Augusto Cesar de O Morgado - Analise Combinatoria e Probabilidade p134-191

1. Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.\n\n2. (Pegar com dados) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em:\n\na1 = todos diferentes;\na2 = duas iguais;\na3 = três iguais; a4 = ... (continuação não legível)\n\n3. Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:\na) 12.000 leem A;\nb) 7000 leem B;\nc) 6000 leem C;\n\nd) 1000 leem A e C;\ne) 3000 leem A e B;\nf) 1000 leem B e C;\ng) 1500 leem A, B e C.\nQual é a probabilidade de que um habitante leia:\na) pelo menos um jornal;\nb) apenas um jornal;\n\n4. Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 escrevem-se em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente de maneira que vai aparecer em se mostrar para a cliente, formando um número de cinco algarismos. \n\na) Calcular a probabilidade de que o número escolhido seja par?\nb) Se escolhe aleatoriamente bola em uma probabilidade?\n\n5. Como ele é probabilitariamente bom em um turn.\na) Calcular a probabilidade de que os quartéis sejam iguais aos observados.\n\n6. Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada ...\n\n7. 5 homens e 5 mulheres compram 10 lanches consecutivos na mesma fila. Determine a probabilidade de que os homens se sentem alternadamente na fila e os grupos numpy.\n\n8. A probabilidade de que homens e mulheres se sentem juntas. 8. Um número entre 1 e 200 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que seja divisível por 7.\n\n9. Uma moeda foi criada da forma que é 4 vezes mais provável cair cara do que coroa. Calcular a probabilidade de cara e coroa.\n\n10. Aos números inteiros entre 1 e x são designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Calcular P(i) para 1 ≤ i ≤ 11.\n\n11. Treze dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 12 como soma dos três dados.\n\n12. Calcular a probabilidade de sair 2 como resultado.\n\n13. Considerando uma urna contendo n bolas, das quais m ≥ 2, são retiradas 2 bolas sem reposição. Calcular a probabilidade de tirar uma amostra de bola, com r ≤ n, e r ≤ m. Qual a probabilidade de que exatamente 2 das bolas tiradas sejam da mesma cor?\n\n14. Uma moeda equilibrada (probabilidade de cara = probabilidade de coroa = 1/2) é lançada. Calcular a probabilidade de que o primeiro lado apareça em k lançamentos a seguir.\n\n15. A seguir, a sequência de eventos tem a seguinte condição:\n\nP(A) = 1/5\n\nCalcular:\n\na) P(A ∩ B')\n\nb) P(A U B)\n\nc) P(A ∩ B)\n\nd) P(A U B')\n\n16. Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:\n\ne) Supondo a extração sem reposição;\n\nf) Supondo a extração com reposição;\n\n17. O jogo da Sena é descrito da seguinte maneira. Escolhem-se 6 números de 60 diferentes dentre os números de 01 a 60. O apostador escolhe 6 desses 60 como seus números. (a) O jogador é premiado se acerta os números (sem habilidade alguma). Determinar a probabilidade do mesmo apostador fazer:\n\na) acertar a mesma linha; b) uma linha e não outra; c) 2 linhas e 1 linha da outra; d) 3 linhas e 2 linhas da outra; e) 3 numa linha e 3 na outra; f) 1 pertencente a apenas três linhas, duas em cada; g) diferentes em linhas diferentes.\n\n18. As urnas A e B estão classificadas como as duas que podem conter a mesma receita e algumas recebas boas outras com... (continuação da questão não digitada).\n\n19. No último Desportivo há 13 grupos de apostadores devem cada um deles o direito de vida do time 2 ou 1. Um jogador permite\n\n20. A partir dos pontos e resultados dos 10 primeiros jogos e certas após uma perda suficiente de uma série de críticos (resumo não digitado).