Mecanica dos Solidos - Relacoes constitutivas e comportamento dos materiais

Mecânica dos Sólidos 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 11 Definição 12 Ensaio de Tração 13 Diagrama x 14 Diagramas de Engenharia Curvas típicas 15 Relações entre Tensões e Deformações 16 Tipos de materiais quanto às propriedades 17 Propriedades de alguns materiais usados em engenharia 18 Princípio de Saint Venant 19 Energia de deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 11 Definição Relações Constitutivas São as equações que relacionam Tensão com a deformação Comportamento mecânico de um material é a forma como o material responde às solicitações mecânicas ou seja às ações de agentes externos sobre um corpo do qual é constituído 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 Propriedades mecânicas Conjunto de propriedades de grande importância na indústria mecânica Estas propriedades são aquelas que surgem quando o material está sujeito a esforços de natureza mecânica O que é avaliado é a capacidade que o material tem para transmitir ou resistir aos esforços que lhe são aplicados é levado em conta no processo de fabricação e posterior utilização 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 Resistência mecânica é a resistência à ação de determinados tipos de esforços como a tração e a compressão Exemplo cabo de aço Elasticidade é a capacidade que um material deve ter de se deformar quando submetido a um esforço e de retornar a forma original quando o esforço termina Exemplo borracha aço para fabricação de molas Plasticidade é a capacidade que um material quando submetido a um esforço tem de se deformar e se manter quando o esforço desaparece 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 Obs a plasticidade pode se apresentar no material com maleabilidade e como ductibilidade Maleabilidade é a propriedade que um material por exemplo um aço apresenta de poder ser laminado estampando forjado entortado e repuxado Ductibilidade é o oposto de fragilidade são materiais que ao sofrerem a ação de uma força deformamse plasticamente sem se romperem Exemplo processos que necessitam conformação mecânica como por exemplo na prensagem para fabricação de partes de carroceria de veículos na laminação para a fabricação de chapas na extrusão para a fabricação de tubos Dureza é a resistência do material à penetração deformação plástica permanente ao desgaste mecânico o Em geral materiais duros são também frágeis Quanto maior a dureza maior a resistência ao desgaste 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 Fragilidade é a baixa resistência aos choques Podemos dizer que são materiais duros que tendem a quebrar quando sofrem choques ou batidas Exemplo vidro Densidade é a medida da quantidade de matéria massa que um material ocupa por volume Por exemplo tomemos 1cm3 de cortiça 1cm3 de água e 1cm3 de chumbo Verificase que quantidades diferentes de matéria num mesmo volume possuem massas diferentes Tenacidade é a resistência a choques pancadas vibrações golpes impactos 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 Exemplo Barra tracionada N N N N Qual são os valores de DL e DD DL e DD dependem não só da geometria e do carregamento como também do tipo de material L D L DL D DD Quando as deformações em um ponto são muito grandes as tensões também o são Duas peças de geometria idênticas fabricadas com materiais diferentes apresentam comportamentos diferentes quando submetidas às mesmas cargas É necessário caracterizar os diversos materiais e suas propriedades 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 Para saber como um material se comporta quando submetido a uma determinada solicitação é necessário submetêlo a um ensaio isto é leválo ao laboratório e estudálo a partir de experimentos Porém seria impraticável ensaiar o material para todo tipo de solicitação a que ele pode se submeter No entanto existe um ensaio muito simples que fornece as principais características mecânicas necessárias à compreensão do seu comportamento 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 corpo de prova A força N é aplicada lentamente até a ruptura da barra NA tensão normal média na seção transversal da barra onde A é a área desta seção N N L D N N L DL D DD DLL deformação linear média longitudinal dos pontos da seção t DDD deformação linear média transversal 12 Ensaio de Tração 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 fy fu y1 y2 u OA zona elástica ou de proporcionalidade O A B C AB zona ou patamar de escoamento BC zona de endurecimento A N N L DL D DD 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais fy Limite de fluência ou de escoamento y1 Deformação inicial do escoamento y2 Deformação final do escoamento fu Limite de resistência à tração ou de ruptura u Deformação de ruptura Diagrama Tensão Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 Diagrama Tensão Deformação Em algumas circunstâncias o ensaio pode resultar no diagrama ao lado OA zona de elasticidade linear AB zona de elasticidade não linear fy fu y1 y2 u O A B C fp p A B A N N L DL D DD 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais fp Limite de proporcionalidade p Deformação de proporcionalidade Nem todos os materiais apresentam no seu diagrama tensão deformação todas as regiões ou zonas indicadas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 Máquina de ensaio de traçãocompressão Outros ensaios torção flexão dobramento etc 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 Corpo de prova para ensaio de tração 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 13 Diagrama x 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 14 Diagramas de Engenharia Curvas típicas 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 Descarregamento e histerese A histerese é um fenômeno observado em alguns materiais no qual certas propriedades em determinado estado dependem de estados anteriores No caso de propriedades mecânicas a histerese pode ser medida pela perda de energia durante um ciclo de deformação e recuperação do material 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 Às tensões normais correspondem deformações lineares x x x x x y x z dx x y dy elemento indeformado dx dx x dy dy y elemento deformado Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares xy xy yx xy elemento deformado 1 2 2 1 xy dx x y dy elemento indeformado 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais 15 Relações entre Tensões e Deformações a Lei de Hooke As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 x x dx x y dy elemento indeformado dx dx x dy dy y elemento deformado E x x E x z y E Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal Coeficiente de Poisson 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais b Constantes de Proporcionalidade yx xy elemento deformado 1 2 2 1 xy dx x y dy elemento indeformado G xy xy G Módulo de Deformação Transversal E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal respectivamente porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais c Princípio da Superposição dos Efeitos PSE Se é válida a Lei de Hooke os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação separadamente Admitese que o efeito de um sistema de forças atuante em uma determinada estrutura é o mesmo que o somatório dos efeitos causados por cada uma das forças isoladamente e em qualquer ordem Este princípio somente será válido para pequenos deslocamentos da estrutura em relação as suas dimensões e se estes forem proporcionais às cargas que os produzem Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 x z y xy yx yz zy zx xz x y z dx dy dz z y x x E E x z y y E E y x z z E E G xy xy G yz yz G zx zx 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais d Lei Generalizada de Hooke Utilizando o PSE as somas das deformações decorrentes de cada componente de tensão no caso geral de Estado de Tensão em um ponto serão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 x z y xy yx yz zy zx xz x y z dx dy dz z y x x 1 1 Resolvendo para obter as tensões xy xy G x z y y 1 1 y x z z 1 1 yz yz G zx zx G 1 2 1 E e G são as Constantes de Lamé 