·
Administração Pública ·
Geometria Analítica
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Considere os vetores u 122 e v 2i 6j 3k Os módulos de u e de v são respectivamente Escolha uma opção O 5 e 11 O 1 e 5 O 3 e 7 O 4 e 8 Em relação aos vetores u 122 e v 2i 6j 3k o resultado do produto escalar uv é Escolha uma opção O 13 O 11 O 9 O 16 Em relação aos vetores u 122 e v 2i 6j 3k o ângulo entre eles é aproximadamente Escolha uma opção O 54º O 140º O 25º O 85º O produto vetorial entre os vetores u 543 e v 101 é o vetor Escolha uma opção O 424 O 241 O 222 O 214 A área do paralelogramo formado a partir dos vetores u 111 e v 234 é Escolha uma opção O 11 O 8 O 6 O 21 O volume do paralelepípedo formado a partir dos vetores u 422 v 132 e w 512 é Escolha uma opção O 22 O 25 O 36 O 30 A reta que passa pelos pontos A 543 e B 101 tem equação vetorial paramétrica dada por Escolha uma opção O X543m101 O X101m543 O X101m442 O X543m544 Qual dos pontos abaixo pertence à reta de equação vetorial paramétrica r X 231 m 121 Escolha uma opção O P411 O A251 O R834 O B312 Qual dos pontos abaixo pertence ao plano de equação geral dada por α 2x 3y z 3 0 Escolha uma opção O R222 O R111 O R121 O R112 A distância dPo entre o ponto A423 e o plano α de equação geral α 2x3y6z30 é Escolha uma opção 0 5 3 2 Qual a posição relativa entre os planos α e β de equações geral α 3x2y4z20 e β x5y2z30 Escolha uma opção Reversos Paralelos Coincidentes Concorrentes Dados os planos α e β têm equações geral α 2x3yz20 e β x2y2z10 Então a distância doβ entre os planos é Escolha uma opção 5 2 0 1 Considerando que a distância entre os pontos A e B é dAB 7 que o ponto A 458 e o ponto B 1y2 Então a coordenada y do ponto B pode ser Escolha uma opção 5 ou 7 3 ou 7 3 ou 5 1 ou 4 Usando a lei dos cossenos podemos calcular a medida do lado indicado por x no triângulo abaixo Essa medida é de aproximadamente Escolha uma opção 5693 6928 7416 4193 O ponto C divide o segmento AB na razão 2 para 3 onde A 18 e B 67 A soma das coordenadas de C é Escolha uma opção 3 2 1 1 Questão 1 Ainda não respondida Vale 100 pontos Marcar questão No triângulo abaixo o produto das medidas m e n é de Escolha uma opção 100 16384 5184 9216 Questão 2 Ainda não respondida Vale 100 pontos Marcar questão Em relação ao triângulo abaixo a medida dos ângulos α e β são respectivamente Escolha uma opção 53 e 65 43 e 75 53 e 75 43 e 65 Questão 3 Ainda não respondida Vale 100 pontos Marcar