\n\n21. Com 12 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e o que apresenta dois resultados das 3 últimas; com 13 pontos, se acerta os resultados dos 13 jogos.\n\n22. A população homens e mulheres estão aleatoriamente em decimais em círculo. Calcule.\n\n23. A probabilidade dos homens e as mulheres se separarem é ...\n\n24. Com uma cota em dois servidores, ... que eles preferem de um x de ... funções principais e situações reais. As que precisam de diferentes responsabilidades reciproca-se.\n\n25. Coloca-se ao acaso em botões em um tabuleiro n × n, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de haver dois botões na mesma coluna?\n\n26. Um polígono regular de 2n + 1 lados está inserido em um quadrado. Escolhem-se 30 para os diversos, formando-se uma linha dentro do triângulo e, assim, o ponto n deve ser removido para o crescimento da linha, duplicando-se ainda mais.\n\n27. Nas cartas da Sena, as decisões adicionais são revistas em um sistema de linhas e linhas. A decisão está aperfeiçoada em um dos 6 diferentes dos lá de verdade: \n\na) necessitar a mesma linha;\nb) ... \nc) ... \nd) ... \ne) pertencer a 2 linha 1; \nf) pertencer a apenas três linhas, duas em cada; g) diferentes em linhas diferentes.\n\n28. Dois alunos da mesa foram ouvidos que foi um sensor comum; qual é a probabilidade de haver entre pessoas exat...?\n\n29. A probabilidade ou as determinações podem e ser comuns.\n\n30. O valor da página é 10 por A. Qual é a probabilidade de duas determinções pertencerem ao mesmo grupo? 25. Colocam-se ao acaso em botões em um tabuleiro n × n, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de haver dois botões na mesma coluna?\n\n26. Um polígono regular de 2n + 1 lados está inserido em um quadrado. Escolhem-se 30 para os diversos, formando-se uma linha dentro do triângulo e, assim, o ponto n deve ser removido para o crescimento da linha, duplicando-se ainda mais.\n\n27. Nas cartas da Sena, as decisões adicionais são revistas em um sistema de linhas e linhas. A decisão está aperfeiçoada em um dos 6 diferentes dos lá de verdade: \n\na) necessitar a mesma linha;\nb) ... (texto cortado)\n\n\n28. Dois alunos da mesa foram ouvidos que foi um sensor comum; qual é a probabilidade de haver entre pessoas exat...?\n\n29. A probabilidade ou as determinações podem e ser comuns.\n\n30. O valor da página é 10 por A. Qual é a probabilidade de duas determinações pertencerem ao mesmo grupo? Cap.5 Probabilidade\n\nPara calcular-la recorreremos à definição de probabilidade condicional e ao diagrama de árvore introduzido no item (b).\n\nTemos\n\nP(A|B) = P(A \u2229 B)\nP(B)\n\nP(A|B') = P(A \u2229 B')\nP(B)\n\nP(B) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')\n\nFig. 8.4\n\nA probabilidade condicional P(B|A) = P(B \u2229 A) / P(A)\n\nExemplo 5.16: Maria quer enviar uma carta à Verônica. A probabilidade de que Maria escreva a carta é 8/10. A probabilidade de que o correio não a perda é de 9/10.\n\nSolução: P(não escreve|não recebe) = P(não escreve) / P(não recebe)\n\nExemplo 5.17: Em uma casa há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para esta pergunta, embora tenham 3 possibilidades...\n\nSolução: Utilizando o Teorema de Bayes temos\n\nP(A_i) > 0, P(A_2) > 0, ..., P(A_n) > 0 Cap.5 Probabilidade\n\nDemonstração: Temos que\n\nP(A|B) = P(B \u2229 A) / P(B)\n\nUsando a identidade obtida na proposição anterior obtemos a fórmula pedida.\n\nExemplo 5.18: Num evento há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é correta. Portanto, para esta pergunta, embora tenham? Cap.5 Probabilidade\n\nDemonstração: Temos que\n\nP(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + ... + P(A_n)P(B|A_n)\n\nA figura 5.7 ilustra a situação do teorema.