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Lei Generalizada de Hooke Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 Exemplo 1 Uma barra de material homogêneo e isotrópico tem 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro Sob a ação da carga axial de 12kN o seu comprimento aumenta em 300 μm e seu diâmetro se reduz em 24 μm Determinar o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do material 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Exemplo 27 Beer 3ª ed Pág 126 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 Exemplo 2 A figura mostra um bloco de aço submetido à ação de pressão uniforme em todas as faces Mediuse a variação do comprimento AB que foi de 24 μm Determinar a A variação de comprimento das outras duas arestas b a pressão p aplicada às faces do bloco Adotar E 200 GPa e υ 029 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Exemplo 28 Beer 3ª ed Pág 130 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 Módulo de elasticidade E módulo de cisalhamento G e o coeficiente de Poissson v 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 16 Tipos de materiais quanto às propriedades 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 17 Propriedades de alguns materiais usados em engenharia 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 Relações Constitutiva Equações que relacionam com 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 18 Princípio de Saint Venant 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 32 Carregamentos transmitidos através de placas rígidas resultam em uma distribuição uniforme de tensões e deformações Carregamentos concentrados resultam em grandes tensões na vizinhança do ponto de aplicação da carga As distribuições de tensões e deformações tornamse uniforme a uma distância relativamente curta do ponto de aplicação do carregamento Princípio de Saint Venant A distribuição de tensões pode ser adotada independentemente do modo que se aplica o carregamento com exceção dos pontos na vizinhança do ponto de aplicação da força 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 33 19 Energia de deformação 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 34 Energia Potencial de Deformação Os esforços externos provocam deslocamentos e portanto realizam TRABALHO K U W onde W é o trabalho realizado pelos esforços U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo K 0 Como os esforços são aplicados lentamente e U W 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 35 Energia Potencial de Deformação Seja dw a variação do deslocamento na direção z O trabalho realizado pelo esforço N é dUN Ndw k w N z 2 k w2 wdw k U z w z N dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w 2 U N Nw k wdw dU N z dN dw dU 2 1 dz dA dU z z 2 1 z z dV dU 2 1 x x dV dU 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais F k x Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 36 Energia Potencial de Deformação A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é G dV dU xy xy xy 2 2 1 2 Para o estado biaxial é y x xy y y x x dV dU 2 2 1 E 1 E E xy y x x 1 E E E xy x y y 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 37 Energia Potencial de Deformação A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é G dV dU xy xy xy 2 2 1 2 Para o estado biaxial é 1 2 E dV dU xy Igualando as duas expressões 1 2 E G 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 38 Energia Potencial de Deformação Em suma as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como 1 2 1 E 1 2 E G e 1 Relações constitutivas e comportamento dos materiais Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 39 Mecânica dos Sólidos 2 Tração e Compressão de barras 2 Tração e Compressão de barras Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 21 Esforço Axial 22 Equações Governantes 23 Dedução das equações pela Teoria da Elasticidade 24 Vasos de Pressão 21 Esforço Axial A conveniência de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações na estrutura como também das tensões induzidas pelo carregamento Somente a análise estática não é suficiente Considerar estruturas como deformáveis permite a determinação de forças e reações em membros que são estaticamente indetermináveis A determinação da distribuição de tensões em um membro também requer consideração de deformações no membro 2 Tração e Compressão de barras 22 Equações Governantes 2 Tração e Compressão de barras O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letra grega δ delta seja ele um alongamento ou um encurtamento como visto na figura abaixo A razão entre a variação de comprimento em barra submetida a uma força axial δ delta por unidade de comprimento L é denominada deformação específica ε epsilon 2 Tração e Compressão de barras Notese que a deformação é uma quantidade adimensional É de uso corrente no meio técnico representar a deformação por uma fração percentual multiplicandose o valor da deformação específica por 10² ou mesmo até multiplicandose por 10³ 2 Tração e Compressão de barras 2 Tração e Compressão de barras tensão de ruptura real limite de resistência tensão de ruptura limite de proporcionalidade limite de elasticidade limite de escoamento região elástica escoamento endurecimento por deformação estricção comportamento elástico comportamento plástico Diagramas tensãodeformação convencional e real para material dúctil aço sem escala Limite de proporcionalidade representa o valor máximo da tensão abaixo da qual o material comportase de forma linear Nesta fase o material consegue restaurar sua configuração original após cessar a aplicação da carga Limite de elasticidade Ligeiramente acima do limite de proporcionalidade existe um ponto na curva tensãodeformação ao qual corresponde o limite de elasticidade representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem que apareçam deformações residuais ou permanentes após a retirada integral da carga externa Para muitos materiais os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais sendo usados como sinônimos Limite de escoamento A partir deste ponto aumentam as deformações sem que se altere praticamente o valor da tensão Quando se atinge o limite de escoamento dizse que o material passa a escoarse A tensão que causa o escoamento é chamada de tensão de escoamento σE 2 Tração e Compressão de barras Limite de resistência Se ao término do escoamento uma carga adicional é aplicada ao corpo de prova a tensão continuará a aumentar com a deformação específica continuamente até atingir um valor de tensão máxima referido como limite de resistência σr Tensão de ruptura É a tensão correspondente a ruptura do material σrup Região elástica É o trecho da curva compreendido entre a origem e o limite de elasticidade Nesta fase o material tem um comportamento elástico Região plástica É o trecho da curva entre o limite de elasticidade e o ponto de ruptura do material tensão de ruptura Esta região representa o comportamento plástico Estricção Ao atingir a tensão de ruptura a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada 2 Tração e Compressão de barras Materiais Dúcteis são caracterizados por sua capacidade de escoar na temperatura ambiente Exemplos aços estruturais e muitas ligas de outros metais Inicialmente seu comprimento aumenta linearmente com a carga e a uma taxa muito baixa ocasionando uma linha reta com inclinação acentuada Após alcançar um valor crítico de tensão σE o corpo de prova sofre uma grande deformação com um aumento relativamente pequeno da carga aplicada O alongamento pode ser 200 vezes maior do que o início do escoamento Depois de alcançar um certo valor máximo de carga o diâmetro de uma parte do corpo de prova começa a diminuir estricção Depois de iniciada a estricção cargas mais baixas são suficientes para manter o corpo de prova alongando até que finalmente se rompe O cisalhamento é o principal responsável pela falha dos materiais dúcteis 2 Tração e Compressão de barras 2 Tração e Compressão de barras a Lowcarbon steel b Aluminum alloy Strainhardening Necking Yield Estricção Falha de um material dúctil Materiais Frágeis são caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem