Guia da Disciplina: Sistemas Vetoriais

SISTEMAS VETORIAIS Dr Sávio Mendes França GUIA DA DISCIPLINA 2022 1 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 1 INTRODUÇÃO TÓPICOS DE GEOMETRIA Objetivo Neste primeiro Capítulo revisaremos de forma simples alguns conceitos de geometria que em geral são desenvolvidos no ensino fundamental e no ensino médio Introdução Caro aluno do Curso de Engenharia de Produção na modalidade EAD da UNISANTA na disciplina de Sistemas Vetoriais você desenvolverá alguns conceitos pertencentes à Geometria Analítica Espacial Nesta disciplina conceitos de Álgebra e de Geometria são trabalhados de forma complementar num sistema triortogonal de eixos chamado Espaço por meio do estudo dos vetores suas operações e propriedades Os conceitos desenvolvidos nesta disciplina serão de grande importância para o aprendizado de disciplinas mais avançadas do curso de Engenharia de Produção que em geral dependem destes conhecimentos matemáticos básicos para a interpretação de problemas e resolução através da linguagem matemática quer seja algébrica quer seja geométrica Sistemas Vetoriais é uma disciplina básica e por este motivo ela é oferecida no começo do curso para que o aluno possa adquirir os conhecimentos das disciplinas mais avançadas de forma solida e consistente 11 Relações trigonométricas no triângulo retângulo Tomaremos como condição inicial para esta seção que já é de conhecimento do teorema de Pitágoras ensinado no ensino fundamental e da proporcionalidade das medidas dos lados entre triângulos que possuem ângulos de mesma medida ou seja a No triângulo retângulo abaixo onde i a hipotenusa tem medida 𝑎 ii os catetos têm medidas 𝑏 𝑐 respectivamente 𝑎 𝑏 𝑐 2 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Vale sempre que 𝑎2 𝑏2 𝑐2 b Dados dois triângulos cujos ângulos têm as mesmas medidas 𝛼 𝛽 e 𝛾 respectivamente 𝑎1 𝛼 𝑐1 𝑎2 𝛼 𝑐2 𝛽 𝛾 𝑏1 𝛽 𝛾 𝑏2 Vale sempre que 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Agora tomemos um triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 cujos lados medem 𝑎 𝑏 e 𝑐 respectivamente e tracemos o segmento 𝐶𝐻 que representa a altura relativa ao lado 𝐴𝐵 e de medida ℎ 𝐶 𝑐 𝑏 ℎ 𝑛 𝑚 𝐴 𝐻 𝐵 𝑎 Consideremos que o segmento 𝐴𝐻 tem medida 𝑛 e o segmento 𝐵𝐻 tem medida 𝑚 Observe que fazendo as devidas rotações nos três triângulos temos que os três triângulos retângulos 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶𝐻 e 𝐵𝐶𝐻 possuem ângulos de mesmas medidas 3 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância I II III 𝐴 𝐶 𝑐 𝑎 𝐴 ℎ 𝑏 𝑛 𝑐 𝐶 𝑏 𝐵 𝐻 𝑚 𝐵 𝐻 ℎ 𝐶 A partir da proporcionalidade entre os lados de triângulos de ângulos de mesma medida temos que Entre I e II 𝑎 𝑏 𝑏 𝑚 𝑎 𝑚 𝑏² Entre I e III 𝑎 𝑐 𝑏 ℎ 𝑎 ℎ 𝑏 𝑐 Entre I e II 𝑏 𝑚 𝑐 ℎ 𝑏 ℎ 𝑐 𝑚 Entre I e III 𝑏 ℎ 𝑐 𝑛 𝑏 𝑛 𝑐 ℎ Entre I e II 𝑎 𝑏 𝑐 ℎ 𝑎 ℎ 𝑏 𝑐 Entre I e III 𝑎 𝑐 𝑐 𝑛 𝑎 𝑛 𝑐² Entre II e III 𝑏 𝑐 𝑚 ℎ 𝑏 ℎ 𝑐 𝑚 4 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Entre II e III 𝑏 ℎ 𝑐 𝑛 𝑏 𝑛 𝑐 ℎ Além disso podemos aplicar o teorema de Pitágoras nos três triângulos retângulos Vamos resolver um exemplo sobre a semelhança de triângulos Exemplo Determine as medidas dos lados representadas por 𝑏 ℎ 𝑚 e 𝑛 no caso abaixo 𝐶 6 𝑏 ℎ 𝑛 𝑚 𝐴 𝐻 𝐵 10 Resolução 1º passo Separar os três triângulos I II III 𝐴 𝐶 6 10 𝑏 𝐴 ℎ 𝑛 6 𝐶 𝑏 𝐵 𝐻 𝑚 𝐵 𝐻 ℎ 𝐶 2º passo Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo I 102 𝑏2 62 100 36 𝑏2 64 𝑏2 𝑏 8 3º passo Entre I e III 10 6 𝑏 ℎ 10ℎ 6 𝑏 10ℎ 68 ℎ 48 10 ℎ 48 5 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 4º passo Entre I e III 10 6 6 𝑛 10𝑛 66 𝑛 36 10 𝑛 36 5º passo Entre I e II 10 𝑏 𝑏 𝑚 10𝑚 𝑏² 10𝑚 88 𝑚 64 10 𝑚 64 12 Circunferências Seja 𝐶 um ponto do plano 𝑟 um número não nulo dado Chamamos circunferência o conjunto de todos os pontos 𝑃 do plano tais que a distância de 𝐶 até 𝑃 é o número 𝑟 O ponto C será chamado de centro da circunferência e a número r será chamada de raio da circunferência Usando o plano cartesiano Y b C y P 0 x a X Observe que temos um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é 𝑟 e cujos catetos medem em módulo 𝑥 𝑎 e 𝑦 𝑏 respectivamente Assim pelo teorema de Pitágoras 𝑥 𝑎2 𝑦 𝑏2 𝑟2 6 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Podemos retirar os módulos pois estamos elevando os catetos ao quadrado Assim 𝑥 𝑎2 𝑦 𝑏2 𝑟2 A equação descrita acima é chamada equação reduzida da circunferência Exemplo Escreva a equação reduzida e esboce no plano cartesiano a circunferência de centro 𝐶 23 e raio 𝑟 3 Resolução Observe que a 2 b 3 e r 3 A equação reduzida da circunferência é 𝑥 22 𝑦 32 9 O gráfico da circunferência é usando um compasso com abertura de medida 3 𝑌 3 𝐶 0 2 𝑋 13 Lei dos senos e lei dos cossenos Nesta última seção da primeira aula vamos enunciar as fórmulas da lei dos senos e da lei dos cossenos de forma rápida para o cálculo dos lados e dos ângulos de triângulo 7 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância qualquer sabendo valores de alguns dos lados ou dos ângulos Para tal procedimento teremos que usar uma calculadora científica simples configurada para trabalha com ângulos em graus DEG Considere o triângulo abaixo 𝛽 𝑎 𝑐 𝛾 𝛼 𝑏 A lei dos senos para um triângulo qualquer é 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛾 𝑐 Se de um triângulo qualquer conhecemos dois lados e o ângulo entre eles 𝑥 𝑐 𝛼 𝑏 Então a lei dos cossenos é 𝑥2 𝑏2 𝑐2 2 𝑏 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛼 8 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Vamos resolver um exemplo usando a lei dos senos ou a lei dos cossenos para calcular a medida de todos os lados e de todos os ângulos do triângulo abaixo 72 6 8 𝛾 𝛼 𝑏 Resolução 1º passo Calcular b usando a lei dos cossenos 𝑏2 62 82 268 𝑐𝑜𝑠72 𝑏2 36 64 96 𝑐𝑜𝑠72 Usando a calculadora científica temos 𝑏2 7033436854 Logo procure usar o máximo de casas decimais 𝑏 8386558802 2º passo Agora podemos calcular o ângulo 𝛼 usando a lei dos senos 𝑠𝑒𝑛𝛼 6 𝑠𝑒𝑛72 8386558802 Logo 𝑠𝑒𝑛𝛼 6 𝑠𝑒𝑛72 8386558802 𝑠𝑒𝑛𝛼 0680414843 Portanto 𝛼 4287606892 3º passo Da mesma foram podemos calcular o ângulo 𝛾 usando a lei dos senos 𝑠𝑒𝑛𝛾 8 𝑠𝑒𝑛72 8386558802 Logo 9 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑠𝑒𝑛𝛾 8 𝑠𝑒𝑛72 8386558802 𝑠𝑒𝑛𝛾 0907219791 Portanto 𝛾 6512393108 Observação Podemos escrever os ângulos 𝛾 e 𝛾 usando as subunidades das medidas de ângulos em graus minutos e segundos usando a calculadora científica Neste caso teríamos 𝛼 48 5233 𝛾 65 0726 10 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 2 PONTOS NO PLANO E NO ESPAÇO 21 Pontos no plano Nesta aula vamos dar início ao conteúdo de geometria analítica Começaremos apresentando o Plano Cartesiano que geralmente tem a sua primeira apresentação no ensino fundamental Tomemos um ponto 𝑶 pertencente a um plano 𝜶 e por ele tracemos duas retas 𝒙 e 𝒚 perpendiculares em 𝑶 as quais chamaremos de eixo 𝒙 e eixo 𝒚 Observe a representação geométrica 𝑦 𝐴 𝑂 𝐵 𝑥 𝛼 Observe que tomando na reta 𝑥 um ponto 𝐴 𝑂 e na reta 𝑦 um ponto 𝐵 𝑂 temos que 𝐴 𝐵 e 𝑂 são três pontos não colineares e portanto o plano 𝛼 é determinado pelas retas 𝑥 e 𝑦 Devido a observação acima passaremos a representar geometricamente o plano 𝛼 da seguinte forma 𝑦 𝑂 𝑥 11 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Dado um ponto 𝑃 𝛼 tracemos por ele duas retas a reta 𝑥 paralela à reta 𝑥 e a reta 𝑦 paralela à reta 𝑦 Denominemos de 𝑃1 o ponto de interseção de 𝑥 com 𝑦 e de 𝑃2 o ponto de interseção de 𝑦 com 𝑥 𝑦 𝑦 𝑃2 𝑃 𝑥 𝑂 𝑃1 𝑥 Nestas condições podemos definir a Abscissa de 𝑃 é o número real 𝑥𝑃 𝑂𝑃1 b Ordenada de 𝑃 é o número real 𝑦𝑃 𝑂𝑃2 c As coordenadas de 𝑃 são os números reais 𝑥𝑃 e 𝑦𝑃 geralmente serão indicadas na forma de um par ordenado 𝑥𝑃𝑦𝑃 Com isto podemos observar que o Plano Cartesiano possui uma correspondência natural com 𝐼𝑅2 d Eixo das abscissas é o eixo 𝑥 ou 𝑂𝑥 e Eixo das ordenadas é o eixo 𝑦 ou 𝑂𝑦 f Sistema de eixos cartesianos ortogonais é o sistema 𝑥𝑂𝑦 g Origem do sistema é o ponto 𝑂 