Análise da Energia e Órbitas de Elétrons em Modelos Atômicos

Questão 1 a Começamos assumindo que a órbita é circular A força centrípeta que mantém o elétron em órbita ao redor do próton é fornecida pela Lei de Coulomb Por isso A energia cinética é dada pela fórmula O problema nos pede para comparar isso com a energia perdida por órbita A fórmula de Larmor por outro lado nos dá a energia perdida por tempo então precisamos descobrir o orbital período do elétron Como assumimos que as órbitas são circulares também podemos suponha que a velocidade angular do elétron seja constante Isso significa o tempo gasto para uma órbita é dada por A mudança na energia por órbita é portanto onde usamos o fato de que a aceleração é centrípeta então a v2r A razão entre as duas energias é onde a última desigualdade é verdadeira desde que o elétron é nãorelativístico ou seja enquanto como v c que veremos na parte c é de fato o caso de nosso sistema A energia perdida por órbita é portanto insignificante em comparação com a energia cinética do elétron e podemos assumir com segurança que as órbitas são circulares em qualquer instante b A fórmula de Larmor dá a variação de energia por tempo enquanto estamos interessados na mudança de raio Portanto precisamos relacionar a energia com o raio O fato de que a energia total acabou sendo uma função tão simples do raio após inserirmos a Equação 1 na expressão não é um acidente isso acaba sendo um caso simples do que é conhecido como teorema do virial Substituindo isso no Larmor fórmula dá onde usamos mais uma vez o fato de que a v2r Mais uma vez podemos substituir a Equação 1 nisso e após um pouco de álgebra obtemos Passamos agora a resolver a equação diferencial Conectar ri 1 A e rf 1 fm fornece um tempo de vida t0 de 11 1010 segundos Dado que a maioria de nós já existe há mais tempo isso não é um bom presságio para o modelo clássico do átomo c De antes temos Colocando o valor inicial r 05 A isso resulta em Comparando com a velocidade da luz Como as correções relativísticas de ordem líder tendem a ser da ordem v2c2 podemos esperar que análise não relativística para ser preciso para uma parte em 104 Este cálculo Para esta função de onda precisamos integrar sobre o intervalo em que ela é diferente de zero Como é um valor constante no intervalo frac23 leq z leq frac23 e zero caso contrário também justifica a suposição que fizemos na parte a Observe que a aproximação não relativística falha antes que o elétron alcance o próton De fato supondo que o elétron permanece não relativístico até rf teríamos Podemos considerar a aproximação não relativística válida até que a órbita se torne 100 vezes menor que o valor inicial 05 A onde a velocidade passa a ser 10 vezes maior e de modo que as correções relativísticas ainda são pequenas sendo uma parte em 102 d À medida que o elétron se aproxima do próton r 0 a energia se aproxima como podemos ver na Equação 6b Não há energia mínima neste clássico modelo que está em contraste com o átomo mecânico quântico real onde há um estado fundamental bem definido Questão 2 a Fbk N cdot intfrac23frac23 eikx dx b i ψ1x δx 1 A função delta de Dirac δx1 possui a propriedade de que sua transformada de Fourier é simplesmente eikx Vamos integrar o termo exponencial Fbk N cdot left frac1ik eikx rightfrac23frac23 1 2 3 4 5 6 7 Fbk N cdot left frac1ik eik cdot frac23 eik cdot frac23 right A função delta de Dirac δx1 possui a propriedade de que sua transformada de Fourier é simplesmente eikx psibx N eleftfracx x0aright2 eik0x Essa é uma onda gaussiana com centro em x0 e vetor de onda k0 Para calcular a transformada de Fourier Fk intinftyinfty N eleftfracx x0aright2 eikx dx Expandindo o termo exponencial Fk intinftyinfty N eleftfracx x0aright2 eik k0x dx Para grandes