mudança prévia notável na taxa de alongamento Não há diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura A deformação no instante da ruptura é muito menor em relação aos materiais dúcteis As tensões normais são as principais responsáveis pela falha de materiais frágeis 2 Tração e Compressão de barras O concreto é um exemplo de material frágil com propriedades diferentes na tração e na compressão O módulo de elasticidade representado pela inclinação da curva tensãodeformação em sua parte linear é o mesmo na tração e na compressão e isto ocorre para a maioria dos materiais frágeis 2 Tração e Compressão de barras Devido a uma diminuição de seção transversal os gráficos não representam a tensão verdadeira no corpo de prova Utilizam todos os valores sucessivos de L que registraram Dividindo cada incremento ΔL da distância entre as marcas de referência pelo valor correspondente de L Obtémse uma deformação específica elementar Δε 2 Tração e Compressão de barras Muitas estruturas são projetadas para sofrer deformações relativamente pequenas envolvendo somente a parte reta do diagrama tensãodeformação abaixo da tensão de escoamento Para esta parte inicial do diagrama a tensão é diretamente proporcional à deformação específica A resistência é afetada pela presença de ligas metálicas tratamento térmico ou pelo processo de manufatura mas sua rigidez ou capacidade de resistir a deformações dentro da região linear módulo de elasticidade não E Módulo de Young ou Módulo de Elasticidade 2 Tração e Compressão de barras Materiais Isotrópicos as propriedades mecânicas do material são independentes da direção considerada A relação entre a tensão normal e deformação específica normal é independente da direção de carregamento Materiais Anisotrópicos materiais cujas propriedades dependem da direção considerada Materiais Compósitos reforçados por fibras são materiais anisotrópicos obtidos incorporando se fibras de um material mais resistente e rígido chamado matriz Materiais típicos usados como fibra são carbono vidro e polímeros enquanto vários tipos de resinas são utilizadas como material colante 2 Tração e Compressão de barras 2 Tração e Compressão de barras Se a deformação desaparece quando a tensão é retirada dizemos que o material se comporta elasticamente A maior tensão na qual o comportamento elástico ocorre é chamado limite elástico do material Quando a deformação não retorna a zero depois que a tensão é retirada dizemos que o material se comporta plasticamente Se o corpo de prova carregado e descarregado e carregado novamente a nova curva de carregamento seguirá bem próxima à curva de descarregamento até quase chegar ao ponto C Propriedades da fadiga são mostradas nos diagramas σN Uma peça estrutural pode falhar devido à fadiga com tensões significativa mente abaixo da tensão de ruptura se sujeito a muitos ciclos de carregamento Quando a tensão é reduzida abaixo do limite de resistência à fadiga não ocorre falha mesmo para um número indefinidamente grande de ciclos de carregamento 2 Tração e Compressão de barras 23 Dedução das equações pela Teoria da Elasticidade 2 Tração e Compressão de barras 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 1 Um arame de comprimento L e diâmetro d é feito de um aço com módulo de elasticidade E e tensão última 𝝈𝒖 Se um coeficiente de segurança Sg é desejado qual é a a maior tração admissível no arame b o correspondente alongamento do arame Problema 23 pg 89 BEER 3ªed Exemplo 2 Determinar a deformação na barra de aço mostrada submetida às forças dadas E 200 GPa 2 Tração e Compressão de barras SOLUÇÃO Dividir a barra em componentes nos pontos de aplicação das cargas Aplicar a análise de corpolivre em cada componente para determinar a força interna Calcular a deflexão total do componente Exemplo 21 pg 54 BEER 5ªed Exemplo 3 A barra rígida BDE está apoiada por duas barras AB e CD A barra AB é feita de alumínio E 70 GPa e tem área de seção transversal de 500 mm2 barra CD é feita de aço E 200 GPa e tem uma área de seção transversal de 600 mm2 Para a força de 30 kN mostrada determine os deslocamentos dos pontos a B b D c E SOLUÇÃO Aplicar a análise de corpo livre para a barra BDE para encontrar as forças exercidas pelas barras AB e DC Calcular os deslocamentos nos pontos B barra AB e D barra DC Trabalhar com geometria elementar para encontrar a deslocamento em E dados os deslocamentos em B e D 2 Tração e Compressão de barras Problema Resolvido 21 pg 85 BEER 3ªed 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 4 Duas barras cilíndricas maciças são ligadas em B e carregadas como mostrado A barra AB é de aço e a barra BC é de latão Determinar a a deformação total da barra composta ABC b b a deflexão do ponto B Problema Resolvido 29 pg 90 BEER 3ªed Exemplo 5 A haste ABC tem na parte superior 9 mm de espessura e na parte inferior 6 mm de espessura de cada lado Uma resina epoxy é usada para colar as partes superior e inferior da haste no ponto B Os pinos no ponto A e C tem 9 mm e 6mm de diâmetro Determinar FAC tA tC sABC tB tEC Problema 11 pg 1820 BEER 2 Tração e Compressão de barras P CX CY C dA B dC tC Problema 12 pg 4144 BEER 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 6 Duas forças são aplicadas ao suporte da figura a Sabendose que a barra de controle AB é feita de aço com tensão última de 600 MPa determinar o diâmetro da barra para que o coeficiente de segurança seja de 33 b O pino no ponto C é feito de aço com tensão última de 350 MPa Determinar o diâmetro do pino C que leva a um coeficiente de segurança de valor 33 c Determinar a espessura necessária das chapas de apoio em C sabendose que a tensão admissível para esmagamento do aço utilizado é de 300 MPa Exemplo 7 As peças principais de madeira mostradas são emendadas por meio de duas chapas de madeira compensada que são inteiramente coladas em toda a extensão da superfície de contato Sabendose que a folga entre as extremidades das peças é de 6 mm e que a tensão de cisalhamento última da cola é de 25 MPa determine para o carregamento indicado o comprimento L para que o coeficiente de segurança seja 272 Problema 145 pg 49 BEER 2 Tração e Compressão de barras 2 Tração e Compressão de barras SOLUÇÕES DOS EXEMPLOS Exemplo 1 Solução 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 2 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 3 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 4 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 5 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 5 FAC tA tC sABC tB tEC 3256 N 512 MPa 566 MPa 157 MPa 113MPa 452 MPa 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 5 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 6 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 6 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 6 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 6 P CX CY C dAB dC tC 40 kN 40 kN 65 kN 763 kN 1674 mm 214 mm 578 mm 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 6 2 Tração e Compressão de barras Exemplo 7 Mecânica dos Sólidos 3 Torção 3 Torção Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 31 Momento Torçor ou Torque 32 Tensão de cisalhamento na torção 33 Distorção 34 Ângulo de Torção 35 Dimensionamento de Eixos submetidos a Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 31 Momento Torçor ou Torque Uma peça submetese a esforço de torção quando atua um torque em uma das extremidades e um contratorque na extremidade oposta MT MT S S F F d l Pólo a a 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 O torque atuante na peça representada na figura é definido através do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da secção transversal pólo Mt 2 F s ou Mt Ft r onde Mt Momento torçor ou torque Nm Nmm F Carga aplicada kN N Ft Força tangencial s Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo m mm r raio m mm 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 32 Tensão de cisalhamento na torção A tensão de cisalhamento atuante na secção transversal da peça da figura abaixo é definida através da expressão máx r Jp Mt para 0 0 para r máx Mt r Jp 