Lógica Proposicional - Propriedades e Quantificadores - Matemática Aplicada

GRADU PUCRS online Matemática Aplicada à Computação MARISTA Aula 2 Vídeo 1 Lógica Proposicional O que você vai aprender nessa aula Propriedades dos Operadores Lógicos Provas de propriedades através de Tabelasverdade O que você vai precisar para acompanhar essa aula Materiais básicos para anotações PROPRIEDADES DOS OPERADORES LÓGICOS Sejam p q r proposições quaisquer seja V uma tautologia e seja F uma contradição PROPRIEDADES DA NEGAÇÃO 1 p p F 2 p p V 3 p p PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO 4 p p p Idempotência 5 p q q p Comutatividade 6 p q r p q r Associatividade 7 p V p 8 p F F PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO 9 p p p Idempotência 10 p q q p Comutatividade 11 p q r p q r Associatividade 12 p V V 13 p F p ABORÇÃO 14 p p q p 15 p p q p PROPRIEDADES DISTRIBUTIVAS 16 p q r p q p r 17 p q r p q p r LEIS DE DE MORGAN 18 p q p q 19 p q p q ALGUMAS IMPLICAÇÕES IMPORTANTES 20 p q p q Modus Pones 21 p q q p Modus Tollens ALGUMAS EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES 22 p q p q 23 p q q p Contrapositiva 24 p q p q q p Vamos provar a validade de algumas propriedades através de tabelaverdade 5 p q q p Comutatividade da Conjunção 11 p q r p q r Associatividade da Disjunção 18 p q p q Lei de De Morgan Dinâmica 22 p q p q F D C Dinâmica 23 p q q p Contrapositiva Resumo do que vimos até agora Propriedades dos Operadores Lógicos Provas de propriedades através de Tabelasverdade GRADU PUCRS online Matemática Aplicada à Computação MARISTA Aula 2 Vídeo 2 Lógica Proposicional Relembrando o conteúdo do vídeo anterior Propriedades dos Operadores Lógicos Provas de propriedades através de Tabelasverdade O que você vai aprender nessa aula Breve retomada Proposição X Função Proposicional Quantificadores O que você vai precisar para acompanhar essa aula Materiais básicos para anotações Proposição Uma proposição é uma sentença declarativa a qual podemos associar um valor lógico verdadeiro V ou falso F Função Proposicional Uma afirmação onde o valor lógico varia para cada sujeito é dita Função proposicional Quantificadores Lógicos Existem sentenças onde o valor lógico não está bem definido e varia para cada sujeito Assim estas afirmações não são proposições e sim funções proposicionais Os quantificadores servem para especificar informações sobre variáveis em funções proposições transformandoas assim em proposições Quantificador Universal para todo para qualquer O quantificador universal traduz a ideia de abrangência de uma proposição a todo um conjunto O quantificador universal é denotado pelo símbolo e lido como para todo todo para qualquer qualquer qualquer que seja Considerando uma função proposicional qualquer 𝑝 𝑥 e um conjunto qualquer 𝐴 temos a proposição 𝑥 𝐴 𝑝𝑥 Exemplos Quantificador Existencial existe existe pelo menos um O quantificador existencial traduz a ideia de existência de condições para a validade de uma proposição em um conjunto O quantificador existencial é denotado pelo símbolo e lido como existe existe pelo menos um Considerando uma função proposicional qualquer 𝑝 𝑥 e um conjunto qualquer 𝐴 temos a proposição 𝑥 𝐴 𝑝𝑥 Exemplos Quantificador Existencial Estrito existe um só existe somente um O quantificador existencial traduz a ideia de existência de condições para a validade de uma proposição em um conjunto O quantificador existencial é denotado pelo símbolo e lido como existe um só existe somente um Considerando uma função proposicional qualquer 𝑝 𝑥 e um conjunto qualquer 𝐴 temos a proposição 𝑥 𝐴 𝑝𝑥 Exemplos Proposições com Múltiplos Quantificadores O uso de mais de um quantificador em proposições lógicas é comum quando se deseja expressar condições que envolvam mais de uma variável Nestas situações devese tomar cuidado pois o significado da proposição é alterado pela ordem de escrita dos quantificadores A ordem de precedência dos quantificadores indica sua prioridade Exemplos Proposição Significado Valor Lógico 0 y x R y R x Para cada valor de x real existe um certo y real vinculado a esse x tal que x y 0 V 0 y x R x R y Existe um y real tal que para qualquer valor de x real x y 0 F Dinâmica Expresse a proposição O zero é o maior número inteiro em forma simbólica usando quantificadores e determine seu valor lógico Resumo do que vimos até agora