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Administração ·
Matemática Financeira
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DESCONTO SIMPLES Prof Júlio César Engel de Abreu Atualizado por Patrícia Liane Grudzinski da Silva Nesta unidade temática você vai aprender A calcular desconto simples A diferenciar desconto comercial de desconto racional Introdução Há dois tipos de desconto desconto simples e desconto composto Neste tema vamos estudar movimentos financeiros com descontos simples classificados em desconto comercial e desconto racional DESCONTO SIMPLES Desconto O abatimento que é gerado pela antecipação de uma dívida em relação à sua data de vencimento é chamado de desconto que é um abatimento proporcional ao tempo da antecipação Quando uma empresa credora ou uma pessoa deseja resgatar um título antes do vencimento recebe um desconto isto é recebe o crédito com os devidos descontos desconto comercial taxa de administração imposto sobre operações financeiras IOF Os títulos mais conhecidos são a nota promissória NP que é utilizada entre pessoas físicas ou entre pessoa física e uma instituição financeira a duplicata que é emitida por pessoa jurídica e a letra de câmbio LC Assim como no estudo dos juros simples é necessário definir alguns conceitos utilizados nos cálculos do desconto a Valor nominal VN é o valor que consta no título a ser pago na data do vencimento b Valor atual VA é o valor pago ou recebido antes do vencimento c Desconto D é a diferença entre o valor nominal VN e o valor atual VA ou seja D VN VA d Prazo de vencimento n antecipação do título e Taxa de desconto comercial bancário ou por fora d f Taxa de juros ou taxa de desconto racional ou por dentro i Observe a linha do tempo Legenda utilizada VA valor atual VN valor nominal 0 data de emissão do título isto é a data em que a dívida foi contraída p data do pagamento do título isto é a data em que a dívida foi paga v data do vencimento do título isto é a data prevista para o vencimento da dívida n prazo isto é o período de tempo decorrido entre a data de pagamento p e a data de vencimento v i taxa de juro isto é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o valor do desconto recebido e o valor pago pela dívida Sua unidade deve ser a mesma que a do prazo de antecipação da dívida d taxa de desconto isto é é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o valor do desconto recebido e o valor devido na data prevista para seu vencimento Desconto Simples Comercial Dc Desconto simples comercial é o valor obtido pelo cálculo de juros simples onde a taxa de desconto d incide sobre o valor nominal VN do título considerando o prazo de vencimento É muito utilizado por empresas que desejam resgatar duplicatas antes do vencimento que foram emitidas e colocadas em cobrança bancária o que demonstra que essas empresas estão passando por dificuldades financeiras Para determinar o valor do desconto simples comercial Dc devemos utilizar a fórmula Dc VN d n Como sabemos que o Dc VN VA podemos substituir VN VA VN dn VN VN dn VA VN 1 dn VA Exercícios resolvidos Uma indústria resgata um título de R 15 00000 25 dias antes do vencimento em uma agência bancária que cobra 5 ao mês de desconto comercial simples Determine o valor do desconto comercial e o valor atual do título Dados do problema VN 15000 d 5 am 005 am n 25 dias 2530 meses Dc VA Dc VN dn Dc 15000 005 2530 Dc R 62500 Logo o valor do desconto comercial foi de R 62500 VA VN Dc VA 15000 625 VA 14375 Logo o valor atual do título é de R 14 37500 Uma empresa tem dois compromissos financeiros de R 6 00000 cada um com vencimentos em 20 e 35 dias respectivamente Não dispondo de recurso para quitálos no vencimento propõe substituílos por uma única nota promissória NP com vencimento para 40 dias Sabendo que a taxa de desconto comercial utilizada é de 3 ao mês determine o valor da NP Dados do problema 2 compromissos financeiros 6000 n 20d 6000 n 35d Substituir por um NP n 40d d 3 am 003 Linha do tempo a Devemos iniciar a resolução deste problema calculando o VA de cada um dos títulos separadamente e depois somando para encontrar o total VA1 6000 no prazo de 