Dar o ponto 𝑃 significa dar o par ordenado 𝑥𝑃𝑦𝑃 Pedir um ponto 𝑃 significa pedir o par de coordenadas 𝑥𝑃𝑦𝑃 O plano obtido acima é chamado de Plano Cartesiano esse nome foi dado em homenagem a René Descartes matemático criador da Geometria Analítica e será denotado por 𝑥𝑂𝑦 Para terminar esta aula consideremos 𝑟 uma reta em 𝑥𝑂𝑦 então h Se 𝑟 é paralela ao eixo 𝑥 então todos os seus pontos têm a mesma ordenada ou seja o valor da coordenada 𝑦 é constante i Se 𝑟 é paralela ao eixo 𝑦 então todos os seus pontos têm a mesma abscissa ou seja o valor da coordenada 12 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 22 Pontos no espaço Considere o sistema de coordenadas cartesianas abaixoreferencial cartesiano espacial ou referencial cartesiano triortogonal z 𝑃3 P c a O b 𝑃2 y x 𝑃1 A partir do referencial cartesiano acima temos a 𝑂𝑥 denota o eixo 𝑥 b 𝑂𝑦 denota o eixo 𝑦 c 𝑂𝑧 denota o eixo 𝑧 d o eixo 𝑥 o eixo 𝑦 e o eixo 𝑧 são os eixos coordenados e 𝑥𝑂𝑦 denota o plano 𝑥𝑦 f 𝑥𝑂𝑧 denota o plano 𝑥𝑧 g 𝑦𝑂𝑧 denota o plano 𝑦𝑧 h o plano 𝑥𝑦 o plano 𝑥𝑧 e o plano 𝑦𝑧 são os planos coordenados i o ponto 𝑂 é chamado de origem do referencial cartesiano espacial Dado um ponto 𝑃 no referencial cartesiano espacial associamos a ele uma única terna ordenada 𝑎 𝑏 𝑐 de números reais j A distância entre a origem e o ponto 𝑃1 tem medida 𝑎 e é chamada de abscissa do ponto 𝑃 k A distância entre a origem e o ponto 𝑃2 tem medida 𝑏 e é chamada de ordenada do ponto 𝑃 l A distância entre a origem e o ponto 𝑃3 tem medida 𝑐 e é chamada de cota do ponto 𝑃 m A origem 𝑂 é associada à terna 000 Seja 𝑃 𝑎 𝑏 𝑐 um ponto do espaço então n Se 𝑃 pertence ao eixo 𝑥 temse que 𝑏 0 e 𝑐 0 13 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância o Se 𝑃 pertence ao eixo 𝑦 temse que 𝑎 0 e 𝑐 0 p Se 𝑃 pertence ao eixo 𝑧 temse que 𝑎 0 e 𝑏 0 q Se 𝑃 pertence ao plano 𝑥𝑦 temse que 𝑐 0 r Se 𝑃 pertence ao eixo 𝑥𝑧 temse que 𝑏 0 s Se 𝑃 pertence ao eixo 𝑦𝑧 temse que 𝑎 0 23 Distância entre dois pontos Dados dois pontos distintos no plano 𝐴𝑥𝐴 𝑦𝐴 e 𝐵𝑥𝐵 𝑦𝐵 queremos calcular a distância entre eles para tal observe o gráfico abaixo 𝑦 𝑦𝐵 𝐵 𝐴 𝑦𝐴 𝐶 𝑥𝐴 𝑂 𝑥𝐵 𝑥 Observe que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo e aplicando o teorema de Pitágoras temos 𝑑𝐴𝐵 2 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦𝐴2 ou de uma forma mais simples 𝑑𝐴𝐵 𝛥𝑥2 𝛥𝑦2 onde 𝛥𝑥 𝑥𝐵 𝑥𝐴 e 𝛥𝑦 𝑦𝐵 𝑦𝐴 De forma análoga dados dois pontos distintos no espaço 𝐴𝑥𝐴 𝑦𝐴𝑧𝐴 e 𝐵𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝑧𝐵 queremos calcular a distância entre eles Sejam 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝐵 𝑑 𝑒 𝑓 pontos do espaço então a distância entre A e B é dada por 𝐷𝐴𝐵 𝑑 𝑎2 𝑒 𝑏2 𝑓 𝑐2 ou de forma mais simples 𝐷𝐴𝐵 𝛥𝑥2 𝛥𝑦2 𝛥𝑧2 14 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância onde 𝛥𝑥 𝑑 𝑎 𝛥𝑦 𝑒 𝑏 e 𝛥𝑧 𝑓 𝑐 A seguir veremos alguns exemplos sobre o cálculo da distância entre dois pontos 1 Calcule a distância entre os pontos 𝐴23 e 𝐵60 Resolução Observe que 𝑥𝐴 2 𝑦𝐴 3 𝑥𝐵 6 e 𝑦𝐵 0 assim temos que 𝛥𝑥 𝑥𝐵 𝑥𝐴 6 2 4 e 𝛥𝑦 𝑦𝐵 𝑦𝐴 0 3 3 Logo temos que a distância entre 𝐴 e 𝐵 será 𝑑𝐴𝐵 𝛥𝑥2 𝛥𝑦2 42 32 16 9 25 5𝑢 Observação Convém destacar que após o cálculo da distância entre dois pontos devemos anotar uma unidade de medida que será representada pela letra 𝑢 2 Calcule a distância entre os pontos 𝐴237 e 𝐵401 Resolução Observe que 𝑥𝐴 2 𝑦𝐴 3 𝑧𝐴 7 𝑥𝐵 4 𝑦𝐵 0 e 𝑧𝐵 1 assim temos que 𝛥𝑥 𝑥𝐵 𝑥𝐴 4 2 2 𝛥𝑦 𝑦𝐵 𝑦𝐴 0 3 3 𝛥𝑦 𝑧𝐵 𝑧𝐴 1 7 6 Logo temos que a distância entre 𝐴 e 𝐵 será 𝑑𝐴𝐵 𝛥𝑥2 𝛥𝑦2 𝛥𝑧2 22 32 62 4 9 36 49 7𝑢 3 Determine o perímetro do triângulo de vértices 𝐴12 𝐵16 e 𝐶46 Resolução Como o perímetro de um triângulo é a soma da medida dos seus lados vamos primeiro calcular a distâncias 𝑑𝐴𝐵 𝑑𝐴𝐶 e 𝑑𝐵𝐶 cujos resultados são as medidas dos lados para depois calcular o perímetro 𝑑𝐴𝐵 02 42 0 16 16 4𝑢 𝑑𝐴𝐶 32 42 9 16 25 5𝑢 𝑑𝐴𝐵 32 02 9 0 9 3𝑢 15 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Logo temos que o perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 será 𝑃 4 5 3 12𝑢 Observe que o cálculo da distância entre dois pontos no espaço é feito de forma análoga à distância entre dois pontos no plano apenas acrescentando os cálculos referentes à coordenada 𝑧 Isto ocorre em geral com os pontos do plano e do espaço por este motivo vamos utilizar o plano para explicar o próximo tópico depois basta acrescentar uma coordenada para resolver problemas no espaço 24 Pontos que dividem um segmento em partes de mesma medida Dados os pontos 𝐴𝑥𝐴 𝑦𝐴 e 𝐵𝑥𝐵 𝑦𝐵 podemos encontrar os pontos 𝐶1 𝐶𝑛 que dividem o segmento 𝐴𝐵 em 𝑛 partes iguais Para exemplificar analisaremos o caso em que dados 𝐴𝑥𝐴 𝑦𝐴 e 𝐵𝑥𝐵 𝑦𝐵 queremos encontrar 𝐶𝑥𝐶 𝑦𝐶 e 𝐷𝑥𝐷 𝑦𝐷 tais que 𝐶 e 𝐷 dividem o segmento 𝐴𝐵 em três partes iguais 𝑦 𝑦𝐴 𝐴 𝑦𝐶 𝐶 𝑦𝐷 𝐷 𝑦𝐵 𝐵 𝑂 𝑥𝐴 𝑥𝐶 𝑥𝐷 𝑥𝐵 𝑥 Uma forma de analisar esse problema é observar que as coordenadas 𝑥𝐴 𝑥𝐶 𝑥𝐷 𝑥𝐵 formam uma progressão aritmética de quatro termos onde o primeiro termo é 𝑎1 𝑥𝐴 o 16 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância segundo termo é 𝑎2 𝑥𝐶 o terceiro termo é 𝑎3 𝑥𝐷 e o quarto termo é 𝑎4 𝑥𝐵 Utilizando a fórmula do termo geral de uma PA podemos calcular 𝑎2 𝑥𝐶 e 𝑎3 𝑥𝐷 Podemos usar a fórmula do termo geral de uma PA é 𝑎𝑛 𝑎1 𝑛 1𝑟 De forma análoga podemos calcular 𝑦𝐶 e 𝑦𝐷 𝑧𝐶 e 𝑧𝐷 se forem pontos do espaço Exemplo 1 Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento 𝐴𝐵 em três partes de mesma medida sendo 𝐴215 e 𝐵572 Resolução Queremos calcular as coordenadas dos pontos 𝐶 e 𝐷 conforme a representação geométrica abaixo Geometricamente podemos representar da seguinte forma 𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 Para calcular 𝑥𝐶 e 𝑥𝐷 considere a seguinte progressão aritmética 𝑎1 2 𝑎2 𝑥𝐶 𝑎3 𝑥𝐷 e 𝑎4 5 então temos que 𝑎4 𝑎1 4 1𝑟 5 2 3𝑟 𝑟𝑥 1 Com isto temos que 𝑎2 𝑎1 2 1𝑟 𝑥𝐶 2 11 𝑥𝐶 3 e ainda 𝑎3 𝑎1 3 1𝑟 𝑥𝐷 2 21 𝑥𝐷 4 Analogamente para calcular 𝑦𝐶 e 𝑦𝐷 considere a seguinte progressão aritmética 𝑎1 1 𝑎2 𝑦𝐶 𝑎3 𝑦𝐷 e 𝑎4 7 então temos que 𝑎4 𝑎1 4 1𝑟 7 1 3𝑟 𝑟𝑦 2 Com isto temos que 𝑎2 𝑎1 2 1𝑟 𝑦𝐶 1 12 𝑦𝐶 3 e ainda 𝑎3 𝑎1 3 1𝑟 𝑦𝐷 1 22 𝑦𝐷 5 Ainda para calcular 𝑧𝐶 e 𝑧𝐷 considere a seguinte progressão aritmética 𝑎1 5 𝑎2 𝑧𝐶 𝑎3 𝑧𝐷 e 𝑎4 2 então temos que 𝑎4 𝑎1 4 1𝑟 2 5 3𝑟 𝑟𝑧 1 17 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Com isto temos que 𝑎2 𝑎1 2 1𝑟 𝑧𝐶 5 1 1 𝑧𝐶 4 e ainda 𝑎3 𝑎1 3 1𝑟 𝑧𝐷 5 2 1 𝑧𝐷 3 Portanto temos que 𝐶 334 e 𝐷 453 são os pontos que dividem o segmento 𝐴𝐵 em três partes de mesma medida Exemplo 2 o ponto C divide o segmento 𝐴𝐵 na razão de 2 para 3 onde 𝐴 5 23 e 𝐵 4512 𝐴 5 23 𝐶 𝑥𝑐 𝑦𝐶 𝐵 4512 Observe que entre A e C tem um ponto e entre C e B tem dois pontos então no total o segmento 𝐴𝐵 será dividido em 5 partes de mesma medida Para calcular 𝑥𝐶 considere a seguinte progressão aritmética onde 𝑎1 5 𝑎3 𝑥𝐶 e 𝑎6 45 então temos que 𝑎6 𝑎1 6 1𝑟 45 5 5𝑟 𝑟𝑥 8 Com isto temos que 𝑎3 𝑎1 3 1𝑟 𝑥𝐶 5 28 𝑥𝐶 21 Para calcular 𝑦𝐶 considere a seguinte progressão aritmética 𝑎1 23 𝑎3 𝑥𝐶 e 𝑎6 12 então temos que 𝑎6 𝑎1 6 1𝑟 12 23 5𝑟 𝑟𝑦 7 Com isto temos que 𝑎3 𝑎1 3 1𝑟 𝑦𝐶 23 27 𝑦𝐶 9 Portanto temos que 𝐶 21 9 é o ponto que divide o segmento 𝐴𝐵 na razão de 2 para 3 18 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 3 VETORES NO ESPAÇO 31 Vetores Estudaremos agora vetores no espaço 𝐼𝑅3 A definição de vetor a seguir independe se é no plano 𝐼𝑅2 ou no espaço 𝐼𝑅3 Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos origem e extremidade Denotaremos por 𝐴𝐵 o segmento orientado de origem em 𝐴 e extremidade em 𝐵 𝐵 𝐴 Sejam 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 dois segmentos orientados então 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴 𝐶 e 𝐵 𝐷 Segmentos orientados nulos são aqueles cuja origem coincide com a extremidade Seja 𝐴𝐵 um segmento orientado então o segmento orientado 𝐵𝐴 dizse oposto de 𝐴𝐵 O comprimento de um segmento orientado é a sua medida e pode ser obtida pela distância entre a sua origem e a sua extremidade Dizemos que dois segmentos orientados 𝐴𝐵 tem a mesma direção se forem