Breve retomada Proposição X Função Proposicional Quantificadores GRADU PUCRS online Matemática Aplicada à Computação MARISTA Aula 2 Vídeo 3 Teoria dos Conjuntos Relembrando o conteúdo do vídeo anterior Breve retomada Proposição X Função Proposicional Quantificadores O que você vai aprender nessa aula Vamos iniciar os conceitos relativos à Teoria dos Conjuntos Definições iniciais Principais conjuntos numéricos Os números Reais como intervalos O que você vai precisar para acompanhar essa aula Materiais básicos para anotações CONJUNTOS O conceito de conjunto é fundamental pois praticamente todos os conceitos desenvolvidos na área da Computação bem como os correspondentes resultados são baseados em conjuntos ou construções sobre conjuntos Definições Um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos chamados elementos do conjunto os quais não possuem qualquer ordem associada Um elemento é uma entidade que pertence a um conjunto A relação de pertença ou pertinência indica se um elemento pertence a um conjunto ou não Se o elemento pertence ao conjunto é porque possui a característica que define aquele conjunto e viceversa Elementos são normalmente representados por letras latinas minúsculas Exemplos a b c Conjuntos são normalmente representados por letras latinas MAIÚSCULAS Exemplos A B C Relação de Pertença é representada pelo símbolo criado por Georg Cantor x A significa o elemento x pertence ao conjunto A x A significa o elemento x não pertence ao conjunto A Conjunto Vazio e Conjunto Universo Outros elementos primitivos da Teoria de Conjuntos são o conjunto universo e o conjunto vazio O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos Sua existência é fundamental para a definição das operações entre conjuntos Notação usualmente representado por ou Conjunto Vazio e Conjunto Universo O conjunto universo é definido como o conjunto que contém todos os conjuntos Isto é é um conjunto do qual são tirados todos os elementos usados para a criação dos conjuntos com os quais se está trabalhando Sua existência é também fundamental para garantir a coerência da Teoria de Conjuntos Notação usualmente representado pelo símbolo U Principais Conjuntos Numéricos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS IN IN 0 1 2 3 4 5 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z Z 3 2 1 0 1 2 3 4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Q Q x x b a com a Z b Z e b 0 Observações Z Q pois se Q a Z a a 1 Todo número racional pode ser representado na forma decimal e podemos ter dois casos 1 a representação decimal é finita 60 5 3 175 4 7 2 a representação decimal é infinita periódica 0 5222 90 47 0 333 3 1 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS I Considera os números 2 3 e suas representações decimais são 2 14142135 3 17320508 31415926535 e 271828 nº de Euler Observe que existem decimais infinitas não periódicas às quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma b a Todas as raízes não exatas são exemplos de números irracionais CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS IR IR Q U I x x é racional ou x é irracional Portanto são números reais os números naturais os números inteiros os números racionais os números irracionais Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do ponto Intervalos Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais Assim dados dois números reais a e b com a b temos intervalo aberto a b x IR a x b intervalo fechado a b x IR a x b intervalo semiaberto à direita a b x IR a x b intervalo semiaberto à esquerda a b x IR a x b intervalos infinitos a x IR x a a x IR x a a x IR x a a x IR x a Observação IR Conceito Alfabetos Palavras e Linguagens Um Alfabeto é um conjunto finito Os elementos de um alfabeto são usualmente denominados de símbolos ou caracteres representa um alfabeto Um conjunto vazio é um alfabeto e a b c é um alfabeto O conjunto dos números naturais não é um alfabeto Uma Palavra ou cadeia de caracteres ou sentença sobre um alfabeto é uma sequência finita de símbolos do alfabeto justapostos Conceito denota a cadeia vazia palavra vazia ou sentença vazia denota o conjunto de todas as palavras possíveis sobre 0 1 0 1 01 11 10 001 011 010 111 0001 a e i o u ai ui aeio aeiou aaauu são exemplos de palavras sobre a e i o u Para o alfabeto ab bd ac cc d abdbd e ccaac Conceito Uma Linguagem ou