Aula 6 - Tensão em Vigas: Introdução e Conceitos Gerais

Universidade Federal do Sul e Sudeste do Para Instituto de Geociˆencias e Engenharias Faculdade de Engenharia Civil Aula 6 Tensao em vigas ProfDr Claudionei Pereira de Oliveira Maraba PA 2024 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 1 44 Sumario 1 Tensao em vigas Introducao Conceitos Gerais 2 Tensao tangencial devido ao esforco cortante 3 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Verificacao da resistˆencia Carga maxima resistente Secao mınima resistente Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 2 44 Tensao em vigas Introducao Introducao No esqueleto estrutural de uma edificacao as vigas sao reconhecidas por serem elementos horizontais que sustentam as lajes e paredes Alem disso permitem que as cargas concentradas em cada piso sejam transmitidas aos pilares elementos verticais para que entao os dissipa no solo atraves de suas fundacoes Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 3 44 Tensao em vigas Introducao Quando analisamos uma viga e necessario conhecer as cargas que atuam sobre ela para determinar os seguintes comportamentos 1 Diagramas de tensoes axiais devido ao momento fletor 2 Diagramas de tensao tangencial devido a tensao de cisalhamento 3 Verificacao da resistˆencia da viga a flexao e ao cisalhamento Estes resultados permitirao ao projetista definir suas dimensoes trans versais tamanho e forma na viga Alem disso a sua correta inter pretacao sera decisiva para definir o numero de elementos do armadura barras de aco no caso de viga de concreto armado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 4 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Conceitos Gerais Conceito de viga e tensao Uma viga e a mais simples das estruturas E composta por um conjunto de barras colineares que se apoiam em um ou mais pontos estrategicos As vigas sao geralmente dispostas horizontalmente e tˆem como princi pal funcao suportar forcas de flexao momento e cisalhamento As forcas internas N Q e M sao a representacao ideal das forcas que atuam pontualmente no interior de um elemento resistente Estas sao consideradas concentradas no centro de gravidade de cada secao porem as tensoes axiais e tangenciais sao a representacao real das forcas que atuam de forma distribuıda dentro da secao transversal de um elemento resistente Em termos mais concretos diremos que tensao e a distribuicao das forcas internas N Q e M por toda a superfıcie da secao onde atuam por exemplo em uma viga o momento fletor em uma determinada secao e distribuıdo em tensoes axiais para cada um dos pontos materiais que compoem a secao produzindo efeitos de tracao e compressao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 5 44 É uma característica geométrica da seção que define sua capacidade de suportar forças de flexão ou seja quanto maior for a inércia maior será a resistência à flexão A inércia é definida matematicamente através da seguinte fórmula Ix y2 dA Inércia gravitacional Iy x2 dA Inércia lateral Tensao em vigas Conceitos Gerais Momento estatico E uma caracterıstica geometrica da secao que define sua resistˆencia ao cisalhamento Geometricamente e expresso como o produto da area da secao pela distˆancia do seu centro de gravidade a um eixo de referˆencia Figura 1 Secao generica Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 7 44 Sx y dA Momento estatico em x Sy x dA Momento estatico em y Por exemplo vamos calcular os momentos estáticos para o seguinte figura Figura 2 Seção retangular Tensao em vigas Conceitos Gerais Area da secao retangular A 25 20 500 cm2 Momento estatico em x Sx 500 12 5 6250 cm3 Momento estatico em y Sy 500 10 5000 cm3 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 9 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Deformacao unitaria A deformacao unitaria e a razao entre a deformacao axial de uma barra e seu comprimento Esta magnitude define o grau de deformacao de uma barra ou elemento por unidade de comprimento Por exemplo uma deformacao de 3 mmm significa que para cada metro de barra a deformacao esperada sera de 3 mm Figura 3 Viga Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 10 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais ϵ L L a ϵ Deformacao unitaria b L Deformacao por alongamento ou encurtamento c L Comprimento inicial da barra Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 11 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Relacao entre momento e cortante Se numa viga isolarmos um elemento di ferencial de comprimento e analisarmos o equilıbrio estatico do seu momento fle tor e tensao cortante teremos a seguinte relacao Q dM dx Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 12 