Analise Real na Licenciatura em Matematica - Ementa, Bibliografia e o Papel da Disciplina

ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 11 Por que análise real na licenciatura Plínio Cavalcanti Moreira Helena Noronha Cury Carlos Roberto Vianna Resumo Neste trabalho analisamos as respostas apresentadas por 31 matemáticos a um questionário sobre ementa bibliografia e o papel da disciplina Análise Real nos cursos de licenciatura em matemática Os respondentes são matemáticos que trabalham em 14 das principais instituições universitárias e de pesquisa no Brasil As respostas foram submetidas a um processo de unitarização para a construção de categorias segundo a abordagem metodológica da análise de conteúdo Descrevemos três categorias que sintetizam os argumentos dos respondentes em favor da obrigatoriedade da disciplina no curso de licenciatura Discutimos esses argumentos situandoos em relação a estudos atuais sobre formação do professor de matemática da escola básica e levantamos algumas questões para o prosseguimento do debate Palavraschave Educação matemática formação matemática do professor saber docente Why real analysis in mathematics teacher education Abstract In this article we present the responses given by 31 mathematicians to a questionnaire about the role of a Real Analysis course in mathematics teacher education at university level Respondents are among mathematicians working at 14 leading universities and research institutions in Brazil Data were analyzed according to Content Analysis methodological approach We describe three categories of arguments that emerged from the data according to which a Real Analysis course should be a mandatory part of the curriculum in mathematics teacher education We discuss these arguments in relation to studies in teacher education and teacher knowledge referred to in the literature Finally we raise some issues for further discussion Key words Mathematics education mathematics teacher education teacher knowledge Professor da Universidade Federal de Minas Gerais pliniomatufmgbr Professora da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul curyhnpucrsbr Professor da Universidade Federal do Paraná viannamatufprbr ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 12 Introdução O debate referente à definição dos conhecimentos matemáticos que devem fazer parte da formação inicial do professor da escola básica vincula se a algumas questões teóricas fundamentais como por exemplo a De que se compõem os saberes profissionais dos professores da escola básica e como se situa no interior desse conjunto de saberes o conhecimento matemático apreendido ao longo do processo de formação na licenciatura b A prática docente escolar limitase a uma transmissão dos saberes disciplinares ou ela se constitui num espaço mais complexo e elaborado de atividades tais como seleção tradução adaptação e mesmo produção de saberes A comunidade científica dos matemáticos desempenha um papel importante nessa discussão Nem tanto talvez por suas eventuais contribuições teóricas ao campo da pesquisa referente à formação de professores da escola básica que de resto não é propriamente o campo de suas investigações profissionais e sim pela acentuada influência que essa comunidade exerce direta ou indiretamente no desenho dos projetos curriculares e nas próprias atividades de ensino que se desenvolvem nos cursos de licenciatura em matemática das grandes instituições universitárias do Brasil Por isso consideramos importante para o avanço do debate recolher explicitar analisar e trazer a público para uma discussão ampla as opiniões de alguns dos mais destacados membros da comunidade matemática em atuação no Brasil Esse foi o objetivo da pesquisa que relatamos neste artigo A disciplina Análise Real é quanto a isso pensamos não haver nenhuma polêmica um dos pilares da formação do bacharel em matemática Ela pode ser vista ao lado do estudo das estruturas algébricas como uma das formas de introdução dos futuros matemáticos a conceitos métodos técnicas e valores próprios da matemática avançada além de ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 13 servir de base para a Análise no Rn e daí para estudos mais gerais envolvendo outros espaços e estruturas como variedades diferenciáveis espaços de Banach etc No Brasil os cursos de licenciatura em matemática que formam os professores dessa disciplina para o Ensino Básico tiveram por muitos anos uma estrutura curricular que em geral incluía disciplinas de Cálculo Álgebra e Geometria Analítica no início do curso e nos últimos semestres aquelas que são trabalhadas em um nível mais alto de formalização e rigor como a Topologia e a Análise Real O parecer CNECP 282001 do Conselho Nacional de Educação BRASIL 2001 estabeleceu que 800 horas dentre as 2800 da grade curricular devem ser dedicadas à prática pedagógica escolar estágios e atividades complementares relacionadas diretamente com a prática docente escolar Na elaboração de novos projetos pedagógicos para os cursos de licenciatura em matemática põese em questão a permanência de algumas disciplinas na grade curricular e tornase necessária a explicitação do papel que estas efetivamente desempenham na preparação do licenciando para a futura prática profissional na escola básica Considerando que no curso de licenciatura já há disciplinas que incluem o estudo das funções reais como por exemplo o Cálculo Diferencial e Integral podese perguntar de quais tópicos deveria tratar a disciplina Análise Real e com que tipo de abordagem Deveria ela ser obrigatória no curso de licenciatura Por quê Tais perguntas foram basicamente as que propusemos a 80 matemáticos pesquisadores titulares ou professores titulares que atuam em 16 das principais instituições universitárias ou de pesquisa do Brasil contatandoos através de seus respectivos endereços eletrônicos Incluímos na próxima seção a íntegra do questionário enviado Estamos cientes de que a decisão de enviar o questionário por correio eletrônico pode acarretar um viés nas respostas pois essa é uma forma de autoseleção Sendo assim é importante ressaltar que o nosso estudo se configura como uma pesquisa qualitativa de caráter exploratório e ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 14 que as perguntas estimulando os participantes a pensar e escrever sobre um determinado tema induzem manifestações de natureza subjetiva Ainda que alguns dados quantitativos sejam apresentados neste artigo eles não devem ser vistos como índices percentuais aplicáveis a toda a comunidade dos matemáticos Entretanto observamos que dos 80 matemáticos para os quais enviamos o questionário recebemos resposta de 31 cerca de 40 do total enviado representando 14 das 16 instituições originalmente selecionadas Tendo em vista que todos os pesquisadores contatados são membros destacados da comunidade científica que atua no Brasil as respostas desses 31 matemáticos compõem um quadro que embora parcial é de grande importância para o desenvolvimento do debate Os resultados Eis a íntegra do questionário que enviamos para a coleta dos dados Prezadoa colega Nós estamos realizando uma pesquisa sobre a composição da grade curricular dos cursos de licenciatura em matemática no Brasil Nesta etapa do trabalho estamos interessados em conhecer a visão dos matemáticos a respeito do papel da disciplina Análise na Reta na formação do licenciado Na impossibilidade de ouvir todos os membros dessa comunidade científica selecionamos uma amostra composta pelos pesquisadores titulares do IMPA e os professores titulares dos departamentos de matemática de 15 universidades brasileiras Agradecemos a sua colaboração no sentido de