Lista de Exercícios Estatística Experimental - Análise de Variância e Testes de Hipóteses

1 2 pontos Num estudo conduzido e publicado pela Universidade Estadual da Virginia pesquisadores observaram a imobilização por drogas em elefantes selvagem e testaram o tempo que os animais demoram em serem anestesiados usando quatro drogas diferentes em cinco animais por tratamento repetições num Experimento Inteiramente Casualizado A variável resposta observada foi o tempo minutos de demora para anestesia realizar o efeito desejado conforme apresentado na Tabela 1 Tabela 1 Tempo que os animais demoraram para a anestesia realizar efeito desejado Trat A Trat B Trat C Trat D 160 157 150 182 150 148 148 161 143 139 151 160 150 150 120 172 146 150 130 180 Pedese a Formule as hipóteses relativas a este experimento b Escreva o modelo estatístico do experimento e indique os pressupostos que deverão ser atendidos para garantir a validade da análise de variância c Faça o quadro da análise de variância e conclua na prática d Calcule as médias dos tratamentos e se necessário faça o teste de Tukey apresentando a conclusão final e Comente sobre a precisão do experimento 2 2 pontos Contagens médias de linfócitos de células de ratos 10dm³ foram comparadas para verificar o efeito da melhor droga aquela com a maior quantidade de linfócitos eliminados conforme Tabela 2 Ninhadas de ratos do mesmo sexo foram usadas para formar seis blocos e 3 tratamentos foram aplicados ao acaso Pedese a Escreva o modelo estatístico relativo a este experimento b Verifique os pressupostos e conclua Para cada pressuposto apresente estatística do teste e pvalor c Faça o quadro da análise de variância e conclua na prática d Calcule as médias dos tratamentos e se necessário faça o teste de tukey apresentando a conclusão final Tabela 2 Contagens de linfócitos em ratos 10dm³ Blocos Trat 1 Trat 2 Trat 3 b1 92 83 81 b2 98 94 89 b3 99 91 93 b4 103 99 96 b5 89 82 81 b6 131 109 112 3 2 pontos Suponha um experimento para estudar a atividade enzimática em função do pH fator A com dois níveis baixo a₁ e alto a₂ e temperatura fator B também com dois níveis baixa b₁ e alta b₂ com três repetições com os resultados apresentados na Tabela abaixo Fatores Repetições A B 1 2 3 a₁ b₁ 218 212 170 a₂ b₁ 67 73 76 a₁ b₂ 402 399 411 a₂ b₂ 222 258 270 Pedese a Escreva o modelo estatístico relativo a este experimento b Verifique os pressupostos e conclua Para cada pressuposto apresente estatística do teste e pvalor c Faça o quadro da análise de variância e conclua na prática d Calcule as médias dos tratamentos e se necessário faça o teste de tukey apresentando a conclusão final 4 2 pontos Um artigo em Journal of Chemical Technologly and Biotechmology A Study of Antifungal Production by Thermonospora sp MTCC 3340 using full Factorial Design considerou os efeitos de vários fatores nas atividades antifúngicas O rendimento antifúngico foi expresso como unidades internacionais de Nistatina por cm³ Os resultados a partir dos fatores concentração glicose da fonte de carbono e temperatura de incubação são apresentados na Tabela 3 a Escreva o modelo estatístico relativo a este experimento b Verifique os pressupostos e conclua Para cada pressuposto apresente estatística do teste e pvalor c Faça o quadro da análise de variância e conclua na prática Tabela 3 Dados para as Atividades Antifúngicas Carbono Temperatura Temp 1 Temp 2 Temp 3 C₁ 4584 5186 3259 9186 11333 10411 3411 4111 3259 C₂ 2048 2584 1287 7111 10411 8259 3259 3586 2584 C₃ 2058 2558 152 6542 8253 5186 8253 4542 4111 d Caso a interação seja significativa proceda as análises dos desdobramentos e conclua e Calcule as médias dos tratamentos e se necessário faça o teste de tukey apresentando a conclusão final 5 2 pontos Um experimento foi realizado para testarmos a dosagem sobre o tempo de vida de bactériasminutos conforme o aumento da dosagem de um antibiótico As dosagens observadas no experimento foram em quatro níveis 25 dg 50 dg 75 dg e 10 dg ministradas em 5 indivíduos por tratamento A variável resposta dada pelo tempo de vida das bactérias em