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Tensao em vigas As tensoes nas vigas sao produzidas pelo momento fletor e pela tensao de cisalhamento A primeira atua axialmente a viga ou perpendicular mente a secao e a segunda perpendicularmente ao eixo axial da viga ou tangencial a secao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 13 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Tensao axial devido ao momento fletor Suponha que temos a seguinte viga em equilıbrio estatico e nela duas secoes s s e r r mas separadas por uma distˆancia diferencial dx Figura 4 Viga com secoes adjacentes As forcas F1 e F2 deformarao a viga fazendo com que as secoes s s e r r girem em direcoes opostas Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 14 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Figura 5 Viga flexionada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 15 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Isolamos a porcao deformada para realizar a seguinte analise Figura 6 Porcao da Viga deformada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 16 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais A partit daı obtemos σ M y Ix onde σ e a tensao axial ou normal devido ao momento fletor M e o momento fletor na secao solicitada Ix e a inercia em x y e a distˆancia definida a partir do baricentro da secao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 17 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Diagramas de tensoes axiais para uma secao A formula de tensao axial e uma funcao linear que e zero no baricentro da secao e maximo nas fibras mais distantes Portanto para represen tar graficamente seu diagrama de tensoes devem ser calculadas suas tensoes maximas σ1 e σ2 conforme mostrado abaixo Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 18 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Para representar graficamente o diagrama de tensao axial sera tracado um segmento de reta vertical que representa a altura da secao e em suas extremidades inicial e final serao calculadas as tensoes axiais σ1 e σ2 que serao positivas quando forem de tracao e negativas quando elas estao comprimindo Essas grandezas serao desenhadas a direita quando forem positivas e a esquerda quando forem negativas conforme mostrado na figura anterior Todo diagrama de tensao axial tem um segmento em tracao e outro comprimido para identificar esta situacao e importante entender como o momento fletor atua na secao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 19 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais De acordo com a convencao de sinais para momentos fletores os mo mentos positivos tracionam a fibra inferior da secao σ1 e comprimem sua fibra superior σ2 Veja a figura a seguir Figura 7 Convecao para momentos positivos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 20 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Os momentos negativos tˆem acao oposta ao anterior Ou seja compri mem a fibra inferior da secao σ1 e tracionam sua fibra superior σ2 Veja a figura a seguir Figura 8 Convecao para momentos negativos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 21 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Entre a fibra tracionada e a fibra comprimida existe uma fibra onde o as tensoes axiais sao zero Esta fibra e conhecida como linha neutra A posicao da linha neutra coincide com a posicao da coordenada YG do centro de gravidade da secao ou seja quando a secao for simetrica em relacao a um eixo horizontal o valor de YG sera equivalente a metade da altura de a secao Nestes casos as tensoes axiais de tracao e compressao sao as mesmas Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 22 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Exemplo Para a viga a seguir faca um diagrama de suas tensoes axiais para a secao s s Figura 9 Viga simplesmente apoiada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 23 44 Solução a Cálculo das reações As reações são dadas por V1 V2 6 8 2 24 t b Cálculo do momento na seção s s Temos que M 0 M 24 3 6 3 15 0 Logo M 45 t m Tensao em vigas Conceitos Gerais c Calculo do baricentro A partir da figura o baricentro e y1 y2 45 cm 2 22 5 cm Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 25 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais d Calculo da inercia Pela geometria da secao temos Ix b h3 12 20 453 12 151875 cm4 e Diagrama de tensao axial Com os dados obtidos temos σ1 σ2 4500 t cm 22 5 cm 151875 cm4 0 66 tcm2 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 26 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 27 44 Tensao em vigas Conceitos Gerais Exercıcio Para a viga a seguir faca um diagrama de suas tensoes axiais para a secao