responder às três questões seguintes por favor responda no próprio corpo da mensagem usando o reply 1 Assinale os itens que na sua opinião deveriam ser trabalhados numa disciplina de Análise na Reta para a licenciatura em matemática se for o caso acrescente outros O conjunto dos números reais como corpo ordenado completo Seqüências e séries de números reais Continuidade de funções reais de variável real ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 15 Derivada de funções reais de variável real Integral Riemann de funções reais de variável real 2 Indique os livros que você recomendaria para a disciplina Análise na Reta em um curso de licenciatura em matemática Análise Real volume I Elon L Lima Análise I Djairo G de Figueiredo Introdução à Análise Matemática Geraldo Ávila Outro Qual 3 Pense na disciplina Análise na Reta com uma ementa dada aproximadamente pelos tópicos listados na pergunta 1 e uma abordagem semelhante à da bibliografia relacionada na pergunta 2 Na sua opinião todo curso de licenciatura em matemática deveria ter essa disciplina como obrigatória Sim Não Se lhe coubesse defender a permanência da disciplina Análise na Reta como obrigatória para o curso de licenciatura em matemática que argumentos você apresentaria Apresentamos nos quadros abaixo as respostas às questões 1 e 2 e à primeira parte da questão 3 Para o tratamento das respostas à parte aberta da questão 3 foram utilizados procedimentos da análise de conteúdo a que nos referiremos mais adiante Questão 1 Assinale os itens que na sua opinião deveriam ser trabalhados numa disciplina de Análise na Reta para a licenciatura em matemática ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 16 Quadro 1 Respostas da questão 1 com número de indicações e percentagens Itens assinalados Número de indicações em 31 Seqüências e séries de números reais 29 935 Continuidade de funções reais de variável real 29 935 Derivada de funções reais de variável real 29 935 O conjunto dos números reais como corpo ordenado completo 27 871 Integral Riemann de funções reais de variável real 26 839 Outros Seqüências e séries de funções 3 97 Cardinalidade 2 65 Construção dos reais 2 65 Aplicações na Física crescimento populacional etc 2 65 Topologia do plano 1 32 Uma introdução à teoria dos conjuntos 1 32 Funções elementares de um ponto de vista superior 1 32 Aproximações diofantinas frações contínuas 1 32 Transcendência e irracionalidade de e e de π 1 32 Questão 2 Indique os livros que você recomendaria para a disciplina Análise na Reta em um curso de licenciatura em matemática ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 17 Quadro 2 Respostas da questão 2 com número de indicações e percentagens Livros indicados Número de indicações em 31 Análise I Djairo G de Figueiredo 18 581 Análise Real volume I Elon L Lima 12 387 Introdução à Análise Matemática Geraldo Ávila 9 290 Outros Cálculo Spivak 3 96 Elementos de Análise Bartle 2 65 Princípios da Análise Matemática Rudin 2 65 Apostol sem indicação do título 2 65 Courant sem indicação do título 2 65 Análise para licenciatura Geraldo Ávila 1 32 Courant e Robbins Que é a Matemática 1 32 Moise sem indicação do título 1 32 Análise na Reta Elon L Lima 1 32 Curso de Análise v 1 Elon L Lima 1 32 Maravilhas da Matemática L Hogben 1 32 Mathematical Analysis Andrew Browder 1 32 Questão 3 Pense na disciplina Análise na Reta com uma ementa dada aproximadamente pelos tópicos listados na pergunta 1 e uma abordagem semelhante à da bibliografia relacionada na pergunta 2 Na sua opinião todo curso de licenciatura em matemática deveria ter essa disciplina como obrigatória ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 18 Respostas Sim 29 935 Não 0 0 Não responderam 2 65 Observações 1 Nos quadros referentes às questões 1 e 2 as percentagens foram calculadas sobre o número total de respondentes 31 ainda que cada um deles tenha assinalado mais de um ou nenhum item ou indicado mais de um ou nenhum livro De fato 1 um respondente não assinalou nenhum item na questão 1 e 2 dois não indicaram nenhum livro na questão 2 2 As percentagens indicadas nas respostas à questão 3 também foram calculadas sobre o total de 31 respondentes 3 Uma das duas pessoas que não responderam à primeira parte da questão 3 deixou claro nos comentários posteriores que na sua opinião a disciplina Análise Real não deveria ser obrigatória no curso de licenciatura resposta 10 citada textualmente no final desta seção Por outro lado uma das pessoas que responderam afirmativamente a essa mesma questão aponta suas dúvidas a respeito da obrigatoriedade da disciplina para o curso de licenciatura Acho muito desejável que o aluno de licenciatura faça esta disciplina mas não tenho certeza que deveria ser obrigatória Considero disciplinas de geometria e álgebra mais essenciais para preparar professores do ensino médio Havendo espaço para os três acho bom que Análise na Reta seja obrigatória A seguir apresentamos alguns elementos da metodologia utilizada para a análise da segunda parte da questão 3 cujo enunciado é o seguinte Se lhe coubesse defender a permanência da disciplina Análise na Reta como obrigatória para o curso de licenciatura em matemática que argumentos você apresentaria ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 19 As respostas a essa pergunta foram trabalhadas segundo a análise de conteúdo metodologia que é segundo Bardin 1979 Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter por procedimentos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens indicadores quantitativos ou não que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produçãorecepção variáveis inferidas destas mensagens p 42 Autores que descrevem os procedimentos dessa metodologia qualitativa de análise BARDIN 1979 PATTON 1980 NAVARRO DIAZ 1994 MORAES 1999 detalham as etapas para exploração do material Na primeira fase de préanálise os dados são organizados a partir dos documentos disponíveis e dos objetivos da investigação Em nosso estudo para analisar as respostas à indagação Por que Análise Real nos cursos de licenciatura em matemática utilizamos nessa etapa a leitura flutuante em que o pesquisador se deixa impregnar pelo material para delimitar o corpus campo específico sobre o qual a atenção vai ser fixada A segunda fase define as unidades de análise palavras frases ou mesmo depoimentos em sua forma integral Na etapa seguinte as unidades são classificadas em categorias que fornecem por condensação uma representação simplificada dos dados brutos BARDIN 1979 p 119 Esse agrupamento em categorias pode ser feito segundo critérios prévios ou estabelecido a partir dos dados No caso deste nosso trabalho as classes emergiram dos dados A categorização se processa de forma circular havendo um retorno aos dados sempre que necessário para refinar as categorias e permitir que o textosíntese que as descreve expresse o conjunto de significados presentes nas diversas unidades que as compõem Insistimos na observação de que toda leitura envolve interpretações que podem ou não ser compartilhadas por outros leitores ou pelos próprios autores dos textos Assim as categorias construídas estão certamente impregnadas dessas interpretações e por isso julgamos importante ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 20 reproduzir junto com a descrição de cada uma delas algumas unidades de sentido destacadas no processo de unitarização dos textos das respostas Esperamos com esse procedimento tornar mais transparentes as nossas interpretações e facilitar uma avaliação por parte do leitor da consistência das categorias construídas Apresentados os procedimentos metodológicos vamos a seguir indicar