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 Concluise que no centro da secção transversal a tensão é nula A tensão aumenta a medida que o ponto estudado se afasta do núcleo e aproximase da periferia A tensão máxima na secção ocorrerá na distância máxima entre o núcleo e a periferia ou seja quando r Pela definição de módulo de resistência polar sabese que onde máx Tensão máxima de cisalhamento na torção MPa Nmm2 Mt Momento torçor ou torque Nm Nmm Jp Momento polar de inércia m4 mm4 r Raio da secção transversal m mm Wp Módulo de resistência polar da seção transversal m3 mm3 Wp Jp r e temos máx Mt Wp 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 33 Distorção O torque atuante na peça provoca na seção transversal desta o deslocamento do ponto a da periferia ao ponto a Na longitude do eixo originase uma deformação de cisalhamento denominada distorção que é determinada em radianos através da tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material G 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 onde Ângulo de torção radianos Mt Momento torçor ou torque Nm Nmm l Comprimento da peça m mm Jp Momento polar de inércia m4 mm4 G Módulo de elasticidade transversal do material GPa 34 Ângulo de Torção O deslocamento do ponto a ao ponto a descrito na distorção gera na secção transversal Jp G Mt l 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 35 Dimensionamento de Eixos submetidos a Torção N Potência Nms Js W F Força N Ft Força tangencial N v Velocidade ms vp Velocidade periférica ms Mt Momento Torçor Nm r raio do eixo Constante trigonométrica 31415 n nº de rotações por minuto rpm Velocidade angular rads f Frequência Hz Tensão de cisalhamento MPa Wp Modulo de resistência polar 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 Exemplo 1 Pedese determinar a o torque T que causa um ângulo de torção de 3 no eixo cilíndrico vazado de aço G 77 GPa b o ângulo de torção causado pelo mesmo torque T num eixo cilíndrico maciço de mesma área de seção transversal 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 Problema 323 pg 236 Beer 3ªed Exemplo 2 Pedese determinar a o ângulo de torção causado por um torque T de 4500 Nm em um eixo de alumínio maciço e de diâmetro 75 mm G 255 GPa b idem à parte a assumindo que o eixo maciço tenha sido substituído por um eixo vazado com mesmo diâmetro externo e com 254 mm de diâmetro interno 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 Problema 324 pg 237 Beer 3ªed Exemplo 3 O eixo sólido é fixado ao suporte em C e submetidos à cargas de torção mostrado Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e esboce a tensão de cisalhamento em elementos de volume localizados nesses pontos 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 Problema 512 pg 135 Hibbeler 7ªed Exemplo 4 Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir uma potência P 3750 W do motor M ao qual está acoplado Se o eixo girar a n 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível adm 100 MPa determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 Exemplo 55 pg 133 Hibbeler 7ªed Exemplo 5 Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens Determine o ângulo de torção θ da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque T 45 Nm Considere G 80 GPa O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F enquanto o eixo DC é fixo em D Cada eixo tem diâmetro de d 20 mm 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 Exemplo 58 pg 143 Hibbeler 7ªed 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 𝑇𝐴 𝑇𝐷 𝑇𝐵 𝜏𝐴 𝑇𝐴 𝜌𝐴 𝐽𝑝 𝜏𝐴 800000 300000 35 𝜋 354 2 𝜏𝐴 742 MPa 𝑇𝐵 𝑇𝐷 𝜏𝐵 𝑇𝐵 𝜌𝐵 𝐽𝑝 𝜏𝐵 800000 20 𝜋 354 2 𝜏𝐵 674 MPa Exemplo 3 O eixo sólido é fixado ao suporte em C e submetidos à cargas de torção mostrado Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e esboce a tensão de cisalhamento em elementos de volume localizados nesses pontos Resposta 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 Exemplo 4 Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir uma potência P 3750 W do motor M ao qual está acoplado Se o eixo girar a n 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível adm 100 MPa determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm Resposta O torque no eixo é 𝑃 𝑀𝑡 𝜔 ou 𝑀𝑡 𝑃 𝜔 sendo 2 𝜋 𝑓 então 𝑀𝑡 𝑃 2 𝜋 𝑓 3750 60 175 2 𝜋 204628 𝑁𝑚 𝑊𝑝 𝑀𝑡 𝜏𝑚á𝑥 204628 𝑁𝑚𝑚 100 𝑁𝑚𝑚2 20463 𝑚𝑚3 𝑊𝑝 𝜋 𝑑3 16 𝑑 3 20463 16 31415 2184 𝑚𝑚 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 Exemplo 5 Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens Determine o ângulo de torção θ da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque T 45 Nm Considere G 80 GPa O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F enquanto o eixo DC é fixo em D Cada eixo tem diâmetro de d 20 mm Resposta 𝐹 𝑀𝑡1 𝑟1 45000 𝑁𝑚𝑚 150 𝑚𝑚 300 𝑁 𝑀𝑡2 𝐹 𝑟2 300 75 22500 𝑁𝑚𝑚 𝐽𝑝 𝜋 𝑟4 2 31415 104 2 15707 𝑚𝑚4 𝜃𝐶 𝑀𝑡2 ℓ 𝐽𝑝 𝐺 22500 𝑁𝑚𝑚 1500 𝑚𝑚 15707 𝑚𝑚4 80000 𝑁 𝑚𝑚2 00269 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵 𝑟1 𝜃𝐶 𝑟2 𝜃𝐵 𝜃𝐶 𝑟2 𝑟1 00269 75 150 00134 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐴𝐵 𝑀𝑡1 ℓ 𝐽𝑝 𝐺 45000 𝑁𝑚𝑚 2000 𝑚𝑚 15707 𝑚𝑚4 80000 𝑁 𝑚𝑚2 00716 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐴 00134 00716 00850 𝑟𝑎𝑑 3 Torção Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 Mecânica dos Sólidos 4 Flexão de Eixos e Vigas 4 Flexão de eixos e vigas Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 41 Teorias mais comuns 42 Equações governantes 43 Dimensionamento de membros sob flexão 44 Cálculos dos momentos de inércia 45 Flexão em barras constituídas por vários materiais 46 Membros com carregamento excêntrico 47 Flexão fora do plano de simetria Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 41 Teorias mais comuns 411 Força cortante Um ponto qualquer de uma barra fletida além das tensões normais de tração e compressão provenientes de um momento fletor está sujeita também a tensões tangenciais de cisalhamento proveniente de forças cortantes Chamase esforço cortante Q da secção x a soma algébrica de todas as forças que precedem ou seguem a secção 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 4 Flexão de eixos e vigas a Cargas Concentradas A força cortante se mantém constante ao longo dos trechos descarregados concluise daí que para traçar o diagrama basta calcular apenas os valores das forças cortantes numa seção qualquer de cada trecho descarregado e unir os valores por meio de retas paralelas à barra 𝑄𝑥 Σ𝐹 Exemplos 10 kg 20 kg 28 kg 2 2 3 3 20 kg 38 kg Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 P 100 kg Q 100 kg Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 4 Flexão de eixos e vigas b Cargas distribuídas A força cortante varia linearmente ao longo da viga Concluise que para traçar o diagrama basta calcular apenas as forças cortantes nas extremidades da carga distribuída e unir os valores por meio de retas 𝑄𝑥 Σ𝐹 Σ𝑞 𝑥 Exemplo Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 4 Flexão de eixos e vigas 412 Momento Fletor A secção x da barra da figura está solicitada parte à compressão e parte à tração Isto é as fibras superiores da barra são comprimidas e as fibras inferiores são tracionadas Denominase momento fletor M da secção x a soma algébrica dos momentos em relação a x de todas as forças Pi que precedem ou seguem a secção Compressão Tração Linha Neutra x P Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 4 Flexão de eixos e vigas a Cargas concentradas O momento fletor varia linearmente ao longo dos trechos descarregados Concluise que para traçar o diagrama basta calcular apenas os momentos fletores nas secções em que são aplicadas as forças e unir os valores por meio de retas A secção mais solicitada é aquela em que o momento fletor é máximo 10 kg 20 kg 2 8 kg 1 1 1 1 1 M1 M2 M3 M5 M6 M7 cm M4 22 kg P 100 kg 10 20 10 M4 RA 100 kg cm M1 M2 M3 M5 Mx S F d Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 4 Flexão de eixos e vigas b Cargas distribuídas M3 M5 40 kg 40 kg 6 4 q 4 kgm 5 5 M1 M4 M2 15 10 5 q 6 kgcm M1 M2 M3 M4 M5 Mx S F d q x2 2 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 4 Flexão de eixos e vigas 4 Flexão de eixos e vigas 413 FLexão a Introdução O esforço de