s s Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 28 44 Tensao tangencial devido ao esforco cortante Imaginemos uma viga afetada por um conjunto de cargas e num estado de equilıbrio e suponha ainda que existem duas secoes ss e tt se parados por uma distˆancia diferencial dxImagine uma viga afetada por um conjunto de cargas e no estado de equilıbrio e suponha ainda que existem duas secoes ss e tt separados por uma distˆancia diferencial dx Isolamos a porcao da viga limitada pelas secoes ss e tt Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 29 44 Tensao tangencial devido ao esforco cortante Se cortarmos na direcao xx Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 30 44 Tensao tangencial devido ao esforco cortante A partir daı temos τ Q Sx b Ix onde τ e a tensao tangencial devido ao cortante Q o esforco cortante Ix a inercia em x e Sx o momento estatico em x Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 31 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Verificacao da resistˆencia Verificacao da resistˆencia Quando projetamos uma nova estrutura devemos determinar o di mensoes mınimas que terao seus componentes vigas pilares lajes etc Por outro lado quando a estrutura e antiga e precisamos fazer ampliacoes verticais o problema esta em calcular a carga maxima que pode ser adicionada ao sistema Ambos os tipos de problemas devem garantir um sistema estrutural resistente seguro e duravel Para afirmar que uma viga e resistente devemos verificar se sua tensoes maximas sao inferiores as admissıveis ou seja σmax σadm e τmax τadm Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 32 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Carga maxima resistente Carga maxima resistente Utilizando as condicoes de verificacao de resistˆencia obtemos as forcas internas maximas e a partir daı resolvemos a carga maxima A carga resistente maxima e o menor valor obtido de ambos condicoes Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 33 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente Secao mınima resistente Das condicoes de verificacao de resistˆencia eliminamos o dimensoes necessarias da secao da viga A secao resistente mınima e o valor maximo obtido Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 34 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente Exemplo Na viga verifique a resistˆencia Dados σ adm 200 kgcm2 σ adm 100 kgcm2 e τadm 50 kgcm2 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 35 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente Solucao a Diagramas de momento e cortante Os diagramas de momento e cortante sao b Calculo da coordenada Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 36 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente A partir daı montamos a tabela Temos assim que YG 17437 5 975 17 885 cm Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 37 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente c Calculo da inercia Ix1 35 153 12 525 17 885 7 52 66464 068 cm4 Ix2 15 303 12 450 17 885 302 99797 951 cm4 Logo Ix Ix1 Ix2 166262 019 cm4 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 38 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente d Calculo das tensoes Tensao axial σ1 26 106 17 885 166262 019 279 685 kgcm2 Compress ao σ2 26 106 27 115 166262 019 424 023 kgcm2 Trac ao Momentos fletores negativos comprimem a borda inferior σ1 da secao e puxam σ2 a borda superior Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 39 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente Verificacao de resistˆencia por tensao axial a σ1 σ adm Neste caso temos 279 685 kgcm2 100 kgcm2 Nao cunpre Portanto Colapsa b σ2 σ adm Neste caso temos 424 023 685 kgcm2 200 kgcm2 Nao cunpre Portanto Colapsa Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 40 44 Tensão tangencial Na tensão de cisalhamento a tensão tangencial máxima ocorre no centro de gravidade da seção Desse modo τ₃ 6 10³ 15 27115 27115 2 15 166262019 13266 kgcm² Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente Verificacao da resistˆencia por tensao tangencial Queremos que seja sastisfeita a relacao τ3 τadm Do calculo da tensao τ3 vemos que 13 226 kgcm2 50 kgcm2 Nesse caso cumpre Portanto resiste Desse modo a estrutura nao e resistente pois colapsa por flexao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 42 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente Exemplo Tarefa de Casa Determine a carga maxima q que a viga a seguir pode suportar Dados σ adm 2000 tm2 σ adm 1500 tm2 e τadm 1000 tm2 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 43 44 Problemas de Mecˆanica dos Solidos Secao mınima resistente Obrigado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 44 44