Cálculo de Várias Variáveis - Atividade Resolvida sobre Domínio, Curvas de Nível e Derivadas Parciais

Cálculo de Várias Variáveis Profa Dra Débora Bezerra Linhares Libório 1 Atividade 1 1 Descreva o domínio da função a seguir e encontre os valores funcionais indicados 1 1 v 2 fw u 03 f 1 2 2 f z y x 25 y z f x 2 2 2 2 Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k a 2 0 3 k y x f x y 2 b 1 4 9 k 3 y 2 x x y f 2 2 3 Se t3 t e e ht 2 y gt x f x y 2 t 2 ache g f x y h f x y e t f g t h 4 Mostre que o limite não existe 2 2 2 2 0 0 x y 2 y x y 2x lim 5 Encontre as derivadas parciais de primeira ordem da função f a 1 y 3 y x y x 2 f x y 2 3 4 b 2 5 3 y x f x y c t s t s ts f d y senx e x f x y y e sen3y 1 t x ty x f 2 2 f x yz e x y z y z f x 6 Se 4 2 z v y ln x encontre vz z y 7 Considere a superfície 3 y x f x y 2 2 O plano x 3 intercepta a superfície numa curva Determine as equações da reta tangente a essa curva em y 2 Fxyz sqrt25 x2 y2 z2 i Domain 25 x2 y2 z2 0 25 x2 y2 z2 Entonces Domainf xyz ℝ3 x2 y2 z2 25 ii Valor de F122 F122 sqrt25 12 22 22 sqrt25 1 4 4 sqrt25 9 16 4 F122 4 iii Valor de F302 F302 sqrt25 x2 y2 z2 sqrt25 32 02 22 sqrt25 9 4 sqrt12 2 sqrt3 F302 2 sqrt3 iv Valor de Fw u1 v1 Fw u1 v1 sqrt25 w2 u12 v12 sqrt25 w2 u2 2u 1 v2 2v 1 sqrt25 w2 u2 v2 2u 2v 2 Fw u1 v1 sqrt25 w2 u2 v2 2u 2v 2 2 Curvas de nivel a Fxy x2 y k 2 0 3 k 2 x2 y 2 y x2 2 parábola k 0 x2 y 0 y x2 parábola k 3 x2 y 3 y x2 3 parábola Graph sketch showing parabolas labeled K2 K0 K3 b Fxy x22 y32 k 1 4 9 k 1 x22 y32 1 círculo Radio 1 k 4 x22 y32 4 22 círculo Radio 2 k 9 x22 y32 9 32 círculo Radio 3 centro 23 Graph sketch showing circles labeled k1 k4 k9 3 Fxy x2 2y gt et ht t2 3t i gFxy gx2 2y ex2 2y ii hFxy hx2 2y x2 2y2 3x2 2y x4 4x2y 4y2 3x2 6y iii Fgt ht Fet t2 3t et2 2t2 3t e2t 2t2 6t Mostrar que lim xy00 2x2 y3x2 2y2 não existe Basta escolher dois caminhos que tenham limites distintos Se x0 lim y0 0 y3 0 2y2 lim y0 y3 2y2 lim y0 y2 12 Se y0 lim x0 2x3 0 x2 0 lim x0 2x3 x2 lim x0 2x 2 O limite ao longo da reta horizontal y0 é diferente do limite ao longo da reta vertical x0 portanto não há limite 5 Derivadas parciais a fxy 2x4 y3 xy2 3y 1 Fxxy 8x3 y3 y2 e Fyxy 6x4 y2 2xy 3 b fxy x3 y25 Fxxy 5x3 y24 3x2 15x2 x3 y24 Fyxy 5x3 y24 2y 10y x3 y24 c fst ts st Fsst ts2 1t e Ftst 1s st2 d fxy xey y senx Fxxy ey y cos x e Fyxy xey sen x e fxyt x3 t21 sen3y Fxxyt 2x1 sen3y e Ftxyt 2t1 sen3y Fyxyt x3 t21 sen3y1 x3 t2 1 1 sen3y2 cos 3y3 Fyxyt 3cos3y x3 t2 1 sen3y2 f fxyz xyz exyz Fxxyz yz exyz x y2 z exyz Fyxyz xz exyz x2 y z exyz Fzxyz xy exyz x2 y2 exyz V y lnx2 z4 ache Vzz y Vz z y lnx2 z4 y 1x2 z4 4z3 4z3 yx2 z4 Vzz z 4z3 yx2 z4 12z2 y x2 z4 4z3 y 4z3 x2 z42 y 12z2 x2 12 z6 16z6 x2 z42 4y 3z2 x2 z6 x2 z42 Vz z y 4 3z2 x2 z6 x2 z42 fxy x2 y2 3 e o plano x 3 tangente em y 2 Curva no plano x 3 f3y gy 9 y2 3 gy 9 y2 31 9 1y2 32 2y 18y y2 32 g2 18 2 432 36 1 36 g2 9 43 g2 9 Ponto de tangência quando x3 y2 e F32 g2 9 Reta tangente r x x0 Vx t y y0 Vy t t E IR z z0 Vz t A curva está contida no plano x3 constante Vx 0 Vy variação em y fixa em 1 Vz g2 36 Assim r x3 y2t z936t