flexão configurase na peça quando esta sofre cargas cortantes que venham a originar momento fletor significado RA RB F A B SN Superfície Neutra Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 4 Flexão de eixos e vigas b Flexão Pura Quando a peça submetida à flexão apresenta somente momento fletor nas diferentes secções transversais e não possui força cortante atuando nestas secções a flexão é denominada pura No intervalo compreendido entre os pontos C e D a cortante é nula e o momento fletor atuante é constante Neste intervalo existe a tensão normal pois a tensão de cisalhamento é nula o valor da força cortante é zero A B a a b D C Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 4 Flexão de eixos e vigas c Flexão Simples A flexão é denominada simples quando as secções transversais da peça estiverem submetidas à ação de força cortante e momento fletor simultaneamente Exemplos Intervalos AC e DB Neste caso atua tensão normal e tensão tangencial A B a a b D C Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 4 Flexão de eixos e vigas d Tensão Normal na Flexão Suponhase que a figura representada a seguir seja uma peça com secção transversal A qualquer e comprimento que se encontra submetida à flexão pela ação das cargas cortantes representadas RA RB F A B a b c máx t máx fibras tracionadas fibras comprimidas S N A Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 4 Flexão de eixos e vigas As fibras inferiores da peça encontramse tracionadas enquanto que as fibras superiores se encontram comprimidas A tensão normal atuante é máxima também denominada de tensão de flexão é determinada em relação à fibra mais distante da secção transversal através da relação entre o produto do momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra e o momento de inércia baricêntrico da secção Temse então c Tensão máxima nas fibras comprimidas Como se convenciona o momento fletor nas fibras comprimidas como sendo negativo c será sempre 0 negativo t Tensão máxima nas fibras tracionadas Como por convenção o momento fletor é positivo nas fibras comprimidas t será sempre 0 positivo Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 4 Flexão de eixos e vigas e Dimensionamento na flexão Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utilizase a tensão admissível que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida Temse então Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 4 Flexão de eixos e vigas f Tensão de cisalhamento na flexão A força cortante que atua na secção transversal da peça provoca nesta uma tensão de cisalhamento que é determinada por Tensão de cisalhamento MPa Nmm2 V Força cortante atuante na secção kN N Q Momento estático da parte hachurada da seção m3 mm3 t Largura da secção m mm I Momento de inércia da secção transversal m4 mm4 méd V Q I t Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 Exemplo 1 Dimensionar a viga da madeira retangular que deverá suportar o carregamento apresentado na figura Utilizar mad 10 MPa e h 3 b 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 Exemplo 2 Dimensionar a viga I de qualidade comum CSN ABNT EB 583 com e 180 MPa para que suporte o carregamento representado na figura atuando com uma segurança Sg 2 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 Ra B A Rb Exemplo 3 Princípio de Superposição 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 S Forças 0 RA RB S P S Wo x S Momentos 0 S Mx S P x Wo x2 2 4 Flexão de eixos e vigas 42 Equações governantes a Análise preliminar das tensões na flexão pura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 b Deformações de uma barra simétrica na flexão pura 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 4 Flexão de eixos e vigas Considerar um segmento de viga de comprimento L Depois da deformação o comprimento da superfície neutra permanece L Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 x x c Tensões e deformações no regime elástico 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 d Deformações de uma seção transversal 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 Equações da Deflexão na Flexão w B A L B A L w P B A L B A L w B A L P L2 L P a b d 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 d 𝑊𝐿4 8𝐸𝐼 d 𝑊𝐿4 30𝐸𝐼 d 𝑃𝐿3 48𝐸𝐼 d 𝑃𝑏 𝐿2𝑏2 3 2 9 3𝐸𝐼𝐿 𝑥𝑚 𝐿2𝑏2 3 d 5𝑊𝐿4 384𝐸𝐼 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 Exemplo 5 Uma barra de alumínio tem seção transversal em forma de semi círculo com raio de 12 mm A barra é flexionada até se deformar em um arco de circunferência de raio médio r 25 m Sabendose que a face PLANA da barra fica voltada para o centro de curvatura do arco determinar a máxima tensão de tração e compressão na barra Adotar E 70 GPa y 509 mm c 691 mm em 000276 m 19348 MPa comp 1423 MPa Exemplo 42 pg 331332 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 Exemplo 6 O tubo retangular é fabricado por extrusão de uma liga de alumínio para a qual σe 150 MPa σu 300 MPa e E 70 GPa Determinar a O momento fletor M para o coeficiente de segurança 30 b O raio de curvatura correspondente no tubo 80 mm 120 mm 8 mm 8 mm C x M 120 mm I 552 x 106 m4 adm 100 MPa M 92 kNm r 420 m Problema 41 pg 334336 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 Exemplo 7 Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada Determinar as máximas tensões de tração e compressão a porção BC da viga Xcg 0025 m Ycg 0025 m I 513 x109 m4 M 1500 Nm x 10244 Nm2 m 73171 Nm2 Problema 48 pg 340341 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 32 Legenda das fórmulas L Comprimento original L Comprimento após a deformação d Deformação ex Deformação específica longitudinal em Deformação máxima y Distância da linha neutra ao ponto de análise r raio do arco u coeficiente de poisson q Ângulo central c Máximo valor de y x plano x Tensão normal no plano E Módulo de elasticidade m Tensão normal máxima M Momento fletor I Momento de inércia W Módulo de resistência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 33 44 Cálculos dos momentos de inércia 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 34 45 Flexão em barras constituídas por vários materiais Deduções anteriores foram feitas na hipótese de material homogêneo com um certo módulo de elasticidade E Se a barra submetida a flexão pura é feita de dois ou mais materiais com diferentes módulos de elasticidade teremos que determinar sua nova linha neutra 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 35 Seção original Distribuição das tensões em uma Seção transformada Seção transformada 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 36 4 Flexão de eixos e vigas Exemplo 8 Uma barra constituída de aço e latão Eaço 200 GPa Elatão 100 GPa tem a seção indicada Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra está sujeita a flexão pura com um momento M 2 kNm 5mm 10mm 5mm 40 mm Aço Latão Latão 200 n 100 n 2 5mm 20mm 5mm 40 mm LN c 20 mm Seção do Latão equivalente a de aço I 160 x109 m4 m 250 MPa latão 250 MPa aço 500 MPa Exemplo 43 pg 352354 BEER Mista Somente de Latão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 37 Exemplo 9 Um tubo de aço e um alumínio são firmemente unidos para formar a viga composta mostrada Através do momento fletor M determine a máxima tensão a no alumínio b no aço c raio de curvatura da viga 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 38 Problema 457 Pg 366 BEER 46 Membros com carregamento excêntrico Vimos que a distribuição das tensões em uma seção transversal de uma barra submetida à carga axial só pode ser considerada uniforme se as forças P e P passarem pelo centróide da seção Neste caso o carregamento se diz centrado Vamos estudar agora o caso em que a linha das forças aplicadas não passa pelo centro geométrico da seção constituindose em carregamento excêntrico Vamos nos limitar a estudar barras que possuem um plano de simetria e vamos adotar que as forças aplicadas estão neste plano F P M P d 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 39 A distribuição das tensões devidas à carga excêntrica inicial pode ser obtida pela superposição da distribuição uniforme que corresponde ao caso das forças P e P aplicadas centradas