questão A distância entre os pontos A 426 e B 135 é Escolha uma opção 5 11 8 10 Considere os pontos A 458 B 122 e C 315 A equação vetorial paramétrica do plano que contem os pontos A B e C é dada por Escolha uma opção O xyz458k315m336 O xyz458k336m143 O xyz458k122m315 O xyz458k111m100 Arquivo 1 A a1 a2 a3 555 M P 913 b b1 b2 b3 N 644 C c1 c2 c3 ponto médio 2D a1 y2 am ym am a1 x22 ym y1 y22 3D no espaço x2 y2 z2 am ym zm am a1 a22 ym y1 y22 zm z1 z22 um a a1 b12 5 a1 b1 10 a1 c12 9 a1 c1 18 b1 c12 6 b1 c1 12 a1 10 b1 a1 8 2c1 2a c1 40 10 b1 c1 18 b1 2 b1 c1 42 10 2c1 30 um y a2 b22 5 a2 b2 40 a2 c22 1 a2 c2 2 b2 c22 4 b2 c2 8 a2 10 b2 b2 8 10 b2 c2 2 a2 2 b2 c2 8 a2 0 um z a3 b32 5 a3 c32 3 a3 c3 6 b3 c32 4 b3 c3 8 a3 10 b3 2c3 4 c3 2 10 b3 c3 6 b3 6 b3 c3 8 a3 4 10 2c3 14 A 8 2 4 B 2 8 6 C 10 0 2 5 relações 122 x2 202 x2 202 122 x2 20 1220 12 x2 256 x 16 por semelhança h12 1620 h 12 1620 96 h 96 6 A a1 a2 a3 B b1 b2 b3 AB a1 b12 a2 b22 a3 b32 Δx2 Δy2 Δz2 A 458 B 1y2 AB 7 7 4 12 5 y2 8 22 7 9 5 y2 36 72 5 y2 45 12 2 49 5 y2 45 0 5 y2 22 0 5 y 25 y 2 on 5 y 2 0 on 5 y 2 0 y 7 y 3 7 Lei dos cossenos a2 b2 c2 2bc cos b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosĈ pela lei dos cossenos x2 42 32 24 3 cos 72 x2 16 9 24 cos 72 25 24 0309 25 7416 17584 x 17584 4193 8 S espaçamentos entre A e B para x para y 98 x2yc 67 6 1 7 8 1 3 5 5 c A 2r t 1 8 2 13 3 2 r 13 c 3 2 9 para eq da circunferência x 32 y 32 32 x 32 y 32 9 10 A 213 B 127n C y3n M m1 m2 m3 N n1 n2 n3 p p1 p2 p3 ponto médio no espaço am x1 x22 ym y1 y22 zm z1 z22 R r1 r2 r3 T t1 t2 t3 S sa s2 s3 r1 t12 r2 t22 r3 t32 m1 2 122 7 m2 1 72 4 m3 3 92 6 n1 12 82 10 n2 7 32 5 n3 9 12 5 p1 2 82 5 p2 1 32 2 p3 1 32 2 M 7 4 6 N 10 5 5 p 5 2 2 1 dos quesitos S sabese que n 96 e x 26 por semelhança n96 96m nm 96² 9216 2 72 a p 180 a p 108 usa rei dos senos n sin 72 4sinp dos quesitos 7 7 x 4193 4193 409512 sinp sinp 09073 pela tabela de senos e cossenos p arcsin09073 65 se a p 108 a 108 p 108 65 43 a 43 p 65 3 A 4 2 6 B 1 3 5 dAB sqrt a1 b1² a2 b2² a3 b3² sqrt 4 1² 2 3² 6 5² sqrt12 Arquivo 2 1 u 1 2 2 v 2 6 3 2i 6j 3k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 u sqrt1² 2² 2² sqrt1 4 4 3 v sqrt2² 6² 3² sqrt4 36 9 sqrt49 7 2 produto escalar u v u 1 2 2 u1 u2 u3 v 2 6 3 2i 6j 3k v1 v2 v3 u x v u1v1 u2v2 u3v3 1 2 2 6 2 3 2 12 6 16 u x v 46 3 u 1 2 2 v 2i 6j 3k 2 6 3 w v 12 2 6 2 3 1 8 5 u v w d cos da dos Cossenos w v² u² v² 2uv cos θ monw v² w v