Aula 7 - Deformação em Vigas - Conceitos e Análise

Unifesspajpg Universidade Federal do Sul e Sudeste do Para Instituto de Geociˆencias e Engenharias Faculdade de Engenharia Civil Aula 7 Deformacao em vigas ProfDr Claudionei Pereira de Oliveira Maraba PA 2024 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 1 29 Unifesspajpg Sumario 1 Introducao 2 Conceitos gerais Convencao de sinais para deslocamentos e ˆangulos Condicoes de bordo ou contorno Equacao da Linea Elastica 3 Flecha de uma viga 4 Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 2 29 Unifesspajpg Introducao Introducao Vigas sao elementos que fazem parte de uma estrutura e que pelas caracterısticas de sua posicao e cargas sao deformados por flexao ou seja admitem uma leve curvatura chamada deflexao como deformacao Estas alteracoes de forma devem ser controladas pelo engenheiro pois quando sao excessivas tendem a deteriorar os elementos que as vigas suportam como por exemplo as paredes de uma casa que podem sofrer fissuracoes Figura 1 Viga deformada e sem deformacao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 3 29 Unifesspajpg Introducao As deformacoes em vigas sao inevitaveis porem suas magnitudes devem estar dentro do permitido pelo material e alem disso as deformacoes nao devem ser percebidas a olho nu pois produzem sensacao de inse guranca nos usuarios Nesta aula analisaremos as deformacoes com o seguinte propositos 1 Analisar as deformacoes de flexao em vigas e deduzir as equacoes que os representam 2 Dimensionar a secao transversal de uma viga com base em um limite de sua deformacao 3 Analisar vigas hiperestaticas determinando suas reacoes diagramas de forcas internas e deformacoes Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 4 29 Unifesspajpg Conceitos gerais Convencao de sinais para deslocamentos e ˆangulos Convencao de sinais para deslocamentos e ˆangulos Os deslocamentos verticais para cima e rotacoes no sentido antihorario sao considerados positivos Os deslocamentos verticais para baixo e rotacoes no sentido horario sao considerados negativos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 5 29 Unifesspajpg Conceitos gerais Condicoes de bordo ou contorno Condicoes de bordo ou contorno As condicoes de contorno sao pontos na viga onde o valor do seu deslo camento ou rotacao e conhecido ou uma relacao entre eles e conhecida Vejamos o seguinte exemplo Figura 2 Viga com numeracao de nos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 6 29 Unifesspajpg Conceitos gerais Condicoes de bordo ou contorno Nos apoios 1 Apoio movel x x1 y1 0 2 Apoio fixo x x3 y3 0 3 Engaste x x7 y7 0 e θ7 0 Nas juntas 1 Uniao 2 x x2 y2esq y2dir e θ2esq θ2dir 2 Uniao 3 x x3 y3esq y3dir e θ3esq θ3dir 3 Uniao 4 articulacao x x4 y4esq y4dir 4 Uniao 5 x x5 y5esq y5dir e θ5esq θ5dir 5 Uniao 6 x x6 y6esq y6dir e θ6esq θ6dir Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 7 29 Unifesspajpg Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Equacao da Linea Elastica Suponha que temos uma viga afetada por um conjunto de cargas e em estado de equilıbrio estatico Figura 3 Viga deformada de altura real Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 8 29 Unifesspajpg Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Se idealizarmos a viga anterior temos Figura 4 Viga deformada idealizada Analisemos um un elemento diferencial dx Figura 5 Segmento diferencial deformado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 9 29 Unifesspajpg Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Figura 6 Elemento diferencial A partir daı temos tg θ dy dx Para θ 0 temos tg θ θ E entao a equacao anterior fica θ dy dx 1 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 10 29 Derivando a equação 1 com relação a x temse ddxθ ddxdydx ou seja dθdx d²ydx² 2 Figura 7 Segmento diferencial deformado Da figura anterior temos ds r dθ e daí 1r dθds Usando o Teorema de Pitagóras vem ds² dx² dy² de onde temse ds dx1 dydx² 3 A curvatura tem uma inclinação que tende a zero dydx 0 Daí temse ds dx1 0² dx 4 Levando 4 em 3 teremos 1r dθdx 5 Substituindo 5 em 2 segue que 1r d²ydx² 6 Aplicando a Lei de Hooke σ Eε Unifesspajpg Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Analisando a tensao veja a figura Figura 8 Analise de tensao Daı vem σ dF dA Temos ainda dF σ dA e dM dF y Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 14 29 Unifesspajpg Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Daı segue dM σ y dA Analisando a deformacao unitaria temos Figura 9 Deformacao segmento diferencial Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 15 29 A partir daí vem ε y r Levando a última equação na Lei de Hooke temse σ E y r De onde temos dM E y r y² dA Integrando vem M E r y² dA Logo M E Ix r ou ainda M E Ix 1 r 7 Unifesspajpg Conceitos gerais Equacao da Linea Elastica Igualando as equacoes 7 e 6 temse d2y dx2 M E Ix onde y