Problemas de Geometría Analítica - Mir kletenik Archivo1

D. KLETENIK PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA EDITORIAL MIR Д. В. Клетеник СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Под редакцией проф. Н. В. Ефимова ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ На украинском языке D. KLETENIK PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA revisados por el profesor N. EFIMOV Traducido del ruso por EMILIANO APARICIO RESNANDO, Candidato a Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, Catedrático de Matemáticas Superiores del Instituto Geográfico de Moscú (tercera edición) EDITORIAL MIR MOSCU ÍNDICE 513/516 Impreso en la URSS, 1968 Derechos reservados Primera Parte GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I Capítulo PROBLEMAS ELEMENTALES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA § 1. El eje y segmentos del eje. Las coordenadas en la recta Se llama eje a la recta en la que se ha elegido una dirección posi- tiva. El segmento, limitado por los puntos A y B, se llama dirigido, si se ha convenido cuál de estos puntos es el origen y cuál el extremo del segmento. El segmento dirigido, con el origen A y con el extremo B, se designa con el símbolo AB−→. Se llama magnitud del segmento dirigido el eje a su longitud, tomada con algún signo, si la dirección del segmento (es decir, la dirección dada del origen al extremo opuesto, la dirección positiva del eje) coincide, se le designa en la dirección contraria a la dirección positiva del eje. La magnitud del segmento dirección queda en sentido del eje y longitud del segmento OA−→ Si los puntos A y B coinciden, se dice que el segmento que determinan lo mismo; es evidente que n este caso AB−→ = 0 (la dirección del segmento nulo es indeterminada). Suponpostulo dado un recta arbitraria α. Tomemos un segmento por unidad de medida de longitud, elijamos en la recta la dirección positiva (después de lo cual la recta se convierte en eje) y lo designe- mos con la letra α algún punto de ella. Con esto, en la recta α queda establecido un sistema de coordenadas. Se llama coordenada de un punto cualquiera M de la recta a en (el sistema de coordenadas establecido) el número x; igual a la magnitud del segmento OM−→–: x = OM−→ El punto O se llama origen de coordenadas y si su coordenada es igual a cero. A continuación, el símbolo M [x] indica que el punto M tiene la coordenada x. Si M1 [x1] y M2 [x2] son dos puntos arbitrarios de la recta a, la fórmula M1M2−→= x2− x1 expresa la magnitud del segmento M1M2−→ y la fórmula ⎜M1M2−→⎜ = ⎜x2− x1⎟ expresa su longitud. Por lo general, en las, diagramas ar sbaba da izquierda a dere- cha la dirección positiva en los ejes horizontales. 1. Trazar los puntos: A (3), B (5), C (—1), D ( \frac{2}{3} ), E ( \frac{-3}{7} ), F (\sqrt{2}) y H (— \sqrt{5} ). 2. Trazar los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las ecuaciones 1) |x| = 2; 2) |x — 1| = 3; 3) |1 — x| = 2; 4) |2 + x| = 2. 3. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las desigualdades: 1) x >> 3; 2) x = —3 < 0; 3) |2 — x| << 0; 4) 2x — 3 < 0; 5) — 3x — 5 < 0; 6) 1 << x = 3; 7) 3x + 5 = 0; 8) x = — ▼5 — 5x; 9) 2 |x + 1| — x = 3; 10) x — 2 11) 2 |x + 1| — x = 3; 12) x = 8x + 1.5x; 13) x > 4x; 14) x < 3; 4. Determinar la magnitud AB y la longitud \langleAB del segmento definido por los puntos: 1) A (3) y B (11); 2) A (5) y B (2); 3) A (—1) y B (3); 4) A (—5) y B (—3); 5) A (—1) y B (—3); 6) A (—7) y B (—5). 5. Calcular la coordenada del punto A, si se conocen: 1) B (3) y \langleAB = 5; 2) B (2) y \langleAB = —3; 3) B (—1) y \langleBA = —2; 4) B (—5) y \langleAB = —3; 5) B (0) y \langleAB = 2; 6) B (2) y \langleAB = —3; 7) B (—1) y \langleAB = —5; 8) B (—5) y \langleAB = —2. 6. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las siguientes des- igualdades: 1) |x| << 1; 2) |x| >> 2; 3) |x| <= 2; 4) |x| >= 3; 5) |x — 2| << 3; 6) |x — 5| = 1; 7) |x — 1| >> 2; 8) x = —3 > 1; 9) |x + 1| << 3; 10) |x + 2| >> 1; 11) |x — 5| <= 1; 12) |x + 1| > 2.