x w v u1 v1² u2 v2² u3 v3² expandindo w v² u1² 2 u1v1 v1² u2² 2 u2v2 v2² u3² 2 u3v3 v3² u1² u2² u3² v1² v2² v3² 2 uv cos θ 2 u1v1 u2v2 u3v3 2 uv cos θ u x v uv cos θ cos θ u x v uv aa question 2 cost w x r w r 1 2 2 x 2 6 3 3 7 16 21 064 aa question 1 para tabela de senos e cosenos cost 064 θ arcos 064 140 4 u 5 4 3 u1 u2 u3 r 1 0 1 r1 r2 r3 produto vetorial u r i j k u1 u2 u3 r1 r2 r3 u r i j k 5 4 3 1 0 1 40 i 35 j 04 k 4i 2j 4k u r 4i 2j 4k 4 2 4 5 u 1 1 1 r 2 3 4 Área r n como u 0 u r 0 u r u r sint θ Área r u sint r u sintθ u r u r i j k 1 1 1 2 3 4 93 i 24 j 32 k 6i 2j k 6 2 4 área u r 62 22 42 Área 36 6 volume do paralelepípedo área da base altura área do paralelogramo u r u cos θ u r u cost r u x u r u x u u1 u2 u3 r1 r2 r3 w1 w2 w3 4 2 2 1 3 2 5 1 2 36 volume r u x u 36 36 7 A 543 B 101 BX m r x B m r r paralelo a BA BA 5 4 3 101 4 4 2 x b m 4 4 2 x 1 0 1 m 4 4 2 r r0 u r0 r m r u r BA 5 1 4 0 3 1 4 4 2 ou r r0 x p0 x p0 4 4 2 m tomando p0 B X 1 0 1 m 4 4 2 8 X 2 3 1 m 1 2 1 2 m 3 2m 1 m x 2 z 1 3 z y 3 2 z 1 1 2z z z x 2 m y 3 2 m z 1 m m z 1 por análise dos abss números p 4 1 1 9 x 2x 3y z 3 0 substituindo os coordenadas na equação do plano k 1 2 2 2 1 3 2 2 3 0 2 6 2 3 0 k 1 1 1 2 1 3 1 1 3 0 2 3 1 3 0 k 1 2 1 2 1 3 2 1 3 0 2 6 1 3 0 k 1 1 2 2 1 3 1 2 3 0 2 3 2 3 0 k 1 1 2 10 A 458 B 122 C 315 AX k u m r x A k 14 25 28 m 34 15 58 k 3 3 6 m 1 4 3 x 458 k 3 3 6 m 1 4 3 Arquivo 3 1 r x 2 1 3 t 1 2 2 2 t 1 2t 3 2t α x 2y z 2 0 supondo um ponto p 2 t0 1 2t0 3 2t0 que pertence ao plano α 2 t0 2 1 2t0 3 2t0 2 0 2 t0 2 4t0 3 2t0 2 0 1 t0 0 t0 1 p 2 1 1 2 3 2 1 3 5 c 1 3 5 2 x 2 2 1 t 2 3 1 m 1 5 3 AX t AB m AC X A tAB mAC 2 2 1 t AB m AC AB 2 3 1 AC 1 5 3 N AB AC i j k 9 5 i 1 6 j 10 3 k z 3 1 1 5 3 4i 5j 7k seja N a b c α ax by cz d 0 4x 5y 7z d 0 seja A pertence ao plano 4 2 5 2 7 1 d 0 8 10 7 d 0 d 11 α 4x 5y 7z 11 0 3 A 4 2 3 α 2x 3y 6z 3 0 projeção distância A α proj B A N dist A α dist A α B A N N B A 4 0 2 1 3 0 4 3 3 dist A α 433 236 2² 3² 6²12 4 2 3 3 3 6 4 9 3612 35 49 35 7 5 4 α 3x 2y 4z 2 0 a x b y c z d a β x 5y 2z 3 0 a2 x b2 y c2 z d2 a1 3 a2 7 b1 2 b2 5 c1 4 c2 2 d1 2 d2 3 a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 planos são concorrentes em Na 3 2 4 vetor normal relativo a α Nb 1 5 2 relativo a β não são paralelos miltipos planos são concorrentes 5 α 2x 3y z 2 0 N α β x 2y 2z 4 0 Nβ Nα 2 3 1 Nβ 1 2 2 não são paralelos planos são concorrentes d α β 0 Ø distância a menor