paralelos Dados dois segmentos orientados 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 de mesma direção então temos duas possibilidades 19 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância i 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 tem o mesmo sentido 𝐵 𝐷 𝐴 𝐶 ii 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 tem sentidos opostos 𝐵 𝐷 𝐴 𝐶 Dizemos que o segmento orientado 𝐴𝐵 é equipolente ao segmento orientado 𝐶𝐷 se 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 tem o mesmo comprimento sentido e direção Denotaremos por 𝐴𝐵 𝐶𝐷 A relação de equipolência tem as seguintes propriedades i 𝐴𝐵 𝐴𝐵 reflexiva ii 𝐴𝐵 𝐶𝐷 então 𝐶𝐷 𝐴𝐵 simétrica iii 𝐴𝐵 𝐶𝐷 e 𝐶𝐷 𝐸𝐹 então 𝐴𝐵 𝐸𝐹 transitiva iv Dado um segmento orientado 𝐴𝐵 e o ponto 𝐶 existe um único ponto 𝐷 tal que 𝐴𝐵 𝐶𝐷 v Dois segmentos nulos são equipolentes vi Se 𝐴𝐵 𝐶𝐷 então 𝐵𝐴 𝐷𝐶 vii Se 𝐴𝐵 𝐶𝐷 então 𝐴𝐶 𝐵𝐷 As três primeiras propriedades acima garantem que a equipolência é uma relação de equivalência A partir daí podemos definir vetor Chamase vetor determinado por um segmento orientado 𝐴𝐵 o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a 𝐴𝐵 Denotamos por 𝑣 𝐴𝐵 ou 𝐵 𝐴 Dados dois vetores 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 20 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Todos os segmentos nulos são equipolentes entre si e determinam um único vetor nulo 𝑂 Dado um vetor 𝑣 𝐴𝐵 o vetor 𝐵𝐴 é o oposto de 𝐴𝐵 e é indicado por 𝑣 ou 𝐴𝐵 Dado um vetor 𝑣 todos os segmentos orientados que representam 𝑣 tem o mesmo comprimento A este comprimento chamaremos de módulo do vetor 𝑣 e indicaremos por 𝑣 A direção e o sentido de um vetor 𝑣 é a direção e o sentido de qualquer um dos segmentos orientados que o representam Um vetor 𝑣 se diz unitário se 𝑣 1 Chamaremos de versor de um vetor não nulo 𝑣 ao vetor unitário de mesma direção e sentido de 𝑣 Observações Dado um vetor 𝑣 dizemos que ele é um vetor livre sempre que ele pode ser representado por qualquer um segmento orientado de sua classe de equipolência Dizemos que 𝑣 é um vetor aplicado se impusermos que sua origem está em um ponto específico Dois vetores são sempre coplanares O ângulo 𝛩 entre dois vetores é o ângulo entre as suas direções levandose em conta o sentido dos vetores 𝛩 21 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 31 Operações com vetores Dados dois pontos 𝐴 𝑥𝐴 𝑦𝐴 𝑧𝐴 e 𝐵 𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝑧𝐵 no espaço 𝐼𝑅³ ou no plano 𝐼𝑅² podemos e 𝑣 𝐵 𝐴 então 𝑣 𝐵 𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝑧𝐵 𝑧𝐴 Exemplo Dados os pontos 𝐴 231 e 𝐵 517 e sabendo que 𝑣 𝐵 𝐴 determine 𝑣 Resolução 𝑣 𝐵 𝐴 5 21 37 1 3 26 Todos os vetores do plano 𝐼𝑅² serão denotados por pares ordenados e os vetores do espaço 𝐼𝑅³ serão representados por ternas ordenadas ou seja denotaremos como 𝑣 𝑎 𝑏 os vetores do plano e como 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 os vetores do espaço A partir deste momento nos dedicaremos apenas ao estudo de vetores no espaço Assim dado um vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 do espaço podemos representálo sistema de eixos triortogonal da seguinte forma 𝑧 c 𝑣 𝑎 𝑂 𝑏 𝑦 𝑥 Dado um vetor 𝑣 no referencial cartesiano espacial associamos a ele uma única terna ordenada 𝑎 𝑏 𝑐 de números reais 22 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância O módulo tamanho ou intensidade de um vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 é denotado por 𝑣 e é dado pela distância entre a origem referencial triortogonal e o ponto 𝑃 𝑎 𝑏 𝑐 ou seja 𝑣 𝑎2 𝑏2 𝑐2 Exemplo calcule o módulo do vetor 𝑣 23 6 Resolução 𝑣 22 32 62 4 9 36 49 7 Um vetor é dito unitário se ele tem módulo igual a 1 Chamamos de versor de um vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 a um novo vetor obtido a partir de 𝑣 com a mesma direção e o mesmo sentido de 𝑣 e com módulo igual a 1 Assim o versor de um vetor 𝑣 pode ser obtido por meio da fórmula 𝑣 𝑣 Observação Até este momento denotamos um vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 e um ponto 𝑃 𝑎 𝑏 𝑐 da mesma foram por meio de ternas ordenadas e isto pode causar alguma confusão este problema poderá ser resolvido por meio do uso da combinação linear de vetores de uma base especial Isto será visto a seguir 23 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 32 Combinação linear de vetores Soma de vetores Dados dois vetores 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑢 𝑑 𝑒 𝑓 a soma dos vetores 𝑣 e 𝑢 como sendo um novo vetor 𝑠 definido da seguinte forma 𝑠 𝑣 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑑 𝑏 𝑒 𝑐 𝑓 Produto de vetor por número real dado um vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 e um número real 𝛼 o produto 𝛼 𝑣 é um novo vetor 𝑝 definido da seguinte forma 𝑝 𝛼 𝑣 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼 𝑎 𝛼 𝑏 𝛼 𝑐 Dados n vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 e n números reais 𝛼1 𝛼2 𝛼𝑛 chamamos de combinação linear dos vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 a um novo vetor 𝑤 definido da seguinte forma 𝑤 𝛼1 𝑣1 𝛼2 𝑣2 𝛼𝑛 𝑣𝑛 Observação Uma combinação linear de vetores é a soma de produtos de vetores com números reais Se considerarmos 𝑖 100 𝑗 010 e 𝑘 001 então também podemos escrever um vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 como 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎100 𝑏010 𝑐001 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑘 O conjunto 𝐶𝑎𝑛 𝑖 𝑗 𝑘 é dita a base canônica do espaço 𝑧 𝑘 𝑣 𝑖 𝑗 𝑦 𝑥 24 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplo Calcule a combinação linear dada por 𝑤 2 𝑣 3 𝑢 sabendo que 𝑣 21 3 e 𝑢 10 3 Resolução 𝑤 2 𝑣 3 𝑢 221 3 3103 42 6 309 723 33 Conjuntos LD e conjuntos LI Um conjunto 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 de vetores no espaço é dito linearmente dependente LD se existirem 𝛼1 𝛼2 𝛼𝑛 𝐼𝑅 tais que 𝛼1 𝑣1 𝛼2 𝑣2 𝛼𝑛 𝑣𝑛 0 Caso contrário o conjunto é dito linearmente independente LI Na prática procederemos da seguinte forma a Se o vetor nulo 𝑜 000 pertencer ao conjunto então o conjunto será sempre LD b Se o conjunto possuir quatro ou mais vetores então o conjunto será sempre LD c Se o conjunto possuir um único vetor não nulo então o conjunto será sempre LI d Se o conjunto possuir apenas dois vetores 𝑢 𝑣 o conjunto será LD se um vetor for múltiplo do outro ou seja se existir um 𝛼 𝐼𝑅 tal que 𝑢 𝛼 𝑣 neste caso dizemops que 𝑢 e 𝑣 são paralelos em símbolos 𝑢 𝑣 Caso contrário o conjunto será LI e Se o conjunto 𝑢 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑣 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑤 𝑎3 𝑏3 𝑐3 tiver exatamente três vetores o conjunto será LD se o determinante 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎3 𝑏3 𝑐3 0 25 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Neste caso dizemos que os vetores 𝑢𝑣 e 𝑤 são coplanares Caso contrário o conjunto será LI Exemplos a O conjunto 𝐴 𝑢 135 𝑣 000 𝑤 231 é LD pois o vetor nulo está contido em 𝐴 b O conjunto 𝐵 𝑢 100 𝑣 231 é LI pois tem dois vetores que não são múltiplos entre si c O conjunto 𝐶 𝑢 462 𝑣 231 é LD pois o vetor 𝑢 é múltiplo do vetor 𝑣 as coordenadas de 𝑢 𝑠ão todas o dobro das coordenadas de 𝑣 d O conjunto 𝐷 𝑢 335 é LI pois tem apenas um vetor e O conjunto 𝐶𝑎𝑛 𝑖 100 𝑗 010 𝑘 001 é LI pois tem três vetores e o determinante 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 f O conjunto 𝐸 𝑢 462 𝑣 231 𝑤 001 é LD pois tem três vetores e o determinante 4 6 2 2 3 1 0 0 1 0 g O conjunto 𝐸 𝑢 462 𝑣 231 𝑤 001 𝑟 311 é LD pois tem quatro vetores Observação Todo conjunto LI com três vetores do 𝐼𝑅³ também é dito uma base do 𝐼𝑅³ mas 𝐶𝑎𝑛 𝑖 100 𝑗 010 𝑘 001 é dita a base canônica do 𝐼𝑅³ por ser a mais importante entre todas as bases do 𝐼𝑅³ 26 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 4 PRODUTO ESCALAR 41 Definição e propriedades Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 dois vetores do