\n\nExemplo 5.18: Num evento há 3 respostas para cada pergunta é apenas uma delas é certa. Portanto, para esta pergunta? Como você escolher? À árvore correspondente é dada na figura 5.8. Sabe 1 Resposta correta 0,30 Resposta correta 1/3 Advinhon 0,70 Resposta errada 2/3 Resposta errada\n\nIntroduzindo finalmente a noção de independência de eventos. A definição que se encontra mais abaixo capta a ideia intuitiva de que a influência de um evento A sobre o ocorrência do não evento retorno B. De certa forma, a confirmação de A não molhar nossas posições para \"prestar\" a ocorrência de B. Esta ideia foi formalizada dizendo que a probabilidade condicionada de B dado A é igual a probabilidade de B. Em símbolos\n\nEsta identidade é equivalente a P(B ∩ A) = P(B) P(A)\n\nisto é P(B ∩ A) = P(B) P(A) Definição 5.4: A1, A2,..., An são independentes se \u000b V i = 1,2,..., k, então P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) P(A2) ... P(An)\n\nNota: Para provar que 2 eventos são independentes os devemos verificar uma identidade. Para provar que 2 eventos são independentes, é necessário verificar n = 1 eventos, pois n = 1 igual a número do conjunto como 2 ou mais elementos contidos mesmo conjunto de elementos). Não é absolutamente verdade todos os idênticos contidos em 2 eventos. Exemplo semelhante:\n\nSeguro 210.30 amostra apresentada na figura 5.9 com 4 pontos diferentes, e é P a probabilidade que associa a cada ponto o valor 1/4.\n\nExemplo 5.20: Um jogador deve enfrentar, em um tombola, dois eventos derivados todos jogados como independentes as probabilidades de ganhar de A de 8/10 e 2/3 respectivamente. Pergunta: Quais são as chances de ganhas com um dado jogar ABA ou BAB? Exemplo 5.21: A probabilidade de fechamento de cada rolô do circuito apresentado na figura 5.10 é igual p < 1, sendo: 1, 2, 3, L\n\nSe todos os rolos funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja corredor circulando entre os terminais A e B? \n\nSuponha: Seja A o evento que ocorreu se o rolô está feito, i = 1, 2, 3, 4, 5. \n\nEntão, P[C] = P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5) = P(A1) P(A2) P(A3) P(A4) P(A5)\n\nDesta forma C = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2)\n\n(P(A3) + P(A4) - P(A1 ∩ A3) Escolha-se ao acaso um número entre 1 e 50. Se o número é primo qual é a probabilidade de que seja ímpar?\n\n2. Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu cara, calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos lançamentos subseqüentes seja menor de 3.\n\n3. Uma moeda é jogada 4 vezes. Sabendo-se que o primeiro resultado foi cara, calcular a probabilidade condicionada de obter pelo menos 2 caras.\n\n4. Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que somou dos resultados foi 7.\n\n5. Um maquinista A e B produzem 1000 peças, cada um com 3% de defeituosas. A máquina A produz 700 peças e a B 300. Um deles estava com defeito, qual é a probabilidade de que haja defeito nas peças feitas pelo maquinista A?\n\n6. Se A e B são eventos independentes tais que P(A) = 1/3 e P(B) = 1/2.\n\n7. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A) = 1/4 e P(A ∪ B) = 1/3.\n\nCalcule P(B).\n\n10. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:\n\nA - cara na primeira jogada;\nB - cara na segunda jogada. Verifique que A e B são independentes.\n\n11. Com as mesmas hipóteses do exemplo 5.11 Calcule a probabilidade de que haja conector circulando entre os terminais A e B. 12. Provar que A, B e C são eventos independentes, então a) A, B e C são independentes, b) A¹, B¹, C¹ são independentes.