e da distribuição linear provocada pela flexão dos conjugados M e M podemos escrever x x força centrada x flexão 𝜎𝑥 𝑃 𝐴 𝑀 𝑦 𝐼 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 40 a b Dependendo da forma da seção transversal bem como da distância d as tensões superpostas podem ter todas o mesmo sinal como na figura acima ou podem ser positivas e negativas como na figura abaixo No caso abaixo haverá uma linha da seção transversal ao longo da qual a x 0 Esta linha representa a linha neutra da seção Vemos que ela não coincide com o eixo centroidal pois x 0 quando y 0 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 41 Exemplo 10 Um elo de corrente aberto é obtido quando se flexiona uma barra de aço doce de 12 mm de diâmetro na forma indicada abaixo Sabendose que a corrente deve suportar uma carga de 800 N determinar a a tensão máxima de tração e de compressão na parte reta do elo b a distância entre os eixos centroidal e neutro em uma certa seção transversal M 12 Nm A 1131 x 106 m2 0 707 MPa I 1018 x 109 m4 m 707 MPa t 778 MPa c 636 MPa y0 06 mm Exemplo 47 pg 401403 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 42 Exemplo 11 Sabendose que a força na seção aa é P 400 N Determinar é a tensão no ponto A e D que pode ser exercida sobre o garfo mostrado e qual a distância y em que a tensão é nula Exemplo 4117 pg 408 BEER 50 mm 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 43 Exemplos para resolver em casa Exemplos 47 Problema Resolvido 48 Problema 4108 4109 4116 4117 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 44 47 Flexão fora do plano de simetria Nossa análise de flexão pura se limitou até aqui às barras que possuem pelo menos um eixo de simetria que estão submetidas a momentos fletores que atuam nesse plano de simetria Nos dois casos o conjugado que flexiona a barra age no plano vertical de simetria da barra e está representado pelo vetor M horizontal Nos dois casos também o eixo neutro da seção transversal coincide com o eixo do conjugado 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 45 Vamos considerar situações nas quais os conjugados que provocam flexão nas barras não agem em planos que coincidem com algum plano de simetria da barra ou o caso de conjugados aplicados a barras que não possuem nenhum plano de simetria Nessas situações não podemos supor que a barra vá flexionar no plano de ação dos momentos Vamos adotar que os conjugados aplicados às barras atuam em planos verticais sendo representados por vetoresmomento horizontais M Como o plano vertical não é um plano de simetria não podemos esperar que a barra vá se flexionar nesse plano ou que o eixo neutro da seção vá coincidir com o eixo do conjugado 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 46 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 47 Mz M cos q My M cos q 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 48 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 49 Exemplo 12 Um conjugado de 200 Nm é aplicado a uma viga de madeira de seção retangular de 40 x 90 mm em um plano que forma um ângulo de 30 com a vertical Determinar a A tensão máxima na viga b O ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal Exemplo 48 pg 423425 BEER Mz 1732 Nm My 1000 Nm Iz 243 x 106 m4 Iy 048 x 106 m4 1 321 MPa 2 417 MPa máx 738 MPa F 711 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 50 4 Flexão de eixos e vigas Exemplo 13 Um bloco de madeira de seção retangular de seção de 80 x 120 mm recebe uma força P 48 kN aplicada excentricamente a determinar as tensões nos pontos A B C e D b Determinar a posição da linha neutra na seção transversal Exemplo 49 pg 427430 BEER Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 51 Exemplos para resolver em casa Exemplos 48 49 Problema Resolvido 49 Problema 4136 4137 4138 4140 4155 4158 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 52 Exemplo 1 Dimensionar a viga da madeira retangular que deverá suportar o carregamento apresentado na figura Utilizar mad 10 MPa e h 3 b Como as carga são simétricas aos apoios concluise que RA RB 1750 N Q1 1000 N Q2 1000 1750 750 N Q3 1000 1750 1500 750 N Q4 1000 1750 1500 1750 1000 N Q5 1000 1750 1500 1750 1000 0 M1 1000 0 0 M2 1000 1 1000 Nm M3 1000 2 1750 1 250 Nm M4 1000 3 1750 2 1500 1 1000 Nm M5 1000 4 1750 3 1500 2 1750 1 0 Dimensionamento da viga 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 53 M máx Wx Wx 6 b h 2 6 M máx b h 2 Como a seção transversal da viga deverá tem h 3 b temse que b 40 mm h 120 mm Exemplo 2 Dimensionar a viga I de qualidade comum CSN ABNT EB 583 com e 180 MPa para que suporte o carregamento representado na figura atuando com uma segurança Sg 2 Como as carga são simétricas aos apoios concluise que RA RB 40 kN Q1 40000 N Q2 40000 40000 0 40000 N Q3 40000 40000 1 0 Q4 40000 40000 2 40000 N Q5 40000 40000 2 40000 0 M1 40000 0 0 M2 40000 1 40000 Nm M3 40000 2 40000 12 2 60000 Nm M4 40000 3 40000 22 2 40000 Nm M5 40000 4 40000 2 2 0 Dimensionamento da viga 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 54 90 MPa e Sg 180 2 Wx 667 x 10 6 m3 667 cm3 M máx 60000 90 x 10 6 A viga que deverá ser utilizada é I 320 x 131 perfil 32 cujo módulo de resistência Wx 782 cm3 é mais próximo e superior ao valor calculado Onde Trabalhe sempre a favor da segurança escolhendo sempre a viga imediatamente superior ao valor obtido nos cálculos Ra 34 N B A Ra 8 N Rb 2 N Ra 10 N Rb 10 N Ra 16 N Rb 64 N Rb 76 N Exemplo 3 Princípio de Superposição 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 55 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 56 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 57 4 Flexão de eixos e vigas 4 4 H 4 76 H 02 X 62 0 610M0 34 610 10 410 20 110 20 010 2 2 1443000 1 612M1 34 612 10 412 20 112 20 012 2 2 1443360 2 614M2 34 614 10 414 20 114 20 014 2 2 1443640 3 616M3 34 616 10 416 20 116 20 016 2 2 1443840 4 618M4 34 618 10 418 20 118 20 018 2 2 1443960 5 620M5 34 620 10 420 20 120 20 020 2 2 1444000 6 622M6 34 622 10 422 20 122 20 022 2 2 1443960 7 624M7 34 624 10 424 20 124 20 024 2 2 1443840 8 626M8 34 626 10 426 20 126 20 026 2 2 1443640 9 628M9 34 628 10 428 20 128 20 028 2 2 1443360 10 630M10 34 630 10 430 20 130 20 030 2 2 1443000 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 58 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 59 Exemplo 4 Uma barra de aço tem seção retangular de 20 x 60 mm e fica submetida a ação de dois conjugados iguais e de sentido contrário que agem em um plano vertical de simetria da barra Determinar o valor do momento M que provoca escoamento no material da barra Adotar σe 250 MPa M M 60 mm 20 mm Exemplo 5 Uma barra de alumínio tem seção transversal em forma de semicírculo com raio de 12 mm A barra é flexionada até se deformar em um arco de circunferência de raio médio r 25 m Sabendose que a face PLANA da barra fica voltada para o centro de curvatura do arco determinar a máxima tensão de tração e compressão na barra Adotar E 70 GPa Exemplo 42 pg 331332 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 60 Exemplo 6 O tubo retangular é fabricado por extrusão de uma liga de alumínio para a qual σe 150 MPa σu 300 MPa e E 70 GPa Determinar a O momento fletor M para o coeficiente de segurança 30 b O raio de curvatura correspondente no tubo 80 mm 120 mm 8 mm 8 mm C x M 120 mm I 552 x 106 m4 adm 100 MPa M 92 kNm r 420 m Problema 41 pg 334336 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 61 Exemplo 7 Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada Determinar as máximas tensões de tração e compressão a porção BC da viga Problema 48 pg 340341 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 62 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 63 Exemplo 8 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 64 Exemplo 9 Exemplo 10 Um elo de corrente aberto é obtido quando se flexiona uma barra de aço doce de 12 mm de diâmetro na forma indicada abaixo Sabendose que a corrente deve suportar uma carga de 800 N determinar a a tensão máxima de tração e de compressão na parte reta do elo b a distância entre os eixos centroidal e neutro em uma certa seção transversal M 12 Nm