Atividade de Análise 2

Questão 1 Assim como foi provado no vídeo que se a 1 existe lim n a1n1 prove que se a 1 então 11 xₙ a1n é uma sequência crescente e limitada 12 Existe o lim n a1n 13 E o lim n a1n1 2 Questão 2 21 Seja xₙₙN um sequência crescente prove ou lim n xₙ ou xₙₙN é limitada 22 Se xₙₙN é uma sequência onde lim n xₙ então dada qualquer subsequência xₙₖₖN é tal que lim k xₙₖ 23 Use o resultado acima para provar que a subsequência de N dado por 2ⁿₙN é tal que lim n 2ⁿ 24 Prove que se lim n xₙ e yₙₙN é uma sequência tal que yₙ xₙ então lim n yₙ 3 Dada as sequências abaixo verifique se cada uma delas converge ou diverge justificando suas afirmações xₙ n155ⁿ 1ⁿn a1n 1hⁿ colocando h fixo 11 Crescente 1an1 1aⁿ a está entre 0 e 1 a função ax é decrescente Como é elevado a Potências que se aproximam de zero o efeito é o oposto 1n1 1n como a 1 elevando a a ambos os lados a1n1 a1n Limitada É Limitada superiormente Por 1 Pois 0 1n 1 Para todo n Já que a 1 e 1n 0 A sequência é Limitada inferiormente Por a Pois a1n Para n 1 12 xₙ a1n é crescente e limitada converge para um Limite lim n a1n 13 lnL lnlim n a1n lim n lna1n lim n 1n lna lnL0 lna 0 L e⁰ 1 lim n a1n 1 21 SUPondo que xₙₙN não seja Limitada Significa que Para qualquer M 0 existe um n N tal que xₙ M Como a sequência é crescente Para todo m n xm xₙ M lim n xₙ Se xₙ é Limitada então existe M 0 tal que xₙ M Para todo n N Significa que a sequência é Limitada superiormente e inferiormente 22 como lim n xₙ Para qualquer M 0 existe um N N tal que Para todo n N xₙ M Considerando uma subsequência xₙₖₖN como nₖ é uma sequência crescente de Inteiros lim k nₖ Existe um K N tal que Para todo k K temos nₖ k Assim para todo k K xₙₖ M lim k xₙₖ 23 Considerando a sequência xₙₙN definida Por xₙ n lim n n Agora considerando a subsequência xₙₖₖN definida Por xₙₖ 2k como lim n n então lim k 2k Portanto lim n 2ⁿ 24 como Lim n xn Para qualquer M 0 existe um N N tal que Para todo n N xn M Como yn xn Para todo n N então Para todo n N temos yn xn M Então Para qualquer M 0 existe um N N tal que Para todo n N temos yn M Lim n yn 3º 1 Xn n 1n 5n 1n tende a 1 quando n tende ao infinito 5n tende ao infinito quando n tende ao infinito a sequência se comporta como 1 que tende a 0 A sequência converge para 0 2 1n n o numerador 1 alterna entre 1 e 1 o denominador n tende ao infinito a sequência se comporta como 1 que tende a 0 A sequência converge para 0 3 a1n 1hn a1n tende a 1 quando n tende ao infinito para a 0 1 hn tende ao infinito quando n tende ao infinito Para h 0 A sequência se comporta como 1 que tende a 0 A sequência converge para 0 assumindo a 0 e h 0 wwwplasticorcombr