como os utilizamos nesta pesquisa Para referência no texto enumeramos as respostas de 1 a 31 sendo que duas pessoas deixaram em branco a segunda parte da questão 3 Assim no conjunto das 29 respostas a esse item do questionário estabelecemos 38 unidades de análise que julgamos relevantes para os objetivos da pesquisa Sintetizamos as unidades em três grandes categorias que descrevemos adiante Observamos que nessa descrição procuramos utilizar o máximo possível as próprias formas de expressão dos respondentes ao apresentarem seus argumentos Notamos ainda que três das 38 unidades com que trabalhamos não se enquadraram em nenhuma das categorias emergentes do processo e por isso serão relacionadas e comentadas em separado no final da seção Depois de encerrada a última fase enviamos a categorização dos dados aos 31 matemáticos que responderam ao questionário para que cada um avaliasse a síntese resultante e o modo como foram situadas as suas respostas entre as categorias construídas não tendo havido registro de nenhuma objeção por parte dos respondentes Categorias Categoria 1 A disciplina deve ser obrigatória no curso de licenciatura porque se constitui em ocasião privilegiada para o aluno tomar contato com o que significa matemática e com as formas como os matemáticos pensam Desenvolve o raciocínio lógico e a capacidade de pensar matematicamente ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 21 proporcionando também maior maturidade intelectual ao aluno O trabalho na disciplina abrange métodos técnicas estruturas concepções e valores fundamentais da matemática constituindose assim em uma introdução ao que se poderia chamar de cultura matemática Dezoito matemáticos um pouco mais de 60 dos 29 que responderam a esta parte da questão 3 apresentaram argumentos nessa Categoria 1 Notese entretanto que alguns matemáticos apresentaram argumentos em mais de uma classe A seguir indicamos algumas unidades de sentido que constituem a Categoria 1 com indicação das respostas de onde foram extraídas Resposta 9 Ocasião privilegiada para tomar contato com o que significa matemática demasiado fundamental para ser ignorado por qualquer um que pretenda ter uma formação matemática Resposta 8 Arcabouço do pensamento matemático Curso onde se aprende a concepção da ciência matemática o significado dos axiomas e o conceito de prova Resposta 7 Ela representa uma boa oportunidade para o aluno entender conceitos básicos importantes tais como indução matemática e uma boa introdução a um nível mais abstrato e potente Além disso é um bom cenário para que o aluno entenda o que é uma demonstração matemática feita com rigor Resposta 26 Considero o curso de Análise na Reta uma ferramenta essencial para mostrar como pensam os matemáticos e habituar os alunos ao rigor matemático Resposta 22 A disciplina Análise na Reta é uma das disciplinas que desenvolve o pensamento matemático lógica etc e cria uma cultura matemática Resposta 12 O professor precisa conhecer as principais estruturas matemáticas ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 22 Assim entender a estrutura de corpo ordenado completo da reta e as propriedades decorrentes desta estrutura a formalização dos conceitos de função contínua e função diferenciável bem como o entendimento da estrutura matemática que os espaços euclidianos possuem que permite que nesses espaços sejam definidas e tomem valores as funções contínuas e diferenciáveis Como diz o Prof Geraldo Ávila em seu livro Enunciar e demonstrar teoremas é uma das ocupações centrais de todo professor ou estudioso da Matemática não sendo admissível que alguém que pretende ensinar Matemática sintase deficiente nesse mister Resposta 2 A razão principal é que a experiência mostra que o fundamental para um professor não é saber grande quantidade de matemática mas ter o pensamento matemático desenvolvido Para isto ele deve obter maturidade matemática no seu curso de graduação Precisa saber pensar matematicamente Saber analisar e resolver problemas Matemática é resolver problemas A disciplina de Análise Real é aquela que mais desenvolve isto O aluno que a faz atinge um outro patamar do seu desenvolvimento intelectual na sua capacidade de análise de resolução de problemas Um formando em licenciatura em matemática que não sabe pensar matematicamente da maneira correta é um desastre Categoria 2 A disciplina proporciona uma compreensão sólida e profunda dos conceitos básicos da matemática escolar explica os porquês e dá mais segurança ao futuro professor da escola Proporciona a construção de uma visão integrada e logicamente consistente da matemática elementar em substituição a uma visão que a concebe como um amontoado desconexo de fórmulas e regras ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 23 Doze 12 matemáticos cerca de 40 dos 29 que responderam apresentaram argumentos nessa Categoria 2 alguns dos quais relacionamos abaixo Resposta 13 Concluindo eu ainda acho que o ensino da Análise na formação de um licenciado em matemática é adequado pois é o momento que ele tem para entender o porquê de certas afirmações Resposta 16 a É importante que o professor do ensino médio perceba claramente que o sistema de números reais e portanto a reta não é arbitrário mas que forma uma teoria desenvolvida logicamente a partir de axiomas intuitivamente válidos Assim não vão dizer quando o aluno pergunta o porquê de um aspecto dos reais Porque é assim resposta que um professor do EM1 deu a um aluno que tive em Introdução ao Cálculo b Talvez ajude para perceber que a teoria dos conjuntos não é um fim em si mas uma ferramenta para desenvolver outras teorias matemáticas Resposta 30 Mesmo que o professor não venha a ensinar limites derivadas integrais num curso no ensino médio e poderseia argumentar que esses tópicos deveriam entrar sim nesse nível ele terá condição de entender muito melhor vários tópicos mais elementares se tem condição de utilizar as ferramentas da análise eg uso de integrais para calcular as fórmulas de superfícies e áreas em geometria elementar Resposta 15 argumentaria que um bom curso de análise deveria ter um papel extremamente benéfico à formação de um professor de matemática em qualquer nível Além de abordar tópicos fundamentais a forma como o assunto é tratado deveria contribuir de modo significativo para que como professor a matemática elementar fosse apresentada ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 24 não meramente como um amontoado de fórmulas e regras mas com a preocupação de estimular progressivamente o aluno a argumentos lógicos e dedutivos Resposta 20 A disciplina de Análise na Reta é a oportunidade dos alunos de abordarem o conteúdo dos cursos de cálculo de forma rigorosa onde o conceito de limite essencial na formação do professor pode ser explorado e aprofundado aí incluído o conceito de número real Resposta 26 Considero o curso de Análise na Reta uma ferramenta essencial para habituar os alunos ao rigor matemático e a entender com uma certa profundidade os fundamentos da matemática como os números reais Categoria 3 A disciplina constitui para o aluno um espaço de percepção da matemática como um instrumento que permite um entendimento profundo de certos fenômenos naturais e que tem aplicações em outras ciências Cinco 5 matemáticos cerca de 17 apresentaram argumentos nessa categoria Algumas unidades de sentido que a compõem são Resposta 2 acho importante de qualquer jeito fazer com que o estudante de licenciatura entre em contato com uma das mais poderosas ferramentas para entender o mundo sensível É importante ele entender seus aspectos básicos e principalmente o seu potencial de utilidade prática Resposta 