distância possível entre os planos se são concorrentes seus pontos são os mesmos na intersecção 6 r x 1 3 1 t 1 2 1 s x 0 3 1 m 1 1 1 r x 1 t y 3 2t z 1 t s x m y 3 m z 1 m vem diretor de r v1 4 2 1 vem s v2 1 1 1 v2 s v2 s p1 1 3 1 vem r p2 0 3 1 vem s projw v dist v s vetores v p2p1 1 0 3 3 1 1 1 6 2 n v1 v2 i j k 1 2 1 1 1 1 1i 0j 1k projw v v w w 1 6 2 1 0 1 12 1 2 6 0 2 1 12 3 12 32 2 em r 1 3 1 t 1 2 1 x 1 3 1 tw s 0 3 1 m 1 1 1 x 0 3 1 m r A 1 3 1 n 1 2 1 B 0 3 1 r 1 1 1 volume área da base altura altura vp n r AB n r dist entre os vetors dist entre os vetores vp n r AB n r i j k i ê 1 0 2 1 2 1 1 1 1 n r AB 1 0 1 1 6 2 3 n r 12 dist n r AB n r 3 12 32 2 7 A 2 1 4 r x 1 2 3 m 2 1 2 p 1 2 3 P A 2 1 1 2 4 3 3 1 1 P A r i j k 3i 2j k 3 1 1 2 1 2 3 8 1 área r d P A r r d d P A r r 3 8 1 2 1 2 74 3 8 r x 2 1 3 t 1 1 1 r 1 1 1 s x 4 1 1 m 2 4 1 r 2 4 1 r x 2 t y 1 t z 3 t s x 4 2m y 2 4m z 1 m não intersecção 2 t 4 2m 1 1 t 1 4m 2 3 t 1 m 3 1 3 2 2 2 3m contendo 1 t 1 4m 7 0 m 0 11 2 t 4 2m t 2 corrigido 9 A234 B311 AB 32 13 14 123 r XPmvec r vec r r vec r AB supon B o punto P X B m AB 311 m123 10 a 2x3yz20 a1xb1yc1zd10 b 4x6y2z40 a2xb2yc2zd20 como a1a2 b1b2 c1c2 d1d2 a1a212 c1c212 b1b212 d1d212 los planos son coincidentes dist0
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Considere os vetores u 122 e v 2i 6j 3k Os módulos de u e de v são respectivamente Escolha uma opção O 5 e 11 O 1 e 5 O 3 e 7 O 4 e 8 Em relação aos vetores u 122 e v 2i 6j 3k o resultado do produto escalar uv é Escolha uma opção O 13 O 11 O 9 O 16 Em relação aos vetores u 122 e v 2i 6j 3k o ângulo entre eles é aproximadamente Escolha uma opção O 54º O 140º O 25º O 85º O produto vetorial entre os vetores u 543 e v 101 é o vetor Escolha uma opção O 424 O 241 O 222 O 214 A área do paralelogramo formado a partir dos vetores u 111 e v 234 é Escolha uma opção O 11 O 8 O 6 O 21 O volume do paralelepípedo formado a partir dos vetores u 422 v 132 e w 512 é Escolha uma opção O 22 O 25 O 36 O 30 A reta que passa pelos pontos A 543 e B 101 tem equação vetorial paramétrica dada por Escolha uma opção O X543m101 O X101m543 O X101m442 O X543m544 Qual dos pontos abaixo pertence à reta de equação vetorial paramétrica r X 231 m 121 Escolha uma opção O P411 O A251 O R834 O B312 Qual dos pontos abaixo pertence ao plano de equação geral dada por α 2x 3y z 3 0 Escolha uma opção O R222 O R111 O R121 O R112 A distância dPo entre o ponto A423 e o plano