB unidades de medida MEDIANA E BARICENTRO DO TRIÂNGULO Sejam AxA yA BxB yB e C xC yC os três vértices do triângulo ABC Mediana do triângulo ABC é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto A B C N M P G Temos no triângulo ABC A mediana AM relativa ao lado BC A mediana BN relativa ao lado AC A mediana CP relativa ao lado AB O ponto de encontro das medianas G é o Baricentro Geometria Analítica Parte 1 76 As coordenadas do ponto G serão determinadas pela razão de seção de um segmento Dados três pontos colineares distintos A B e C denominase razão entre os segmentos orientados AB e BC o número real r tal que AB r BC A B C Se AB e BC tem o mesmo sentido então a razão r é positiva Se AB e BC tem o sentido oposto então a razão r é negativa Assim vamos determinar as coordenadas do Baricentro G Sejam AxA yA BxB yB e C xC yC os três vértices do triângulo ABC Baricentro do triângulo ABC é o ponto G que divide a mediana numa razão de seção A Baricentro B C N M G P Por meio de razão de seção temos AG 2GM AG 2 3 AM e GM 1 3 AM BG 2GN BG 2 3 BN e GN 1 3 BN CG 2GP CG 2 3 CP e GP 1 3 CP As coordenadas do baricentro do triângulo ABC serão dadas por 3 A B C G x x x x e 3 A B C G y y y y Assim o Baricentro do triângulo ABC terá as coordenadas dadas por 3 3 A B C A B C x x x y y y G Exemplo 1 Determine as coordenadas do Baricentro do triângulo ABC cujos vértices são A27 B22 e C53 Geometria Analítica Parte 1 77 Resolução 3 A B C G x x x x 2 2 5 3 xG xG 3 3 A B C G y y y y 7 2 3 3 yG yG 4 Logo as coordenadas do baricentro são G 3 4 AGORA FAÇA VOCÊ Para o Triângulo ABC onde A35 B27 e C03 pedese determinar a As coordenadas do Baricentro b O comprimento da mediana BM relativa ao lado AC c O perímetro desse triângulo Respostas a 1 5 3 G b 2 2 43 2 BM B M B M x x y y δ c 2 2 5 13 29 p unidades de comprimento Geometria Analítica Parte 1 78 GEOMETRIA ANALÍTICA PARTE 2 ESTUDO COMPLETO DA RETA CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS Dados os pontos AxA yA B xB yB e CxC yC distintos pertencentes ao um mesmo plano XOY dizse que os pontos A B e C estão alinhados se e somente se o determinante D formado pelas coordenadas desses pontos for igual a zero onde det D xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 0 Resolvendo o det D pelo processo de colocar os pontos ordenadamente um abaixo do outro e repetir o primeiro e assim calculamos os produtos dos termos aditivos Diagonais para a direita e subtraímos dos produtos dos termos subtrativos Diagonais para a esquer da ou seja aplicando a regra de SARRUS temos xA yA xB yA xB yB xA yB xCyB xC yC xByC 0 xA yC xA yA xCyA Como o detD0 temos xAyB xByC xC yA xByA xCyB xAyC 0 Exemplo 1 Verifique se os pontos A23 B54 e C21 estão alinhados Resolução Para que os pontos A B e C estejam alinhados pertençam a uma mesma reta o determi nante formado pelas coordenadas desses pontos tem que ser igual a zero det 2 3 5 4 2 1 2 3 Det 8 5 6 15 8 2 Det 32 0 Portanto os pontos A B e C não estão alinhados Geometria Analítica Parte 2 79 EQUAÇÃO GERAL DE RETA Teorema Dada uma reta r no plano cartesiano sua equação pode ser escrita na forma ax by c 0 onde a b e c são números reais tais que a e b não simultaneamente nulos A equação ax by c 0 é denominada equação geral da reta dados A A B B A x y r B x y r P x y r é genérico y x 0 By A y y xA x B x A P B Se P é um terceiro ponto da reta r então pela condição de alinhamento de 3 pontos o determinante formado pelas suas coordenadas tem que ser igual a Zero x y xA yA xB yB x y 0 xyA xA yB xy xByA y xB yB x 0 xyA yB yxB xA xAyB xByA 0 0 c A B B A A B B A a y y b x x ax by c x y x y é a equação geral da reta r Exemplo 1 Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos A1 2 e B35 Resolução Seja Pxy um ponto genérico de r um ponto qualquer Pela condição de alinhamento de 3 pontos da reta temos 12 35 A r B r P x y r det 0 Geometria Analítica Parte 2 80 x y 1 2 3 5 x y 0 r 2x 5 3y y 6 5x 0 r 3x 4y 11 0 ou r 3x 4 y 11 0 COEFICIENTE LINEAR E COEFICIENTE ANGULAR DA RETA Coeficiente Linear da reta é a ordenada do ponto de interseção da reta r com o eixo OY 0 n α n Coeficiente Angular ou Inclinação da reta é o valor da tangente do ângulo α menor deter minação do ângulo formado entre a reta r e o eixo OX O coeficiente angular da reta r indicado por m é dado pela tangente do ângulo α m tgα Temos Se α é um ângulo agudo 0 α 2 π então a tangente de α é positiva m 0 y x 0 r α α é agudo tgα 0 m 0 Se α é um ângulo obtuso 2 π α π então a tangente de α é negativa m 0 y α Geometria Analítica Parte 2 81 α é obtuso 2 π α π tg α 0 m 0 Obs Se α é reto α 2 π m e se α é nulo α 0 m 0 COEFICIENTE ANGULAR m CONHECIDOS DOIS PONTOS Sejam AxA yA e BxB yB pontos distintos pertencentes à mesma reta r inicialmente não paralela a nenhum dos eixos coordenados y x 0 By Ay Ax Bx A B α B x xA B A y y m tg α tg α cateto oposto cateto adjacente B A B A y y m tg x x α Exemplo 1 Determine o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A23 e B51 Resolução O coeficiente angular m é dado por B A B A y y m tg x x α 0 1 3 5 2 m 4 7 m 4 7 m Geometria Analítica Parte 2 82 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Dados os pontos A 0 n e o ponto genérico P x y pertencente a reta r temse y x 0 P A α n r y n y x 0 x y n m x mx y n mx n y y mx n é a equação reduzida de r 1 onde m coeficiente angular da reta n coeficiente linear da reta OBS Na equação geral ax by c 0 Temos ax c y b b 2 Então comparando 1 e 2 vem a m b e c n b Equação da Reta dados Coeficiente Angular inclinação m e um Ponto A Seja AxA yA um ponto pertencente a uma reta r e seja m o coeficiente angular de r Assim temos y x 0 P A r A y xA x y A A y y m x x y yA m x xA Geometria Analítica Parte 2 83 Exemplo 1 Determine a equeco da reta r que passa pelo ponto E34 e cujo coeficiente angular é 3 Resolução 3 34 r E E m r y y m x x E r r y 4 3x 3 r y 4 3 x 3 r y 4 3x 33 r y 4 3x 9 r y 4 3x 9 0 r 3x y 5 0 Equação Geral da reta r E a Equação Reduzida da reta r r y 4 3x 9 r y 3x 9 4 r y 3x 5 AGORA FAÇA VOCÊ 1 Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos M24 e N03 2 Determine a equação reduzida da reta r que passa por D42 e cujo coeficiente angular é 5 3 Determine a equação reduzida da reta r que passa por C12 e cujo coeficiente linear 2 Respostas 1 r x 2y 6 0 2 r y 5x 22 3 r y 4x 2 Geometria Analítica Parte 2 84 GEOMETRIA ANALÍTICA PARTE 3 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Sejam r e s duas retas do plano cartesiano XOY cujas equações reduzidas são r y mr x nr s y msx ns As posições relativas de r e s no plano podem ser 1 Retas Coincidentes r s As retas r e s são coincidentes se e somente se representam a mesma r ou seja elas têm todos os pontos em comum r s y x r s αr αs Temos r s portanto mr ms e nr ns 2 Retas paralelas r s As retas r e s são paralelas se e só se somente se elas não têm nenhum ponto em comum r s α α y x r s r s rn sn αr αs nr ns r s mr ms e nr ns 3 Retas Concorrentes Duas retas r e s são concorrentes se e somente se elas têm apenas um ponto em comum isto é r s P xP yP y x P r s Geometria Analítica Parte 3 85 Sendo assim as declividades serão necessariamente diferentes portanto m r m s Entretanto podem ter o mesmo coeficiente linear nr ns isto é se interceptam no mesmo ponto pertencente ao eixo OY P r s y x Exemplo r y 2x1 s y 2x1 Obs Caso particular de retas concorrentes são as retas perpendiculares entre si RETAS PERPENDICULARES Sendo αs αr αs é externo ao triângulo NPQ portanto é igual à soma dos internos não adjacentes αs αr 2 π y P Q N x r s αr s α Como tangente do ângulo é a inclinação então calculamos membro a membro a tangente 2 s r tg tg π α α ① Como 2 r s tg cotg π α α Portanto na eq ① podemos escrever tg αs cotg αr ou ainda 1 s r tg tg α α Mas tg αs ms e tg αr mr então 1 s r m m ou 1 r s m m mr ms 1 Veja alguns exemplos Exemplo 1 Sabendose que r passa pelo ponto A2 1 e é paralela à reta s y 2x 1 determine a equação da reta r Geometria Analítica Parte 3 86 Resolução A2 1 r rs mr ms mr 2 A equação genérica da reta r é y mx n Se A pertence a reta então satisfaz a sua equação ou seja ele pode ser um ponto x y genérico qualquer da reta r y mx n r yA mr xA nr Substituindo os dados temos