A 1131 x 106 m2 0 707 MPa I 1018 x 109 m4 m 707 MPa t 778 MPa c 636 MPa y0 06 mm Exemplo 47 pg 401403 BEER 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 65 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 66 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 67 4 Flexão de eixos e vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 68 Exemplo 11 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 69 4 Flexão de eixos e vigas Exemplo 12 Um conjugado de 200 Nm é aplicado a uma viga de madeira de seção retangular de 40 x 90 mm em um plano que forma um ângulo de 30 com a vertical Determinar Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 70 4 Flexão de eixos e vigas Exemplo 13 Um bloco de madeira de seção retangular de seção de 80 x 120 mm recebe uma força P 48 kN aplicada excentricamente Mecânica dos Sólidos 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 51 Introdução 52 Carregamento transversal em barras prismáticas 53 Fluxo de Cisalhamento 54 Tensão de cisalhamento txy em uma viga Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas 51 Introdução Análise das tensões normais e de cisalhamento em barras prismáticas sujeitas a carregamento transversal A distribuição das tensões normais devido a flexão não é afetada pela presença do cisalhamento desta forma determinaremos as forças cisalhantes atuando nas seções horizontais de uma viga 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 52 Carregamento transversal em barras prismáticas Determinação da tensão de cisalhamento em um plano horizontal 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas P A B Linha Neutra Tração Compressão Linha Neutra sx txy txz txy sx M y Nm2 I Q A ȳ m3 q V Q Nm I H V Q x N I Se y 0 sx 0 Se y c sx smax ȳ M M sx 0 na linha neutra Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 V Mmáx V Determinação da tensão normais Tem diferença no Momento de Inércia 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 53 Fluxo de Cisalhamento Considere uma viga feita de diversas pranchas contínuas cuja seção transversal abaixo Para que esta viga de seção retangular atue como um membro inteiro admitese que as pranchas sejam unidas a intervalos por meio de parafusos verticais 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 Exemplo 1 Uma viga de madeira é constituída por três peças de 20 X 100 mm de seção transversal que são pregadas uma à outra O espaçamento entre os pregos é de 25 mm Sabendose que a viga está submetida a uma força cortante de 500N determinar a força de corte em cada prego Exemplo 51 pg 488490 BEER 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 54 Tensão de cisalhamento txy em uma viga q V Q I DH q Dx V Q Dx I tméd V Q I t tméd DH V Q Dx DA I t Dx q Fluxo de cisalhamento V Força cortante vertical em qualquer seção transversal I Momento de inércia em relação a linha neutra Q Momento estático DH Força horizontal que exerce no comprimento Dx da seção horizontal H V Q x N I Tensões que exercem em um plano transversal e em um plano horizontal são iguais txy tyx 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 Nas faces superior e inferior da viga txy 0 visto que não há forças atuantes nas faces Logo tyx 0 Q é máximo quando y 0 Quando bh ¼ tmáx 08 tméd 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 Tensão de cisalhamento txy em uma viga de perfil retangular Se y c txy 0 Se y 0 txy é máximo c h 2 h 2 c t b ȳ y c y 2 A b c y I b h3 12 I b 2 c3 12 I b 8 c3 12 I 2 b c3 3 txy V Q I t b c2 y2 txy V 2 2 b c3 b 3 txy 3 V b c2 y2 2 2 b c3 b txy 3 V c2 y2 2 2 b c3 txy 3 V c2 y2 2 2 b c c2 txy 3 V c2 y2 2 A c2 txy 3 V 1 y2 2 A c2 Q A ȳ Q b c y y c y 2 Q b c y 2y c y 2 Q b c y c y 2 Q b c2 y2 2 A b h A b 2 c A 2 b c 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 Exemplo 2 A viga AB é constituída por três peças coladas uma à outra e está submetida ao carregamento indicado que atua em seu plano de simetria Sabendose que a largura da junta colada é de 20 mm determinar a tensão de cisalhamento média das juntas coladas na seção nn da viga Problema Resolvido 51 pg 498500 BEER 3ªed 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 Exercício de avaliação 07 Exemplo 3 Uma peça de máquina em forma de perfil T fica submetida a uma força atuante no seu plano de simetria Determinar a a máxima tensão de compressão na seção nn b a máxima tensão de cisalhamento 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 Problema Resolvido 52 pg 500502 BEER 3ªed Exemplos para resolver em casa Beer 3ªEd Problema 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 Exemplo 1 Uma viga de madeira é constituída por três peças de 20 X 100 mm de seção transversal que são pregadas uma à outra O espaçamento entre os pregos é de 25 mm Sabendose que a viga está submetida a uma força cortante de 500N determinar a força de corte em cada prego Exemplo 51 pg 488490 BEER 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 Exemplo 2 A viga AB é constituída por três peças coladas uma à outra e está submetida ao carregamento indicado que atua em seu plano de simetria Sabendose que a largura da junta colada é de 20 mm determinar a tensão de cisalhamento média das juntas coladas na seção nn da viga Problema Resolvido 51 pg 498500 BEER 3ªed 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 Exercício de avaliação 07 Exemplo 3 Uma peça de máquina em forma de perfil T fica submetida a uma força atuante no seu plano de simetria Determinar a a máxima tensão de compressão na seção nn b a máxima tensão de cisalhamento 5 Cisalhamento de Eixos e Vigas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 Problema Resolvido 52 pg 500502 BEER 3ªed Mecânica dos Sólidos 6 Energia da Deformação 6 Energia da Deformação Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 61 Carregamento Axial Tração e Compressão 62 Carregamento por Torção 63 Carregamento por Flexão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 Quando cargas são aplicadas a um corpo elas deformam o material Contanto que nenhuma energia seja perdida sob forma de calor o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação Essa energia que se apresenta sempre positiva é armazenada no corpo e provocada pela ação da tensão normal ou da tensão de cisalhamento 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 Trabalho de Deformação 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 dU P dx No caso de uma deformação linear e elástica a porção do diagrama forçadeformação referente pode ser representado por uma equação P kx 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 Trabalho de deformação específico 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 61 Trabalho de deformação para carga axial Considere uma barra de seção transversal variável ligeiramente cónica que é submetida a uma carga axial que coincide com o eixo centróide da barra A força axial interna em uma seção localizada à distância x de uma extremidade é P Se a área da seção transversal nessa seção for A então a tensão normal na seção é P A Aplicando a Equação temos 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 No caso de uma barra de seção transversal uniforme sujeita em suas extremidades a forças de mesma intensidade P e sentidos opostos a equação fica dV A dx 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 Exemplo 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 62 Trabalho de deformação na torção Para determinar a energia de deformação interna em um eixo ou tubo circular decorrente de um momento de torção aplicado temos de aplicar a Equação Considere o eixo ligeiramente cônico na Figura A seção do eixo tomada à distância x de uma extremidade é submetida a um torque interno T 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 No caso de um eixo circular ou tubo de seção transversal uniforme submetido a conjugado de torção iguais e de sentido contrário aplicados nas suas extremidades a equação fica 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 Trabalho de deformação na torção Exemplo 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 𝐽𝑝 𝜋 𝐷4 32 Se a seção transversal do eixo tiver alguma outra forma que não a circular