espaço Chamamos de produto escalar dos vetores 𝑢 e 𝑣 o número real assim definido 𝑢 𝑣 𝑎𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑓 Exemplos 1 Se 𝑢 231 e 𝑣 311 então 𝑢 𝑣 2 3 3 1 1 1 6 3 1 2 2 Se 𝑢 131 e 𝑣 11 4 então 𝑢 𝑣 1 1 3 1 1 4 1 3 4 14 3 Se 𝑢 13 2 então 𝑢 𝑢 1 1 3 3 2 2 1 9 4 14 Podemos observar que no exemplo 2 temos dois vetores não nulos cujo produto vetorial é zero isto é muito comum e para que isto aconteça é preciso que exista uma relação especial entre eles Veremos isto mais adiante Do último exemplo acima podemos notar que o produto 𝑢 𝑢 em relação ao vetor dado é um número real não negativo isto ocorre sempre independente do vetor escolhido Mais precisamente temos as propriedades descritas a seguir 27 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 1ª Propriedade Seja 𝑢 um vetor do espaço então 𝑢 𝑢 0 e 𝑢 𝑢 0 𝑢 𝑜 Isto é o produto vetorial de dois vetores iguais no espaço é um número real não negativo e este produto será igual a zero se e somente se o vetor for o vetor nulo Para demonstrarmos esta propriedade observe que se 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 é um vetor do espaço então 𝑢 𝑢 𝑎2 𝑏2 𝑐2 Como 𝑎2 𝑏2 e 𝑐2 são números reais não negativos então 𝑢 𝑢 0 Para provarmos que 𝑢 𝑢 0 𝑢 𝑜 basta observarmos que 𝑢 𝑢 0 implica que 𝑎2 𝑏2 𝑐2 0 Da observação acima podemos concluir que 𝑎 𝑏 𝑐 0 e isto por sua vez implica que 𝑢 𝑜 2ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 dois vetores do espaço então 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 A demonstração desta propriedade é bem simples pois 𝑢 𝑣 𝑎𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑓 e 𝑣 𝑢 𝑑𝑎 𝑒𝑏 𝑓𝑐 e como 𝑑𝑎 𝑎𝑑 𝑒𝑏 𝑏𝑒 e 𝑓𝑐 𝑐𝑓 pois são números reais temos que 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 3ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 e 𝑤 𝑔 ℎ 𝑖 vetores do espaço então 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 Para provarmos esta propriedade basta observar que 28 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑢 𝑣 𝑤 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑔 𝑒 ℎ 𝑓 𝑖 𝑎𝑑 𝑎𝑔 𝑏𝑒 𝑏ℎ 𝑐𝑓 𝑐𝑖 𝑎𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑓 𝑎𝑔 𝑏ℎ 𝑐𝑖 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 4ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 vetores do espaço e 𝑘 um número real então 𝑘 𝑢 𝑣 𝑘 𝑢 𝑣 𝑢 𝑘𝑣 Para provarmos esta propriedade basta observar que 𝑘 𝑢 𝑣 𝑘 𝑎𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑓 𝑘𝑎𝑑 𝑘𝑏𝑒 𝑘𝑐𝑓 𝑘𝑎 𝑑 𝑘𝑏 𝑒 𝑘𝑐 𝑓 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑘𝑢 𝑣 Analogamente temos que 𝑘 𝑢 𝑣 𝑘 𝑎𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑓 𝑘𝑎𝑑 𝑘𝑏𝑒 𝑘𝑐𝑓 𝑎 𝑘𝑑 𝑏 𝑘𝑒 𝑐 𝑘𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘𝑑 𝑘𝑒 𝑘𝑓 𝑢 𝑘𝑣 5ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 um vetor do espaço então 𝑢 𝑢 𝑢 2 Para a prova observe que se 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 então 𝑢 𝑢 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎2 𝑏2 𝑐2 2 𝑢 2 6ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑜 e 𝑣 𝑜 vetores do espaço então 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 onde 𝜃 é o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 com 0 𝜃 180º Para a prova observe que geometricamente temos 29 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑢 𝑢 𝑣 𝜃 𝑣 Usando a lei dos cossenos temos que i 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 Por outro lado ii 𝑢 𝑣 2 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣 De i e ii temos que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 Assim da 6ª propriedade temos que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 e do fato que 𝑢 e 𝑣 são números reais podemos escrever que 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 e com isto como 0 𝜃 180º 𝜃 é dado de modo único por 𝜃 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 30 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplo Calcular o ângulo agudo entre os vetores 𝑢 043 e 𝑣 212 Resolução Observe que 𝑢 02 42 32 5 e 𝑣 22 12 22 3 daí temos que 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 024132 53 10 15 2 3 Logo 𝜃 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 3 𝜃 4919º 48º 11 23 Agora estudaremos os ângulos formados entre um vetor do espaço e os eixos coordenados os quais serão chamados de ângulos diretores Para calcular o ângulo diretor entre um vetor dado e o eixo x basta calcular o ângulo entre o vetor dado e o vetor 𝑖 100 Analogamente para calcular o ângulo entre o vetor dado e o eixo y usamos o vetor 𝑗 010 e com o eixo z usamos o vetor 𝑘 001 Exemplo Calcular os ângulos diretores do vetor 𝑢 22 1 Resolução Sejam 𝛼 𝛽 e 𝛾 os ângulos diretores de 𝑢 Observe que 𝑢 3 𝑖 1 𝑗 1 e 𝑘 1 Além disto temos que 𝑢 𝑖 2 𝑢 𝑗 2 e 𝑢 𝑘 1 Assim 31 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑐𝑜𝑠 𝛼 2 3 𝑐𝑜𝑠 𝛽 2 3 e 𝑐𝑜𝑠 𝛾 1 3 Logo temos que 𝛼 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 3 𝛽 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 3 e 𝛾 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 1 3 𝛼 4819º 48º 11 23 𝛽 4819º 48º 11 23 e 𝛾 10947º 109º 28 16 Observemos que se o ângulo entre dois vetores não nulos do espaço é 90º devemos ter que o cosseno deste ângulo é zero Com isto temos a seguinte regra Sejam 𝑢 𝑜 e 𝑣 𝑜 vetores do espaço então 𝑢 𝑣 0 𝜃 90º A regra acima é chamada de condição de ortogonalidade de dois vetores Quando dois vetores 𝑢 𝑜 e 𝑣 𝑜 são ortogonais denotamos 𝑢 𝑣 Problema Dados os vetores 𝑢 e 𝑣 do espaço desejase encontrar um novo vetor 𝑐 do espaço que satisfaça as seguintes propriedades i 𝑐 𝑢 isto é 𝑐 é paralelo a 𝑢 ii 𝑢 𝑐 𝑣 isto é 𝑢 𝑐 é ortogonal a 𝑣 O vetor 𝑐 que satisfaz a estas propriedades é dito de vetorcomponente de 𝑢 na direção de 𝑣 Para calcularmos o vetor 𝑐 utilizamos a seguinte fórmula 32 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑐 𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 Observe que o vetor 𝑐 calculado com esta fórmula tem as propriedades acima pois i Fazendo 𝑘 𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 observamos que 𝑘 é um número real logo 𝑐 𝑘 𝑣 e portanto 𝑐 𝑣 ii 𝑢 𝑐 𝑣 𝑢 𝑘 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑘 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 0 e portanto 𝑢 𝑐 𝑣 Exemplo Calcular o vetorcomponente de 𝑢 043 na direção do vetor 𝑣 212 Resolução Observe que 𝑢 𝑣 10 e 𝑣 𝑣 9 com isto temos que 𝑐 𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 10 9 212 20 9 10 9 20 9 Observe que a 𝑐 𝑢 pois 𝑐 foi calculado multiplicando 𝑣 por 10 9 b 𝑢 𝑐 𝑣 pois 𝑢 𝑐 043 20 9 10 9 20 9 20 9 26 9 7 9 e ainda 20 9 26 9 7 9 212 40 9 26 9 14 9 0 33 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 5 PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO 51 Produto vetorial Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 dois vetores do espaço Chamamos de produto escalar dos vetores 𝑢 e 𝑣 a um novo vetor assim definido pelo seguinte determinante 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 Lembrando que 𝑖 100 𝑗 010 e 𝑘 001 Exemplo Se 𝑢 231 e 𝑣 311 então 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 2 3 1 3 1 1 3𝑖 3 𝑗 2𝑘 1𝑖 2𝑗 9 𝑘 2𝑖 5𝑗 11𝑘 2 511 1ª Propriedade Seja 𝑢 𝑜 um vetor do espaço então 𝑢 ʌ 𝑢 𝑜 Tal propriedade decorre simplesmente o fato de que neste caso determinante que define o produto vetorial apresenta duas linhas iguais Seja 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 então 𝑢 ʌ 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 0𝑖 0𝑗 0𝑘 000 𝑜 34 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 2ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 vetores do espaço então 𝑢 ʌ 𝑣 𝑣 ʌ 𝑢 Tal propriedade decorre simplesmente o fato do determinante com duas linhas trocadas de lugar tem resultados com sinas diferentes assim 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 𝑘 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 ʌ 𝑢 3ª Propriedade Sejam