23 nestes dias de computador o Cálculo ou Análise na reta não serve mais para calcular mas é a língua na qual se deve ser fluente para entender as leis da Física 1 Ensino Médio no nosso entendimento ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 25 Apresentamos para encerrar esta seção algumas idéias que a nosso ver não se enquadram em nenhuma das categorias propostas mas que consideramos relevantes para o debate sobre o tema Resposta 10 Na minha opinião depende se o aluno fez um bom curso de cálculo Neste caso é interessante abordar os temas acima Eu imagino que esta condição não é satisfeita pela grande maioria Por isso prefiro que aprendam bem aquela disciplina sem o rigor exigido em Análise na Reta Há alguns séculos atrás um senhor chamado Newton calculava derivadas do seguinte modo tomava acréscimo da variável diferente de zero para poder dividir o acréscimo da função Fazia algumas contas e no final tomava o acréscimo igual a zero Ele não errava uma apesar da implicância do bispo Berkeley Para mim o mais importante é que os alunos saibam para que serve uma derivada e uma integral Comentário nosso É interessante notar o ponto de vista deste matemático se o aluno já tivesse entendido os significados dos conceitos num bom curso de Cálculo então seria interessante formalizar entrar com o rigor da Análise na Reta Mas para que haja o entendimento não é necessário o rigor ou mais que isso pelo menos para os conceitos do Cálculo o entendimento deveria vir antes do rigor Resposta 21 Entretanto os reais deveriam ser apresentados menos formalmente na licenciatura Acho que é importante que o aluno de licenciatura saiba que raiz de 2 é apenas um símbolo para representar uma seqüência infinita de dígitos e que usando seqüências infinitas de dígitos podese representar todos os reais sim Seqüências e séries de números reais mas no espírito dito acima Acho que é importante saber que 1 ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 26 09999999999 e assim por diante A série geométrica deve ser explorada ao máximo afinal é a mais básica e talvez a mais útil de todas Agora se uma série exponencial estranhíssima converge ou não é algo que acho não deve ser dado num curso para licenciatura sim Continuidade de funções reais de variável real Mas a definição de continuidade que eu adotaria é a seguinte uma função definida num intervalo é continua se é possível traçar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel Evitaria exemplos esquisitos e artificiais nesse contexto Isso gerou confusões históricas fortes pois Ampere publicou em 1806 no CRAS um paper no qual demonstrava que toda função contínua é diferenciável Cauchy se enfureceu e definiu tudo por épsilons e deltas só que ainda não se sabia o que eram os reais Só quando Weierstrass mandou seu aluno Cantor professor secundário limpar a sujeira é que as coisas clarearam mas aí começou um formalismo terrível sim Derivada de funções reais de variável real Mas explorar a derivada de maneira suave como taxa de variação e expansão de Taylor voltam as séries sim Integral Riemann de funções reais de variável real Mas como medindo algo tangível A definição de área através da integral é para mim muito importantevoltam as séries Em resumo seria um curso que explorasse os aspectos analíticos e não os puramente diferenciáveis Comentário nosso Essa resposta dá a impressão de que o seu autor manteria a ementa usual mas modificaria a abordagem para tratar os assuntos sem forçar o formalismo o rigor a abstração sempre associando os conceitos matemáticos a algo tangível ou que já faça sentido para o aluno De todo modo talvez pudesse ser contraargumentado que um curso de Cálculo ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 27 bem desenvolvido como coloca o autor da resposta 10 poderia realizar essa proposta de abordagem Observamos no entanto que a resposta deste matemático à primeira parte da questão 3 se a disciplina deve ou não ser obrigatória para a licenciatura foi afirmativa Resposta 27 Formalização do Contínuo Numérico Noção de limite através da derivada taxas em variável contínua O processo da medição de áreas com a integral A série geométrica nos números reais e uso de sistemas de numeração Comentário nosso Essa resposta parece sugerir uma espécie de ementa para a disciplina É possível que de uma forma muito sintetizada ela expresse algo parecido com o conteúdo da resposta 21 logo acima Uma sumarização dos resultados apresentados nesta seção indica que a Uma ementa fortemente respaldada pelos respondentes para a disciplina Análise Real num curso de licenciatura em matemática seria formada pelos seguintes tópicos 1 O conjunto dos números reais como corpo ordenado completo 2 Seqüências e séries de números reais 3 Continuidade de funções reais de variável real 4 Derivada de funções reais de variável real 5 Integral Riemann de funções reais de variável real b O livro Análise I de Djairo Guedes de Figueiredo foi recomendado como texto a ser utilizado na disciplina por quase 60 dos respondentes Análise na Reta de Elon Lages de Lima foi recomendado por quase 40 e Análise para a licenciatura de Geraldo Ávila por cerca de 30 alguns respondentes indicaram mais de um livro c Cerca de 90 dos respondentes são da opinião de que a disciplina Análise Real deveria ser obrigatória num curso de licenciatura em matemática ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 28 Discussão dos resultados e questões para o aprofundamento do debate Nesta seção desenvolvemos uma reflexão crítica a respeito dos argumentos sintetizados nas categorias 1 2 e 3 da seção anterior Antes porém fazemos algumas observações sobre a perspectiva segundo a qual elaboramos esta reflexão Em primeiro lugar gostaríamos de chamar atenção para o fato de que como esperávamos a discussão sobre o papel da disciplina Análise Real no currículo do curso de licenciatura acabou extrapolando o simples questionamento dos conteúdos listados na ementa ou no programa da disciplina remetendo a uma questão mais ampla que se refere às diferentes concepções de formação matemática para o professor da escola básica É a partir dessa perspectiva mais geral que desenvolvemos a nossa reflexão Em segundo lugar entendemos que uma discussão no sentido em que o termo é empregado aqui não se reduz a apor ou contrapor nossas opiniões pessoais às dos respondentes Tratase antes de situar estas últimas em relação a estudos e pesquisas sobre formação de professores relatados na literatura Desse modo esperamos estar contribuindo para o avanço de um debate que já se vem desenvolvendo em outros países e que no nosso entendimento pode ter implicações importantes tanto do ponto de vista teórico como em relação à prática concreta de formação de professores no Brasil Observamos por último que toda discussão incluindo naturalmente essa que desenvolveremos em seguida está inevitavelmente parametrizada pelos pressupostos e referenciais teóricos incorporados pelos debatedores Seguramente outras perspectivas existem segundo as quais poderiam ser abordadas as questões aqui tratadas Esperamos que essas perspectivas e abordagens possam eventualmente vir a público proporcionando um enriquecimento da discussão e ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 29 possibilitando a construção de uma visão ampliada da problemática em questão Categoria 1 A disciplina deve ser obrigatória no curso de licenciatura porque se constitui em ocasião privilegiada para o aluno tomar contato com o que significa matemática e com as formas como os matemáticos pensam Desenvolve o raciocínio lógico e a capacidade de pensar matematicamente proporcionando também maior maturidade