Algebra Linear - Determinantes Autovalores e Diagonalizacao de Matrizes

ÁLGEBRA LINEAR Silvano Antonio Alves Pereira Junior Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Determinantes e autovalores Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir determinantes e algumas de suas propriedades Encontrar a matriz inversa com o uso de determinantes Relacionar autovalores com o processo de diagonalização de matrizes Introdução Neste capítulo você estudará um pouco mais sobre matrizes que têm aplicações nos mais variados locais desde a planilha de Excel ao processo de gerenciamento de estoques ou mesmo o controle de complexos sistemas de produção Nesse contexto o determinante é uma poderosa ferramenta um invariante numérico de uma matriz que pode auxiliar a obter preciosas informações sobre a matriz e até mesmo o sistema associado a ela Você também será apresentado às ferramentas utilizadas no processo de diagonalização de uma matriz como autovetores autovalores e polinômios característicos Determinantes e suas propriedades O determinante é um número associado a uma matriz quadrada Antes de introduzir sua definição precisa apresentaremos alguns exemplos de casos particulares que podem ajudar na compreensão do caso geral Seguiremos uma linha semelhante à apresentada em Nicholson 2006 Caso 2 2 Consideremos a seguinte matriz O determinante da matriz A será denotado por detA e pode ser calculado da seguinte maneira detA 2 1 3 1 2 3 1 como em resumo o produto dos elementos da diagonal principal a da esquerda para a direita menos o produto dos elementos da diagonal secundária a da direita para a esquerda Essa propriedade é válida para matrizes dois por dois em geral isto é você poderá utilizar a seguinte fórmula Se então detA a d c b Para calcular o determinante da matriz B 1 1 2 2 Você deverá proceder da seguinte maneira detB 1 2 2 1 2 2 0 Um fato importante para se considerar em matrizes de maneira geral é que uma matriz quadrada Ann é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero Assim os exemplos anteriormente apresentados são de uma matriz invertível a matriz A e da matriz B que não possui inversa Para matrizes 2 2 cujo determinante seja não nulo podemos ainda trabalhar com a seguinte fórmula tem como inversar a matriz Determinantes e autovalores 2 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Caso 3 3 Para matrizes de tamanho 3 3 você poderá calcular o determinante utilizando determinantes menores e cofatores Definição se A é uma matriz quadrada então o menor relacionado à entrada aij também denominado ijésimo menor de A é denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a iésima linha e a jésima coluna de A O número Cij 1ijMij é denominado cofator da entrada aij ou o ijésimo cofator Considere a matriz A 1 0 2 1 1 1 3 0 2 O cálculo para C31 pode ser realizado da seguinte maneira Sabese que C31 131M31 e que o menor M31 é o determinante da matriz que obtemos após eliminar a linha 3 e a coluna 1 da matriz A Ou seja M 0 2 0 1 1 2 2 1 1 Portanto C31 131M31 C31 142 C31 12 C31 2 A partir dos cofatores podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada Ann utilizando a expansão do determinante em cofatores 3 Determinantes e autovalores Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Expansão em cofatores Seja Ann uma matriz quadrada de números reais a expansão em cofatores do determinante da matriz Ann a partir da késima linha é dada por detA ak1Ck1 ak2Ck2 ak3Ck3 aknCkn É muito importante estar alerta ao termo 1ij pois um erro de sinal nessa parte do cálculo é muito comum Para evitar que isso aconteça lembrese de que o resultado dessa conta depende da paridade de i j Se i j for par o resultado será igual a 1 se i j for ímpar o resultado será igual a 1 Essa fórmula permite calcular o determinante de matrizes de qualquer tamanho mas observe que