r 1 2 2 n r 1 4 n r 1 4 n r 3 n Portanto temos m 2 Assim a equação da reta r é y 2x 3 Exemplo 2 Sabendose que r passa pelo ponto D3 2 e é perpendicular à reta s y 3x 2 deter mine a equação da reta r Resolução D3 2 r r s 1 r s m m mr 1 3 A equação genérica da reta r é y mx n Se D pertence a reta r então satisfaz a sua equação ou seja ele pode ser um ponto xy genérico qualquer da reta r y mx n r yD mr xD n r 2 1 3 3 n r 2 1 n r 2 1 n r 1 n Temos mr 1 3 e nr 1 assim a equação da reta r é y 1 3 x 1 Vamos resolver alguns exercícios com aplicações sobre retas 1 Uma construtora para construir o novo prédio numa certa cidade cobra um valor fixo para iniciar as obras e mais um valor variável que aumenta de acordo com o passar dos meses da obra O gráfico abaixo descreve o custo da obra em milhões de reais em função do número de meses utilizados para a construção da obra Geometria Analítica Parte 3 87 y x meses A B 24 13 19 milhões de reais a Obtenha a lei para que determina o gráfico ou seja a equação da reta Resolução O gráfico é de uma reta Na representação gráfica temos dois pontos específicos B2419 e A013 A ordenada de A é o coeficiente linear da reta r que passa por A e B n 13 A equação genérica da reta r é y mx n Substituindo na equação genérica reduzida da reta r B2419 r nr 13 Temos r y mx n yB mxB n 19 m24 13 19 13 24m 6 24m 6 24 m m 1 4 Portanto a Lei equação da reta que define o Custo da Obra R em função do tempo meses é y mx n r y 1 4 13 b Determine o valor inicial cobrado pela construtora para a construção do prédio Resolução O Valor inicial acontece no instante zero ou seja x 0 e como resultado obtemos o coeficiente linear y 13 Se substituirmos na equação que define a Lei do Custo teremos y 1 4 x 13 y 1 4 0 13 y 13 Assim o valor inicial cobrado é de 13 milhões de Reais c Qual será o custo total da obra sabendo que a construção demorou um ano e meio para ser finalizada Geometria Analítica Parte 3 88 Resolução Se o tempo foi de um ano e meio então são 18 meses tempo está em meses Se o valor de x 18 então ao ser substituído gera o custo total da obra y 1 4 x 13 y 1 4 18 13 y 18 4 13 y 45 13 y 175 milhões O Custo total da obra em 18 meses foi de R 175 milhões 2 Uma torneira é aberta para encher uma piscina com capacidade para 12000 litros quando está vazia O gráfico abaixo mostra esta situação 700 600 500 400 300 200 100 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Volume litros tempo minutos A a Determine a Lei que expressa o volume dessa piscina em função do tempo Resolução Graficamente temos pelo menos dois pontos definidos 00 e 10 600 Como a reta intercepta o eixo OY no ponto de ordenada y 0 temos que n 0 Assim A equação genérica da reta r é y mx n Substituindo na equação genérica reduzida da reta r 10600 r nr 0 Temos r y mx n yA mxA 0 600 m10 0 600 10m 600 10 m m 60 Geometria Analítica Parte 3 89 Assim a Lei que expressa o Volume dessa piscina é y 60x 0 0 x 200 b Quando tempo em minutos levará para a piscina ficar totalmente cheia Para a piscina encher terá que ter 12000 litros assim se y 12000 litros substituindo na equação y 60x 0 12000 60x 12000 60 x x 200 Resposta 200 minutos que transformados representam 3 horas e 20 minutos 200 60 minutos 33333 horas Obs Para que não haja desperdício de água o limite do tempo é 200 minutos AGORA FAÇA VOCÊ 1 Dados os pontos A21 B47 C35 e D04 determine a A equação geral da reta r que passa pelos pontos B e D b A equação reduzida da reta s que passa por A e é paralela à reta r c A equação reduzida da reta t que passa por C e é perpendicular à reta s d A equação da reta que contém a mediana DM do triângulo ADC e O comprimento da mediana DM do triângulo ADC 2 Certa cidade no mês de janeiro de 2014 o número de usuários da internet chegava a 9 mil habitantes Em fevereiro do mesmo ano esses internautas chegavam a 17 mil pessoas y meses jan fev 9 17 Número de usuários da Internet mil Com base nos dados determine a A Lei equação que representa o número de usuários da internet em função do tempo b Se esse crescimento se manter constante qual a quantidade de internautas para o mês de julho desse mesmo ano c Em que mês de 2014 o número de internautas será igual a 97mil pessoas Geometria Analítica Parte 3 90 Respostas 1 a r 3x 4y 16 0 b s y 3 4 x 5 4 2 3 c t y 5 4 2 3 x 9 d 2x y 4 0 e 5 2 u c 2 a y 8x 1 b 57 mil internautas c Dezembro de 2014 Geometria Analítica Parte 3 91 GEOMETRIA ANALÍTICA PARTE 4 Distância de um Ponto A uma Reta r Seja dada uma reta cuja equação genérica é r ax by c 0 e A xA yA um ponto não pertencente a reta r dada y x r A Ay Ax r δA A distância do ponto A à reta r é dado pela fórmula que não será demonstrada translação de eixos 2 2 A A A r ax by c a b δ Exemplo 1 Determine a distância do ponto M21 até a reta r 2x 3Y 1 0 Resolução A distância de M até a reta r é 2 2 M M M r ax by c a b δ 2 2 2 3 1 2 3 M M M r x y δ 22 31 1 4 9 δM r 4 3 1 13 δM r 6 13 13 13 δM r 6 13 13 δM r unidades de comprimento Geometria Analítica Parte 4 93 AGORA FAÇA VOCÊ Determine a distância da reta r que passa pelos pontos P13 e Q52 até o ponto M27 Resposta 39 61 61 δM r uc ÁREA DE POLÍGONOS 1 Área do Triângulo Sendo S a representação da área de um triângulo ABC cujos vértices são AxAyA BxB yB e CxC yC Como sabemos pela Geometria plana a área do ABC é dada por 2 b h S Sendo b a base do ABC e h a altura do ABC Seja b BC e h AH conforme o desenho a seguir B b H C A h Temos 2 2 CB B C B C b x x y y δ e 2 2 A A A BC ax by c h a b δ onde a reta que passa por B e C BC ax by c 0 é encontrada pelos alinhamentos dos três pontos B C e Pxy determinante formado pelas suas coordenadas tem que ser igual a Zero D x y xC yC xB yB x y Desenvolvendo o determinante temos y C C B B C B C B D y x x x y x y x y x y Que após os agrupamentos de termos semelhantes fica D yC yBx xB xCy xCyB xByC 2 2 δ C B A B C A C B B C A BC C B B C y y x x x y x y x y y y x x Geometria Analítica Parte 4 94 Substituindo na fórmula de área temos 2 b h S 1 2 S b h onde b 1 2 BC A BC S δ δ e h 1 2 BC A BC S δ δ 1 2 BC A BC S δ δ 2 2 2 2 1 2 B C A B C A C B B C B C B C B C C B y y x x x y x y x y S x x y y y y x x 1 2 B C A B C A C B B C S y y x x x y x y x y 1 2 B A C A B A C A C B B C S y x y x x y x y x y x y Onde representaremos este desenvolvimento modular por D Mas o desenvolvimento de D é exatamente o resultado do determinante formado pelas coordenadas dos pontos A B e C D xA yA xB yB xC yC xA yA y A B B C C A C B B A A C D x y x x y x y x y x y Simplificando transformamos a área do triângulo na fórmula 1 2 S D Exemplo 1 Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos M23 N15 e P42 Resolução A área do triângulo é dada por 1 2 S D 1 5 4 2 1 2 3 2 1 5 S 1 2 12 10 20 4 3 S 2 1 11 S 2 11 2 S u a Geometria Analítica Parte 4 95 AGORA FAÇA VOCÊ Determine a área do triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC dados os pontos A23 B54 e C7 2 conforme a figura abaixo A B C N M P Resposta S 8 u a 2 Área de um polígono qualquer Sejam A B C M os vértices consecutivos de um polígono ABCM qualquer A área do polígono também poderá ser transformada em vários triângulos que não se sobrepõem e assim será o somatório das áreas dos triângulos que o compõem Seja por exemplo o pentágono da figura abaixo A B C D E 1 S S2 3 S SP S1 S2 S3 Mas que poderá ser simplificada pela fórmula 1 2 SP D onde D é o determinante formado pelas coordenadas dos vértices consecutivos desse pentágono repetindose as coordenadas do primeiro ponto que começar D xA yA xB yB xC yC xD yD xE yE xA yA Assim para um polígono qualquer teremos D xA yB yA xB xB yC yB xC xM yA yM xA ou ainda xA yA xB yB xC yC xM yM xA yA Geometria Analítica Parte 4 96 Exemplo 1 Determine a área do polígono cujos vértices são A45 B11 C62 D40 e E33 Resolução Inicialmente vamos localizar esses pontos no plano para saber os vértices consecutivos do polígono y x A C D E B 1 2 3 3 4 4 5 6 0 1 Escolhemos um sentido de percurso horário ou antihorário dos pontos consecutivos e aplicamos a fórmula 1 2 A A E E C C P D D B B A A x y x y x y S x y x y x y ou 1 2 A A B B D D P C C E E A A x y x y x y S x y x y x y 4 5 1 1 4 0 1 6 2 2 3 3 4 5 P S 1 4 8 18 15 5 4 6 12 2 P S 1 28 2 P S 28 2 P S 14 SP