intelectual ao aluno O trabalho na disciplina abrange métodos técnicas estruturas concepções e valores fundamentais da matemática constituindose assim em uma introdução ao que se poderia chamar de cultura matemática Discussão Schöenfeld 1992 desenvolve um ponto de vista a respeito do ensino da matemática na escola segundo o qual a ação pedagógica do professor deve se direcionar para a promoção do pensar matematicamente contrapondose à ênfase usual que segundo ele é posta nos algoritmos para efetuar cálculos na memorização de fatos matemáticos ou na reprodução de determinados procedimentos Partindo de um trabalho envolvendo atividades como resolução de problemas em grupos explorando pedagogicamente o conceito de zona de desenvolvimento proximal de Vigotsky Schöenfeld avança até uma análise das relações entre aculturamento e cognição associando fortemente a aprendizagem da matemática com um processo de internalização da perspectiva do matemático E chega mesmo a afirmar que um componente fundamental do ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 30 pensar matematicamente é ter um ponto de vista matemático isto é ver o mundo à maneira dos matemáticos5 p 340 Por outro lado os argumentos que agrupamos na Categoria 1 convergem para a idéia de que a disciplina Análise Real deve ser obrigatória na licenciatura porque possibilitaria ao professor da escola básica entre outras coisas desenvolver o pensar matematicamente observar como os matemáticos pensam compreender o que significa matemática ou ainda ter acesso mesmo que parcial e restrito a uma cultura específica a cultura matemática No nosso entendimento essa categoria de argumentos sinaliza que na visão de uma parcela dos matemáticos o professor da escola básica deveria ter uma formação matemática na licenciatura que o preparasse para se não ver o mundo à maneira dos matemáticos como quer Schöenfeld pelo menos ver a matemática à maneira dos matemáticos A análise de Schöenfeld que ainda aborda questões como metacognição e o fazer sentido em matemática6 e que de certa forma poderia servir como fundamento teórico para os argumentos agrupados nessa Categoria 1 configura de fato uma perspectiva atraente como alternativa à tão criticada prática pedagógica que no limite reduz a educação matemática escolar à memorização e uso mecânico de fórmulas aos cálculos sem muito sentido e à apreensão passiva de conceitos e resultados sem significados Podese entretanto questionar essa visão de Schöenfeld em relação ao ensino e à aprendizagem da matemática na escola pelo menos no que se refere a um aspecto fundamental por mais difícil que seja obter um consenso sobre os objetivos do processo de escolarização e o papel da educação matemática dentro desse processo acreditamos não ser objeto de muita 5 No original a fundamental component of thinking mathematically is having a mathematical point of view that is seeing the world in the ways mathematicians do Todas as citações marcadas com o símbolo são traduções nossas de originais em inglês 6 No original em inglês sense making in mathematics ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 31 polêmica a afirmação de que a escolarização se refere a uma educação de caráter básico e geral e que não se coaduna com a idéia de dotar os alunos de uma ótica tão específica e particular como a do matemático profissional Pensar matematicamente no contexto da educação básica se por um lado implica de fato a construção de conhecimentos e o desenvolvimento de formas de pensamento de uma área específica do saber escolar não nos parece incluir por outro a internalização de uma visão própria de um grupo profissional altamente especializado como o dos matemáticos Mesmo porque caso se generalizasse essa meta teríamos os alunos da escola submetidos à construção de uma gama de modos de ver o mundo à maneira dos geógrafos profissionais dos biólogos profissionais dos matemáticos profissionais dos historiadores profissionais etc Por outro lado a profissão do professor de matemática da escola básica não se identifica nem mesmo parcialmente com a profissão do matemático Os saberes profissionais as condições de trabalho as necessidades relativas à qualificação profissional os resultados do trabalho profissional tudo concorre muito mais para diferenciar do que para identificar as duas profissões Por que então a nosso ver essa seria uma questão a ser aprofundada numa eventual seqüência do debate a formação matemática do professor da escola básica deveria se constituir a partir de valores concepções e práticas específicas de uma cultura matemática a qual se tem relacionado historicamente com as práticas valores e concepções da cultura escolar quase sempre através da emissão de prescrições Em segundo lugar quando se considera a formação do professor do ensino básico devese levar em conta que existem indicações de que as visões dos matemáticos profissionais acerca de determinadas questões referentes ao conhecimento matemático podem se mostrar inadequadas para a educação escolar básica ou mesmo conflitantes com uma visão que valorize os aspectos cognitivos ou didáticopedagógicos visão essa que é fundamental na prática educativa escolar ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 32 Vinner 1991 por exemplo abre seu artigo sobre o papel das definições no ensinoaprendizagem da matemática referindose a um conflito entre a estrutura da matemática como os matemáticos a vêem e processos cognitivos de formação dos conceitos Definições criam um sério problema no aprendizado da matemática Elas representam talvez mais do que qualquer outra coisa o conflito entre a estrutura da matemática da forma como é concebida pelo matemático profissional e os processos cognitivos de formação de conceitos p65 Grifo nosso Sfard 1991 desenvolve uma análise do processo de abstração na matemática relacionando dois aspectos de um mesmo conceito o operacional em que o conceito é visto como processo e o estrutural o conceito como objeto Segundo ela muitos conceitos matemáticos apresentam dual e complementarmente os aspectos operacional e estrutural sendo que na formação do conceito o aspecto operacional seria precedente e portanto uma base sobre a qual se construiria a sua dimensão estrutural O nível de abstração mais elevado correspondente ao aspecto estrutural seria atingido através das fases de interiorização em que se modelam mentalmente as ações correspondentes ao aspecto processual do conceito de condensação em que as ações interiorizadas são coordenadas de modo que o processo é captado como um todo e de reificação em que o processo se transforma finalmente em objeto7 Sfard fornece vários exemplos de conceitos básicos da matemática escolar números naturais racionais negativos função que teriam passado por processos de interiorização e condensação até serem tomados como objetos matemáticos E cita resultados de algumas de suas pesquisas que reforçariam a tese de que no processo de aprendizagem o aspecto operacional do conceito precede o estrutural 7 Observamos que a palavra reificação é utilizada por SFARD 1991 em um sentido específico que difere daquele usualmente empregado na sociologia ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 33 Uma implicação dessa tese seria a insuficiência para a educação escolar de uma visão lógicoformaldedutiva da matemática visto que as definições formais por exemplo que desempenham um papel fundamental nesse modo de organização do conhecimento matemático geralmente apresentam os conceitos já no seu aspecto estrutural ocultando de certa forma as etapas de interiorização e de condensação que em princípio facilitariam a construção da reificação Os esquemas