os vetores 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 e 𝑤 𝑔 ℎ 𝑚 𝑜 do espaço então 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 𝑢 ʌ 𝑢 𝑢 ʌ 𝑤 Esta propriedade garante que o produto vetorial tem a propriedade distributiva em relação à soma de vetores e decorre de 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑔 𝑒 ℎ 𝑓 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 ℎ 𝑚 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 ʌ 𝑤 4ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 vetores do espaço e 𝑘 𝐼𝑅 um número real então 𝑚 𝑢 ʌ 𝑣 𝑚 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 ʌ𝑚 𝑣 Essa propriedade é dita associativa com número real e decorre do fato de que ao multiplicarmos uma linha de um determinante por um número real o resultado do determinante é multiplicado por este mesmo número assim 𝑖 𝑚 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑎 𝑚 𝑏 𝑚 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑚 𝑢 ʌ 𝑣 35 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑖𝑖 𝑚 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑑 𝑚 𝑒 𝑚 𝑓 𝑢 ʌ 𝑚 𝑣 5ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 vetores do espaço então 𝑖 𝑢 ʌ 𝑜 𝑜 𝑖𝑖 𝑢 ʌ 𝑣 𝑜 𝑢 𝑣 Para demostrar esta propriedade basta observar que 𝑖 𝑢 ʌ 𝑜 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 0 0 0 0𝑖 0𝑗 0𝑘 000 𝑜 𝑖𝑖 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 implica que 𝑢 é múltiplo de 𝑣 e portanto 𝑢 𝑣 Por outro lado se 𝑢 𝑣 então 𝑢 é um múltiplo de 𝑣 e com isto 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 6ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 vetores do espaço então 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 e 𝑢 ʌ 𝑣 𝑣 Geometricamente podemos representar esta propriedade como 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 𝑣 36 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Esta propriedade garante que o vetor obtido pelo produto vetorial é ortogonal ao vetor 𝑢 e ao vetor 𝑣 ou seja 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 e 𝑢 ʌ 𝑣 𝑣 Para provar esta propriedade basta verificar que 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 0 pois 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 0 é análogo 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏𝑓 𝑐𝑒 𝑎𝑓 𝑐𝑑 𝑎𝑒 𝑏𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑓 𝑎𝑐𝑒 𝑎𝑓𝑏 𝑐𝑑𝑓 𝑎𝑒𝑐 𝑏𝑑𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 0 Exemplo Sejam 𝑢 231 e 𝑣 311 verifique que 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 e 𝑢 ʌ 𝑣 𝑣 Resolução Vimos que 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 2 3 1 3 1 1 3𝑖 3𝑗 2𝑘 1𝑖 2𝑗 9𝑘 2𝑖 5𝑗 11𝑘 2 511 Agora basta verificar que a 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 0 de fato 2 511 231 4 15 11 0 b 𝑢 ʌ 𝑣 𝑣 0 de fato 2 511 311 6 5 11 0 7ª Propriedade Sejam 𝑢 𝑜 e 𝑣 𝑜 vetores do espaço então 𝑢 ʌ 𝑣 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Como podemos calcular com menos trabalho o ângulo entre dois vetores usando a 6ª propriedade do produto escalar esta propriedade foi enunciada apenas para o conhecimento da sua existência 37 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Por fim o produto vetorial também pode ser usado para calcular a área de um paralelogramo da seguinte forma 𝑢 𝑣 𝐴 𝑢 ʌ 𝑣 Exemplo Calcule o volume do paralelogramo formado a partir dos vetores 𝑢 231 e 𝑣 311 Resolução Vimos que 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 2 3 1 3 1 1 3𝑖 3𝑗 2𝑘 1𝑖 2𝑗 9𝑘 2𝑖 5𝑗 11𝑘 2 511 Como 𝐴 𝑢 ʌ 𝑣 então 𝐴 22 52 112 150 Observação A área do triângulo definido por 𝑢 e 𝑣 é a metade da área do paralelogramo 38 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 52 Produto misto Sejam os vetores 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 e 𝑤 𝑔 ℎ 𝑚 𝑜 do espaço definimos o produto misto entre os vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 como sendo o determinante 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑚 O Resultado do produto misto é um número real Como o produto misto é o resultado do produto escalar entre o resultado de um produto vetorial entre dois vetores e um terceiro vetor ele herda algumas propriedades dos produtos escalar e vetorial Listaremos as mais importantes Como 𝑢 𝑥 𝑣 ʌ 𝑤 não faz sentido pois não podemos fazer o produto vetorial com o resultado de um produto escalar então podemos escrever o produto misto sem parênteses da seguinte forma 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 1ª Propriedade Sejam os vetores 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 e 𝑤 𝑔 ℎ 𝑚 𝑜 do espaço então a permutação entre dois vetores troca o sinal do resultado do produto misto ou seja 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 𝑣 ʌ 𝑢 𝑤 𝑣 ʌ 𝑤 𝑢 𝑤 ʌ 𝑣 𝑢 𝑤 ʌ 𝑢 𝑣 𝑢 ʌ 𝑤 𝑣 Esta propriedade decorre do fato de que ao trocarmos duas linhas de um determinante o resultado troca de sinal 2ª Propriedade Considere os vetores do espaço 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑜 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 𝑜 e 𝑤 𝑔 ℎ 𝑚 𝑜 do espaço o módulo do produto misto entre os vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 é igual ao volume do paralelepípedo definido por eles geometricamente temos 𝑤 𝑢 39 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑣 𝑉𝑃 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 Exemplo Calcule o volume do paralelepípedo formado a partir dos vetores 𝑢 231 e 𝑣 211 e 𝑤 111 Resolução Como 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 2 3 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 1 6 2 2 Logo 𝑉𝑃 𝑢 ʌ 𝑣 𝑤 2 2 40 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 6 RETA E PLANO NO ESPAÇO Neste capítulo estudaremos os tipos de equações que caracterizam as retas e os planos no espaço estes entes geométricos são de grande importância para o desenvolvimento da Geometria Analítica 61 A reta no espaço Considere um vetor aplicado não nulo 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 do espaço com origem no ponto 𝐴 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑋 𝑣 𝐴 Considere agora um ponto 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 sobre a reta suporte do vetor 𝑣 isto é a reta que passa pelo ponto A e tem a direção do vetor 𝑣 Observe que o vetor 𝑋 𝐴 de origem em 𝐴 e extremidade em 𝑋 é paralelo o vetor 𝑣 e ambos 𝑋 𝐴 e 𝑣 possuem a mesma origem Logo existe u número real não nulo 𝑚 tal que 𝑋 𝐴 𝑚 𝑣 ou seja 𝑋 𝐴 𝑚 𝑣 A equação obtida acima é chamada de equação vetorial paramétrica da reta no espaço 41 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplo Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto 𝐴 123 e que tem a direção do vetor 𝑣 212 Resolução Sejam 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 um ponto qualquer da reta pedida então existe um número real não nulo 𝑘 tal que 𝑥 𝑦 𝑧 123 𝑚 212 Ou ainda 𝑋 123 𝑚 212 A partir da equação vetorial paramétrica da reta podemos encontrar outras formas de representar uma reta através de equações A seguir descreveremos estas formas 1ª Equações cartesianas paramétricas Considere a equação da paramétrica da reta 𝑋 𝐴 𝑚 𝑣 temos que 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e 𝑚 é um número real não nulo Trabalhando com uma coordenada de cada vez Temse que 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑚 𝑎 𝑏 𝑐 Daí 𝑥 𝑥0 𝑚 𝑎 𝑦 𝑦0 𝑚 𝑏 𝑧 𝑧0 𝑚 𝑐 O sistema acima é chamado de sistema das equações cartesianas paramétricas da reta 42 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplo Determine as equações cartesianas paramétricas da reta de equação paramétrica 𝑥 𝑦 𝑧 123 𝑚 212 Resolução O sistema de equações cartesianas paramétricas da reta acima é 𝑥 1 2 𝑚 𝑦 2 𝑚 𝑧 3 2 𝑚 2ª Equações reduzidas da reta Observe o sistema obtido com as equações cartesianas paramétricas da reta 𝑥 𝑥0 𝑚 𝑎 𝑦 𝑦0 𝑚 𝑏 𝑧 𝑧0 𝑚 𝑐 Sempre que pelo menos uma das coordenadas do vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 