u a Portanto a área desse polígono ABDCE ou AECDB é igual a 14 unidades de área Geometria Analítica Parte 4 97 AGORA FAÇA VOCÊ 1 Determine a área do polígono da figura abaixo y x 2 5 5 5 7 7 8 9 9 0 Resposta 265 SP u a 2 Determine a área do polígono cujos vértices são os pontos A27 B16 C80 D53 E74 F43 e G65 Resposta SP 121 u a SAIBA MAIS Esse material de Geometria Analítica foi preparado com uma abordagem simples do estudo do Ponto e da Reta no Plano Espero que o mesmo possa ajudálo a resolver muitas aplica ções no seu cotidiano Geometria Analítica Parte 4 98 ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES Um Pouco de História Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares que se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores espaços vetoriais transformações lineares sistemas de equa ções lineares determinantes e matrizes O estudo da álgebra linear particularmente os relacionados com a solução de siste mas de equações lineares datam da antiguidade como a eliminação gaussiana citada pela primeira vez por volta do século II dc no entanto só começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX O uso de tais objetos na relatividade geral estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura A Álgebra Linear é muito utilizada pelos matemáticos engenheiros biólogos físicos progra madores de computadores e outros cientistas Com o desenvolvimento dos computadores houve um ressurgimento no interesse em matrizes particularmente no cálculo numérico A álgebra abstrata representa uma generalização moderna introduzida na metade do século XX Tensores como generalização de vetores surgiram no final do século XIX Todas essas ferramentas são amplamente utilizadas na mecânica quântica relatividade e estatística o que contribuiu para que o estudo da álgebra linear se tornasse generalizado para estudantes de ciências exatas Ela é ainda uma importante base para o desenvolvi mento de tópicos teóricos avançados modernos Estudaremos em Álgebra as Matrizes os Determinantes e os Sistemas Lineares Matriz CONCEITO A uma tabela de números dispostos em linhas e colunas colocados entre colchetes ou parên tese damos o nome de Matriz e indicaremos por uma letra maiúscula do nosso alfabeto 1 2 1 2 9 4 0 3 5 A ou 1 2 1 2 9 4 0 3 5 A Os números que a compõem damos o nome de elementos e cada elemento ocupa na matriz uma posição indicada pela sua linha e coluna respectivamente assim representa remos cada elemento por aij onde i indicará a posição da sua linha e j a posição de sua coluna Na matriz 1 2 1 2 9 4 0 3 5 A temos por exemplo que O elemento 9 é representado por a22 ou seja ele ocupa a posição de interseção da 2ª linha e da 2ª coluna da matriz O elemento 0 é representado por a31 ou seja ele ocupa a posição de interseção da 3ª linha e da 1ª coluna da matriz Álgebra Linear Matrizes 99 ORDEM DE UMA MATRIZ É a quantidade de linhas e colunas que ela possui e indicaremos por Amxn onde m indica a quantidade de linhas que ela possui e n a quantidade de colunas A matriz 2 1 3 0 5 2 A é indicada por A2x3 ou seja ela possui 2 linhas e 3 colunas Se a matriz possui quantidade de linhas igual a quantidade colunas dizemos que a matriz é quadrada e nesse caso a ordem será indicada apenas por um índice n An Se a matriz possui apenas uma linha e qualquer quantidade de colunas então a denomi naremos de Matriz Linha e se ela possui apenas uma coluna e qualquer quantidade de linhas diremos que ela é Matriz Coluna Exemplos A matriz 3 1 2 1 2 9 4 0 3 5 A é Quadrada de ordem 3 A matriz 1 3 1 0 2 A é uma Matriz Linha A matriz 4 1 2 0 5 3 A é uma Matriz Coluna IGUALDADE MATRTIZES Duas matrizes A e B são iguais quando possuem a mesma ordem e os elementos corres pondentes que ocupam a mesma posição de linha e coluna são iguais Exemplo As matrizes 2 3 1 2 3 0 1 x A e 2 3 1 3 3 0 1 y B são iguais se x 3 e y 2 Operações com Matrizes ADIÇÃO DE MATRIZES Para a adição de duas matrizes A e B a compatibilidade para realizar essa operação é 1º A e B têm que possuírem a mesma ordem 2º Cada elemento resultante da adição é a soma de dois elementos correspondentes Amxn Bmxn Cmxn cij aij bij Exemplo Sejam as Matrizes 3 2 2 1 0 4 2 5 A e 3 2 2 0 1 3 1 0 B calcule A B Álgebra Linear Matrizes 100 Resolução 2 1 2 0 0 4 1 3 2 5 1 0 A B 2 2 1 0 0 1 4 3 2 1 5 0 A B 0 1 1 7 1 5 A B SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Para a subtrair duas matrizes A e B temos que ter a seguinte compatibilidade 1º A e B têm que possuírem a mesma ordem 2º Cada elemento resultante da subtração é a diferença de dois elementos correspondentes Amxn Bmxn Cmxn cij aij bij Exemplo Sejam as Matrizes 3 2 2 1 0 4 2 5 A e 3 2 2 0 1 3 1 0 B calcule A B Resolução 2 1 2 0 0 4 1 3 2 5 1 0 A B 2 2 1 0 0 1 4 3 2 1 5 0 A B 2 2 1 0 0 1 4 3 2 1 5 0 A B 4 1 1 1 3 5 A B Uma maneira mais fácil de resolver a subtração e não errar os sinais dos elementos é somar a primeira matriz A com a oposta da segunda matriz B ou seja a matriz oposta de B é trocar na matriz B os sinais de todos os seus elementos Álgebra Linear Matrizes 101 Veja o exemplo 2 1 2 0 0 4 1 3 2 5 1 0 A B A B A B 2 1 2 0 0 4 1 3 2 5 1 0 A B 2 2 1 0 0 1 4 3 2 1 5 0 A B 2 2 1 0 0 1 4 3 2 1 5 0 A B 4 1 1 1 3 5 A B AGORA FAÇA VOCÊ Dadas as Matrizes 2 1 2 3 5 1 1 7 2 A 3 1 0 1 2 3 0 5 1 B e 4 3 5 2 2 3 4 0 3 C calcule 1 A C 2 B A C 3 B C Respostas 1 6 2 7 5 3 4 5 7 5 A C 2 3 3 7 B 4 5 1 5 2 4 A C 3 1 4 5 1 0 0 4 5 2 C B Álgebra Linear Matrizes 102 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR UM NÚMERO REAL NÃO NULO Seja A uma matriz de ordem mxn e seja α um número real não nulo O produto de A por α é dado por 11 12 1 21 22 2 1 2 n n mxn m m mn a a a a a a A a a a α α Cada elemento de A é multiplicado por α 11 12 1 21 22 2 1 2 n n mxn m m mn a a a a a a A a a a α α α α α α α α α α Veja o exemplo a seguir Dada a matriz 3 2 2 3 1 0 1 2 x A determine 1º 3A Resolução 2 3 3 3 1 0 1 2 A x 6 9 3 3 0 3 6 A 2º 2A 2 3 2 2 1 0 1 2 A x 4 6 2 2 0 2 4 A MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A multiplicação de matrizes só é possível se a primeira matriz tiver o número de colunas igual ao número de linhas da segunda matriz Amxn Bpxq n p e ABmxq E como encontramos esse produto Álgebra Linear Matrizes 103 Cada elemento cij gerado pelo produto de AB é dado pelo somatório dos produtos parciais de cada elemento da linha ipor cada elemento da coluna j respectivamente a saber cij ai1 b1j ai2 b2j ain bnj Em outras palavras cada elemento de c é calculado multiplicandose ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e a seguir somase os produtos obtidos Veja o exemplo a seguir Sejam as matrizes 3 2 2 3 1 0 4 5 x A e 2 3 3 1 2 4 B x calcule AB Resolução 3 2 2 2 3 2 x x x A B A B Vamos multiplicar tomando a 1ª linha e a 1ª coluna 2x3 3x2 2x 2 3 3 1 x 1 0 x 2 4 4 5 1 3x4 x A B A B E fazemos o mesmo procedimento para as demais linhas com cada uma das colunas 2x3 3x2 2x1 3x 1 4x3 5x2 4x 2 3 3 1 x 1 0 x 2 4 x3 0x2 1x1 0x 1 5x x 4 4 4 5 4 A B A B 12 14 x 3 1 22 24 A B Vamos a outro exemplo Sejam as matrizes 3 2 2 3 1 0 4 5 x A e 2 3 3 1 2 4 B x calcule BA Álgebra Linear Matrizes 104 Resolução 2 2 3 2 x x B A 2 3 Diferentes Não é possível multiplicar estas matrizes OBS Não existe Comutatividade para a Multiplicação de Matrizes AB BA Sejam as matrizes 2 3 1 5 A e 2 0 1 3 B calcule 1º AB 2º BA Resolução 1º 2 2 2 2 2 2 x x x A B A B 2 3 2 0 1 5 1 3 AxB 2 2 3 1 2 0 3 3 1 2 5 1 1 0 5 3 x x x x AxB x x x x 4 3 0 9 2 5 0 15 AxB 1 9 7 15 AxB 2º B x A 2 0 2 3 1 3 1 5 BxA 2 2 0 1 2 3 0 5 1 2 3 1 1 3 3 5 x x x x BxA x x x x 4 0 6 0 2 3 3 15 BxA 4 6 1 18 BxA Álgebra Linear Matrizes 105 POTENCIAÇÃO DE MATRIZ A compatibilidade para que haja a potência de uma matriz só se ela for quadrada e será assim definida k n n n n n A A x A x A x x A K fatores iguais a An E para resolver a potência efetuamos a multiplicação de matrizes de duas em duas Assim por exemplo A3 A x A x A A3 AxA x A A3 A2 x A A4 A2x A2 A5 A2 x A2 x A A5 A2 x A3 A5 A4 x A Vamos efetuar algumas potências Exemplo Dada a matriz 2 1 3 0 A calcule 1º A2 A x A 2 2 1 2 1 3 0 3 0 A 2 2 1 2 1 3 0 3 0 A 2 2 2 1 3 2 1 1 0 3 2 0 3 3 1 0 0 x x x x A x x x x 2 4 3 2 0 6 0 3 0 A 2 7 2 6 3 A 2º A3 A x