\n\nNota: Em geral, se A e B, A é independente, então B1, B2, ..., Bn são independentes onde B1 é igual a alguns outros.\n\n13. (Problema dos Encontros de Montmort) Formas-se, ao acaso, uma permutação simples dos números 1, 2, …, n. Caso o número i ocupa a j-ésima lugar, qual é a probabilidade de i ter encontrado o próprio j? Calcule a probabilidade na permutação formalmente:\n\n14. tenha como resultado o encontro (k ≤ j) e b) haver um encontro na posição j de i onde exatamente k entre 2 não pessoas. \n\n15. tenha um encontro na posição j de i onde não se encontrou na posição j (i ≠ j).\n\n16. Ao resultado do 19 lançamentos é para A e B se independentes? A e B = C ∩ B e C ∩ A e B ∩ C?\n\n17. A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a probabilidade de um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto? 22. Resolva o problema anterior supondo extração sem reposição.\n\n23. A junta uma moeda não vívida (1 + 1) e B lança a mesma moeda n vezes. Qual é a probabilidade de A obter mais caras que B?\n\n24. Quantas pessoas devem evitar agir para ter a probabilidade igual ou superior a 0,5 de encontrar pelo menos um aniversariante hoje?\n\n25. En pares de 2N moços são divididos ao acaso em dois grupos de 2N pessoas cada. Qual é a probabilidade de em cada grupo haver tanto aniversariante como?\n\n26. Num exame em 1 bolas vermelhas, a 1 hora 24 serão alternadamente, sem reposição, bolas devem uma até a probabilidade de uma bola ser vermelha?\n\n27. Em uma classe de n + 1 habilitantes, uma pessoa ocupa um lugar e depois as outras, qual será a probabilidade de todos atenderem essa gente?\n\n28. Um jarro contém 10 bolas massaradas, sendo rectangulo, e 2 bolas brancas. Sucurtando as duas coisas, uma A deve fazer o ensino de uma nova máquina de rede. Seja A e observar trêma no par. Calcule\n\nc) P(A1);\nd) P(A|A1);\ne) P(A|A1). 36. Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas umas iguais. O prisioneiro desejou de modo que preferir a bola na sua urna (submissa cara pode ser feita). Ao ser revelado ao prisioneiro dever, de bole follas, exceto um prisioneiro e a urna, um bobo. Se boa for criada a sua liberdade, caso contrário, ocorrerá. Quando proceder o prisioneiro e para maximizar a probabilidade de liberdade?\n\n37. Qual é a probabilidade de um grupo de 4 pessoas:\n a) haver alguma coincidência de signos zoadiacais?\n b) essas terem um mesmo signo, e outras duas, outro signo?\n c) essas serem signos diferentes?\n\n38. Desejo em estar um probabilidade de um habitante de determinado estância s um assunto uma atulidade do momento. Para este determinante habitante, ou seja, se alguma pessoa habitas seja, será posto entre sim-de do conjunto onde propor-se ao Sr- M.A.I e cada etiqueta duas personalidades sob SIM-NAK:\n\nI) Essa será a situação anterior ao dia 2 de julho?\n\nII) Essa a impressão desejou de jogo em modo de sorteio?\n\n39. Essa sorte possui, as demais da mesma vista do movimento, que o se resolver ao mesmo princípio este jogo.\n\na) possa p \n b) 2\n\n40. Pode p a probabilidade de um designer depósito é bem.\n\na) Desejo em tornar 1 selênio de urna, quando fiz um resultado imaginar que p = 6, Qual seria, então, sun estimativa de p. 30. Uma firmas fábrica \"chips\" de computador: Em um lote de 1000 \"chips\", uma amostra de 10 \"chips\" revelou 1 \"chip\" defeituoso. Supomos que não houvesse \"chip\" defeituoso.\n\na) Calcule a probabilidade de em uma amostra de 20 \"chips\" haver exatamente 1 \"chip\" defeituoso.\n\nb) Determine o valor de mais maxima a probabilidade calculada em 10.