referidos por Sfard são retomados por Dubinsky 1991 com um enfoque voltado para a matemática universitária Seguindo Piaget Dubinsky distingue três tipos de abstração a empírica a pseudo empírica e a reflexiva A primeira consistiria de abstrações a partir de propriedades dos objetos a segunda de abstrações a partir de ações do sujeito sobre o objeto e a última a abstração reflexiva a partir da interiorização e coordenação dessas ações num processo que leva à construção de um novo objeto dizse que ele é então encapsulado nos termos de Sfard os elementos processuais do aspecto operacional são tornados coisa reificados Dubinsky prossegue então descrevendo como a formação de certos conceitos matemáticos pode estar conectada com as construções mentais descritas no processo de abstração reflexiva Ao analisar entre outros exemplos as idéias envolvidas na prova por indução Dubinsky identifica pontos no desenvolvimento do processo de ensino aprendizagem em que se nos restringirmos a uma visão estritamente matemática da questão podemos ser levados a ignorar ou minimizar dificuldades específicas que são importantes do ponto de vista cognitivo Retornando agora à construção da prova por indução apresentamos um exemplo de uma etapa que nossa pesquisa aponta como oferecendo sérias dificuldades cognitivas ao aluno enquanto do ponto de vista estritamente matemático não há nem mesmo uma etapa a ser considerada Estamos nos referindo à noção de que numa prova por indução não se prova a tese diretamente mas a implicação entre duas proposições derivadas dela Seja P a ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 34 proposição a ser provada e seja Q Pn Pn1 Então de um ponto de vista matemático não há nada de novo em Q isto é uma vez que se entende P então como um caso especial entendese Q Entretanto como já observamos com os estudantes as coisas não se passam desta maneira isto é este não é o caso do ponto de vista cognitivo Em primeiro lugar proposições do tipo Q são as mais difíceis para os alunos e são geralmente as últimas a serem encapsuladas Além disso há uma diferença entre construir Pn a partir de uma dada proposição e construir Q a partir de P Essa é que é a etapa a ser ultrapassada Se alguma sutileza há aqui então se explica a dificuldade que os estudantes têm precisamente neste ponto DUBINSKY 1991 p112113 De um ponto de vista abrangente o que parece ocorrer é que os conhecimentos matemáticos profissionais do professor da escola se constituem a partir de seleções adaptações ampliações e transformações do conhecimento matemático lógicoformaldedutivo produzindo como resultado desse processo uma visão bastante diferenciada em relação àquela compartilhada pela comunidade dos matemáticos Essas ações adaptar selecionar transformar ampliar se desenvolvem parametrizadas pelas condições e demandas específicas da prática docente escolar entre elas o propósito educativo e as diferentes questões relacionadas aos processos de aprendizagem e de ensino e constituem em muitas circunstâncias verdadeiros atos de produção de saber SHULMAN 1987 FIORENTINI et al 1999 TARDIF 2002 Assim em particular ao se estruturar o processo de formação na licenciatura não se pode perder de vista que as visões dos professores da escola a respeito da matemática com suas propriedades impropriedades e insuficiências se estabilizam de fato é no interior da cultura escolar com todas as suas limitações suas questões práticas e teóricas específicas seus valores e seus diferentes condicionantes internos e externos ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 35 Categoria 2 A disciplina proporciona uma compreensão sólida e profunda dos conceitos básicos da matemática escolar explica os porquês e dá mais segurança ao futuro professor da escola Proporciona a construção de uma visão integrada e logicamente consistente da matemática elementar em substituição a uma visão que a concebe como um amontoado desconexo de fórmulas e regras Discussão Antes de avançar nessa discussão talvez seja interessante observar que embora as categorias 1 e 2 constituam dois conjuntos de argumentos de natureza diferenciada uma área de interseção das duas é inevitável Assim na forma em que desenvolvemos a discussão da categoria anterior já avançamos sobre certos aspectos e assentamos alguns elementos para o debate a respeito desta segunda Posto isso o questionamento específico a ser colocado aqui seria o seguinte Em que medida e em que aspectos a promoção de uma percepção avançada da matemática elementar na licenciatura pode ser tomada concretamente como um aprofundamento do conhecimento matemático visando a prática docente escolar Por exemplo com relação aos números reais em que medida e em que aspectos específicos a percepção desse conjunto numérico como um conjunto de objetos onde são satisfeitos os axiomas de corpo ordenado completo poderia fornecer uma visão sólida ou profunda para a educação escolar explicar os porquês e dar mais segurança ao professor da escola básica Se um aluno da escola pergunta o porquê da comutatividade do produto de números reais por exemplo seria uma explicação adequada ao processo de educação escolar dizer a ele que isso é um dos axiomas a que os reais devem satisfazer ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 36 Colocando a questão em termos mais gerais poderíamos perguntar de que formas concretas a apresentação formal do conjunto dos números reais e um tratamento rigoroso das noções de continuidade derivada e integral como se costuma fazer na disciplina Análise na Reta contribuiriam para dar segurança ao professor da escola ou para fornecer argumentos que possam ser usados para explicar os porquês que se colocam em questão na prática pedagógica escolar Já em 1930 Knight referindose à Aritmética analisava essa questão nos seguintes termos É bastante generalizada a idéia de que os matemáticos é que devem ser os responsáveis pela visão da aritmética a ser veiculada nos cursos de formação de professores entretanto uma procura assídua na literatura não consegue revelar como o domínio da matemática avançada pode ajudar no ensino da aritmética Por outro lado é interessante pensar na possibilidade de existência de vários tipos de conhecimento da aritmética Consideremos por um momento que há uma distinção útil entre o conhecimento da aritmética do ponto de vista da matemática e o conhecimento da aritmética do ponto de vista do ensino Quando a aritmética é analisada do ponto de vista do seu aprendizado pela criança um conjunto diferente de critérios deve ser usado na avaliação do que seja dominar o assunto KNIGHT 1930 p161 Grifo nosso Embora outros autores a tenham igualmente questionado a idéia de que uma visão avançada da matemática elementar signifique necessariamente uma formação sólida ou profunda para o futuro professor da escola básica tem sido tomada como um consenso natural desde os tempos em que o professor era formado no esquema 31 ou seja os tempos da fórmula explícita licenciatura bacharelado didática No entanto nos últimos 20 anos com o desenvolvimento de variados estudos sobre a prática dos professores e seus conhecimentos profissionais essa crença começa a ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 37 ser posta em questão com maior repercussão Alguns estudiosos começam a fazer perguntas como as que colocamos acima e apoiados em indícios coletados em suas investigações passam a assumir uma atitude questionadora em relação à noção de que conhecer matemática no sentido da matemática avançada isto é submetida a um modelo de organização axiomática utilizando uma linguagem formal com os conceitos unificados num alto grau de abstração e