A x A A2 x A 3 7 2 2 1 6 3 3 0 A 3 7 2 2 3 7 1 2 0 6 2 3 3 6 1 3 0 x x x x A x x x x 3 20 7 21 6 A Álgebra Linear Matrizes 106 AGORA FAÇA VOCÊ Dada a matriz A 2 1 3 0 A Calcule 1º A4 2º A5 Respostas 1º 4 61 20 60 21 A 2º 5 182 61 183 60 A MATRIZ INVERSA Seja A uma matriz quadrada de ordem n Chamase Matriz Inversa de A e se indica por A1 a matriz que satisfaz a seguinte lei An An 1 An 1 An In onde In é a matriz Elemento Neutro da Multiplicação de Matrizes denominada matriz Identidade diagonal principal possui o elemento 1 e os demais elementos são nulos de mesma ordem da matriz A Só é possível encontrar a matriz Inversa de uma matriz Quadrada mas nem toda matriz Quadrada possui matriz Inversa e a Inversa é a mesma à esquerda e a direita de A Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 a saber 2 1 1 2 A Determine se existir a Inversa de A A1 Resolução Para determinar a matriz Inversa de A teremos que criar uma matriz genérica quadrada de mesma ordem que A a saber 1 a b A c d Que satisfaz a condição de existir a esquerda e a direita de A a saber A2 A2 1 A2 1 A2 I2 Álgebra Linear Matrizes 107 Inicialmente procuraremos a Inversa a direita de A A A1 I2 2 1 1 0 1 2 0 1 a b c d 2 1 2 1 1 0 1 2 1 2 0 1 a c b d a c b d Pela igualdade de matrizes temos 2 1 1 1 2 0 a c a c 2 1 0 1 2 1 b d b d Vamos resolver os sistemas de duas equações com duas variáveis iguais aplicando o Método da Adição 2 1 1 2 1 2 0 4 2 2 1 2 0 3 2 1 3 2 2 3 a c x a c a c a c a x a a Substituindo o valor de a numa das equações determinamos o valor de c 2 1 1 2 2 1 2 3 4 1 3 3 4 3 1 3 a c c a c c c c E agora tomando o outro par de equações determinaremos os valores de b e d 2 1 0 1 2 1 b d b d Usando o método da Adição de equações teremos 2 1 0 2 1 2 1 b d x b d 4 2 0 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 b d b d b x b b Álgebra Linear Matrizes 108 Substituindo o valor de b em uma das equações determinaremos o valor de d 2 1 0 2 2 1 3 2 3 b d d b d d Assim determinamos todas as variáveis que formam a matriz A1 a direita de A 1 2 1 3 3 1 2 3 3 a b A c d Portanto existe a matriz Inversa de A pela direita Entretanto para que realmente exista ela tem que existir também a esquerda e tem que ser a mesma única Assim teremos que também atender a relação à esquerda e resolvêla A1 x A I2 2 1 1 0 1 2 0 1 a b c d 2 1 1 2 1 0 2 1 1 2 0 1 a b a b c d c d Em vez de resolver novamente o produto e depois os sistemas de equações que se formaram vamos simplesmente testar a matriz Inversa de A que foi encontrada a direita de A 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 3 3 3 3 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 3 3 3 3 x x x x x x x x 4 1 2 2 1 0 3 3 3 3 2 2 1 4 0 1 3 3 3 3 1 0 1 0 0 1 0 1 Como a igualdade permaneceu verdadeira então a Inversa à esquerda é a mesma da Inversa a direita ou seja 1 2 1 3 3 1 2 3 3 a b A c d Conclusão a matriz A admite a Inversa A1 a esquerda e a direita e é única Como são poucas as matrizes invertíveis então não existe a Divisão de Matrizes Álgebra Linear Matrizes 109 Aplicações com Matrizes 1 Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes Considere a tabela abaixo que representa os tipos de roupas e os tipos de materiais utilizados Material 1 Material 2 Material 3 Roupa tipo 1 5 0 2 Roupa tipo 2 0 1 3 Roupa tipo 3 4 2 1 a Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2 Resolução Vamos inicialmente transformar a tabela numa matriz 5 0 2 0 1 3 4 2 1 A O número de unidades de material j 3 na confecção de uma roupa tipo i 2 é o elemento a23 da matriz A ou melhor é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 3 unidades b Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1 quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3 Resolução Coluna 1 com a O valor procurado é 5a11 4a21 2a31 55 40 24 25 0 8 33 unidades 2 Na confecção de três modelos de camisas dos tipos A B e C são utilizados botões dos tipos grandes G e pequenos p O número de botões por modelos é dado na tabela abaixo Camisa A Camisa B Camisa C Botões p 3 1 3 Botões G 6 5 5 O número de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho é dado pela tabela Maio Junho Camisa A 100 50 Camisa B 50 100 Camisa C 50 50 Nestas condições obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho SOLUÇÃO O problema se resume a transformar as tabelas em matrizes e efetuar a multi plicação dessas matrizes Materiais x Períodos 100 50 3 1 3 500 400 50 100 6 5 5 1100 1050 50 50 Álgebra Linear Matrizes 110 Assim geramos uma nova tabela que representa a quantidade de botões pequenos e gran des para fabricar os três modelos de camisas nos meses de maio e junho Maio Junho Botões p 500 400 Botões G 1100 1050 MATRIZES E CRIPTOGRAFIA A criptografia é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser transformada da sua forma original para outra ilegível de forma que possa ser conhecida apenas por seu destinatário Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e multiplicação de matri zes é utilizando a criptografia Vamos utilizar um método bastante simples que envolve matrizes inversas Seja C uma matriz quadrada de ordem 2 e C1 a matriz inversa de A quadrada de ordem 2 denominadas C matriz chave para o código e C1 a decodificadora da mensagem 3 1 2 1 C e 1 1 1 2 3 C Logo podemos verificar que C C1 C1 CIn onde In é a Matriz Identidade Vamos utilizar essas duas matrizes como chaves para codificar e decodificar a mensa gem O rementente vai usar a matriz C para codificar a mensagem e o destinatário vai usar a matriz C1 para decodificar a mensagem Para codificar uma mensagem o primeiro passo é convertêla da forma alfabetica para uma forma numérica tomando como base a tabela abaixo A B C D E F G H I J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 K L M N O P Q R S T 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 U V W X Y Z 21 22 23 24 25 26 0 O espaçamento entre palavras será representado pelo símbolo O remetente e o destinatário devem conhecer essa tabela alfa numérica e também pode fazêla usando outras correspondências entre números e letras Vamos codificar a seguin te mensagem AMOR Vamos fazer a correspondência entre as letras e os números usan do a tabela dada A M O R 1 13 15 18 Vamos colocar a sequência de números dispostos em uma matriz M formada por duas linhas e duas colunas Matriz Mensagem 1 13 15 18 M Álgebra Linear Matrizes 111 Para codificar a mensagem M multiplicamos a matriz M pela matriz Código C gerando uma matriz codificada D a saber D M x C 1 13 3 1 15 18 2 1 D Assim 1 3 13 2 1 1 13 1 15 3 18 2 15 1 18 1 x x x x D x x x x 29 14 81 33 D A matriz D recebe o nome de Matriz Codificada da Mensagem M Os elementos da matriz codificada D constituem a mensagem codificada 29 14 81 33 Quando a mensagem codificada D chegar ao destinatário ele usará a matriz C 1 deco dificadora para ler a mensagem Sabendo que D MC multiplicando membro a membro pela inversa de C D x C1 M x C x C1 D x C1 M x C x C1 aplicando a associatividade D x C1 M x In propriedade da Simetria D x C1 M propriedade do Neutro Portanto temos que a relação para decodificar uma mensagem é D x C1 M ou seja a mensagem M é igual ao produto da mensagem codificada D pela inversa da chave do código C1 Finalmente temos a matriz M D x C1 do remetente que é a mensagem original Agora é só converter os números utilizando novamente a tabela alfanumérica 1 13 15 18 A M O R Note que na mensagem inicial M convertida na matriz D M x C e aplicada em D x C1 gera a mensagem AMOR Outro exemplo de decodificação de matriz é dado a seguir Uma maneira de codificar uma mensagem é por meio de multiplicação de matrizes Vamos associar as letras do alfabeto aos números segundo a correspondência abaixo A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Suponha que a nossa mensagem M seja BOA FORMA Podemos formar uma matriz 3 3 B O A M F O R M A que a matriz numérica correspondente tornase 2 15 1 0 6 15 18 13 1 M Álgebra Linear Matrizes 112 Seja C uma matriz quadrada de ordem 3 que admite inversa a saber 1 2 1 1 3 0 0 1 1 C denominada matriz Chave do Código Se multiplicarmos a matriz Mensagem M pela matriz Chave C M x C obtemos a matriz Mensagem Codificada 2 15 1 1 2 1 0 6 15 1 3 