não for nula por exemplo a coordenada c na terceira equação podemos isolar o 𝑚 a partir desta equação e assim obter por exemplo 𝑚 𝑧𝑧0 𝑐 A partir daí podemos substituir a expressão encontrada para 𝑚 nas outras duas equações no nosso exemplo temos após fazermos a distributiva 𝑥 𝑥0 𝑧 𝑧0 𝑐 𝑎 𝑥0 𝑎 𝑧0 𝑐 𝑎𝑧 𝑐 𝑦 𝑦0 𝑧 𝑧0 𝑐 𝑏 𝑦0 𝑏 𝑧0 𝑐 𝑏𝑧 𝑐 Considerando 𝑝 𝑥0 𝑎𝑧0 𝑐 𝑞 𝑎 𝑐 𝑟 𝑦0 𝑏𝑧0 𝑐 e 𝑠 𝑏 𝑐 temos que 43 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑥 𝑝 𝑞 𝑧 𝑦 𝑟 𝑠 𝑧 O sistema acima é chamado de sistema das equações reduzidas da reta no espaço Exemplo Determine as equações reduzidas da reta de equação paramétrica 𝑥 𝑦 𝑧 123 𝑚 212 Resolução Vimos no exemplo anterior que o sistema de equações cartesianas paramétricas da reta acima é 𝑥 1 2 𝑚 𝑦 2 𝑚 𝑧 3 2 𝑚 Isolando 𝑚 na última equação temos que 𝑚 𝑧3 2 Substituindo nas outras equações temos 𝑥 1 2 𝑧3 2 𝑦 2 1 𝑧3 2 ou seja fazendo a distributiva 𝑥 2 𝑧 𝑦 1 2 1 2 𝑧 3ª Equações simétricas Considerando novamente as equações cartesianas paramétricas da reta 𝑥 𝑥0 𝑚 𝑎 𝑦 𝑦0 𝑚 𝑏 𝑧 𝑧0 𝑚 𝑐 44 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Podemos isolar 𝑚 em todas as equações sempre que todas as coordenadas do vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 não forem nulas e assim obter 𝑥𝑥0 𝑎 𝑦𝑦0 𝑏 𝑧𝑧0 𝑐 As equações acima são chamadas de equações simétricas a reta Observação A área do triângulo definido por 𝑢 e 𝑣 é a metade da área do paralelogramo Observação Quando ocorrer de uma ou duas coordenadas do vetor 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 forem nulas por exemplo a coordenada 𝑎 as equações simétricas da reta serão 𝑥 𝑥0 𝑦𝑦0 𝑏 𝑧𝑧0 𝑐 Exemplo Determine as equações simétricas da reta de equação paramétrica 𝑥 𝑦 𝑧 123 𝑚 212 Resolução As equações cartesianas desta reta são dadas por 𝑥 1 2 𝑚 𝑦 2 𝑚 𝑧 3 2 𝑚 Isolando 𝑚 em todas as equações acima temos 𝑥 1 2 𝑦 2 𝑧 3 2 45 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 62 O plano no espaço Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 pontos do espaço Da teoria da Geometria euclidiana estes três pontos definem um único plano no espaço Sejam 𝑢 𝐵 𝐴 𝑣 𝐶 𝐴 dois vetores do espaço e 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 um ponto qualquer do espaço distinto de 𝐴 Observe a representação geométrica 𝐵 𝑋 𝑢 𝐴 𝐶 𝑣 Observe que 𝑋 𝐴 𝑢 e 𝑣 são linearmente independentes pois são três vetores coplanares Logo podemos escrever o vetor 𝑋 𝐴 como combinação linear ou seja existem dois números reais não simultaneamente nulos 𝑘 e 𝑚 tais que 𝑋 𝐴 𝑘 𝑢 𝑚 𝑣 Daí isolando X temos que 𝑋 𝐴 𝑘 𝑢 𝑚 𝑣 A equação obtida acima é chamada de equação vetorial paramétrica do plano Exemplo Determinar a equação vetorial paramétrica do plano definido pelos pontos 𝐴 121 𝐵 232 e 𝐶 334 Resolução Seja 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 um ponto qualquer do plano pedido Temos que 𝑢 𝐵 𝐴 111 e 𝑣 𝐶 𝐴 213 46 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância A equação vetorial paramétrica do plano será 𝑥 𝑦 𝑧 121 𝑘 111 𝑚 213 A partir da equação vetorial paramétrica do plano podemos obter outras formas de representar um plano através de equações Veremos a primeira delas 1ª Equações cartesianas paramétricas Sejam 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 Então a equação vetorial paramétrica da reta é dada por 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑑 𝑒 𝑓 Assim as equações cartesianas paramétricas do plano são dadas por 𝑥 𝑥0 𝑘 𝑎 𝑚 𝑑 𝑦 𝑦0 𝑘 𝑏 𝑚 𝑒 𝑧 𝑧0 𝑘 𝑐 𝑚 𝑓 Exemplo Determinar as equações cartesianas paramétricas do plano dado pela equação 𝑥 𝑦 𝑧 121 𝑘 111 𝑚 213 Resolução De modo direto trabalhando com uma coordenada de cada vez temos que as equações cartesianas paramétricas do plano são dadas por 𝑥 1 𝑘 2 𝑚 𝑦 2 𝑘 1 𝑚 𝑧 1 𝑘 3 𝑚 2ª Equação geral do plano Considere o plano cuja equação vetorial paramétrica é 47 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑋 𝐴 𝑘 𝑢 𝑚 𝑣 onde 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 Observe que os vetores 𝑋 𝐴 𝑢 e 𝑣 são coplanares Logo da condição de coplanaridade de três vetores temos que 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 𝑧 𝑧0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 0 Da resolução deste determinante temos que 𝑏𝑓 𝑐𝑒𝑥 𝑐𝑑 𝑎𝑓𝑦 𝑎𝑒 𝑏𝑑 𝑐𝑒 𝑏𝑓𝑥0 𝑎𝑓 𝑐𝑑𝑦0 𝑏𝑑 𝑎𝑒𝑧0 0 Fazendo 𝑏𝑓 𝑐𝑒 𝑎0 𝑐𝑑 𝑎𝑓 𝑏0 𝑎𝑒 𝑏𝑑 𝑐0 e 𝑐𝑒 𝑏𝑓𝑥0 𝑎𝑓 𝑐𝑑𝑦0 𝑏𝑑 𝑎𝑒𝑧0 𝑑0 Temos que 𝑎0𝑥 𝑏0𝑦 𝑐0𝑧 𝑑0 0 A equação acima é chamada equação geral do plano Exemplo Determine a equação geral do plano que possui equação vetorial paramétrica 𝑥 𝑦 𝑧 121 𝑘 111 𝑚 213 Resolução Como 𝑋 𝐴 𝑥 1 𝑦 2 𝑧 1 𝑢 111 e 𝑣 213 daí 48 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑥 1 𝑦 2 𝑧 1 1 1 1 2 1 3 0 Resolvendo o determinante temos que 3𝑥 3 2𝑦 4 𝑧 1 𝑥 1 3𝑦 6 2𝑧 2 0 ou seja 2𝑥 𝑦 𝑧 1 0 3ª Equação segmentaria do plano Considere o plano de equação geral 𝑎0𝑥 𝑏0𝑦 𝑐0𝑧 𝑑0 0 Isolando 𝑎0𝑥 𝑏0𝑦 𝑐0𝑧 na equação geral temse que 𝑎0𝑥 𝑏0𝑦 𝑐0𝑧 𝑑0 1 Logo podemos escrever 𝑥 𝑑0 𝑎0 𝑦 𝑑0 𝑏0 𝑧 𝑑0 𝑐0 1 Fazendo 𝑝 𝑑0 𝑎0 𝑞 𝑑0 𝑏0 e 𝑟 𝑑0 𝑐0 temos que 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 𝑧 𝑟 1 A equação acima é a equação segmentaria do plano Exemplo Determine a equação segmentaria do plano de equação geral 2𝑥 𝑦 𝑧 1 0 49 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Resolução A partir da equação gral podemos fazer 2𝑥 𝑦 𝑧 1 0 2𝑥 𝑦 𝑧 1 1 𝑥 1 2 𝑦 1 𝑧 1 1 Uma observação importante sobre a equação segmentaria do plano no espaço 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 𝑧 𝑟 1 é que os pontos onde o plano intercepta os eixos coordenados são exatamente 𝑝 00 0 𝑞 0 e 00 𝑟 4ª Equação normal do plano Sejam A um ponto de um plano 𝛼 e um vetor 𝑛 que tem a propriedade de ter direção normal ao plano Considere 𝑋 um ponto qualquer desse plano 𝑛 𝐴 𝑋 𝛼 Logo temse que 𝑋 𝐴 e 𝑛 são ortogonais e das propriedades do produto escalar temse que 𝑋 𝐴 𝑛 0 A equação acima é chamada de equação normal do plano 50 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Observação Se o plano 𝛼 tem equação 𝑎0𝑥 𝑏0𝑦 𝑐0𝑧 𝑑0 0 então o vetor 𝑛 𝑎0 𝑏0 𝑐0 é naturalmente um vetor normal ao plano 𝛼 Exemplo Determine a equação geral do plano a partir da equação normal do plano que passa pelo ponto 𝐴 123 e que tem o vetor 𝑛 245 como um vetor normal Resolução Seja 𝑋 𝑥 𝑦 𝑧 Aplicando diretamente a fórmula da equação normal do plano temos que 𝑋 𝐴 𝑛 0 𝑥 1 𝑦 2 𝑧 3 245 0 2𝑥 2 4𝑦 8 5𝑧 15 0 2𝑥 4𝑦 5𝑧 25 0 Logo a equação do plano procurado é 2𝑥 4𝑦 5𝑧 25 0 51 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 7 POSIÇÕES RELATIVAS 1ª PARTE Nos capítulos 7 e 8 estudaremos posições relativas entre os entes da geometria pontos retas e planos Para começarmos observaremos que um dado um ponto ele pode ou não pertencer a uma reta ou a um plano Para que um ponto 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 pertença a uma reta ou a um plano basta que as coordenadas do ponto quando substituídas na equação da reta ou do plano satisfaçam a tal equação Exemplo 1 O ponto 𝐴 213 pertence à reta de equação vetorial paramétrica 𝑟 𝑋 334 𝑚121 pois se tomarmos as equações cartesianas paramétricas 𝑥 3 1𝑚 𝑦 3 2𝑚 𝑧 4 1𝑚 verificamos que as coordenadas de em 𝐴 em 𝑟 temos 2 3 1𝑚 m 1 1 3 2𝑚 m 1 3 4 1𝑚 m 1 Em todas as três equações acima temos que m 1 é único e portanto 𝐴 𝑟 Exemplo 2 O ponto 𝐵 232 pertence à reta de equação vetorial paramétrica 𝑟 𝑋 334 𝑚121 pois se tomarmos as equações cartesianas paramétricas 𝑥 3 1𝑚 𝑦 3 2𝑚 𝑧 4 1𝑚 verificamos que as coordenadas de em 𝐵 em 𝑟 temos 2 3 1𝑚 m 1 3 3 2𝑚 m 0 2 4 1𝑚 m 2 52 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Em todas as três equações acima temos que o valor de 𝑚 não é único o que é um absurdo e portanto 𝐵 𝑟 Exemplo 3 O ponto 𝐶 2 11 pertence ao plano 𝛼 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 pois se substituirmos as coordenadas de 𝐶 em 𝛼 termos 22 3 1 1 4 3 1 0 Logo podemos escrever 𝐶 𝛼 Exemplo 4 O ponto 𝐷 111 pertence ao plano 𝛼 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 