generalidade etc nem sempre significa conhecer a matemática escolar no sentido de ser capaz de dar respostas às questões que se colocam para o professor em sua prática docente escolar SHULMAN 1987 MARKS 1990 LLINARES 1995 COONEY 1999 LINS 2003 MOREIRA e DAVID 2003a 2003b Um outro argumento em favor de uma apresentação lógicoformal dedutiva da matemática como é feito usualmente na disciplina Análise na Reta para o curso de licenciatura referese à constituição de uma visão estruturada e conexa do conhecimento matemático Mas perguntamos não estaria tal argumento fundado na idéia de que a única alternativa ao amontoado desconexo de fórmulas e regras que sem dúvida é parte efetiva da realidade escolar seria a sistematização axiomática Não seria possível pensar em uma organização e sistematização do conhecimento matemático orientada para a prática pedagógica na educação escolar básica ou seja referenciada nas questões da prática do professor da escola e não necessariamente nas da prática do matemático Categoria 3 A disciplina constitui para o aluno um espaço de percepção da matemática como um instrumento que permite um entendimento profundo de certos fenômenos naturais e que tem aplicações em outras ciências ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 38 Discussão O desenvolvimento de uma percepção da matemática como um conjunto de conhecimentos que são úteis e muitas vezes cruciais para se compreender melhor certos fenômenos da natureza ou mesmo algumas situações do cotidiano social é sem dúvida um elemento fundamental da formação do professor da escola básica Quanto a isso pensamos não haver grandes divergências A questão que se poderia colocar aqui referese à forma segundo a qual se deve trabalhar no curso de licenciatura a construção desse tipo de visão do conhecimento matemático Duas perguntas são inevitáveis no contexto dessa argumentação em favor da obrigatoriedade da Análise na Reta para a licenciatura com uma ementa e referências bibliográficas como as indicadas pela grande maioria dos 31 respondentes de que modo a disciplina Análise na Reta poderia acrescentar à formação do futuro professor da escola básica elementos diretamente relacionados com aplicações a outras ciências Não seria mais adequado redimensionar o trabalho nas disciplinas de Cálculo Equações Diferenciais Física etc associando talvez uma abordagem que contemple discussões mais refinadas sobre o uso de modelos por exemplo de modo a promover o desenvolvimento de uma percepção ampla e elaborada dessa dimensão aplicada do conhecimento matemático Considerações finais Estudos sobre os conhecimentos profissionais e sobre a prática dos professores de matemática da escola sugerem que o conhecimento matemático em sua sistematização lógicoformaldedutiva e suas formulações conceituais com base nas estruturas como é usualmente apresentado na disciplina Análise Real por exemplo está longe de ser suficiente para dar conta das questões que se colocam para o professor em sua prática pedagógica Uma crença bastante generalizada mas que ainda ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 39 carece de fundamentação empírica eou teórica é a de que tal conhecimento seja fundamentalmente necessário à formação do professor de matemática da escola básica Essa crença por seu turno tem dado sustentação a um tipo de estruturação dos cursos de licenciatura em que o conteúdo da formação matemática é concebido como um corpo de conhecimentos que se situa estritamente no interior do campo da matemática acadêmica ie a matemática tal como é vista pelos matemáticos profissionais Uma das principais conseqüências disso é a conclusão de que a tarefa de articulação desses conhecimentos com a prática docente na escola deve se desenvolver no exterior da própria formação matemática uma espécie de missão impossível das chamadas disciplinas integradoras Ou então como ocorre com freqüência essa articulação acaba derivando do esforço individual do licenciado ao iniciar a sua prática docente Por outro lado com o enorme desenvolvimento das ciências cognitivas aplicadas a questões específicas referentes ao aprendizado da matemática e com a proliferação de estudos e investigações sobre a prática docente escolar e os saberes profissionais associados a essa prática fica claro que uma articulação fundamentada entre os conhecimentos trabalhados na formação matemática e as questões postas pela prática pedagógica na escola básica é uma tarefa excessivamente complexa para ser atribuída ao esforço individual do licenciado ao longo de sua prática Há um consenso hoje de que essa articulação deve ser considerada como uma das mais importantes tarefas dentro do próprio processo de formação na licenciatura A questão que se discute entretanto é como realizar institucionalmente essa tarefa tendo em vista o fracasso histórico do modelo das disciplinas integradoras Uma alternativa seria a reorganização do processo de formação matemática dentro da licenciatura para que ele não se desenvolva de maneira autônoma acarretando que o restante das atividades do curso tenha que se estruturar para lhe dar um sentido pedagógico visando a prática escolar mas que ao contrário a formação matemática se realize em conexão efetiva com as questões que se colocam ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp v13 n 23 janjun 2005 40 na prática docente na escola idéia que já vem orientando algumas experiências de formação continuada ver por exemplo FIORENTINI JIMENEZ 2003 Não se trata nesse caso de uma concepção que implique necessariamente baixar o nível da formação matemática na licenciatura como freqüentemente é alegado Tratase exatamente de superar essa visão dicotomizada das relações entre formação matemática sólida e as demandas de conhecimento da prática docente escolar Tratase de trabalhar a formação matemática do futuro professor no sentido de promover a elaboração de uma síntese que seja ao mesmo tempo provisória pois será seguramente reelaborada a partir da experiência e complementar ao processo de formação que se desenvolve na prática para que a reelaboração não tenda a negar essa síntese e sim a estendêla e aprofundá la Essas idéias levam ao interesse por um entendimento aprofundado da prática docente escolar em matemática e por respostas concretas a questões que se referem ao papel ao dimensionamento adequado e à contribuição efetiva que um enfoque avançado pode oferecer ao processo de articulação da formação do professor com a prática na escola Essa seria então uma direção possível para o prosseguimento e aprofundamento da discussão mais genérica que apresentamos neste texto Referências bibliográficas BARDIN L Análise de conteúdo Lisboa Edições 70 1979 BRASIL Ministério da Educação Conselho Nacional de Educação Parecer CNECP 282001 Aprovado em 02102001 Brasília 2001 Disponível em httpwwwmecgovbrsesuftppareceres02801formprofdoc Acesso em 29052005 COONEY TJ Conceptualizing teachers way of knowing Educational Studies in Mathematics n 38 p 163187 1999 RESENHA Por que análise real na licenciatura de Plínio Cavalcanti Moreira Helena Noronha Cury e Carlos Roberto Vianna No trabalho analisado a seguir os autores três professores universitários descrevem acerca de uma pesquisa realizada com 31 matemáticos de 14 instituições renomadas onde os participantes responderam questões sobre a disciplina denominada Análise Real nos cursos de licenciatura em matemática No resumo os autores apresentam o objetivo principal do trabalho bem como a metodologia utilizada para coleta de dados e a caracterização dos sujeitos da pesquisa Optaram por detalhar sobre o método de análise de dados utilizado na pesquisa que mesmo sem citar a