0 18 13 1 0 1 1 MxC 13 50 1 6 33 15 5 76 17 MxC Transmitindo esta mensagem em cadeia de números obtemos a seguinte sequência 13 50 1 6 33 15 5 76 17 Denominada matriz Codificada MC e quem a recebe decodificaa através da relação M x C x C1M e posteriormente transcreve os números para as letras conforme a tabela acima A matriz C é chamada matriz Chave para o código e C1 é a matriz Inversa de C Decodificadora da mensagem Exemplo Vamos supor que recebemos a mensagem codificada MxC 231 27 81 329 38 129 199 28 76 e a matriz C Chave para o código de decodificação é 8 1 3 5 1 2 10 1 4 C Inicialmente procuramos a matriz Inversa de C C1 a saber C x C1 In 8 1 3 1 0 0 5 1 2 0 1 0 10 1 4 0 0 1 a b c C d e f g h i E pela multiplicação e igualdade de matrizes encontramos os sistemas 8 1 3 1 5 1 2 0 10 1 4 0 a d g a d g a d g 8 1 3 0 5 1 2 1 10 1 4 0 b e h b e h b e h 8 1 3 0 5 1 2 0 10 1 4 1 c f i c f i c f i Álgebra Linear Matrizes 113 Após a resolução desses sistemas encontraremos a matriz Inversa de C ou seja C1 1 2 1 1 0 2 1 5 2 3 a b c C d e f g h i A decodificação da mensagem é dada pela relação M MC x C 1 e substituindo as matrizes MC e C 1 na Relação de Decodificação de Mensagens teremos M M x C x C1 231 27 81 2 1 1 329 38 129 0 2 1 199 28 76 5 2 3 M Encontraremos a mensagem M que foi enviada 7 5 15 13 5 20 18 9 1 M Agora basta trocar cada um desses números pelas suas respectivas letras conforme disposição da tabela dada e assim teremos 7 5 15 13 5 20 18 9 1 G E O M E T R I A Portanto a mensagem recebida foi GEOMETRIA AGORA FAÇA VOCÊ 1 Utilizando a tabela de conversão alfa numérica e a matriz Chave para o código C 8 1 3 5 1 2 10 1 4 C descubra a mensagem M recebida com a seguinte codificação MC 313 35 122 68 8 27 131 33 80 Resposta A mensagem é P A R A B E N S Uma indústria fabrica bicicletas tipo A B C e D A tabela I representa uma estimativa do número de bicicletas de cada modelo que serão vendidas nos meses de Maio Junho Julho e Agosto a tabela II representa o número de parafusos porcas e arruelas que são utilizados em cada modelo de bicicleta Tabela I modelo x mês Mês Maio Junho Julho Agosto Modelo A 1000 1200 1500 2100 B 750 800 750 900 C 600 550 650 700 D 400 540 580 620 Álgebra Linear Matrizes 114 Tabela II material x modelo Modelo A B C D Material Parafusos 8 12 18 25 Porcas 15 16 20 30 Arruelas 20 25 28 38 a Por meio de um produto matricial determine uma matriz que represente o número de parafusos porcas e arruelas que terão de ser comprados em cada mês b Escreva uma tabela que represente a quantidade de Material X Períodos e criar uma nova coluna de quantidade total X período Respostas a 37800 129000 47200 55700 51000 220000 64900 78500 70750 295920 88990 107660 b Período Maio Junho Julho Agosto Total Geral Material X Período Material Parafusos 37800 129000 47200 55700 269700 Porcas 51000 220000 64900 78500 414400 Arruelas 70750 295920 88990 107660 563320 Álgebra Linear Matrizes 115 Se A é uma matriz quadrada de ordem n Denominase determinante da matriz A e se indica por det A o número real K que é associado a matriz por meio de regras préestabelecidas a saber Para calcular o determinante de A aplicaremos a Regra de SARRUS que nesse caso será a repetição das duas primeiras colunas ordenadamente após a terceira coluna e aí teremos os Termos Aditivos Principal e Paralelas a ela contendo 3 elementos cada e tere mos os Termos Subtrativos Diagonal Secundária e Paralelas a ela contendo 3 elementos cada a saber det 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a Termos Substrativos Termos Aditivos O det A é o somatório dos produtos parciais dos termos aditivos e dos termos subtrativos det Aa11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 OBS Termos Aditivos Conservamse os sinais dos produtos parciais Termos Subtrativos Trocamse os sinais dos produtos parciais Em vez de repetir as duas primeiras colunas podemos repetir as duas primeiras linhas e o procedimento é o mesmo SARRUS Veja o exemplo Dada a matriz A quadrada de ordem 3 a saber 2 1 1 3 2 4 5 0 3 A Calcule det A Resolução det 2 1 1 2 1 3 2 4 3 2 5 0 3 5 0 A 10 9 12 20 0 0 detA10 0912200 detA11 Outro exemplo Calcule 1 3 2 0 2 7 5 2 4 detA 1 3 2 1 3 0 2 7 0 2 5 2 4 5 2 detA 20 14 0 8 105 0 detA20148105 detA131 Detalhe No caso de determinante de uma matriz com ordem n 4 usaremos o Abaixamento de Ordem pelo Método de CHIÒ mas existem outras técnicas de resolução 4º Se A é uma matriz quadrada de ordem n 4 nesse caso para o cálculo do determi nante de A usaremos a Regra de Chiò Abaixamento de Ordem com os seguintes procedimentos Álgebra Linear Determinantes 118 Inicialmente o elemento da posição a₁₁ tem que ser igual a unidade a₁₁1 O determinante a ser calculado é de uma matriz de ordem inferior ou seja de ordem n1 O objetivo de aplicar essas propriedades ou pelo menos uma delas se dará quando o elemento a11 for diferente da unidade e assim ele poderá se tornar igual a unidade a111 veja os exemplos a seguir Calcule 2 4 0 6 2 5 4 0 1 3 1 5 3 4 1 2 detA A 1ª linha é toda divisível por 2 por isso vamos colocar o número 2 em evidência as demais filas permanecem do mesmo jeito 1 2 0 3 2 5 4 0 2 1 3 1 5 3 4 1 2 detA x Assim o número 1 aparece na posição a11 podendo assim aplicar a Regra de CHIÒ Achando os pés de perpendiculares produto dos elementos da 1a linha pela 1a coluna x 2 0 3 2 4 0 6 1 2 0 3 3 6 0 9 E tomando os elementos restantes e subtraindo esses pés de perpendiculares 5 4 4 0 0 6 3 2 1 0 5 3 4 6 1 0 2 9 detA 9 4 6 1 1 8 10 1 11 detA E aplicando a Regra de SARRUS ordem 3 temos det A 99 6 320 60 72 44 det A 247 Outro exemplo Calcule 5 2 0 3 2 5 3 0 7 3 1 5 3 4 1 2 detA Notamos que nenhuma fila possui um fator comum portanto vamos aplicar a outra propriedade de mudança de posição de filas Mas percebemos que dentro do determinan te temos um elemento igual a unidade a33 1 vamos trocar a 1ª linha com a 3ª linha de lugar mas poderia ser a 1ª coluna com a 3ª coluna lembrando que o determinante muda de sinal 5 2 0 3 2 5 3 0 7 3 1 5 3 4 1 2 detA 7 3 1 5 2 5 3 0 5 2 0 3 3 4 1 2 detA Álgebra Linear Determinantes 121 E agora com os elementos restantes subtraímos de cada elemento o seu respectivo pé de perpendicular a saber Mas o número 1 ainda não chegou na posição desejada a110 então aplicamos nova mente a mesma propriedade de mudança de filas agora é a 1ª com a 3ª coluna e nova mente muda o sinal do determinante 7 3 1 5 2 5 3 0 5 2 0 3 3 4 1 2 detA 1 3 7 5 3 5 2 0 0 2 5 3 1 4 3 2 detA Agora você já sabe fazer ou seja aplique a Regra de CHIÒ 5 9 2 21 0 15 2 0 5 0 3 0 4 3 3 7 2 5 detA 4 23 15 2 5 3 1 10 7 detA E aplicando a Regra de Sarrus teremos det A 140 300 69 75 120 322 det A 382 SAIBA MAIS Se você mudar no determinante apenas uma vez a posição de duas filas ele terá o sinal nega tivo na frente do determinante mas se você mudar duas vezes uma de cada vez ao final ele ficará com o sinal positivo na frente do determinante AGORA FAÇA VOCÊ Calcule 1 4 2 0 3 2 5 3 0 7 3 1 5 1 3 1 2 detA 2 5 7 0 3 2 5 3 0 0 3 4 9 1 3 1 6 detA Respostas 1 det A 54 2 det A 102 Álgebra Linear Determinantes 122 ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS LINEARES Introdução Para a resolução de sistemas de equações lineares com coeficientes constantes necessi taremos dos conceitos de Matriz e de Determinante Em 1772 Laplace discutiu a solução de sistemas lineares associados ao estudo de órbitas planetárias e apresentou seu méto do de cálculo usando cofatores e matrizes menores Cramer apresentou sua fórmula em 1750 a que hoje chamamos de Regra de Cramer Apesar da existência de manuscritos chineses muito antigos mostrando a solução de siste mas de três equações em três incógnitas por eliminação o método de Gauss só foi apre sentado em 1800 Este método foi usado inicialmente apenas em aplicações e sua impor tância teórica foi ignorada A introdução definitiva do método de Gauss na matemática se deu com a contribuição de Wilhelm Jordan que aplicou o método de Gauss na solução de problemas associados à medição e representação da superfície terrestre a geodesia A solução de um sistema de 3 ou mais equações pelo método de Cramer usa determi nantes mas é muito trabalhoso por isso o nosso estudo