minutos é apresentado abaixo Repetições 25 dg 50 dg 75 dg 10 dg 1 15033 15085 11299 8340 2 14667 15635 11230 7911 3 14516 15522 11172 8421 4 14803 15718 10869 8892 Pedese a Faça o quadro da análise de variância decompondo os graus de liberdade de tratamento utilizando o método dos polinômios ortogonais b Apresente a equação de regressão ajustada e comente o resultado na prática c Comente sobre o coeficiente de determinação do modelo ajustado Questão 1 a As hipóteses são H0 μA μB μC μD H1 Pelo menos uma das médias difere das demais b O modelo estatístico é Ou seja cada observação yij é composta pela média geral μ pelo efeito do tratamento j τj e pelo erro aleatório εij sendo 1 j 4 o índice relativo ao número de tratamentos e 1 i 5 o índice relativo à quantidade de repetições Os pressupostos associados à análise de variância são 1 As amostras devem ser aleatórias e as observações individuais devem ser independentes umas das outras 2 As populações referentes aos diferentes tratamentos devem apresentar a mesma variância homocedasticidade 3 A população é normalmente distribuída prérequisito para a aplicação do teste F da ANOVA c O quadro da Análise de Variância para este problema é o seguinte CV SQ gl QM Fcalc pvalor Tratamentos 2622 3 8740 9079 0000962 Resíduo 1540 16 0963 Total 4162 19 Conclusão Como temos p 005 nível de significância o teste F foi significativo portanto devemos rejeitar H0 ou seja pelo menos um dos tratamentos apresentou efeito diferente dos demais no tempo demorado para a anestesia realizar o efeito desejado d A tabela de médias em ordem decrescente é Tratamentos Médias D 1710 a A 1498 b B 1488 b C 1398 b Conclusão Pelo teste de Tukey podemos concluir que o tratamento D apresenta o maior tempo médio diferindo de forma significativa dos tratamentos A B e C simultaneamente Estes três entretanto não diferem significativamente entre si e Podemos avaliar de forma rápida os pressupostos da ANOVA de forma a validar ou não os resultados obtidos acima 1 Pelo que foi informado no enunciado Experimento Inteiramente Casualizado as amostras podem ser consideradas como aleatórias e independentes portanto este pressuposto não é violado 2 Efetuando o teste de Barlett obtemos um pvalor de 0365 ou seja não rejeitamos a hipótese nula de que os dados apresentam homocedasticidade 3 Efetuando o teste de ShapiroWilk nos valores de tempo obtemos um pvalor de 02456 ou seja não rejeitamos a hipótese nula de que os dados apresentam distribuição normal Sendo assim como nenhum dos pressupostos é violado os resultados da Análise de Variância são confiáveis Questão 2 a O modelo estatístico neste caso é Ou seja cada observação yij é composta pela média geral μ pelo efeito do tratamento j τj pelo efeito do bloco i βi e pelo erro aleatório εij sendo 1 j 3 o índice relativo ao número de tratamentos 1 k 6 o índice relativo ao número de blocos b Os pressupostos são os mesmos do problema anterior então 1 Pelo que foi expresso no enunciado inferese que foi utilizado um Experimento em Blocos Casualizado ou seja as amostras podem ser consideradas como aleatórias e independentes portanto este pressuposto não é violado 2 Efetuando o teste de Barlett com base nos tratamentos obtemos um pvalor de 06844 e com base nos blocos o pvalor encontrado foi de 0533 ou seja não rejeitamos a hipótese nula de que os dados apresentam homocedasticidade 3 Efetuando o teste de ShapiroWilk nos valores de linfócitos obtemos um pvalor de 004766 Se tomarmos o nível de significância como 5 o pressuposto da normalidade seria violado pois p α c O quadro da ANOVA é CV SQ gl QM Fcalc pvalor Tratamentos 3640 2 1820 1429 000117 Blocos 21947 5 4389 3447 542x106 Resíduo 1273 10 0127 Total 26860 17 Conclusão Como p 005 para os tratamentos podemos concluir que pelo menos uma das drogas apresenta efeito diferente das demais em relação à contagem média de linfócitos d A tabela de médias em ordem decrescente é Tratamentos Médias Trat 1 102 a Trat 2 93 b Trat 3 92 b Conclusão Pelo teste de Tukey podemos concluir que o tratamento 1 apresenta a maior quantidade média de linfócitos eliminados