pois se substituirmos as coordenadas de 𝐶 em 𝛼 termos 21 31 1 2 3 1 4 0 Logo podemos escrever 𝐶 𝛼 71 Posição relativa entre duas retas Dadas duas retas no espaço 𝑟 𝑋 𝐴 𝑚 𝑢 e 𝑠 𝑋 𝐵 𝑡 𝑣 elas podem estar em uma das quatro posições relativas entre si abaixo a Elas podem ser reversas quando não existe um plano que as contenha 𝑟 𝛼 𝛽 𝑠 b Elas podem ser coplanares coincidentes quanto a interseção entre elas é a reta toda 𝛼 53 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑟 𝑠 c Elas podem ser coplanares paralelas quando existe um plano que as contenham mas elas não se interceptam 𝛼 𝑟 𝑠 d Elas podem ser coplanares concorrentes quando existe um plano que as contenham e elas se interceptam em um ponto I 𝛼 𝐼 𝑟 𝑠 Para determinarmos qual é a posição relativa entre duas retas devemos proceder da seguinte forma 1º passo calcular o vetor 𝐵 𝐴 2º passo calcular o produto misto entre 𝑢 𝑣 e 𝐵 𝐴 e verificar o resultado a Se o resultado do produto misto for diferente de zero então as retas são reversas b Se o resultado do produto misto for igual a zero então as retas são coplanares e devemos realizar o 3º passo 54 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 3º passo verificar se os vetores 𝑢 e 𝑣 são paralelos ou não para isso devemos calcular 𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑢 𝑦𝑣 e 𝑧𝑢 𝑧𝑣 e verificar o resultado a Se ao menos um resultado for diferente significa que os vetores não são paralelos e então as retas são concorrentes e devemos calcular o ponto de interseção I igualando as equações de 𝑟 e 𝑠 b Se os três resultados forem iguais significa que os vetores são paralelos e então devemos verificar se os vetores 𝑢 e 𝐵 𝐴 são paralelos ou não para isso devemos realizar o 4º passo 4º passo verificar se os vetores 𝑢 e 𝐵 𝐴 são paralelos ou não para isso devemos calcular 𝑥𝑢 𝑥𝐵𝐴 𝑦𝑢 𝑦𝐵𝐴 e 𝑧𝑢 𝑧𝐵𝐴 a Se os três resultados forem iguais então as retas são coincidentes b Se ao menos um resultado for diferente as retas são paralelas Observação Devemos ter cuidado ao realizar o 3º e o 4º passo quando ao menos uma das coordenadas de 𝑣 ou de 𝐵 𝐴 for igual a zero pois é proibido dividir por zero Vamos fazer um exemplo de cada caso 1º exemplo Verificar a posição relativa entre as retas abaixo 𝑟 𝑋 112 𝑚 222 e 𝑠 𝑋 231 𝑡 10 0 Resolução Devemos calcular o 1º passo 𝐵 𝐴 231 112 12 1 Agora vamos calcular o produto misto 2º passo 𝑢 ʌ 𝑣 𝐵 𝐴 2 2 2 2 3 1 1 2 1 6 2 8 6 4 4 2 0 Logo as retas são reversas 2º exemplo Verificar a posição relativa entre as retas abaixo 55 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑟 𝑋 112 𝑚 222 e 𝑠 𝑋 231 𝑡 444 Resolução Devemos calcular o 1º passo 𝐵 𝐴 231 112 12 1 Agora vamos calcular o produto misto 2º passo 𝑢 ʌ 𝑣 𝐵 𝐴 2 2 2 4 4 4 1 2 1 8 8 16 8 8 16 0 Temos que calcular o 3º passo 𝑥𝑢 𝑥𝑣 2 4 𝑦𝑢 𝑦𝑣 2 4 e 𝑧𝑢 𝑧𝑣 2 4 Observe que são todos iguais temos que calcular o 4º passo 𝑥𝑢 𝑥𝐵𝐴 2 1 𝑦𝑢 𝑦𝐵𝐴 2 2 e 𝑧𝑢 𝑧𝐵𝐴 2 1 Os resultados são diferentes e portanto as retas são coplanares paralelas 3º exemplo Verificar a posição relativa entre as retas abaixo 𝑟 𝑋 112 𝑚 222 e 𝑠 𝑋 223 𝑡 444 Resolução Devemos calcular 𝐵 𝐴 223 112 111 1º passo Agora vamos calcular o produto misto 2º passo 𝑢 ʌ 𝑣 𝐵 𝐴 2 2 2 4 4 4 1 1 1 8 8 8 8 8 8 0 Temos que calcular o 3º passo 𝑥𝑢 𝑥𝑣 2 4 𝑦𝑢 𝑦𝑣 2 4 e 𝑧𝑢 𝑧𝑣 2 4 56 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Observe que são todos iguais temos que calcular o 4º passo 𝑥𝑢 𝑥𝐵𝐴 2 1 𝑦𝑢 𝑦𝐵𝐴 2 1 e 𝑧𝑢 𝑧𝐵𝐴 2 1 Os resultados são todos iguais e portanto as retas são coplanares coincidentes 4º exemplo Verificar a posição relativa entre as retas abaixo 𝑟 𝑋 112 𝑚 222 e 𝑠 𝑋 334 𝑡 123 Resolução Devemos calcular 𝐵 𝐴 334 112 222 1º passo Agora vamos calcular o produto misto 2º passo 𝑢 ʌ 𝑣 𝐵 𝐴 2 2 2 1 2 3 2 2 2 8 12 4 8 12 4 0 Temos que calcular o 3º passo 𝑥𝑢 𝑥𝑣 2 1 𝑦𝑢 𝑦𝑣 2 2 e 𝑧𝑢 𝑧𝑣 2 3 Observe que são diferentes logo as retas são coplanares concorrentes Vamos calcular a interseção entre as duas retas fazendo de 𝑟 𝑠 ou seja 112 𝑚 222 334 𝑡 123 Daí temos o sistema 1 2𝑚 3 𝑡 1 2𝑚 3 𝑡 2 2𝑚 4 3𝑡 Precisamos calcular o valor de 𝑚 ou o valor de 𝑡 para tal basta escolhermos duas das três equações acima Como neste caso a 1ª e a 2ª equações são iguais vamos tomar a 1ª e a 3ª equações 57 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 1 2𝑚 3 𝑡 2 2𝑚 4 3𝑡 2𝑚 𝑡 2 2𝑚 3𝑡 2 Calculando a diferença entre as duas linhas temos 2𝑡 0 e daí 𝑡 0 Substituindo o valor calculado de 𝑡 na equação de 𝑠 temos a interseção entre as retas 𝐼 334 0 123 334 58 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 8 POSIÇÕES RELATIVAS 2ª PARTE 81 Posição relativa entre reta e plano Dados uma reta 𝑟 𝑋 𝐴 𝑚 𝑢 e um plano 𝛼 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 no espaço elas podem estar em uma das três posições relativas entre si abaixo a Reta paralela ao plano 𝐴 𝑣 𝑟 𝑛 𝛼 Observe que neste caso 𝑛 é ortogonal a 𝑣 e que 𝐴 𝛼 b Reta contida no plano 𝑛 𝛼 𝑟 𝑣 𝐴 Observe que neste caso 𝑛 é ortogonal a 𝑣 e que 𝐴 𝛼 c Reta concorrente ao plano 𝑛 𝑟 𝛼 𝐼 59 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝐴 𝑣 Observe que neste caso 𝑛 não é ortogonal a 𝑣 Na prática para determinarmos a posição relativa entre reta e plano devemos seguir o seguinte roteiro 1º passo calcular 𝑛 X 𝑣 e verificar o resultado a Se 𝑛 X 𝑣 0 então 𝑛 não é ortogonal a 𝑣 e portanto a reta é concorrente ao plano e a partir daí podemos calcular o ponto de interseção 𝐼 b Se 𝑛 X 𝑣 0 então 𝑛 é ortogonal a 𝑣 então devemos realizar o 2º passo 2º passo verificar de o ponto 𝐴 da reta 𝑟 pertence ou não ao plano 𝛼 a Se a resposta for sim ou seja 𝐴 𝛼 então a reta está contida no plano b Se a resposta for não ou seja 𝐴 𝛼 então a reta é paralela ao plano Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Dada a reta 𝑟 de equação 𝑋 122 𝑚 321 e o plano 𝛼 de equação 𝛼 𝑥 2𝑦 𝑧 4 0 Determine a posição relativa entre eles Resolução Observamos conforme os dados temos que 𝑛 1 21 𝑣 321 e 𝐴 122 1º passo calcular 𝑛 X 𝑣 1 21 X 321 3 4 1 0 60 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Daí 𝑛 é ortogonal a 𝑣 então devemos realizar o 2º passo 2º passo vamos verificar se o ponto 𝐴 122 pertence ou não ao plano 𝛼 de equação 𝑥 2𝑦 𝑧 4 0 substituindo as coordenadas de 𝐴 em 𝛼 e verificando se a igualdade é verdadeira Assim 1 22 2 4 3 0 Como a igualdade não é verdadeira então 𝐴 𝛼 Portanto a reta 𝑟 é paralela ao plano 𝛼 Exemplo 2 Dada a reta 𝑟 de equação 𝑋 122 𝑚 321 e o plano 𝛼 de equação 𝑥 2𝑦 𝑧 1 0 Determine a posição relativa entre eles Resolução Observamos conforme os dados temos que 𝑛 1 21 𝑣 321 e 𝐴 122 1º passo calcular 𝑛 X 𝑣 1 21 X 321 3 4 1 0 Daí 𝑛 é ortogonal a 𝑣 então devemos realizar o 2º passo 2º passo vamos verificar se o ponto 𝐴 122 pertence ou não ao plano 𝛼 de equação 𝑥 2𝑦 𝑧 1 0 substituindo as coordenadas de 𝐴 em 𝛼 e verificando se a igualdade é verdadeira Assim 1 22 2 1 0 A igualdade é verdadeira então 𝐴 𝛼 Portanto a reta 𝑟 está contida no plano 𝛼 Exemplo 3 Dada a reta 𝑟 de equação 𝑋 122 𝑚 101 e o plano 𝛼 de equação 𝑥 2𝑦 𝑧 3 0 Determine a posição relativa entre eles 1º passo calcular 𝑛 X 𝑣 1 21 X 101 1 0 1 2 Daí 𝑛 é não ortogonal a 𝑣 Portanto a reta 𝑟 é concorrente ao plano 𝛼 Observação Somente neste caso do exemplo 3 podemos calcular a interseção entre a reta e o plano Para tal procedemos da seguinte forma Escrevemos a equação da reta na forma das equações cartesianas paramétricas da reta 61 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑥 1 𝑚 𝑦 2 0 𝑚 𝑧 2 𝑚 Substituindo 𝑥 𝑦 e 𝑧 na equação do plano temos 1 𝑚 22 0𝑚 2 𝑚 3 0 2𝑚 4 0 𝑚 2 Agora substituindo m na equação da reta temos a interseção 𝐼 𝐼 122 2 101 324 Logo a interseção entre a reta e o plano é o ponto 𝐼 324 82 Posição relativa entre dois planos Dados dois planos no espaço 𝐼𝑅³ o plano 𝛼 𝑎1𝑥 𝑏1𝑦 𝑐1𝑧 𝑑1 0 e o plano 𝛽 𝑎2𝑥 𝑏2𝑦 𝑐2𝑧 𝑑2 0 no espaço eles podem estar em uma das três posições relativas abaixo a Planos paralelos 𝛼 𝛽 Neste caso ocorre que 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 𝑑1 𝑑2 62 