de restringirá ao Método de eliminação de Gauss ou seja escalonamento de equações Definições EQUAÇÃO LINEAR O que é uma equação linear Equação linear é necessariamente uma equação polinomial A equação dada a seguir é a representação da Equação Linear a1 x1a2 x2a3 x3an xnb onde a1 a2 an são os coeficientes das variáveis x1 x2 xn são as variáveis ou incógnitas b é a constante ou o termo independente SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Sistema de Equações Lineares é um conjunto contendo equações lineares cuja solução tem que atender a todas ao mesmo tempo O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau ou seja um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita Em outras palavras num sistema linear não há potência diferente de um ou zero e também não pode haver multiplicação ou divisão entre incógnitas O sistema de equações tem que ser Completo isto é quando a equação não apresentar uma determinada variável completamos com o coeficiente nulo para ela Álgebra Linear Sistemas Lineares 123 Ordenado isto é cada equação deverá ter variável debaixo da mesma variável Seja S o sistema de m equações lineares a n variáveis reais representado generica mente por a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 am3 x3 amn xn bm S Observe que os coeficientes aij foram apresentados com dois índices o primeiro i representa a posição da equação no sistema e o segundo j representa a variável que ele acompanha SAIBA MAIS Uma equação Linear não apresenta termos em que existam grau n sobre a incógnita como x2 y3 e outros ou termo em que haja produto ou quociente entre as variáveis como xy y x e outros Cada termo só apresenta uma variável e no grau 1 expoente Exemplos de Equações Lineares 2x y 3z 5 x y 3z t 1 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR A classificação de um sistema linear depende da resolução que ele apresenta a saber SISTEMA LINEAR COMPATÍVEL ou POSSÍVEL Quando admite solução DETERMINADO Admite Uma Única Solução INDETERMINADO Admite Infinitas Soluções IMCOMPATÍVEL ou IMPOSSÍVEL Quando admite solução SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES Sejam S1 e S2 dois sistemas de equações lineares de mesmas variáveis x1 x2 x3 xn Dizemos que os sistemas S1 e S2 são equivalentes quando possuem as mesmas soluções e indicaremos por S1 S2 Para transformarmos esses sistemas em equivalentes S1 S2 deveremos aplicar algu mas regras elementares a saber 1 Trocamos posição de duas equações quaisquer 2 Multiplicamos todos os termos de uma equação por um número k k 0 3 Somamos membro a membro a uma equação uma outra está previamente multi plicada por um número Álgebra Linear Sistemas Lineares 124 RESOLUÇÃO DE SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES A DUAS INCÓGNITAS Um sistema de duas equações a duas variáveis x e y será representado por 11 12 1 21 22 2 a x a y b a x a y b Para resolvêlo teremos que achar a solução que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo ou seja o par ordenado de números reais x e y será dado por x y e a resolu ção será feita pelo Método da Adição Esse método consiste em somar as equações do sistema para obter outra equação com uma única incógnita sistemas equivalentes Para que isso aconteça será necessário que multipliquemos uma ou mais vezes as equações ou apenas uma equação pelo número que nos interessa de modo que uma incógnita tenha coeficientes opostos nas duas equações Ao aplicarmos essa equivalência que consiste em somar as duas equações de modo que uma das variáveis se anule e consequentemente achamos o resultado da outra e depois por uma mera substituição encontramos o valor da outra variável Veja o exemplo a seguir Determinar os valores de x e y que satisfazem o sistema a seguir 1 2 3 5 5 4 x y S x y Se multiplicarmos a 1ª equação membro a membro por 5 obteremos um outro sistema S2 mas equivalente ao primeiro S1 S2 1 x5 2 3 5 5 4 x y S x y 2 10 15 25 5 4 x y S x y E se agora multiplicarmos a 2ª equação membro a membro por 3 teremos um outro sistema S3 equivalente ao sistema S2 S1 S2 S3 2 10 15 25 x3 5 4 x y S x y 3 10 15 25 3 15 12 x y S x y E se somarmos nesse novo sistema S3 membro a membro a 1ª equação à 2ª equação obteremos o resultado da variável x 10 15 25 3 15 12 13 13 1 x y x y x x Agora voltamos e substituímos o valor encontrado de x em uma das equações não faz diferença qual delas porque a solução tem que atender todas as equações do sistema Vamos substituir o valor de x 1 na 1ª equação dada em S1 2 3 5 21 3 5 2 3 5 3 5 2 3 3 1 x y y y y y y Esse sistema é Possível determinado Álgebra Linear Sistemas Lineares 125 Assim resolvemos esse sistema utilizando equivalência de sistemas e essa prática se denomina Método da Adição Portanto a solução dos sistemas S1 S2 ou S3 é a mesma pois são equivalentes Indicamos a solução do conjunto verdade V como um par ordenado de números reais xy a saber V 1 1 Outro exemplo Resolver o sistema a seguir 2 3 7 3 0 x y S x y Vamos aplicar as transformações convenientes 2 3 7 3 0 3 x y S x y x 2 3 7 9 3 0 x y S x y 2 3 7 9 3 0 7 7 7 7 1 x y S x y x x x Substituindo numa das equações obtemos 3 0 3 1 0 3 0 0 3 3 x y y y y y O Sistema é Possível Determinado e assim teremos o conjunto solução V V 1 3 Mais um exemplo Resolver o seguinte sistema 2 2 4 2 5 x y x y 2 2 2 4 2 5 x y x x y 4 2 4 4 2 5 0 1 x y x y absurdo Portanto esse sistema não tem um par de números reais que satisfaça simultaneamen te as duas equações dizemos que é Impossível e representaremos a resposta por um conjunto vazio V ou V Álgebra Linear Sistemas Lineares 126 Mais esse exemplo Resolver o seguinte sistema 3 3 6 2 6 x y x y 3 3 2 6 2 6 x y x x y 6 2 6 6 2 6 x y x y As duas equações são iguais Na verdade é apenas uma equação 6 2 6 x y A equação apresenta infinitas soluções portanto vamos representar as soluções gene ricamente substituindo uma das incógnitas por outra letra por exemplo y α onde α representa um número real qualquer e em função dele determinamos o valor da outra incógnita x assim teremos Seja y α substituindo na equação 6x 2α 6 6x 6 2α 2 3x 3 α 3 x 1 3 α O sistema dado é Possível Indeterminado porque apresenta infinitas soluções Para cada valor de α teremos uma resposta diferente então apresentaremos a solução em função da uma nova variável α ou seja por um par de infinitas soluções reais 1 3 V α α α ℜ SAIBA MAIS Existem outros métodos de resolução para sistema de duas equações a duas variáveis são eles Método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equa ções obtendo igualdade com um polinômio Então devese substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada Método da comparação consiste em compararmos as duas equações do sistema após termos isolado a mesma variável x ou y nas duas equações e as equações ficam mais detalhadas Escolhemos abordar o método da Adição por achar que é o mais simples AGORA FAÇA VOCÊ Resolver os seguintes sistemas de equações 1 3 4 4 5 2 16 x y S x y 2 4 5 0 7 3 0 x y S x y Álgebra Linear Sistemas Lineares 127 3 4 5 1 4 5 3 x y S x y 4 5 1 2 10 2 x y S x y Respostas 1 V 4 2 2 V 0 0 3 V não tezm nenhuma solução que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo 4 V 1 5α α αR α é um número real qualquer APLICAÇÕES COM SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A DUAS VARIÁVEIS No nosso cotidiano encontramos vários usos dos sistemas lineares como por exemplo na física na economia na engenharia na biologia na geografia na navegação na avia ção na cartografia na demografia na astronomia e outros Hoje para resolver algoritmos computacionais é muito importante a parte da álgebra linear aplicada pois tais métodos têm uma grande importância para tornar mais eficientes e rápidas as soluções dos sistemas Vamos resolver alguns problemas do cotidiano em que apareçam duas incógnitas Exemplo Num estacionamento há 14 veículos entre carros e motos Sabese que o número total de rodas sem contar os estepes é 48 Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento Resolução Temos Número de motos que há nesse estacionamento x Número de Carros que há nesse estacionamento y Total de veículos que há nesse estacionamento 14 Total de rodas dos veículos que estão no