α de equação geral α 2x3y6z30 é Escolha uma opção 0 5 3 2 Qual a posição relativa entre os planos α e β de equações geral α 3x2y4z20 e β x5y2z30 Escolha uma opção Reversos Paralelos Coincidentes Concorrentes Dados os planos α e β têm equações geral α 2x3yz20 e β x2y2z10 Então a distância doβ entre os planos é Escolha uma opção 5 2 0 1 Considerando que a distância entre os pontos A e B é dAB 7 que o ponto A 458 e o ponto B 1y2 Então a coordenada y do ponto B pode ser Escolha uma opção 5 ou 7 3 ou 7 3 ou 5 1 ou 4 Usando a lei dos cossenos podemos calcular a medida do lado indicado por x no triângulo abaixo Essa medida é de aproximadamente Escolha uma opção 5693 6928 7416 4193 O ponto C divide o segmento AB na razão 2 para 3 onde A 18 e B 67 A soma das coordenadas de C é Escolha uma opção 3 2 1 1 Questão 1 Ainda não respondida Vale 100 pontos Marcar questão No triângulo abaixo o produto das medidas m e n é de Escolha uma opção 100 16384 5184 9216 Questão 2 Ainda não respondida Vale 100 pontos Marcar questão Em relação ao triângulo abaixo a medida dos ângulos α e β são respectivamente Escolha uma opção 53 e 65 43 e 75 53 e 75 43 e 65 Questão 3 Ainda não respondida Vale 100 pontos Marcar questão A distância entre os pontos A 426 e B 135 é Escolha uma opção 5 11 8 10 Considere os pontos A 458 B 122 e C 315 A equação vetorial paramétrica do plano que contem os pontos A B e C é dada por Escolha uma opção O xyz458k315m336 O xyz458k336m143 O xyz458k122m315 O xyz458k111m100 Arquivo 1 A a1 a2 a3 555 M P 913 b b1 b2 b3 N 644 C c1 c2 c3 ponto médio 2D a1 y2 am ym am a1 x22 ym y1 y22 3D no espaço x2 y2 z2 am ym zm am a1 a22 ym y1 y22 zm z1 z22 um a a1 b12 5 a1 b1 10 a1 c12 9 a1 c1 18 b1 c12 6 b1 c1 12 a1 10 b1 a1 8 2c1 2a c1 40 10 b1 c1 18 b1 2 b1 c1 42 10 2c1 30 um y a2 b22 5 a2 b2 40 a2 c22 1 a2 c2 2 b2 c22 4 b2 c2 8 a2 10 b2 b2 8 10 b2 c2 2 a2 2 b2 c2 8 a2 0 um z a3 b32 5 a3 c32 3 a3 c3 6 b3 c32 4 b3 c3 8 a3 10 b3 2c3 4 c3 2 10 b3 c3 6 b3 6 b3 c3 8 a3 4 10 2c3 14 A 8 2 4 B 2 8 6 C 10 0 2 5 relações 122 x2 202 x2 202 122 x2 20 1220 12 x2 256 x 16 por semelhança h12 1620 h 12 1620 96 h 96 6 A a1 a2 a3 B b1 b2 b3 AB a1 b12 a2 b22 a3 b32 Δx2 Δy2 Δz2 A 458 B 1y2 AB 7 7 4 12 5 y2 8 22 7 9 5 y2 36 72 5 y2 45 12 2 49 5 y2 45 0 5 y2 22 0 5 y 25 y 2 on 5 y 2 0 on 5 y 2 0 y 7 y 3 7 Lei dos cossenos a2 b2 c2 2bc cos b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosĈ pela lei dos cossenos x2 42 32 24 3 cos 72 x2 16 9 24 