linguagem formal é um conjunto de palavras sobre um alfabeto Exemplo Linguagens de Programação As linguagens de programação são linguagens sobre o alfabeto constituído por letras dígitos e alguns símbolos especiais espaço parênteses pontuação etc Resumo do que vimos até agora Conceitos relativos à Teoria dos Conjuntos Definições iniciais Principais conjuntos numéricos Os números Reais como intervalos GRADU PUCRS online Matemática Aplicada à Computação Aula 2 Vídeo 4 Teoria dos Conjuntos Relembrando o conteúdo do vídeo anterior Conceitos relativos à Teoria dos Conjuntos Definições iniciais Principais conjuntos numéricos Os números Reais como intervalos O que você vai aprender nessa aula Diferentes formas de representação de conjuntos O que você vai precisar para acompanhar essa aula Materiais básicos para anotações Formas de representação de Conjuntos Há diversas formas de representação de conjuntos Algumas são mais adequadas para a compreensão de propriedades e características Outras são necessárias para a demonstração de teoremas comprovação de propriedades ou mesmo para simplificação da representação Por Extensão Consiste em descrever um a um todos os elementos do conjunto Em conjuntos com muitos ou mesmo infinitos elementos podem ser usadas expressões indicando a lei de formação dos elementos pertencentes ao conjunto Pontos positivos permite a visualização de todos os elementos do conjunto facilitando raciocínios de inspeção Pontos negativos só é prática ao se trabalhar com conjuntos finitos e com poucos elementos Exemplos A a e i o u B 3 3 C uva laranja morango N 0 1 2 3 Por Compreensão Consiste em descrever o conjunto através de uma propriedade lógica uma proposição comum a todos seus elementos Pontos positivos sucinta fácil de manipular formal e útil para o desenvolvimento de raciocínios Permite representar conjuntos com muitos ou infinitos elementos Pontos negativos não permite a visualização direta dos elementos exige a determinação formal de uma proposição para a propriedade que define o conjunto Exemplos A x N x 5 B x x é vogal C x x é letra D x R x² 9 Por Gráficos Consiste em descrever o conjunto através de gráficos cartesianos Pontos positivos são úteis para a compreensão de propriedades gráficas Pontos negativos em geral são difíceis de construir Exemplos a 1 4 b 0 1 2 c d Por Diagrama de Venn Diagramas de Venn são representações esquemáticas de conjuntos Pontos positivos são úteis apenas para a compreensão de propriedades através de exemplos Pontos negativos não podem ser usados em provas formais pois não são capazes de representar propriedades de forma abstrata Somente podem representar corretamente conjuntos finitos e discretos Exemplos A a e i o u B 3 3 C azul preto Dinâmica Vamos fazer exemplos comparativos Dinâmica Ex B 3 3 B x Z x² 9 B x Z x 3 obs x é a distância de x até o zero Resumo do que vimos até agora Diferentes formas de representação de conjuntos Matemática Aplicada à Computação Aula 2 Vídeo 5 Teoria dos Conjuntos Relembrando o conteúdo do vídeo anterior Diferentes formas de representação de conjuntos O que você vai aprender nessa aula Breve retomada dos operadores lógicos negação conjunção e disjunção Problemas sobre conjuntos envolvendo a Lógica Proposicional O que você vai precisar para acompanhar essa aula Materiais básicos para anotações Breve retomada dos operadores lógicos negação conjunção e disjunção Conjunção e p q V V V Disjunção ou p q V V V F F V Problemas sobre conjuntos envolvendo a Lógica Proposicional 1 Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos Dez alunos acertaram as duas questões vinte e cinco acertaram a primeira questão e vinte acertaram a segunda questão Quantos alunos erraram as duas questões 2 Numa pesquisa com 100 estudantes os números daqueles que estudavam diversos idiomas foram Espanhol 40 Alemão 30 Francês 20 Espanhol e Alemão 8 Espanhol e Francês 10 Alemão e Francês 5 todos os três idiomas 3 a Quantos não estavam estudando idioma algum b Quantos estudavam somente Francês Para Saber Mais E os outros operadores lógicos Será que eles também aparecerão na Teoria dos Conjuntos Antes de passar para os vídeos da Aula 3 pensa e pesquisa sobre tais questões Resumo do que vimos até agora Breve retomada dos operadores lógicos negação conjunção e disjunção Problemas sobre conjuntos envolvendo a Lógica Proposicional