\n\n5.5. A Distribuição Binomial\n\nConsideremos agora um experimento com apenas dois resultados positivos, que chamaremos de sucesso e fracasso.\n\nPor exemplo:\n\n\, Jogamos uma moeda não-viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?\n\nSolução: Pode sucesso em caras, temos p = 1/2, cada prova de p quaisquer são independentes, Como a probabilidade de sucesso de p, p equal a resposta a\n\nEx. 5.23: Jogamos uma moeda não-viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?\n\nSolução: Pode sucesso em caras, temos p = 1/2, cada prova de p são independentes. Portanto, sabendo que a probabilidade de 5 sucessos em 10 provas. Pelo teorema binomial, a resposta é\n\n(10)\n(1/2)(10 - 5)(1/2)5 = 252 (1/2)10.\n\nEx. 5.24: Um nário na axão os respostas em treze multiplas escolhem toda a questão e questões alternativas para a questão. Qual é a probabilidade de obter exatamente 4 questões? Exemplo 5.25: Jogue uma moeda não-viciada. Qual é a probabilidade de ser obtida 5 caras antes de 3 coroas?\n\nSolução: Pode sucesso em caras, gerando a probabilidade de ocorrências 5 sucessos antes que ocorram 3 fracassos. Ora, cobré 7 sucessos antes que ocorram 3 fracassos se os tais 7 primeiros frações correm pelo menos 5 sucessos.\n\nComo a probabilidade de sucesso em 7 prova é\n\nP5 + 1 = 7!\n(5)\n1\n2(1)5(—1)\n= 29\n= 23\n\nExercícios\n\n1. Se assume, com reposição, 4 bolas de uma urna que contém 7 bolas brancas e 3 bolas pretas. Qual é a probabilidade de escadar 3 bolas da cor da resposta?\n\n2. Lança-se um dado viciado até obter-se o tereiro. Seja A o número do lançamento em que se obtem.\n\n3. Dois adversários A e B disputam um partida de 10 partidas.\n\nA probabilidade de ganhar uma partida A é de 80% e de B de 20%, Qual é a probabilidade de A ganhar a série?\n\n4. Suponhamos uma característica, assim, se não há por falhas pares com engenheiros como A têm ao longo 3 motores e por falhas ver assim por dois indivíduos. Apêndice 1\nDemonstração do Princípio da Inclusão-Exclusão.\nSeja Ω um conjunto.\nSejam A1, A2, ..., An subconjuntos de Ω e sejam\n\ns0 = #(Ω),\ns1 = ∑_{i}#(Ai),\ns2 = ∑_{1 ≤ i < j ≤ n}#(Ai ∩ Aj),\n\ns3 = ∑_{1 ≤ i < j < k ≤ n}#(Ai ∩ Aj ∩ Ak)\n\nentão:\n\na) O número de elementos de Ω que pertencem a pelo menos p dos conjuntos A1, A2, ..., An é\na_{p} = \sum_{k = 0}^{p-1} (-1)^{k} \binom{p}{k} s_{p+k}\n\nb) O número de elementos de Ω que pertencem a pelo menos p dos conjuntos A1, A2, ..., An é\nb_{p} = ∑_{k = 0}^{p-1} (-1)^{k} \binom{p + k - 1}{k} s_{p+k}\n\nc) O número de elementos do conjunto A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An é\ns_{1} - s_{2} + ... + (-1)^{n-1}s_{n}\n\nDemonstrando o caso a: Como é óbvio, que um elemento de Ω pertence a menos do que p conjuntos A1, A2, ... e ele não é contado na soma o número de 1, então ele é contado na soma\n Apêndice 1\nLogo, o número de vezes que ele é contado na soma a_{e},\nO coeficiente de s_{p,s} (0 ≤ j ≤ s ≤ n) no j° membro é\n\n(-1)^{j} \binom{p}{j} + (-1)^{j+1} \binom{p}{j+1} + ... + (-1)^{j+n} \binom{p}{n}\n\nLogo, o que se quer... portanto\n...\n\na soma a_{p}\n\nDemonstrando do caso b: Termos\nb_{p} = a_{p} + b_{p-1} + b_{p+1} + ... a_{p} = s_{1}\n\n Apêndice 2\nA Solução de Kaplansky para o Problema de Lucas.\nTem-se que (n > j) casais que devem se sentar em 22 cadeiras diferentes em torno de um círculo do modo que pessoas de mesmo sexo não se sentem juntas e que nenhum homem fique ao lado de sua mulher. Que gerações não se pode ter feito?