cos 72 25 24 0309 25 7416 17584 x 17584 4193 8 S espaçamentos entre A e B para x para y 98 x2yc 67 6 1 7 8 1 3 5 5 c A 2r t 1 8 2 13 3 2 r 13 c 3 2 9 para eq da circunferência x 32 y 32 32 x 32 y 32 9 10 A 213 B 127n C y3n M m1 m2 m3 N n1 n2 n3 p p1 p2 p3 ponto médio no espaço am x1 x22 ym y1 y22 zm z1 z22 R r1 r2 r3 T t1 t2 t3 S sa s2 s3 r1 t12 r2 t22 r3 t32 m1 2 122 7 m2 1 72 4 m3 3 92 6 n1 12 82 10 n2 7 32 5 n3 9 12 5 p1 2 82 5 p2 1 32 2 p3 1 32 2 M 7 4 6 N 10 5 5 p 5 2 2 1 dos quesitos S sabese que n 96 e x 26 por semelhança n96 96m nm 96² 9216 2 72 a p 180 a p 108 usa rei dos senos n sin 72 4sinp dos quesitos 7 7 x 4193 4193 409512 sinp sinp 09073 pela tabela de senos e cossenos p arcsin09073 65 se a p 108 a 108 p 108 65 43 a 43 p 65 3 A 4 2 6 B 1 3 5 dAB sqrt a1 b1² a2 b2² a3 b3² sqrt 4 1² 2 3² 6 5² sqrt12 Arquivo 2 1 u 1 2 2 v 2 6 3 2i 6j 3k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 u sqrt1² 2² 2² sqrt1 4 4 3 v sqrt2² 6² 3² sqrt4 36 9 sqrt49 7 2 produto escalar u v u 1 2 2 u1 u2 u3 v 2 6 3 2i 6j 3k v1 v2 v3 u x v u1v1 u2v2 u3v3 1 2 2 6 2 3 2 12 6 16 u x v 46 3 u 1 2 2 v 2i 6j 3k 2 6 3 w v 12 2 6 2 3 1 8 5 u v w d cos da dos Cossenos w v² u² v² 2uv cos θ monw v² w v x w v u1 v1² u2 v2² u3 v3² expandindo w v² u1² 2 u1v1 v1² u2² 2 u2v2 v2² u3² 2 u3v3 v3² u1² u2² u3² v1² v2² v3² 2 uv cos θ 2 u1v1 u2v2 u3v3 2 uv cos θ u x v uv cos θ cos θ u x v uv aa question 2 cost w x r w r 1 2 2 x 2 6 3 3 7 16 21 064 aa question 1 para tabela de senos e cosenos cost 064 θ arcos 064 140 4 u 5 4 3 u1 u2 u3 r 1 0 1 r1 r2 r3 produto vetorial u r i j k u1 u2 u3 r1 r2 r3 u r i j k 5 4 3 1 0 1 40 i 35 j 04 k 4i 2j 4k u r 4i 2j 4k 4 2 4 5 u 1 1 1 r 2 3 4 Área r n como u 0 u r 0 u r u r sint θ Área r u sint r u sintθ u r u r i j k 1 1 1 2 3 4 93 i 24 j 32 k 6i 2j k 6 2 4 área u r 62 22 42 Área 36 6 volume do paralelepípedo área da base altura área do paralelogramo u r u cos θ u r u cost r u x u r u x u u1 u2 u3 r1 r2 r3 w1 w2 w3 4 2 2 1 3 2 5 1 2 36 volume r u x u 36 36 7 A 543 B 101 BX m r x B m r r paralelo a BA BA 5 4 3 101 4 4 2 x b m 4 4 2 x 1 0 1 m 4 4 2 r r0 u r0 r m r u r BA 5 1 4 0 3 1 4 4 2 ou r r0 x p0 x p0 4 4 2 m tomando p0 B X 1 0 1 m 4 4 2 8 X 2 3 1 m 1 2 1 2 m 3 2m 1 m x 2 z 1 3 z y 3 2 z 1 1 2z z z x 2 m y 3 2 m z 1 m m z 1 por análise dos abss números p 4 1 1 9 x 2x 3y z 3 0 substituindo os coordenadas na equação do plano k 1 2 2 2 1 3 2 2 3 0 2 6 2 3 0 k 1 1 1 2 1 3 1 1 3 0 2 3 1 3 0 k 1 2 1 2 1 