autora de referência fica claro que se trata do método segundo Laurence Bardin Na introdução são postas duas questões teóricas consideradas fundamentais para a formação do professor da escola básica São elas a De que se compõem os saberes profissionais dos professores da escola básica e como se situa no interior desse conjunto de saberes o conhecimento matemático apreendido ao longo do processo de formação na licenciatura b A prática docente escolar limitase a uma transmissão dos saberes disciplinares ou ela se constitui num espaço mais complexo e elaborado de atividades tais como seleção tradução adaptação e mesmo produção de saberes MOREIRA CURY VIANA 2005 p 2 Então a partir de tais questionamentos os autores destacam como relevância da pesquisa a importância de a comunidade científica dos matemáticos avançar nessa discussão a fim de demonstrar e reiterar a influência de tal comunidade no desenho dos cursos de licenciatura de grandes instituições universitárias no Brasil Em contextualização é destacado que a disciplina Análise Real é considerada um dos pilares da formação do bacharel em matemática com um destaque importante para quanto a isso pensamos não haver nenhuma polêmica MOREIRA CURY VIANA 2005 p 2 Sendo assim neste momento é preciso ler o parágrafo com atenção pois à primeira vista já se pode questionar Se é um pilar tal pesquisa visa questionar a formação por completo porém é a partir deste ponto que se pode perceber que a intenção é diferenciar o bacharelado da licenciatura e sua relevância para a atuação prática do professor de matemática já que no Brasil os cursos de licenciatura formam professores para o Ensino Básico Considerando então que os licenciandos já têm em sua grande curricular disciplinas que incluem o estudo das funções reais como Cálculo Diferencial e Integral se questiona na pesquisa de quais tópicos deveria tratar a disciplina Análise Real e com que tipo de abordagem Deveria ela ser obrigatória no curso de licenciatura Por quê Explicitando que se trata de uma pesquisa qualitativa de caráter exploratório e que mesmo com dados quantitativos apresentados não se deve utilizar os resultados para generalizar à comunidade dos matemáticos 80 professores universitários foram contactados através de seus respectivos emails porém as respostas recebidas foram de 31 destes No questionário além da apresentação da pesquisa os autores solicitaram que fossem respondidas 3 questões 1 Assinale os itens que na sua opinião deveriam ser trabalhados numa disciplina de Análise na Reta para a licenciatura em matemática se for o caso acrescente outros O conjunto dos números reais como corpo ordenado completo Seqüências e séries de números reais Continuidade de funções reais de variável real Derivada de funções reais de variável real Integral Riemann de funções reais de variável real 2 Indique os livros que você recomendaria para a disciplina Análise na Reta em um curso de licenciatura em matemática Análise Real volume I Elon L Lima Análise I Djairo G de Figueiredo Introdução à Análise Matemática Geraldo Ávila Outro Qual 3 Pense na disciplina Análise na Reta com uma ementa dada aproximadamente pelos tópicos listados na pergunta 1 e uma abordagem semelhante à da bibliografia relacionada na pergunta 2 Na sua opinião todo curso de licenciatura em matemática deveria ter essa disciplina como obrigatória Sim Não Se lhe coubesse defender a permanência da disciplina Análise na Reta como obrigatória para o curso de licenciatura em matemática que argumentos você apresentaria MOREIRA CURY VIANA 2005 p 5 Iniciando o questionário com duas perguntas que solicitam aos sujeitos que respondam sobre como eles acham que deveria funcionar a disciplina Análise na Reta nos cursos de licenciatura talvez tenha comprometido um pouco o espaço de questionamento de se a disciplina deve ou não ser obrigatória A segunda pergunta não foi situada para o leitor compreender a que reflexão essa questão nos levaria Os resultados quantitativos apresentados foram os seguintes na primeira questão 935 dos participantes responderam que os itens Seqüências e séries de números reais Continuidade de funções reais de variável real e Derivada de funções reais de variável real deveriam ser trabalhados nas licenciaturas 871 dos sujeitos apontaram que Integral Riemann de funções reais de variável real deveria ser trabalhado enquanto outros 3 participantes descreveram outros pontos a serem trabalhados na disciplina como Seqüências e séries de funções Cardinalidade Construção dos reais Aplicações na Física crescimento populacional etc Topologia do plano Uma introdução à teoria dos conjuntos Funções elementares de um ponto de vista superior Aproximações diofantinas frações contínuas Transcendência e irracionalidade de π Com relação aos livros indicados além dos apontados na questão mais 12 livros foram indicados Sobre a obrigatoriedade da disciplina na licenciatura 29 pessoas responderam que concordam com a obrigatoriedade e 2 pessoas não responderam Nenhum dos sujeitos discordou da obrigatoriedade da disciplina na licenciatura de matemática Uma das pessoas que concordou com a obrigatoriedade explicou de forma extensa que defende que a abordagem da disciplina na licenciatura precisa ser modificada para ser mais palpável e menos abstrata ao licenciando As categorias apontadas a partir da análise de conteúdo foram que a disciplina deve ser obrigatória no curso de licenciatura por ser uma ocasião em que o licenciando tem contato com o significado da matemática como os matemáticos pensam além de desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de pensar matematicamentecategoria discutida pelos autores a partir de Schöenfeld Vinner Sfard e Dubinsky a disciplina dá mais segurança ao professor por proporcionar uma compreensão sólida e profunda dos conceitos básicos da matemática escolardiscutida a partir da categoria anterior complementada com Knight e a disciplina constitui para o aluno um espaço para compreender a matemática como instrumento de entendimento de fenômenos naturais com aplicação em outras ciências Na discussão da primeira categoria a partir das ideias de Schöenfeld Vinner Sfard e Dubinsky os autores demonstram uma discordância das respostas dos sujeitos da pesquisa explicitando que o pensar matematicamente na educação básica não necessariamente envolve um conceito super aprofundado da matemática e suas abstrações ao contrário pode prejudicar o aluno Para a discussão da segunda categoria os autores informam que é interessante pegar o gancho dos argumentos da discussão anterior complementando com outras especificidades trazidas por Knight que defendem que em lugar de pensar no professor de matemática como próximo da prática do matemático talvez fosse necessário pensar como este mais próximo das práticas pedagógicas na educação escolar básica Em suma apesar de não colocarem na introdução os pressupostos os autores analisaram os dados a partir de autores que sustentaram visões diferentes das respostas obtidas ou seja os dados serviram para demonstrar a visão dos professores sobre a obrigatoriedade ou não da disciplina e não para influenciar no desenho dos cursos de licenciatura conforme explicitado anteriormente Houve a impressão de que a segunda pergunta do questionário não teve relevância para as discussões postas porém os questionamentos colocados no decorrer da pesquisa são significativos para licenciandos em matemática visto que a disciplina na educação básica ainda é tratada com receio pelos alunos talvez justamente pelo histórico de professores que se atém ao conteúdo matemático aprofundado sem dar a devida importância ao caráter pedagógico de sua atuação