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Observe que apenas os três primeiros coeficientes da equação de 𝛽 são múltiplos dos três primeiros coeficientes da equação de 𝛼 Texto Exemplo Os planos de equações 𝛼 2𝑥 3𝑦 𝑧 4 0 e 𝛽 4𝑥 6𝑦 2𝑧 1 0 são paralelos pois 2 4 3 6 1 2 4 1 Observe que apenas os três primeiros coeficientes de 𝛽 426 são o dobro dos três primeiros coeficientes de 𝛼 213 b Planos coincidentes 𝛼 𝛽 Neste caso ocorre que 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 𝑑1 𝑑2 Observe que os quatro coeficientes da equação de 𝛽 são múltiplos dos quatro coeficientes da equação de 𝛼 Exemplo Os planos de equações 𝛼 2𝑥 3𝑦 𝑧 4 0 e 𝛽 4𝑥 6𝑦 2𝑧 8 0 são coincidentes pois 63 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 2 4 3 6 1 2 4 8 Observe os quatro coeficientes de 𝛽 4268 são o dobro dos quatro coeficientes de 𝛼 2134 c Planos concorrentes 𝛼 𝑟 𝛽 𝑠 Neste caso ocorre que 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑜𝑢 𝑎1 𝑎2 𝑐1 𝑐2 𝑜𝑢 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Observe que os três primeiros coeficientes da equação de 𝛽 não têm nenhuma relação com os três primeiros coeficientes da equação de 𝛼 Note também que a interseção entre os dois planos é uma reta Exemplo Os planos de equações 𝛼 𝑥 2𝑦 𝑧 1 0 e 𝛽 3𝑥 4𝑦 2𝑧 2 0 são concorrentes pois 𝑎1 𝑎2 1 3 𝑏1 𝑏2 2 4 64 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Observe que apenas os três primeiros coeficientes de 𝛽 12 1 não têm nenhuma relação com os três primeiros coeficientes de 𝛼 342 65 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 9 DISTÂNCIAS Neste último capítulo enunciaremos algumas fórmulas que calculam a distância entre alguns entes da geometria Como a distância entre dois pontos nós já vimos no capítulo 2 começaremos com a distância entre ponto e reta 91 Distância entre ponto e reta A partir da fórmula da área de um paralelogramo podemos calcular a distância entre um ponto e uma reta da seguinte forma Considere um ponto 𝑃 e uma reta 𝑟 𝑋 𝐴 𝑚 𝑣 ambos do espaço 𝑃 𝑑 A 𝑣 Sabemos que a área de um paralelogramo é calculada como o produto da medida da base com a medida da altura que é a distância entre o ponto e a reta e à qual denotaremos por 𝑑 𝐴 𝑣 𝑑 Mas já vimos que a área do paralelogramo é dada por 𝐴 𝐵 𝐴ʌ 𝑣 Daí 𝑃 𝐴ʌ 𝑣 𝑣 𝑑 Portanto 𝑑𝑃𝑟 𝑃 𝐴ʌ 𝑣 𝑣 66 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Texto Exemplo Calcule a distância entre o ponto 𝑃 231 e a reta 𝑟 de equação 𝑋 121 𝑚 012 Resolução Temos que 𝑃 𝐴 110 e observe que 𝑣 012 daí 𝑃 𝐴ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 1 1 0 0 1 2 2 21 Com isto 𝑑𝑃𝑟 𝑃 𝐴ʌ 𝑣 𝑣 4 4 1 0 1 4 9 5 95 5 92 Distância entre ponto e plano Considere um ponto 𝑃 e um plano 𝛼 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 do espaço A distância entre o ponto 𝑃 e o plano 𝛼 pode ser calculada como a distância entre o ponto 𝑃 e qualquer reta contida no plano 𝑃 𝛼 𝐵 𝐴 Para tal devemos encontrar de forma aleatória dois pontos 𝐴 e 𝐵 quaisquer do plano a seguir devemos obter o vetor 𝑣 𝐵 𝐴 e o vetor 𝑃 𝐴 e usar a fórmula da seção anterior 67 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑑𝑃𝛼 𝑃 𝐴ʌ 𝑣 𝑣 Também podemos calcular a distância ente o ponto 𝑃 e o plano 𝛼 usando a seguinte fórmula 𝑑𝑃𝛼 𝑎𝑥0 𝑏𝑦0 𝑐𝑧0 𝑑 𝑎2 𝑏2 𝑐2 Texto Exemplo Vamos determinar a distância entre o ponto 𝑃 122 e o plano 𝛼 𝑥 2𝑦 𝑧 1 0 Resolução Usando a fórmula acima temos 𝑑𝑃𝛼 11 22 12 1 12 22 12 4 6 26 3 93 Distância entre duas retas Considere duas retas 𝑟 𝑋 𝐴 𝑚 𝑣 e 𝑠 𝑋 𝐵 𝑚 𝑢 desejase calcular a distância 𝑑𝑟𝑠 entre elas Para tal devemos observar os seguintes casos a Se as retas forem coplanares coincidentes então 𝑑𝑟𝑠 0 b Se as retas forem coplanares concorrentes então por definição teremos que 𝑑𝑟𝑠 0 c Se as retas são coplanares paralelas então a distância entre elas se resume à distância de uma das retas até um ponto da outra ou seja 𝑑𝑟𝑠 𝑑𝐵𝑟 𝑑𝐴𝑠 d Se as retas forem reversas a fórmula que calcule a distância entre elas é baseada no fato de que os vetores 𝑢 𝑣 e 𝐵 𝐴 formam um paralelepípedo e a distância entre as retas é a altura deste paralelepípedo Considerando que 𝑑𝑟𝑠 é a altura do paralelepípedo 𝐴𝑏 é a área da base e que 𝑉𝑃 é o volume do paralelepípedo temos 68 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑉𝑃 𝐴𝑏 𝑑𝑟𝑠 Como 𝐴𝑏 𝑢 ʌ 𝑣 𝑉𝑃 𝑢 ʌ 𝑣 𝑋 𝐵 𝐴 e que 𝑑𝑟𝑠 𝑉𝑃 𝐴𝑏 então 𝑑𝑟𝑠 𝑢 ʌ 𝑣 𝑋 𝐵 𝐴 𝑢 ʌ 𝑣 Exemplo 1 Vamos calcular a distância entre 𝑟 𝑋 231 𝑚 024 e 𝑠 𝑋 121 𝑚 012 Resolução Temos 𝐴 231 e 𝑢 024 na reta 𝑟 e ainda temos 𝐵 121 e 𝑣 012 na reta 𝑠 Como 𝑢 é um múltiplo de 𝑣 e como 𝐵 𝑟 então elas são paralelas Com isto basta calcular a distância entre o ponto 𝐴 231 que pertence à reta 𝑟 e a reta 𝑠 𝑋 121 𝑚 012 Temos que 𝐴 𝐵 110 e observe que 𝑣 012 daí 𝐴 𝐵ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 1 1 0 0 1 2 2 21 Com isto 𝑑𝐴𝑠 𝐴 𝐵ʌ 𝑣 𝑣 4 4 1 0 1 4 9 5 95 5 Logo a distância entre as duas retas é 𝑑𝑟𝑠 95 5 Exemplo 2 Vamos calcular a distância entre 𝑟 𝑋 13 1 𝑚 1 2 1 e 𝑠 𝑋 0 31 𝑚 11 1 Resolução Temos 𝐴 13 1 e 𝑢 1 2 1 na reta 𝑟 e 𝐵 0 31 e 𝑣 11 1 na reta 𝑠 Como o produto misto entre 𝑢 𝑣 e BA é igual a 9 feito abaixo então elas são concorrentes Daí 69 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝐵 𝐴 1 62 𝑢 ʌ 𝑣 𝑋 𝐵 𝐴 1 2 1 1 1 1 1 6 2 2 2 6 1 6 4 9 𝑢 ʌ 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 1 2 1 1 1 1 2𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 2𝑘 3𝑖 0𝑗 3𝑘 303 𝑢 ʌ 𝑣 32 02 3² 18 32 Logo 𝑑𝑟𝑠 9 32 32 2 94 Distância entre dois planos Considere dois planos do espaço de equações 𝛼 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 e 𝛽 𝑒𝑥 𝑓𝑦 𝑔𝑧 ℎ 0 Desejase calcular a distância 𝑑𝛼𝛽 entre eles Para tal devemos observar os seguintes casos a Se os planos forem coincidentes então 𝑑𝛼𝛽 0 b Se os planos forem concorrentes então por definição teremos que 𝑑𝛼𝛽 0 c Se os planos forem paralelos então a distância entre elas se resume à distância de um dos planos até um ponto qualquer do outro plano ou seja Se 𝐴 𝛼 e se 𝐵 𝛽 então 𝑑𝛼𝛽 𝑑𝐴𝛽 𝑑𝐵𝛼 A partir daí usamos a fórmula da seção 92 70 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplo 1 Calcule a distância entre os planos 𝛼 2𝑥 1𝑦 3𝑧 2 0 e 𝛽 4𝑥 2𝑦 6𝑧 4 0 Resolução Observe que a equação de 𝛽 é exatamente o dobro da equação de 𝛼 Isto é olhando os quatro coeficientes de 𝛽 4264 é o dobro dos quatro coeficientes de 𝛼 2132 Portanto 𝛼 e 𝛽 são coincidentes Daí 𝑑𝛼𝛽 0 Exemplo 2 Calcule a distância entre os planos 𝛼 2𝑥 1𝑦 3𝑧 2 0 e 𝛽 5𝑥 2𝑦 1𝑧 4 0 Resolução Observe que os três primeiros coeficientes de 𝛼 213 não são múltiplos dos três primeiros coeficientes de 𝛽 5 21 Portanto 𝛼 e 𝛽 são concorrentes Daí 𝑑𝛼𝛽 0 Exemplo 3 Calcule a distância entre os planos 𝛼 2𝑥 4𝑦 2𝑧 6 0 e 𝛽 𝑥 2𝑦 𝑧 1 0 Resolução Observe que apenas os três primeiros coeficientes de 𝛽 24 2 são múltiplos dos três primeiros coeficientes de 𝛼 12 1 Logo os planos 𝛼 e 𝛽 são paralelos Observe que se atribuirmos na equação de 𝛼 𝑥 1 e 𝑦 2 calculamos que 𝑧 2 e portanto o ponto 𝑃 122 pertence a plano 𝛼 Vamos agora determinar a distância entre o ponto 𝑃 122 e o plano 𝛽 𝑥 2𝑦 𝑧 1 0 usando a fórmula da distância entre ponto e plano temos 𝑑𝑃𝛽 11 22 12 1 12 22 12 4 6 26 3 Portanto a distância entre os dois planos é 𝑑𝛼𝛽 26 3 71 Sistemas Vetoriais Universidade Santa Cecília Educação a Distância Concluímos assim o nosso curso de Sistemas Vetoriais é importante ressaltar que várias disciplinas que serão apresentadas a partir de agora no curso de Engenharia de Produção tais como Cálculo Física Pesquisa Operacional Resistência de Materiais Mecânica de Fluidos e Mecânica Geral entre outras usarão muitos conceitos aprendidos aqui Sempre que necessário revise os conceitos aprendidos aqui e bons estudos WINTERLE PAULO Vetores e Geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 CAMARGO IVAN de BOULOS PAULO Geometria Analítica um tratamento vetorial 3ª ed São Paulo Prentice Hall 2005 HEFEZ ABRAMO FERNANDEZ CECÍLIA de S Introdução à Álgebra Linear 2ª ed Rio de Janeiro Sociedade Brasileira de Matemática 2016