20 dias VA1 VN 1 dn VA1 R 5 88000 VA2 6000 no prazo de 35 dias VA2 VN 1 dn VA2 R 5 79000 VA1 VA2 5 880 5 790 R 11 67000 b Agora devemos encontrar o valor nominal VN com prazo de 40 dias de vencimento VN 1 dn 11 670 VN R 12 15625 Utilizando a calculadora HP12C Desconto Simples Racional ou por Dentro Dr O desconto simples racional é o valor obtido pelo cálculo dos juros simples onde a taxa de juros i ou taxa de desconto simples racional incide sobre o valor atual da dívida VA considerando como prazo o número de períodos antecipados Para determinar o valor do desconto simples racional utilizamos a fórmula Dr VA i n Como D VN VA podemos substituir VN VA VA i n VN VA i n VA Exercícios resolvidos Um título no valor de R 48 00000 foi descontado à taxa de juros simples de 15 as faltando 120 dias para o seu vencimento Determine o valor do desconto Como o problema se refere à taxa de juros simples o desconto que deve ser calculado é o desconto racional simples Dados do problema VN 48000 i 15 as n 120 dias Dr Como o Dr é calculado sobre o VA o primeiro passo para resolver este problema é encontrar o VA VA R 43 63636 Agora podemos determinar o valor do desconto simples racional Dr VN VA Dr 48000 4363636 Dr R 4 36364 2 Um título de R 3 00000 foi resgatado por R 2 87000 16 dias antes do seu vencimento Determine a taxa mensal a de desconto simples racional VN 3 000 VA 2 870 D VN VA D 3000 2870 D R 13000 n 16d 1630 meses Dr VA in 130 2870 i 1630 i 8493 am b Desconto comercial Dc VN d n 130 3000 d 1630 d 8125 am 3 Uma pessoa deseja comprar uma casa cujo preço à vista é de R 50 00000 É portadora de uma nota promissória de R 25 00000 com vencimento para 75 dias que o vendedor aceita receber como parte do pagamento a uma taxa de 4 ao mês de juros simples Qual o valor do empréstimo que o comprador deve fazer em um banco para pagar em 120 dias de modo que possa completar o valor do imóvel sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 35 ao mês sobre o valor pedido que será descontado no ato Observe que neste problema temos duas situações e duas taxas Por isso temos duas etapas na resolução 1º Calcular por quanto será aceita a promissória Dr PV 5000000 VN 2500000 i 4 am n 75 d 7530 m VA VN VA 1 in VA R 2272727 2º Encontrar o valor que deve ser solicitado ao banco VN VA 50 000 2272727 VA R 2727273 d 35 am n 120d 4m VN VN R 31 71248 valor do empréstimo bancário Relação entre Taxa de Desconto e Taxa de Juros Simples A taxa de desconto incide sobre o valor nominal enquanto a taxa de juros simples incide sobre o valor atual As taxas não são iguais porque incidem sobre valores diferentes A taxa de juros simples i incide sobre o valor atual VA enquanto a taxa de desconto d incide sobre o valor nominal VN Por isso a taxa i sempre será maior que a taxa de desconto d uma vez que i incide sobre o menor valor atual Como encontrar a relação entre essas taxas Vamos supor dois títulos de mesmo valor nominal mesmo valor atual e mesmo prazo de antecipação VA VN1in VA VN1 dn VN VN 1 dn 1 in 1 1 dn 1 in 1 1 in dn din ² 1 1 in dn din ² 0 in dn din ² dn din ² in n d din in d din inn Isolando d d din i d 1 in i Isolando i d din i d i din d i 1 dn Exercícios resolvidos Um comerciante reajusta em 25 o preço dos seus produtos Qual deve ser a taxa de desconto a ser dada em uma liquidação de modo que o preço volte a ser o mesmo que era antes do reajuste Dados do problema i 25 d n 1 Utilizamos o período igual a 1 nessas situações d i1in d 0 25 1025 1 d 0 25 125 d 20 Em uma aplicação de desconto de duplicata a taxa de desconto foi de 6 no período Qual a taxa de juros paga pela empresa que resgatou antecipadamente essa duplicata d 6 i n 1 i d1dn i 0 06 1006 1 i 0 06 094 i 6383 Referências FRANCISCO Walter de Matemática Financeira São Paulo Atlas 2002 GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 KRUSE Fábio Matemática Financeira conceitos e aplicações com o uso da HP12C 2 ed Novo Hamburgo FEEVALE 2005 SAMANEZ Carlos Patrício Matemática Financeira aplicações à análise de investimentos 2 ed São Paulo Makron Books 1999 Créditos Produzido por Núcleo de Audiovisual e Tecnologias Educacionais NATE ULBRA EAD Universidade Luterana do Brasil Todos os direitos reservados