valores de k a distribuição de probabilidade para ψ1 e ψ3 ficará cada vez mais localizada em torno de k 0 Isso ocorre porque essas funções de onda são compostas por funções delta de Dirac que têm uma amplitude constante para todas as frequências Para ψ2 e ψ4 à medida que k se torna maior a distribuição de probabilidade mostrará oscilações de frequência mais alta com um número crescente de picos Esse comportamento é esperado para funções exponenciais pois suas transformadas de Fourier também são funções exponenciais com sinais opostos no expoente levando a oscilações Para ψ5 a distribuição de probabilidade se tornará mais estreita e mais concentrada em torno de k 0 à medida que k aumenta Isso ocorre porque ψ5 é uma função retangular no espaço real e sua transformada de Fourier é uma função sinc que diminui à medida que a largura da função retangular diminui Para ψ6 a distribuição de probabilidade exibirá uma forma semelhante à gaussiana e à medida que k aumenta a distribuição se torna mais estreita Isso ocorre porque ψ6 é um pacote de ondas gaussianas no espaço real e sua transformada de Fourier é outro pacote de ondas gaussianas com uma variação inversamente proporcional à variação do pacote de ondas no espaço real Podemos ver que esta é uma integral gaussiana com um fator de fase complexa A transformada de Fourier de uma função gaussiana é outra função gaussiana com a largura inversamente proporcional à largura original O resultado será uma gaussiana centrada em k0 k e com uma largura proporcional a frac1a e Para normalizar a função de onda ψx precisamos garantir que a integral do quadrado do valor absoluto da função de onda em todo o espaço seja igual a 1 a probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar no espaço é 100 A função de onda é dada por ψx N e xx₀²a² eikx A integral que precisamos resolver para a constante de normalização N é ψx² dx N e xx₀²a² eikx² dx N² e2xx₀²a² dx Resolvendo essa integral encontramos e2xx₀²a² dx απ Portanto a constante de normalização N é dada por N 1απ f O valor esperado x do operador posição x é dado por x ψx x ψx dx Similarmente o valor esperado p do operador momento p é dado por p ψx ih ddx ψx dx Porém para calcular essas integrais precisamos primeiro encontrar ψx o conjugado complexo de ψx ψx N e xx₀²a² eikx Agora os cálculos dos valores esperados x N²2 e2xx₀²a² x dx p N² ih ddx e2xx₀²a² dx Após avaliar essas integrais encontramos x² x₀² a²2 p h2k 0 Portanto as incertezas Δx e Δp são Δx a²2 Δp h2Δx O princípio da incerteza afirma que o produto das incertezas na posição e no momento de uma partícula não pode ser menor que h2 constante reduzida de Planck Matematicamente é dado por Δx Δp h2 Vamos verificar se a função de onda dada satisfaz o princípio da incerteza Δx Δp a²2 hk h2 para todos os valores de a psi1k2 Uma vez que Δx e Δp são ambas quantidades positivas seu produto será sempre maior ou igual a zero Portanto o princípio da incerteza é satisfeito para essa função de onda desde que a2 h2 o que pode ser simplificado para a 2hk Esse resultado nos diz que para o princípio da incerteza ser satisfeito a largura a da função de onda deve estar relacionada ao número de onda k₀ de uma maneira específica g i Quando a 0 Nesse limite o termo e xx₀²a² domina a função de onda Como a função exponencial se aproxima de 0 a função de onda ψx se tornará altamente localizada em torno de x x₀ ii Quando a À medida que a aumenta o termo e xx₀²a² se aproxima de 0 para todo x x₀ mas se torna 1 em definido pois a função de onda se espalhará bastante e se assemelhará a uma onda plana com um momento definido ψ kk é a transformada de Fourier da função de onda ψx no espaço de momento A transformada de uma função gaussiana também é uma gaussiana Portanto quando a 0 a largura da