\n\nNúmero total de lugares na 2º\nA expressão de pessoas de mesmo sexo não se separem juntas os que homens ocupam os lugares pares e as mulheres os ímpares vice-versa. Escolhido\nsão pares há n homens e 2 lugares ímpares (n), de modo que falta escolher as mulheres há de maneira que a colocação\n\n\na figura A ilustra com 2 e 5. Deverá colocar\ncinqo mulheres M1, M2, M3, M4, M5 seus lugares para ocupar 1,2,3,4,5 de modo que M1 não pode ocupar os lugares 5 e 1, M2\n não pode ocupar 1 e 2, M3 não pode ocupar 2 e 3, M4 não pode ocupar 3 e 4 e M5 não pode ocupar 4 e 5.\n\nDefinamos, para 1 ≤ i ≤ n,\n\nΩ1 = conjunto das permutações das mulheres;\nΩi = conjunto das permutações das mulheres em que Mi ocupa o i-ésimo lugar.\n\nA = conjunto das permutações das mulheres em que Mi ocupa o (i − 1)-ésimo lugar. (OBS. 1 − 1 = 1)\n\nArranjos os 2n conjuntos na ordem:\nA1, A2, A3,..., An.\n\nQueremos determinar Un, número de elementos de Ω que não pertencem a nenhum dos conjuntos A1, A2,..., An.\n\nPelo Princípio da Inclusão-Exclusão,\n\nUn = ∑(k=0 to n)(−1)k C(n, k) S(k) A\n\nPara calcular Sk, observemos que:\n\n(i) Uma interseção de dois conjuntos A1, A2, A3,..., Ak\na) que contém dois dos consecutivos (imaginando-os em círculo) e vázios por exemplo, (A1, A2,..., Ak não permitem que M4 não possa ocupar simultaneamente os lugares 1 e 2. M1!\n\n(ii) Há, pelo segundo lema de Kaplanisky,\n\nSk = (2n)!(2n − k)!/(2n − k). \nLogo, Sk é uma soma com\n\n(2n)!\n(2n − k − k) possíveis de arranjo parciais iguais a (k − k)! e com a mesma parcela nula.\n\nPortanto,\n\n(Observe que essa fórmula vale para k = po só em M1).\n\nLogo,\n\n∑(−1)k C(n, k)(2n − k)! Para usar a segunda fórmula, temos\n\nDemonstrando da desigualdade (1 − 1/N)2 ≥ 1 − 8/N.\n\n(1 − 1/N)2 = (1 − 1/N)(1 − 1/N)\n(1 − 1/N) ≥ (1 − 1/N)N(1 − 1/N)N−1 ≥ =\n\nCom o mesmo raciocínio aplicado agora a temos\n\n(1 − 1/N)2 = (1 − 1/N)N−2/(1 − 1/N)\n\nContinuando temos\n(1 − 1/N)2 ≥ 2/N\n\n(1 − 1/N)3 ≥ 3/N3\n\ne finalmente (1 − 1/N)2 ≥ (1 − 1/N)n−1/N − 1 − 8/N. Respostas dos Exercícios\n\nSeção 2.1\n1) 15 800, 2) 9 765 625, 3) 4536, 4) 132, 5) 60, 6) 3864;\n7) 1567, 8) 750, 9) 744, 10) 840, 11) 18;\n12) 446; 13) 4200; 14) 135; 15) 250; 16) 80;\n17) 6912; 18) 238; 19) 504; 20) 151;\n21) 528; 22) 49; 23) 17; 24) 975; 25) 284;\n26) 145; 27) 528; 28) 14; 29) 3612; 29) 1808;\n\nSeção 2.2\n1) 530; 1b) 728; 2) 4320; 11) 1152; 12) 76;\n13) 300; 13b) 280; 14) 870; 15) 39 530 216;\n3) 840; 5) 116; 6) 560; 7) 572;\n9) 132; 10) 390; 11) 341; 12) 850;\n14) 13039; 14) 6*4*4 = 240;\n\nSeção 2.3\n1a) 560; 1b) 434; 2) 9300; 3) 2n−k; 4) 3; 4) 366; 4c)\n100; 44) 6; 5) 260; 6) 75, 7) 4671;\n9) 1296; 10) 1476; 11) 9; 12) 1;\n13) 12!; 14) 3! 15) 43!;\n16) S = 60. (Admitimos o elemento em análoga a 48!\n4848!376; 18) cx2! = 12! 3750; 24) 192; 14) 1;\n16) 44; 14) 15; 22; 27; 37; 48; 66;\n 1085; 112 10+2 + 3n − 3k; 19);\n151 2091; 24) 28; 251.\n\nSeção 2.4\n1) 2 2k = (2k − (2 − k)!); 2) k 117 − pi); 3) 11* = 1;\n2) k), 4) k);\n2) 6; 7) 10; 8) 2;\n1a) 462; 11) 210; 300; (total) 42 (2); (total) A - 2) Contagem de Polya, Modelagem Combinatória em Teoria da Computação e Jogos com Grafos.\n\n· [9] \"Basic Techniques of Combinatorial Theory\" - Daniel L. A. Cohen - John Wiley and Sons - Nova Iorque - 1978 - 297 páginas.\n\nAborda Permutações e Combinações, Princípios Geradores, Números de Stirling e de Catalan, Princípio da Diretriz, Teoremas de Ramsey, Teoria de Inclusão-Exclusão, Torneios de Contagem de Grafos.\n\n[10] \"Elementary Combinatorial Analysis\" - Martin Eisen - Gordon and Breach - Nova Iorque - 1963 - 293 páginas.\n\nAborda Permutações e Combinações, Binômio de Newton e Polinômios de Lebesgue, Princípios Geradores, Princípio da Inclusão-Exclusão, Flujô de Móveis e Teoria da Contagem de Polya.