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DESCONTO SIMPLES Prof Júlio César Engel de Abreu Atualizado por Patrícia Liane Grudzinski da Silva Nesta unidade temática você vai aprender A calcular desconto simples A diferenciar desconto comercial de desconto racional Introdução Há dois tipos de desconto desconto simples e desconto composto Neste tema vamos estudar movimentos financeiros com descontos simples classificados em desconto comercial e desconto racional DESCONTO SIMPLES Desconto O abatimento que é gerado pela antecipação de uma dívida em relação à sua data de vencimento é chamado de desconto que é um abatimento proporcional ao tempo da antecipação Quando uma empresa credora ou uma pessoa deseja resgatar um título antes do vencimento recebe um desconto isto é recebe o crédito com os devidos descontos desconto comercial taxa de administração imposto sobre operações financeiras IOF Os títulos mais conhecidos são a nota promissória NP que é utilizada entre pessoas físicas ou entre pessoa física e uma instituição financeira a duplicata que é emitida por pessoa jurídica e a letra de câmbio LC Assim como no estudo dos juros simples é necessário definir alguns conceitos utilizados nos cálculos do desconto a Valor nominal VN é o valor que consta no título a ser pago na data do vencimento b Valor atual VA é o valor pago ou recebido antes do vencimento c Desconto D é a diferença entre o valor nominal VN e o valor atual VA ou seja D VN VA d Prazo de vencimento n antecipação do título e Taxa de desconto comercial bancário ou por fora d f Taxa de juros ou taxa de desconto racional ou por dentro i Observe a linha do tempo Legenda utilizada VA valor atual VN valor nominal 0 data de emissão do título isto é a data em que a dívida foi contraída p data do pagamento do título isto é a data em que a dívida foi paga v data do vencimento do título isto é a data prevista para o vencimento da dívida n prazo isto é o período de tempo decorrido entre a data de pagamento p e a data de vencimento v i taxa de juro isto é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o valor do desconto recebido e o valor pago pela dívida Sua unidade deve ser a mesma que a do prazo de antecipação da dívida d taxa de desconto isto é é a taxa percentual que se obtém pela divisão entre o valor do desconto recebido e o valor devido na data prevista para seu vencimento Desconto Simples Comercial Dc Desconto simples comercial é o valor obtido pelo cálculo de juros simples onde a taxa de desconto d incide sobre o valor nominal VN do título considerando o prazo de vencimento É muito utilizado por empresas que desejam resgatar duplicatas antes do vencimento que foram emitidas e colocadas em cobrança bancária o que demonstra que essas empresas estão passando por dificuldades financeiras Para determinar o valor do desconto simples comercial Dc devemos utilizar a fórmula Dc VN d n Como sabemos que o Dc VN VA podemos substituir VN VA VN dn VN VN dn VA VN 1 dn VA Exercícios resolvidos Uma indústria resgata um título de R 15 00000 25 dias antes do vencimento em uma agência bancária que cobra 5 ao mês de desconto comercial simples Determine o valor do desconto comercial e o valor atual do título Dados do problema VN 15000 d 5 am 005 am n 25 dias 2530 meses Dc VA Dc VN dn Dc 15000 005 2530 Dc R 62500 Logo o valor do desconto comercial foi de R 62500 VA VN Dc VA 15000 625 VA 14375 Logo o valor atual do título é de R 14 37500 Uma empresa tem dois compromissos financeiros de R 6 00000 cada um com vencimentos em 20 e 35 dias respectivamente Não dispondo de recurso para quitálos no vencimento propõe substituílos por uma única nota promissória NP com vencimento para 40 dias Sabendo que a taxa de desconto comercial utilizada é de 3 ao mês determine o valor da NP Dados do problema 2 compromissos financeiros 6000 n 20d 6000 n 35d Substituir por um NP n 40d d 3 am 003 Linha do tempo a Devemos iniciar a resolução deste problema calculando o VA de cada um dos títulos separadamente e depois somando para encontrar o total VA1 6000 no prazo de 20 dias VA1 VN 1 dn VA1 R 5 88000 VA2 6000 no