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Lecciones populares de matemáticas ACERCA DE LA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA A. I. Fetísov S ≡ P Editorial MIR Moscú ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ А. И. ФЕТИСОВ О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ В ГЕОМЕТРИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА LECCIONES POPULARES DE MATEMÁTICAS A.I. FETÍSOV ACERCA DE LA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA TRADUCIDO DEL RUSO POR EL INGENIERO ANTONIO MOLINA GARCÍA EDITORIAL MIR MOSCÚ ÍNDICE INTRODUCCIÓN § 1. ¿Qué es una demostración? 7 § 2. ¿Para qué hace falta la demostración? 11 § 3. ¿Cómo debe ser la demostración? 18 § 4. ¿Qué proposiciones de la geometría pueden admitirse sin demostración? 45 IMPRESO EN LA URSS. 1980 На испанском языке © Traducción al español, Editorial Mir, 1980 traron con toda evidencia que las oscilaciones luminosas y las electromagnéticas tienen una misma naturaleza. Pondremos otro ejemplo de aritmética: Tomemos varios números impares cualquiera, elevemos cada uno de ellos al cuadrado y a cada uno de los cuadrados obtenidos restémosle una unidad. Por ejemplo: \( 7^2 -1 = 48; \) \( 11^2 - 1 = 120; \) \( 5^2 - 1 = 24; \) \( 9^2 - 1 = 80; \) \( 15^2 - 1 = 224 \) y así sucesivamente. Examinando los números obtenidos vemos que tienen una propiedad común: cada uno de ellos es divisible por 8. Haciendo varias pruebas más con otros números impares y llegando al mismo resultado, expresamos la siguiente hipótesis: “El cuadrado de cualquier número impar, disminuido en una unidad, da un número múltiplo de 8”. Como ahora nos referimos a cualquier número impar, para hacer la demostración tenemos que aportar argumentos válidos para cualquier número impar. Teniendo esto en cuenta, recordamos que todo número impar tiene la forma \( 2n - 1, \) donde \( n \) es un número natural cualquiera. El cuadrado de un número impar, disminuido en una unidad, puede escribirse en forma de la expresión \((2n - 1)^2 - 1.\) Abriendo el paréntesis obtenemos: \((2n - 1)^2 - 1 = 4n^2 - 4n + 1 - 1 = 4n^2 - 4n = 4n(n - 1).\) La expresión obtenida es múltiplo de 8 cualquiera que sea el número natural \( n. \) En efecto, el factor cuatro indica que el número \( 4n(n - 1) \) es múltiplo de cuatro. Además, \( n - 1 \) y \( n \) son dos números naturales sucesivos, de los cuales uno tiene que ser necesariamente par; por lo tanto, nuestra expresión también contiene necesariamente un factor 2. Así pues, el número \( 4n(n - 1) \) es siempre múltiplo de 8, que es lo que había que demostrar. En estos ejemplos pueden verse claramente los caminos principales que se siguen para conocer el mundo que nos rodea, así como sus objetos, fenómenos y leyes. El primero de estos caminos consiste en que basándonos en un gran número de observaciones y experiencias llevadas a cabo con los objetos y fenómenos descubrimos en ellos leyes comunes. En los ejemplos antes citados pudimos ver que basándose en observaciones se estableció la dependencia entre la forma del cuerpo y su sombra; numerosas observaciones y experimentos confirmaron que la naturaleza de la luz es electromagnética; finalmente, las