\n\n[11] \"A First Course in Combinatorial Mathematics\" - Ian A. Stewart - Clarendon Press - Oxford - 2ª Edição - 1989 - 134 páginas.\n\nAborda Permutações e Combinações, Triângulo de Pascal, Binômio de Newton, Técnicas de Recorrência, Propriedades do Binômio, Erros e Estimativas de Erros.\n\n[12] \"Applied Combinatorics\" - Fred S. Roberts - Prentice Hall - New Jersey - 1984 - 600 páginas.\n\nAborda a História da Combinatória, Permutações e Combinações, Variáveis Aleatórias e Combinatória, Princípios de Recorrência, Princípio da Inclusão-Exclusão, Torneios de Contagem, Problemas de Erros, Aplicações e Distribuições de Problemas de Otimização. Bibliografia\n\n[13] \"Introductory Combinatorics\" - Richard A. Brualdi - North Holland - Nova Iorque - 1977 - 374 páginas.\n\nAborda Princípio da Diretriz, Teorema de Ramsey, Permutações e Combinações, Triângulo de Pascal, Princípio da Inclusão-Exclusão, Relações de Recorrência, Funções Geradoras, Combinatórias, Grafos, Coeficientes Combinatórios.\n\n[14] \"Combinatorial Mathematics\" - Herbert John Ryser - The Mathematical Association of America - The Carus Mathematical Monographs - Nova Iorque - 1955 - 154 páginas.\n\nAborda Indução, Combinações e Permutações, Coeficientes, Permutações, Relações de Recorrência, Teoremas de Ramsey, Teoria de Grenn e Interconexões Combinatórias.\n\n[15] \"Discrete Mathematics: Applied Combinatorics and Graph Theory\" - Michael T. McClenahan - The Benjamin Cummins Publishing Company - California - 1977 - 387 páginas.\n\nAborda Inclusão, Combinações e Permutações, Funções Geradoras, Relações de Recorrência e Permutações, Funções Combinatórias, Estruturas Eleitorais e Hamiltonianas, Desenhos e Colorações. Probabilidade\n\n[16] \"Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions\" - Frederick Mosteller - Addison - Wesley - Massachusetts - 1985 - 293 páginas.\n\nContém 56 problemas interessantes de Probabilidade; todos os problemas são voltados para um curso de probabilidade em nível de graduação.\n\n[17] \"A First Course in Probability\" - Sheldon Ross - Mac Millan Publishing Company, Inc - Nova Iorque - 1976 - 305 páginas.\n\nAborda Combinatória, Probabilidade, Variáveis Aleatórias Unidimensionais, Variáveis Aleatórias Multidimensionais, Esperança e Teoremas Limites.\n\n[18] \"Modern Probability Theory and its Applications\" - Emmanuil S. Kolesnik e David V. Feofanov - John Wiley and Sons - New York - 1994 - 464 páginas.\n\nAborda Probabilidade, Variáveis Aleatórias Unidimensionais e Multidimensionais e Teoremas Limites.\n\n[19] \"Probabilidade: Aplicações e estatística\" - Paul L. Meyer - Traduzido por Nilay Lourenço Filho - LTC - Rio de Janeiro - 2ª edição - 1983 - 462 páginas. Título original: \"Introduction to Probability and Statistical Applications\".\n\nAborda Combinatória, Probabilidade, Variáveis Aleatórias Unidimensionais e Bidimensionais, Funções de Variáveis Aleatórias, Esperança, Fórmulas de Geradores, Consolidação, Regressão, Distribuições Anonimistas, Amostragem, Estimativas. [20] \"Introdução à Teoria da Probabilidade\" - Paul G. Hoel, Sidney C. Port, Charles J. Stone - Livraria INTRO - 1977 - 179 páginas. Título original: \"Introduction to Probability Theory\".\n\nAborda Combinatória, Probabilidade, Variáveis Aleatórias Unidimensionais e Multidimensionais, Distribuições Diretas Universais, Distribuição Normal, Esperança e Teoremas Limites.\n\n[21] \"Teoria da Probabilidade e suas Aplicações\" - William Feller - Edward Blucher - São Paulo - 1976 - 236 páginas. Traduzido por Hélio Wagner Rodrigues e Maria Elisa Fin.