prazo de 35 dias VA2 VN 1 dn VA2 R 5 79000 VA1 VA2 5 880 5 790 R 11 67000 b Agora devemos encontrar o valor nominal VN com prazo de 40 dias de vencimento VN 1 dn 11 670 VN R 12 15625 Utilizando a calculadora HP12C Desconto Simples Racional ou por Dentro Dr O desconto simples racional é o valor obtido pelo cálculo dos juros simples onde a taxa de juros i ou taxa de desconto simples racional incide sobre o valor atual da dívida VA considerando como prazo o número de períodos antecipados Para determinar o valor do desconto simples racional utilizamos a fórmula Dr VA i n Como D VN VA podemos substituir VN VA VA i n VN VA i n VA Exercícios resolvidos Um título no valor de R 48 00000 foi descontado à taxa de juros simples de 15 as faltando 120 dias para o seu vencimento Determine o valor do desconto Como o problema se refere à taxa de juros simples o desconto que deve ser calculado é o desconto racional simples Dados do problema VN 48000 i 15 as n 120 dias Dr Como o Dr é calculado sobre o VA o primeiro passo para resolver este problema é encontrar o VA VA R 43 63636 Agora podemos determinar o valor do desconto simples racional Dr VN VA Dr 48000 4363636 Dr R 4 36364 2 Um título de R 3 00000 foi resgatado por R 2 87000 16 dias antes do seu vencimento Determine a taxa mensal a de desconto simples racional VN 3 000 VA 2 870 D VN VA D 3000 2870 D R 13000 n 16d 1630 meses Dr VA in 130 2870 i 1630 i 8493 am b Desconto comercial Dc VN d n 130 3000 d 1630 d 8125 am 3 Uma pessoa deseja comprar uma casa cujo preço à vista é de R 50 00000 É portadora de uma nota promissória de R 25 00000 com vencimento para 75 dias que o vendedor aceita receber como parte do pagamento a uma taxa de 4 ao mês de juros simples Qual o valor do empréstimo que o comprador deve fazer em um banco para pagar em 120 dias de modo que possa completar o valor do imóvel sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 35 ao mês sobre o valor pedido que será descontado no ato Observe que neste problema temos duas situações e duas taxas Por isso temos duas etapas na resolução 1º Calcular por quanto será aceita a promissória Dr PV 5000000 VN 2500000 i 4 am n 75 d 7530 m VA VN VA 1 in VA R 2272727 2º Encontrar o valor que deve ser solicitado ao banco VN VA 50 000 2272727 VA R 2727273 d 35 am n 120d 4m VN VN R 31 71248 valor do empréstimo bancário Relação entre Taxa de Desconto e Taxa de Juros Simples A taxa de desconto incide sobre o valor nominal enquanto a taxa de juros simples incide sobre o valor atual As taxas não são iguais porque incidem sobre valores diferentes A taxa de juros simples i incide sobre o valor atual VA enquanto a taxa de desconto d incide sobre o valor nominal VN Por isso a taxa i sempre será maior que a taxa de desconto d uma vez que i incide sobre o menor valor atual Como encontrar a relação entre essas taxas Vamos supor dois títulos de mesmo valor nominal mesmo valor atual e mesmo prazo de antecipação VA VN1in VA VN1 dn VN VN 1 dn 1 in 1 1 dn 1 in 1 1 in dn din ² 1 1 in dn din ² 0 in dn din ² dn din ² in n d din in d din inn Isolando d d din i d 1 in i Isolando i d din i d i din d i 1 dn Exercícios resolvidos Um comerciante reajusta em 25 o preço dos seus produtos Qual deve ser a taxa de desconto a ser dada em uma liquidação de modo que o preço volte a ser o mesmo que era antes do reajuste Dados do problema i 25 d n 1 Utilizamos o período igual a 1 nessas situações d i1in d 0 25 1025 1 d 0 25 125 d 20 Em uma aplicação de desconto de duplicata a taxa de desconto foi de 6 no período Qual a taxa de juros paga pela empresa que resgatou antecipadamente essa duplicata d 6 i n 1 i d1dn i 0 06 1006 1 i 0 06 094 i 6383 Referências FRANCISCO Walter de Matemática Financeira São Paulo Atlas 2002 GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 KRUSE Fábio Matemática Financeira conceitos e aplicações com o uso da HP12C 2 ed Novo Hamburgo FEEVALE 2005 SAMANEZ Carlos Patrício Matemática Financeira aplicações à análise de investimentos 2 ed São Paulo Makron Books 1999 Créditos Produzido por Núcleo de Audiovisual e Tecnologias Educacionais NATE ULBRA EAD Universidade Luterana do Brasil Todos os direitos reservados