3 2 1 3 0 2 6 1 3 0 k 1 1 2 2 1 3 1 2 3 0 2 3 2 3 0 k 1 1 2 10 A 458 B 122 C 315 AX k u m r x A k 14 25 28 m 34 15 58 k 3 3 6 m 1 4 3 x 458 k 3 3 6 m 1 4 3 Arquivo 3 1 r x 2 1 3 t 1 2 2 2 t 1 2t 3 2t α x 2y z 2 0 supondo um ponto p 2 t0 1 2t0 3 2t0 que pertence ao plano α 2 t0 2 1 2t0 3 2t0 2 0 2 t0 2 4t0 3 2t0 2 0 1 t0 0 t0 1 p 2 1 1 2 3 2 1 3 5 c 1 3 5 2 x 2 2 1 t 2 3 1 m 1 5 3 AX t AB m AC X A tAB mAC 2 2 1 t AB m AC AB 2 3 1 AC 1 5 3 N AB AC i j k 9 5 i 1 6 j 10 3 k z 3 1 1 5 3 4i 5j 7k seja N a b c α ax by cz d 0 4x 5y 7z d 0 seja A pertence ao plano 4 2 5 2 7 1 d 0 8 10 7 d 0 d 11 α 4x 5y 7z 11 0 3 A 4 2 3 α 2x 3y 6z 3 0 projeção distância A α proj B A N dist A α dist A α B A N N B A 4 0 2 1 3 0 4 3 3 dist A α 433 236 2² 3² 6²12 4 2 3 3 3 6 4 9 3612 35 49 35 7 5 4 α 3x 2y 4z 2 0 a x b y c z d a β x 5y 2z 3 0 a2 x b2 y c2 z d2 a1 3 a2 7 b1 2 b2 5 c1 4 c2 2 d1 2 d2 3 a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 planos são concorrentes em Na 3 2 4 vetor normal relativo a α Nb 1 5 2 relativo a β não são paralelos miltipos planos são concorrentes 5 α 2x 3y z 2 0 N α β x 2y 2z 4 0 Nβ Nα 2 3 1 Nβ 1 2 2 não são paralelos planos são concorrentes d α β 0 Ø distância a menor distância possível entre os planos se são concorrentes seus pontos são os mesmos na intersecção 6 r x 1 3 1 t 1 2 1 s x 0 3 1 m 1 1 1 r x 1 t y 3 2t z 1 t s x m y 3 m z 1 m vem diretor de r v1 4 2 1 vem s v2 1 1 1 v2 s v2 s p1 1 3 1 vem r p2 0 3 1 vem s projw v dist v s vetores v p2p1 1 0 3 3 1 1 1 6 2 n v1 v2 i j k 1 2 1 1 1 1 1i 0j 1k projw v v w w 1 6 2 1 0 1 12 1 2 6 0 2 1 12 3 12 32 2 em r 1 3 1 t 1 2 1 x 1 3 1 tw s 0 3 1 m 1 1 1 x 0 3 1 m r A 1 3 1 n 1 2 1 B 0 3 1 r 1 1 1 volume área da base altura altura vp n r AB n r dist entre os vetors dist entre os vetores vp n r AB n r i j k i ê 1 0 2 1 2 1 1 1 1 n r AB 1 0 1 1 6 2 3 n r 12 dist n r AB n r 3 12 32 2 7 A 2 1 4 r x 1 2 3 m 2 1 2 p 1 2 3 P A 2 1 1 2 4 3 3 1 1 P A r i j k 3i 2j k 3 1 1 2 1 2 3 8 1 área r d P A r r d d P A r r 3 8 1 2 1 2 74 3 8 r x 2 1 3 t 1 1 1 r 1 1 1 s x 4 1 1 m 2 4 1 r 2 4 1 r x 2 t y 1 t z 3 t s x 4 2m y 2 4m z 1 m não intersecção 2 t 4 2m 1 1 t 1 4m 2 3 t 1 m 3 1 3 2 2 2 3m contendo 1 t 1 4m 7 0 m 0 11 2 t 4 2m t 2 corrigido 9 A234 B311 AB 32 13 14 123 r XPmvec r vec r r vec r AB supon B o punto P X B m AB 311 m123 10 a 2x3yz20 a1xb1yc1zd10 b 4x6y2z40 a2xb2yc2zd20 como a1a2 b1b2 c1c2 d1d2 a1a212 c1c212 b1b212 d1d212 los planos son coincidentes dist0