o número de operações cresce de maneira muito rápida O determinante de uma matriz 3 3 implica três determinantes de matrizes 2 2 na sua expansão em cofatores Já o determinante de uma matriz 4 4 implica quatro determinantes de matrizes 3 3 sendo que cada um desses implica três determinantes de matrizes 2 2 gerando um total de 12 determinantes 2 2 Vejamos um exemplo do cálculo de determinantes utilizando a expansão em cofatores Considere novamente a matriz A 1 0 2 1 1 1 3 0 2 Vamos calcular o seu determinante fazendo a expansão em cofatores a partir da linha 1 Temos detA a11C11 a12C12 a13C13 detA 1C11 0C12 2C13 detA C11 2C13 Determinantes e autovalores 4 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Agora calculamos os cofatores 1 1 0 2 C11 111 M11 C11 1 C11 1 2 C11 2 e 1 1 3 0 C31 113 M13 C31 1 C31 1 3 C31 3 Segue que detA 2 2 3 4 Um ponto a ser destacado é que a expansão pode ser feita a partir de qualquer uma das linhas Não existe nenhuma restrição mas a fim de reduzir o número de cálculos é comum escolher a linha com a maior quantidade de zeros Veja o seguinte exemplo Considere a matriz H 1 0 0 3 2 1 3 1 1 Podese calcular o seu determinante fazendo a expansão em cofatores a partir da linha 1 tendo em mente que essa é a linha que tem a maior quantidade de elementos nulos Utilizando a fórmula de expansão obtemos detH a11C11 a12C12 a13C13 detH 1C11 0C12 0C13 detH C11 Perceba que como a linha tem dois elementos nulos o cálculo do determinante reduziuse ao de um determinante de ordem 2 2 5 Determinantes e autovalores Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 C11 111 M11 C11 1 2 1 1 1 C11 1 2 1 C11 1 Portanto detH C11 1 A seguir apresentamos algumas das propriedades mais importantes do determinante de uma matriz que podem ser de muita utilidade no cálculo de determinantes P1 o determinante da matriz nula é igual a zero P2 o determinante da matriz identidade Inn é igual a um P3 o determinante é uma função linear de cada linha isto é se multiplicarmos uma linha por k o determinante da matriz é multiplicado por k P4 se duas linhas ou colunas da matriz são iguais ou múltiplo não nula uma da outra o determinante da matriz é igual a zero P5 se uma das linhas ou colunas for formada apenas por elementos nulos o determinante da matriz é igual a zero P6 se a matriz for triangular ou diagonal o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal da matriz Exemplo Considere a matriz A 1 2 3 2 4 6 3 0 2 Podese calcular o seu determinante fazendo uso das propriedades do determinante Observe que a linha 2 é múltipla da linha 1 De forma mais precisa L2 2L1 Portanto o determinante da matriz é igual a zero Veja agora um exemplo sobre matrizes triangulares Considere a matriz A 7 0 0 2 1 0 1 1 4 Podese calcular o seu determinante fazendo uso das propriedades do determinante Observe que a matriz é do tipo triangular superior Logo seu determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal Portanto detA 7 1 4 28 Como dito anteriormente a expansão em cofatores pode ser utilizada para matrizes de qualquer dimensão não apenas 2 2 ou 3 3 Veja um exemplo disso a seguir Considere a matriz A 1 0 0 5 1 2 4 1 3 0 0 0 1 1 0 0 Podese calcular o seu determinante fazendo uso da fórmula de expansão em cofatores Para tal a escolha da terceira linha da matriz pode ser uma boa opção tendo em vista que é a que contém mais elementos nulos Obtémse detA a31C31 a32C32 a33C33 a34C34 detA a31C31 0C32 0C33 0C34 detA a31C31 detA 3C31 Resta calcular o cofator C31 Nesse caso C31 20 C31 131 0 0 5 2 4 1 1 0 0 C31 1 1 131 0 5 4 1 Segue que detA 3 20 60 7 Determinantes e autovalores Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Matriz inversa Na seção anterior você aprendeu que uma matriz possui inversa se e somente se seu determinante é diferente de zero Além disso você também aprendeu a calcular a