diferindo significativamente dos tratamentos 2 e 3 estes entretanto não diferem entre si Ou seja o tratamento 1 representa a melhor droga para este caso Questão 3 a O modelo estatístico para este caso experimento fatorial com dois fatores dois níveis e três repetições é Ou seja cada observação yijk é composta pela média geral μ pelo efeito do nível j do tratamento A τj pelo efeito do nível k do tratamento B βi pelo efeito da interação entre os dois tratamentos τβ e pelo erro aleatório εijk sendo que 1 i 3 1 j 2 e 1 k 2 b Verificação dos pressupostos 1 Pelo que foi expresso no enunciado inferese que foi utilizado um Experimento Fatorial 22 ou seja as amostras podem ser consideradas como aleatórias e independentes portanto este pressuposto não é violado 2 Efetuando o teste de Barlett com base nos tratamento A pH obtemos um p valor de 07748 e com base no tratamento B temperatura obtemos um pvalor de 07093 ou seja não rejeitamos a hipótese nula de que os dados apresentam homocedasticidade em relação a ambos os tratamentos 3 Efetuando o teste de ShapiroWilk nos valores de atividade enzimática obtemos um pvalor de 01571 ou seja não rejeitamos a hipótese nula de que os dados apresentam distribuição normal c O quadro da ANOVA é CV SQ gl QM Fcalc pvalor A pH 59643 1 59643 174395 103x106 B Temperatura 109443 1 109443 320009 977x108 Interação 507 1 507 1482 0258 Resíduo 2736 8 342 Total 172329 11 Conclusão De acordo com os testes F realizados acima concluímos que ambos os tratamentos A e B pH e temperatura respectivamente apresentam efeito significativo em relação aos níveis estudados porém a interação entre os mesmos não d Como a interação entre os tratamentos não é significativa podemos efetuar os testes de Tukey de forma independente para cada um Para o pH Nível Médias Baixo a1 302 a Alto a2 160 b Para a Temperatura Nível Médias Baixa b1 136 a Alta b2 327 b Ou seja observamos que para ambos os tratamentos as atividades enzimáticas médias diferem entre os níveis estudados Questão 4 a O modelo estatístico para este caso experimento fatorial com três fatores três níveis e três repetições é Ou seja cada observação yijk é composta pela média geral μ pelo efeito do nível j do tratamento A τj pelo efeito do nível k do tratamento B βi pelo efeito da interação entre os dois tratamentos τβ e pelo erro aleatório εijk sendo que 1 i 3 1 j 3 e 1 k 3 b Verificação 1 Pelo que foi expresso no enunciado inferese que foi utilizado um Experimento Fatorial 33 ou seja as amostras podem ser consideradas como aleatórias e independentes portanto este pressuposto não é violado 2 Efetuando o teste de Barlett com base nos tratamento A Carbono obtemos um pvalor de 07413 e com base no tratamento B temperatura obtemos um p valor de 05265 ou seja não rejeitamos a hipótese nula de que os dados apresentam homocedasticidade em relação a ambos os tratamentos 3 Efetuando o teste de ShapiroWilk nos valores de atividade antifúngica obtemos um pvalor de 001863Se tomarmos o nível de significância como 5 o pressuposto da normalidade seria violado pois p α c Quadro da ANOVA CV SQ gl QM Fcalc pvalor A Carbono 1208 2 604 3983 003697 B Temperatura 16202 2 8101 53420 269x108 Interação 2941 4 735 4848 000786 Resíduo 2730 18 152 Total 23081 26 Conclusão como todos os pvalores foram inferiores a 005 podemos concluir que tanto os tratamentos individualmente quanto a interação entre os mesmos têm efeito significativo na atividade antifúngica Questão 5 a O quadro da ANOVA é CV SQ gl QM Fcalc pvalor Linear 10988 1 10988 13520 105x1013 Quadrático 1216 1 1216 1496 391x108 Cúbico 892 1 892 1096 216x107 Resíduo 98 12 8 Total 13194 15 Conclusão Rodando uma regressão considerando até polinômios de grau 4 o último de grau significativo é o cúbico de acordo com os dados apresentados na ANOVA e no teste F b Através da regressão polinomial de grau 3 obtemos a seguinte equação para o tempo y em função da dosagem x c O coeficiente de determinação desta regressão foi 09926 significando que aproximadamente 9926 da variabilidade no tempo pode ser explicada através da dosagem neste modelo cúbico