e a linha elastica ou deformada M e o momento fletor E e o modulo de elasticidade e Ix e a inercia em x Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 17 29 Unifesspajpg Flecha de uma viga Flecha de uma viga A deflexao de uma viga e o deslocamento vertical maximo que Sua linha esta deformada devido a uma ou mais cargas A localizacao e a magnitude da deflexao dependem do tipo de viga e das cargas que ela suporta por exemplo em vigas simplesmente apoiada a seta localizase proxima ao segmento central da viga porem em vigas cantilever embutidas a seta localizase na extremidade livre da viga Veja as seguintes figuras Figura 10 Vigas com flechaf Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 18 29 Unifesspajpg Flecha de uma viga Para determinar a flecha em uma viga sugerese deduzir a equacao elastica para identificar atraves de sua representacao grafica a posicao e valor da flecha No caso de uma viga simplesmente apoiada deve ser realizada uma analise maxima utilizando derivadas para encontrar a posicao exata da flecha e posteriormente sua magnitude Por outro lado em vigas engastada com balanco devemos substituir a posicao x da extremidade livre do cantilever na equacao elastica para encontrar a magnitude da flecha Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 19 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Comportamentos dos apoios e juntas A curva da linha deformada de uma viga depende de sua trajetoria do tipo de carga mas tambem dos seus diferentes tipos de suporte e ligacoes Vamos analisar o seguinte exemplo Figura 11 Viga com linea elastica Para desenhar a deformacao da viga devemos considerar a seguintes caracterısticas no comportamento de seus nos Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 20 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga No 1 Este suporte movel tem uma reacao que restringe qualquer rotacao vertical No entanto pode moverse horizontalmente quando e afetado por uma carga horizontal Alem disso a barra pode girar livremente em torno deste ponto E por isso que se observa que sua linha deformada flexiona a partir do no 1 No 2 Movese livremente mantendo a continuidade da linha elastico No 3 Este suporte nao pode ser movido horizontalmente ou verti calmente Porem observase que a linha elastica permanece contınua devido aos seus spins que sao diferentes de zero No 4 Ela se move verticalmente livremente e alem disso observase que a linha deformada e descontınua neste ponto A descontinuidade da linha elastica so ocorre neste tipo de articulacoes articulacoes No 5 Esta junta se move livremente e alem disso e observada a continuidade da linha elastica No 6 Movese livremente e a curva elastica permanece contınua Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 21 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga No 7 Os apoios embutidos restringem qualquer tipo de rotacao e translacao por isso se observa que a viga mantem um pequeno segmento sem flexionar neste ponto Matematicamente dizemos que duas curvas ou funcoes sao contınuas quando se verifica que para a coordenada x a as inclinacoes obtidas em ambas as funcoes sao iguais Veja a figura a seguir Figura 12 Funcoes de deformacao Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 22 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Exemplo Para a viga seguinte faca um grafico da sua deformacao da variacao das torcoes e calcule a sua deflexao Figura 13 Viga com balanco Dados E 2 106 tm2 e bh 20 cm40 cm Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 23 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga a Equacao do momento A partir daı a equacao do momento e M 10x b Equacao de torcao e da elastica Temos que E I 2 106 0 2 0 43 12 2133 33 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 24 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Daı temos 2133 33d2y dx2 10x Integrando temos 2133 33dy dx 5x2 C1 Equacao de torcao Integrando essa ultima equacao em x temos 2133 33y 5x3 3 C1x C2 Equacao de elastica Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 25 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Condicoes de bordo 1 Quando x 4 m temos θ dy dx 0 Entao 2133 33 0 5 42 C1 Logo C1 80 2 Quando x 4 m temos y 0 Entao 2133 33 0 5 3 43 80 4 C2 Logo C2 213 33 Portanto temos θ 1 2133 335x2 80 y 1 2133 335 3x3 80x 213 33 Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 26 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Diagramas de torcao e deslocamento Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 27 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Calculo da flecha Quando x 0 implica em y f ou seja f 1 2133 335 3 03 80 0 213 33 0 1 m Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 28 29 Unifesspajpg Comportamento dos apoios e juntas frente a deformacao da viga Obrigado Claudionei Pereira de Oliveira TFC Maraba PA 2024 29 29