matriz inversa de uma matriz 2 2 utilizando o determinante Agora verá como utilizar a fórmula de expansão em cofatores para encon trar a inversa de uma matriz quadrada de qualquer dimensão Para tal você precisará do seguinte resultado Teorema seja A33 uma matriz cujo determinante é diferente de zero e então sua matriz inversa A1 pode ser calculada desta forma Em palavras a matriz inversa de A é igual ao inverso do determinante de A multiplicado à transposta da matriz de cofatores de A O resultado foi enunciado no caso 3 3 para facilitar a compreensão mas pode ser utilizado para matrizes de qualquer dimensão Veja um exemplo da aplicação desse resultado Considere a matriz A 1 0 3 0 1 0 0 0 2 do tipo triangular inferior Portanto seu determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal Segue que detA 1 1 2 2 Portanto podese aplicar o resultado anterior a essa matriz Agora basta montar a transposta da matriz de cofatores para encontrar a inversa C11 C21 C31 C12 C22 C32 C13 C23 C33 2 0 3 0 2 0 0 0 1 Determinantes e autovalores 8 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 A matriz inversa de A tem a seguinte forma A1 1 2 2 0 3 0 2 0 0 0 1 A1 1 0 32 0 1 0 0 0 12 Uma simples multiplicação das matrizes é suficiente para verificar que A A1 I33 Um importante resultado sobre matrizes inversas é enunciado a seguir Teorema dada uma matriz Ann as afirmações listadas a seguir são equivalentes 1 Ann é invertível 2 detA 0 3 As n linhas de Ann são linearmente independentes Veja um exemplo da aplicação desse resultado Considere a matriz A 1 1 0 0 1 0 1 0 2 Como decidir se ela é invertível ou não Podemos utilizar qualquer um dos itens da equivalência apresentada Escolhemos então a mais comum o valor do determinante Usaremos a expansão em cofatores a partir da segunda linha Por que Porque essa é a linha com a maior quantidade de elementos nulos Obtemos detA a21C21 a22C22 a23C23 detA 0C21 1C22 0C23 detA C22 9 Determinantes e autovalores Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 O cálculo do cofator C22 pode ser feito da seguinte maneira C22 122 1 0 1 2 1 0 1 2 C22 1 C22 2 Logo detA 2 0 Portanto a matriz A é invertível Outro fato importante sobre matrizes inversas é que elas são fortemente relacionadas aos sistemas lineares Considere um sistema de equações lineares homogêneo cuja forma matricial seja Ax 0 Fato o sistema linear homogêneo anterior tem apenas a solução trivial se e somente se a matriz A é invertível Esse fato nos fornece uma maneira simples e prática de verificar se a solução trivial vetor nulo é a única de um sistema linear homogêneo É comum o erro de em vez de se utilizar a matriz transposta da matriz de cofatores se tomar a própria matriz de cofatores Concluímos esta seção com uma importante relação entre o determinante de uma matriz e o determinante de sua inversa Determinantes e autovalores 10 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Teorema seja Ann uma matriz invertível então Veja a seguir um exemplo de aplicação desse resultado Considere a matriz A 23 0 0 2 1 0 1 1 1 Qual é o determinante de A1 Sabemos que A é uma matriz triangular inferior Logo segundo as propriedades do determinante ele é igual ao produto dos elementos em sua diagonal Ou seja detA 23 Portanto aplicando o teorema anterior obtémse detA1 1 23 Observe que a exigência de o determinante ser diferente de zero A invertível é necessária uma vez que não se pode ter divisão por zero Autovalores e diagonalização de matrizes Nesta seção você verá como calcular os autovalores de uma matriz e como utilizálos no processo de diagonalização de matrizes essencial na resolução de sistemas lineares Um número λ 0 é um autovalor de uma matriz Ann se existe algum vetor v tal que Av λv 11 Determinantes e autovalores Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Em palavras λ é um autovalor