estacionamento 48 Tipo de Veículo Número de rodas Quantidade de Veículos Moto 02 x Carro 04 y Esse problema consiste em determinarmos a quantidade de motos x e a quantidade de carros y que estão no estacionamento No entanto sabemos que cada moto possui 2 rodas e que cada carro possui 4 rodas assim temos 1 moto 2 rodas 2 motos 2 x 2 rodas 4 rodas 3 motos 3 x 2 rodas 6 rodas E assim sucessivamente Álgebra Linear Sistemas Lineares 128 Portanto x motos x 2 rodas ou seja 2x rodas E também temos que 1 carro 4 rodas 2 carros 2 x 4 rodas 8 rodas 3 carros 3 x 4 rodas 12 rodas E assim sucessivamente Portanto y carros y 4 rodas ou seja 4y rodas Como temos 14 veículos distribuídos entre x motos e y carros então xy14 e também sabemos que os mesmos somam 48 rodas distribuídos entre as x motos cada uma com duas rodas e entre os y carros cada um com 4 rodas portanto temos 2x4y48 Então temos um sistema de duas equações com duas incógnitas a saber 14 2 4 48 x y S x y Para resolvêlo vamos usar o Método da Adição e Equivalências de sistemas 14 2 2 4 48 x y x S x y 2 2 28 2 4 48 2 20 2 10 x y S x y y y y 10 carros Substituindo numa das equações encontraremos o valor de x a saber x y 14 x 10 14 x 14 10 x 4 x 4 motos Resposta Nesse estacionamento tem 4 motos e 10 carros Outro exemplo Como se sabe uma partida de voleibol não pode terminar empatada Em qualquer torneio de vôlei no regulamento se marca 2 pontos por vitória e 1 ponto por derrota Ao disputar um torneio de vôlei uma equipe realizou 9 partidas e acumulou 15 pontos Quantas parti das a equipe venceu e quantas ela perdeu nesse torneio Resolução Partidas com Vitórias 9 partidas no total x 15 pontos no total Partidas com Derrotas y Quantidade de partidas são 9 distribuídas entre x vitórias e y derrotas Quantidade de pontos são 15 distribuídos entre cada vitória ganha 2 pontos e cada derro ta perde 1 ponto e esse total distribuídos entre x vitórias e y derrotas Álgebra Linear Sistemas Lineares 129 Assim o sistema se transforma em 9 2 1 15 x y x y Resolvendo pelo Método da ADIÇÃO temos 9 2 2 1 15 x y x x y 2 2 18 2 1 15 3 3 1 3 3 3 1 x y x y y y y E substituindo em uma das equações do sistema temos x y 9 x 1 9 x 8 Portanto são 8 vitórias e 1 derrota nesse torneio AGORA FAÇA VOCÊ 1 Duas pessoas têm juntas 70 anos Subtraindo 10 anos da idade da mais velha e acrescentando os mesmos 10 anos à idade da mais jovem as idades ficam iguais Qual a idade de cada uma dessas pessoas Resposta A mais velha tem 45 anos e a mais jovem tem 25 anos 2 Para embalar 1650 livros uma editora utilizou 27 caixas umas com capacidade para 50 livros e outras para 70 livros Quantas caixas de cada tipo a editora utilizou Resposta A Editora utiliza de 12 caixas que contém 50 livros cada e 15 caixas que contém 70 livros cada SISTEMA DE 3 EQUAÇÕES COM 3 INCÓGNITAS SISTEMA CRAMER Para um sistema de 3 equações com 3 incógnitas vamos usar a Regra de Cramer e o que vem a ser o Sistema de Cramer Vamos definir o sistema de Cramer Seja S um sistema linear de n equações a n incógnitas nº de equações nº de incógnitas a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2n xn b2 an1 x1 an2 x2 an3 x3 ann xn bn S Se em S a matriz incompleta A formada apenas pelos coeficientes das variáveis for diferente de zero ou seja det A 0 dizse que S é um Sistema de Cramer Portanto para que seja um Sistema de Cramer é necessário que o número de equações seja igual ao número de incógnitas e que seja um sistema Possível Determinado Álgebra Linear Sistemas Lineares 130 Para determinar o valor de cada incógnita Xij basta que Xij fracdetAijdetA onde Aij é originado do det A trocandose neste a coluna dos coeficientes de xij pelos termos independentes constantes das equações do sistema na ordem respectiva das equações Veja um exemplo Resolver o sistema S por Cramer begincases x2yz4 2xyz1 3x5y2z11 endcases Inicialmente vamos verificar se o sistema é de Cramer e para isso teremos que 1º Conferir se o número de equações é igual ao número de incógnitas n 2º Provar que detA eq 0 onde A é a matriz formada apenas pelos coeficientes ordenados e completos das incógnitas A beginbmatrix 1 2 1 2 1 1 3 5 2 endbmatrix Assim o determinante de A é det A beginvmatrix 1 2 1 2 1 1 3 5 2 endvmatrix 2 cdot 1 1 cdot 1 3 cdot 5 2 Resolvendo por SARRUS repetição das duas primeiras colunas ordenadamente após a 3ª coluna teremos det A 2 10 6 3 8 5 det A 2 det A eq 0 Portanto o Sistema é de Cramer Para determinar o valor de cada variável vamos aplicar a seguinte fórmula Xij fracdetAijdetA Inicialmente vamos encontrar o valor de cada determinante Aij a saber 1ª Variável x O determinante de A1 é gerado pela matriz A substituindo nela os coeficientes da variável x 1ª coluna pelos termos independentes de cada equação ordenadamente a saber beginbmatrix 1 2 1 2 1 1 3 5 2 endbmatrix Assim em A substituímos a coluna dos coeficientes da variável x pelos termos independentes A nova matriz gerada Ax é Ax beginbmatrix 4 2 1 1 1 1 11 5 2 endbmatrix Calculando o determinante de Ax teremos det Ax beginvmatrix 4 2 1 1 1 1 11 5 2 endvmatrix 4 cdot 1 2 cdot 1 11 cdot 2 det Ax 8 5 22 11 20 4 det Ax 2 O valor da incógnita x é dado por X fracdetAxdetA Que substituindo os respectivos valores X frac22 1 2ª Variável y O determinante de A2 é gerado pela matriz A substituindo nela os coeficientes da variável y e pelos termos independentes de cada equação ordenadamente a saber beginbmatrix 1 2 1 2 1 1 3 5 2 endbmatrix A matriz A é A beginbmatrix 1 2 1 2 1 1 3 5 2 endbmatrix Assim em A substituímos a coluna dos coeficientes da variável y pelos termos independentes Ay beginbmatrix 1 4 1 2 1 1 3 11 2 endbmatrix O determinante de Ay é det Ay beginvmatrix 1 4 1 2 1 1 3 11 2 endvmatrix 1 cdot 4 1 cdot 1 3 cdot 11 2 det Ay 2 2 22 12 3 11 16 det Ay 4 O valor da variável y é dado por y fracdetAydetA Que substituindo os respectivos valores y frac42 2 3ª Variável z Utilizando raciocínio análogo a coluna dos coeficientes z foram substituídos pelos termos independentes beginbmatrix 1 2 4 2 1 1 3 5 11 endbmatrix 1ª variável x 3 27 3 1 14 3 5 1 2 x detA det Ax 18 27 210 42 15 162 det A 300 O valor da Variável x é igual a detAx x detA 300 25 x x 12 2ª variável y 1 1 3 27 1 3 4 2 5 2 y detA det Ay 54 28 45 81 70 12 det Ay 200 O valor da variável y é igual a y detA y detA 200 25 y y 8 3ª variável z 3 27 1 1 3 2 4 3 3 1 z detA det Az 42 6 243 27 27 84 det Az 375 O valor da variável z é igual a detAz z detA 375 25 z z 15 A solução do sistema de Cramer é V 12 8 15 Álgebra Linear Sistemas Lineares 134 AGORA FAÇA VOCÊ 1 Resolver por Cramer o seguinte sistema 2 1 3 1 3 2 5 6 5 1 3 16 x y z S x y z x y z Resposta Sistema é Cramer e a solução é V 3 4 1 2 Resolver por Cramer o seguinte Sistema 1 4 3 5 3 1 5 16 5 1 3 2 x y z S x y z x y z Resposta Sistema é Cramer e a solução é V 2 3 5 Mas se o sistema possuir 4 ou mais equações com 4 ou mais variáveis como faremos Embora a regra de Cramer seja importante teoricamente tem pouco valor prático para grandes matrizes uma vez que o cálculo de grandes determinantes é um pouco compli cado trabalhoso Assim vamos usar outra técnica de resolução ou seja vamos aprender a Escalonar o Sistema de Equações Na verdade a partir de três ou mais incógnitas vale a pena aplicar a técnica do escalonamento abaixamento de ordem GAUSS SISTEMAS ESCALONADOS O processo de escalonamento de um sistema linear ocorre por meio de operações elemen tares que são iguais às utilizadas na equivalência de sistemas Portanto para escalonarmos um sistema deveremos seguir um roteiro com alguns procedimentos 1º As equações podem ser trocadas de posição e ainda assim teremos um sistema equivalente 2º Para facilitar o procedimento aconselhamos que a primeira equação seja aquela sem coeficientes nulos e que o coeficiente da primeira incógnita seja de preferência igual a 1 ou 1 Esta escolha facilitará os passos seguintes Assim essa equação será mantida até o final 3º Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real dife rente de zero Assim multiplique todos os membros de uma equação por um mesmo número real que seja diferente de zero de modo que o coeficiente da 1a variável da 1a equação seja oposto ao coeficiente da mesma variável na 