gaussiana no espaço de posição será muito estreita e no espaço de momento a largura de ψk tornase muito ampla Por outro lado quando a a largura de ψk tornase muito estreita à medida que a gaussiana no espaço de posição se torna ampla i Quando a 0 Como discutido anteriormente a função de onda tornase altamente localizada em torno de x x₀ resultando em um Δx muito pequeno No entanto como a função de onda se espalha bastante no espaço de momento o Δp tornase muito grande ii Quando a Em resumo à medida que a se aproxima de 0 a incerteza na posição diminui e a incerteza no momento aumenta Por outro lado à medida que a aumenta a incerteza na posição aumenta e a incerteza no momento diminui Esse comportamento é consistente com o princípio da incerteza pois o produto Δx Δp permanece maior ou igual a h2 para todos os valores de a Probability Distribution for psi1 a Para calcular o valor esperado xψview para o estado dado por ψviewx eiqxℏ ψ₀x onde q é um número real com as dimensões apropriadas podemos usar as propriedades dos valores esperados e as informações dadas sobre a função de onda original ψ₀x O valor esperado do operador posição x em mecânica quântica para um dado estado ψ é dado por xψ ψxxψxdx onde x é o operador posição Para a nova função de onda ψviewx eiqxℏ ψ₀x podemos calcular o valor esperado xψview da seguinte forma xψview eiqxℏ ψ₀x x eiqxℏ ψ₀x dx Como ψ₀x está devidamente normalizada temos ψ₀xψ₀x dx 1 Assim o valor esperado xψview fica xψview eiqxℏ ψ₀x x eiqxℏ ψ₀x dx Como ψ₀x é a autofunção do operador posição x com autovalor x₀ podemos simplificar a expressão xψview x₀ b Para calcular o valor esperado pψview para o estado dado por ψviewx eiqxℏ ψ₀x podemos usar as propriedades dos valores esperados e as informações dadas sobre a função de onda original ψ₀x O valor esperado do operador momento p em mecânica quântica para um dado estado ψ é dado por pψ ψxpψxdx onde p é o operador momento Para a nova função de onda ψviewx eiqxℏ ψ₀x podemos calcular o valor esperado pψview da seguinte forma pψview eiqxℏ ψ₀xp eiqxℏ ψ₀x dx O operador momento p é dado por p ih ddx pψview ih eiqxℏ ψ₀x ddx eiqxℏ ψ₀x dx Usando a regra do produto da diferenciação encontramos pψview ih eiqxℏ ψ₀x iqℏ eiqxℏ ψ₀x eiqxℏ ψ₀x ddx ψ₀x dx psi3k2 pview iħ iq ħ p0 e iϕℏ2π e iϕℏ2π ψ0x2dx p0 e iϕℏ2π ψ0x i p0 ħ e iϕℏ2π dx Os termos exponenciais se cancelam e temos pview iqp0 p0 c A adição da fase e iϕℏπ à função de onda não afeta os valores esperados dos operadores posição e momento A fase introduz um fator de fase complexo global na função de onda em cada ponto do espaço No entanto ao calcular os valores esperados o fator de fase e seu conjugado complexo se cancelam deixando apenas os valores esperados originais dos operadores posição e momento a partir da função de onda inicial ψ0x Isso significa que a adição da fase e iϕℏπ não afeta a distribuição estatística das medidas de posição ou momento Ela representa apenas uma mudança na fase complexa global da função de onda sem alterar suas propriedades mensuráveis Esse fator de fase é uma característica comum na mecânica quântica e está associado à natureza ondulatória de partículas e funções de onda Questão 4 a A expressão para a energia cinética adquirida pelo elétron é dada por Substituindo os valores na equação acima A expressão para a energia cinética relativística é dada por é o fator de Lorentz Substituindo os valores na equação acima Probability Distribution for psi3 b A expressão para a forma clássica da energia cinética é dada por Substituindo os valores na equação acima c Não a diferença na velocidade não é significativa psi5k2 Probability Distribution for psi5 psi2k2 Probability Distribution for psi2 psi4k2 Probability Distribution for psi4 psi6k2 Probability Distribution for psi6