de Ann se existir um vetor v tal que ao aplicarmos Ann sobre v obtemos λv Nesse caso a operação de aplicar uma transformação linear foi capsulada no produto por um número Diremos também que v é um autovetor de Ann associado ao autovalor λ Isso é equivalente a dizer que λ é um autovalor de Ann se existir solução para o sistema linear homogêneo A λIv 0 Outra maneira de procurar pelos autovalores de uma matriz é por meio do polinômio característico Dada uma matriz Ann seu polinômio característico é definido por pλ detA Iλ Dada a matriz A 2 0 0 3 1 0 1 2 2 que é do tipo triangular superior podese encontrar o polinômio característico da seguinte maneira pλ detA Iλ pλ 2 λ21 λ pλ 2 λ 0 0 3 1 λ 0 1 2 2 λ Segue que os autovalores de A são λ1 1 e λ2 2 este último com multiplicidade 2 isto é λ2 2 é uma raiz dupla do polinômio característico Observe ainda que conhecidos os autovalores se pode resolver os sistemas lineares associados e encontrar os autovetores Agora você verá um resultado apresentado por Nicholson 2006 que nos permite relacionar autovalores e autovetores com o processo de diagonalização de matrizes Determinantes e autovalores 12 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Teorema seja Ann uma matriz então 1 a é diagonalizável se e somente se ela possui autovetores x1 x2 xn tais que a matriz P x1 x2 xn é invertível 2 quando esse for o caso temos D P1AP diagλ1 λ2 λn onde λi é o autovalor associado ao autovetor xi Como aplicação desse resultado veja o seguinte exemplo O problema consiste em procurar caso exista a forma diagonalizada da matriz A 2 0 0 3 0 1 0 1 0 O polinômio característico dessa matriz tem a seguinte forma pλ 2 λλ 11 λ Existem portanto três autovalores diferentes como requer o teorema A saber λ1 2 λ2 1 e λ3 1 associados respectivamente aos seguintes autovetores v1 1 2 1 v2 0 1 1 v3 0 1 1 Segue que a matriz P tem a seguinte forma P 1 0 0 2 1 1 1 1 1 Para verificar o resultado basta realizar 1 0 0 2 0 0 3 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Logo a diagonalização da Matriz A é a matriz D P1AP 2 0 0 0 1 0 0 0 1 13 Determinantes e autovalores Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Você encontrará exercícios e vídeos de boa qualidade com excelente conteúdo na Khan Academy disponível no link a seguir httpsqrgopagelinkhtszk Veja um último exemplo sobre a diagonalização de matrizes Dada a matriz H 3 0 0 0 2 0 1 0 7 Devese encontrar sua forma diagonal D Para tal começase encontrando o poli nômio característico da matriz Observe ainda que essa matriz é do tipo triangular superior Portanto pλ 3 λ2 λ7 λ Podese concluir que D tem a seguinte representação D 3 0 0 0 2 0 0 0 7 Um último resultado extremamente interessante e relacionado ao polinômio característico de uma matriz é o Teorema de CayleyHamilton Esse resultado atribuído aos matemáticos Arthur Cayley e William Hamilton diz que uma matriz Ann é um zero de seu próprio polinômio característico De maneira mais precisa quer dizer o seguinte Determinantes e autovalores 14 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Teorema CayleyHamilton considere a matriz Ann Se pλ é o polinômio característico da matriz Ann então pA 0 Esse teorema fornece um excelente teste para verificar se o cálculo do polinômio característico foi efetuado de maneira correta ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 612 p NICHOLSON W K Álgebra linear 2 ed São Paulo McGrawHill 2006 394 p Leitura recomendada LIPSCHUTZ S LIPSON M Álgebra linear mais de 600 exercícios resolvidos 4 ed Porto Alegre Bookman 2011 434 p Coleção Schaum 15 Determinantes e autovalores Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Identificação interna do documento 7P0RJUUPER9F6VZE1 Nome do arquivo C05DeterminantesautovaloresFinal202209271712163207554pdf Data de vinculação à solicitação 27092022 1712 Aplicativo 627303