2a equação E assim somamos essas equações 1a e 2a de modo que a 1a variável x desapareça e a novaequação gerada por essa soma seja a 2a equação do novo sistema 4º Repita este processo para as demais equações que possuam a mesma incógnita 5º E após eliminar a mesma variável em todas as equações a partir da 2a equação faremos o mesmo procedimento mantendo a 2a equação desse novo sistema e a partir da 3a equação eliminamos a sua 1a variável y e assim sucessivamente até que na última equação fique com apenas uma variável ou com o menor número possível de incógnitas Álgebra Linear Sistemas Lineares 135 Definição um sistema S de equações lineares está na forma escalonada quando 1º em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo 2º o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo cresce da esquerda para a direita de equação para equação Exemplo de um Sistema escalonado 2 3 4 3 3 3 2 2 3 7 5 2 x y z t y z t z t t Vamos resolver um sistema linear para explicitarmos o escalonamento passo a passo Escalonar e Resolver o seguinte Sistema de Equações Lineares 2 3 3 5 2 10 2 3 x y z x y z y z Inicialmente vamos ordenar e completar e depois trocar posição de equações de modo que a 1ª variável x possua o coeficiente igual a unidade1 Esta 1ª equação será manti da até o final do escalonamento e será base para as demais equações anularem os coefi cientes da variável x 2 3 3 5 2 10 2 3 x y z x y z y z trocar de posição Essa equação servirá de base para cancelar nas demais equações a variável x 2 10 2 3 3 5 0 2 3 x y z x y z x y z Vamos multiplicar todos os membros da 1ª equação por um mesmo número real 2 e vamos somar esta equação obtida à 2ª equação do sistema de modo que a variável x desapareça na 2ª equação e assim obteremos uma nova equação que substituirá a 2ª equação do sistema 2 10 2 3 3 5 0 2 3 2 x y z x y z x z x y 2 2 4 20 2 3 3 5 0 15 x y z x y z x y z Assim essa equação substituirá a 2ª equação no sistema 2 10 0 15 0 2 3 x y z x y z x y z A 3a equação já tem o quoeficiente da variável x nulo Portanto é só mantêla O sistema ficará assim 2 10 15 2 3 x y z y z y z Álgebra Linear Sistemas Lineares 136 Note que a 1ª equação continuou normal mesmo após ter sido multiplicada por 2 Esta multiplicação é feita para obtermos coeficientes opostos sinais trocados para que quan do a soma seja realizada com a outra equação o coeficiente se anule e o escalonamento seja feito Não existe a necessidade de escrever a primeira equação de maneira diferente mesmo se você multiplicála Como todas as equações a partir da 2ª já anularam os termos com a variável x inicia remos o processo de redução de incógnitas tomando a 2ª equação como base e a partir da 3ª anulamos os coeficientes da variável y 2 10 15 2 3 x y z y z y z Essa equação servirá de base para cancelar próxima equação a variável y 2 10 15 1 2 3 x y z y z y z x 15 2 3 0 3 18 y z y z y z Com isso substituiremos esta equação obtida no lugar da 3ª equação Note que esta equação já não possui a incógnita x e y 2 10 15 3 18 x y z y z z Note que a 1ª e a 2ª equações continuaram normais As multiplicações realizadas sobre elas são feitas para obtermos coeficientes opostos sinais trocados para que quando a soma seja realizada com a outra equação o coeficiente se anule e o escalonamento seja feito O sistema já está escalonado de baixo para cima encontraremos os valores de cada incógnita 2 10 15 3 18 x y z y z z Equação 1 Equação 2 Equação 3 Debaixo para cima teremos Equação 3 3z 18 z 6 Equação 2 substituindo o valor de z teremos y z 15 y 6 15 y 15 6 y 9 Equação 1 substituindo os valores de z e y teremos x y 2z 10 x 9 26 10 x 9 12 10 x 10 9 12 x 7 Álgebra Linear Sistemas Lineares 137 Assim o sistema apresenta como solução a seguinte terna ordenada V 7 9 6 Vejamos outro exemplo Escalonar e resolver o seguinte sistema 2 3 1 3 2 2 1 4 3 x y z x y z x y z Se repararmos nenhuma equação tem a 1ª variável com o coeficiente igual a unidade 1 Não tem problemas escolhemos uma para fixar como base e aplicamos a multiplicação de termos opostos para as duas equações de forma que surja uma 2ª equação com a 1ª variável nula sendo a nova 2ª equação 2 3 1 3 3 2 2 1 2 4 3 x y z x x y z x x y z multiplicamos pelos coeficientes cruzados e um deles negativo termos opostos 2 3 1 3 2 2 1 4 3 3 2 x y z x y z x y z 6 3 9 3 6 4 4 2 0 7 13 1 x y z x y z x y z E assim obtemos outro sistema equivalente 2 3 1 7 13 1 4 3 x y z y z x y z 1a equação mantida até o final Ainda com a 1ª equação como base vamos cancelar a variável x na 3ª equação Raciocínio analógo tomamos a 1ª e a 3ª equação e multiplicamos pelos coeficientes de x cruzados e um deles será negativo para aparecer os termos opostos e se cancela rem e assim surgir uma nova 3ª equação Veja a seguir 2 3 1 7 13 1 4 3 2 x y z y z x y z 4 2 6 2 4 1 1 3 0 3 7 1 x y z x y z x y z Assim a 1ª variável desaparece a partir da 2ª equação 2 3 1 7 13 1 3 7 1 x y z y z y z Agora vamos Tomar a 2ª equação como base até o final para cancelar a 2ª variável y na 3ª equação e para isso vamos multiplicar cruzado pelos seus coeficientes de y a 2ª e 3ª equações 2 1 3 1 7 13 1 3 3 7 7 1 x y z y z y z 21 39 3 21 49 7 0 10 10 y z y z y z Assim surge uma nova 3ª equação sem a variável y e o sistema equivalente fica assim 1º Equação 2º Equação 3º Equação 2 3 1 7 13 1 10 10 x y z y z z Álgebra Linear Sistemas Lineares 138 Finalmente o sistema está escalonado e de baixo 3ª equação para cima 2ª e 1ª equa ções obtemos a solução 3ª equação 10z 10 z 10 10 z 1 Substituindo esse valor de z na 2ª equação teremos o resultado de y 2ª equação 7y 13z 1 7y 1 13z 7y 1 131 7y 1 13 7y 14 y 14 7 y 2 1a equação Substituímos os valores de z e de y e teremos o resultado de x 2x y 3z 1 2x 1 y 3z 2x 1 2 31 2x 1 2 3 2x 2 x 2 2 x 1 O sistema dado gerou a solução final 1 2 1 AGORA FAÇA VOCÊ 1 Escalonar e Resolver o seguinte Sistema Linear 2 4 0 2 3 0 16 4 x y z x y z x z Sugestão Sempre complete e ordene o sistema 2 4 0 2 3 0 0 16 4 x y z x y z x y z Resposta O sistema escalonado 2 4 0 9 0 2 x y z y z z Álgebra Linear Sistemas Lineares 139 Solução 28 18 2 Escalonar e resolver o seguinte sistema 2 3 5 3 2 7 5 3 2 x y z x y z x y z O sistema escalonado 2 3 5 11 7 1 102 306 x y z y z z Solução 1 2 3 No nosso cotidiano vários problemas nas área científicas tecnológicas e econômicas requerem soluções precisas e em tempo real ou pelo menos no menor tempo possível Assim o que aprendemos em Matemática sobre a teoria de sistemas lineares é a parte fundamental da Álgebra Linear ou seja é o caminho quando a situaçãoproblema envol ver duas ou mais variáveis Assim esperase que esse material lhe sirva de suporte e não deixe de aplicálo no seu diaadia Álgebra Linear Sistemas Lineares 140 141 Referências ALENCAR FILHO Edgard de Iniciação à lógica matemática 18 ed São Paulo Nobel 2002 ANTON Howard Álgebra Linear Com Aplicações 10ª Ed São Paulo Saraiva 2012 BALDIN Yuriko Yamamoto FURUYA Yolanda K Saito GEOMETRIA ANALÍTICA PARA TODOS São Paulo EDUFSCAR 2012 BOULOS Paulo CAMARGO Ivan de Geometria Analítica 3ª ed São Paulo Editora PRENTICE HALL BRASI 2005 CASS Mark J R Lógica para Principiantes São Paulo editora EdUfscar 2006 CORRÊA Paulo Sérgio Quilelli Álgebra Linear e Geometria Analítica São Paulo Saraiva 2006 FÁVARO Silvio KMETEUK FILHO Osmir Noções de lógica e matemática básica São Paulo Ciência Moderna 2005 224p HEGENBERG Leônidas O Cálculo Sentencial cálculo de predicados e cálculo com igualdade 3ª edição São Paulo Ed Forense Jurídica 2012 IEZZI Gelson MURAKAMI Carlos Fundamentos de Matemática Elementar Coleção Vols 14 e 7 São Paulo Atual 2013 Introdução à Lógica Matemática Disponível em httpminhatecacombrweslleydourado Acesso em 14032014 Introdução à Lógica Disponível em httpminhatecacombrweslleydourado Acesso em 14032014 LEON Steven J Álgebra Linear com Aplicações 8ª ed São Paulo LTC 2011 Lógica Matemática Disponível em httpwwwangelfirecombcfontinilogicahtml Acesso em 14092014 MORTARI Cezar Introdução à Lógica São Paulo Ed Unesp 2001 POOLE David Álgebra Linear 1a ed São Paulo Pioneira Thompson Learning 2005 STRANG Gilbert Álgebra Linear e suas Aplicações São Paulo Ed Cengage Learning 2010Parte superior do formulário UNIVERSIDADE FUMEC