ou tubular a Equação deve ser modificada Por exemplo se for retangular com dimensões h b por meio de uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade podese demonstrar que a energia de deformação no eixo é determinada por Onde 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 63 Trabalho da deformação na flexão Visto que um momento fletor aplicado a um elemento estrutural prismático reto desenvolve nele uma tensão normal podemos usar a equação para determinar a energia de deformação armazenada no elemento estrutural decorrente da flexão Por exemplo considere a viga assimétrica mostrada na Figura abaixo Aqui o momento interno é M e a tensão normal que age sobre o elemento arbitrário à distância y do eixo neutro é 𝝈 𝑴 𝒚 𝑰 Se o volume do elemento for dV dA dx onde dA é a área de sua face exposta e dx seu comprimento a energia de deformação elástica na viga é 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 Equação genérica para diversas formas de vigas e eixos e para diversos tipos de carregamento Para cada uma das situações acima derivase a equação 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 w B A L B A L w P B A L B A L w B A L P L2 𝑈 𝑃2 𝐿3 6 𝐸 𝐼 𝑈 𝑊2 𝐿5 40 𝐸 𝐼 𝑈 𝑃2 𝐿3 96 𝐸 𝐼 𝑈 𝑊2 𝐿5 504 𝐸 𝐼 𝑈 𝑊2 𝐿5 240 𝐸 𝐼 Energia da Deformação na Flexão L P a b 𝑈 𝑃2 𝑎2 𝑏2 6 𝐸 𝐼 𝐿 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 Equações da Deflexão na Flexão w B A L B A L w P B A L B A L w B A L P L2 L P a b d 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 d 𝑊𝐿4 8𝐸𝐼 d 𝑊𝐿4 30𝐸𝐼 d 𝑃𝐿3 48𝐸𝐼 d 𝑃𝑏 𝐿2𝑏2 3 2 9 3𝐸𝐼𝐿 𝑥𝑚 𝐿2𝑏2 3 d 5𝑊𝐿4 384𝐸𝐼 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 Exemplo 1 Determinar o trabalho de deformação da viga prismática em balanço AB levando em conta apenas o efeito das tensões normais O momento fletor a uma distância x da extremidade A é M P x Substituindo este valor na equação temos P B A L 6 Energia da Deformação 𝑈 𝑜 𝐿 𝑀2 2𝐸𝐼 ⅆ𝑥 𝑀 𝑃 𝑥 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 ⅆ𝑈 න 𝑜 𝐿 𝑃 𝑥 2 2𝐸𝐼 ⅆ𝑥 𝑈 𝑃2 2 𝐸 𝐼 න 𝑜 𝐿 𝑥2 ⅆ𝑥 𝑈 𝑃2 2𝐸𝐼 𝑥3 3 𝐿 𝑜 𝑈 𝑃2 𝐿3 6 𝐸 𝐼 Exemplo 2 O diagrama tensãodeformação mostrado foi desenhado a partir dos dados obtidos durante um ensaio de tração de um corpo de prova de uma liga de alumínio Usando E 72 GPa determinar a o módulo de resiliência da liga b por meio aproximado o módulo de tenacidade da liga Problema 106 Beer pg 999 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 Exemplo 3 Usando E 200 GPa determinar a a energia de deformação na barra de aço ABC quando P 60 kN b a correspondente densidade de energia de deformação nas porções AB e BC da barra Problema 109 Beer pg 1001 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 6 Energia da Deformação Exercício de avaliação 08 Exemplo 4 O eixo tubular na Figura está engastada na parede e é submetido aos dois torques mostrados Determine a energia de deformação armazenada no eixo decorrente dessa carga G 75 GPa Raio externo 80 mm Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 Exemplo 5 Usando E 200 GPa determinar a energia de deformação devido à flexão para as vigas com o carregamento mostrado desprezar o efeito das tensões de cisalhamento Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 6 Energia da Deformação 𝑈 𝑃2𝐿3 96𝐸𝐼 Problema 1043 e 1044 Beer 3ªed pg 1007 Exemplo 6 Usando E 200 GPa determinar a energia de deformação devido à flexão para as vigas com o carregamento mostrado desprezar o efeito das tensões de cisalhamento Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 6 Energia da Deformação Problema 1043 e 1044 Beer 3ªed pg 1007 𝑈 𝑃2 𝑎2 3𝐿 4𝑎 6 𝐸 𝐼 Exercícios para resolver em casa Hibbeler 7ªEd Problema 143 144 145 146 147 148 149 1410 1411 1412 1413 6 Energia da Deformação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 Mecânica dos Sólidos 8 Tensões Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 81 Análise de tensões 82 Definição de tensão 83 Notação de tensões Tensor tensão 84 Equações de equilíbrio 85 Transformação de tensões 86 Tensões principais 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 81 Análise de Tensão 8 Tensão Consideremos um corpo onde estão aplicadas várias forças P1 P2 etc Vamos estudar as condições de tensões em um certo ponto Q do interior do corpo causadas pelo carregamento Para isso passamos uma seção pelo ponto Q por intermédio de um plano paralelo ao plano yz Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 8 Tensão Tomemos um elemento de área A que contém o ponto Q Vamos designar por Fx e Vx respectivamente as forças normal e cortante que agem nas áreas A O índice superior x indica que as forças Fx e Vx agem em uma superfície perpendicular ao eixo x A força normal Fx tem sua direção bem definida mas a força cortante Vx pode ter qualquer direção no plano da seção Vamos então decompor Vx nas suas componentes Vxy e Vxz nas direções paralelas aos eixos y e z respectivamente Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 8 Tensão 𝜎𝑥 lim 𝐴0 𝐹𝑥 𝐴 𝜏𝑥𝑧 lim 𝐴0 𝑉𝑥𝑧 𝐴 𝜏𝑥𝑦 lim 𝐴0 𝑉𝑥𝑦 𝐴 A tensão normal 𝜎𝑥 é positiva se o sentido do vetor que a representa coincide com o sentido do eixo x Assim 𝜎𝑥 será positiva quando o corpo estiver sendo tracionado e negativa em caso contrário Do mesmo modo as componentes da tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝜏𝑥𝑧 serão consideradas positivas quando seus correspondentes vetores tiverem sentido coincidente com o sentido positivo do eixo y ou z Se dividirmos agora a intensidade de cada força pela área A fazendo A tender a zero definiremos as três componentes das tensões Usamos o primeiro índice em 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝜏𝑥𝑧 para indicar que as tensões consideradas agem em uma superfície perpendicular ao eixo x O segundo índice serve para indicar a direção da componente 82 Definição de Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 A tensão num ponto pode ser decomposta em Tensão Normal sx na direção normal x e Tensão de Cisalhamento tx na direção tangencial plano zy normal à direção x A Tensão de Cisalhamento tx pode ser decomposta em duas componentes txz na direção z e txy na direção y A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 8 Tensão Se passarmos pelo ponto Q uma seção paralela ao plano xz definiremos as componentes 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝑒 𝜏𝑦𝑥 Ao passarmos pelo ponto Q uma seção paralela ao plano xy obteremos as componentes 𝜎𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝑒 𝜏𝑧𝑦 A este conjunto dáse o nome de Estado de Tensão no Ponto A mesma análise pode ser feita se tomarmos a porção direita do corpo dividido pelo plano vertical As tensões obtidas serão de mesma intensidade mas de sentidos contrários em relação ao caso estudado acima A seção transversal está voltada para o lado negativo do eixo x de modo que 𝜎𝑥terá sinal positivo quando seu vetor tiver sentido contrário ao do eixo x Do mesmo modo 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝜏𝑥𝑧serão positivas quando seus correspondentes vetores tiverem sentido contrário ao sentido positivo do eixo y ou z Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 8 Tensão Lembramos da definição de componentes das tensões de cisalhamento que 𝜏𝑥𝑦 representa a componente y da tensão de cisalhamento que atua na face perpendicular ao eixo x do mesmo modo que 𝜏𝑦𝑥 representa a componente x da tensão de cisalhamento que atua na face perpendicular ao eixo y Nas três faces do cubo que não são visíveis ocorrem tensões iguais e de sentidos opostos As tensões atuantes nas faces do cubo diferem pouco daquelas que agem no ponto Q e o erro cometido é pequeno desaparecendo quando o lado a do cubo tende a zero Para facilitar a visualização do estado de tensões no ponto Q vamos considerar um pequeno cubo de lado a com centro no ponto Q juntamente com as tensões que atuam em cada uma das seis faces do cubo As componentes que aparecem na figura são as tensões normais 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑒 𝜎𝑧 que atuam nas faces perpendiculares aos eixos x y e z respectivamente e as seis componentes das tensões de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝜏𝑥𝑧 etc 83 Notação de tensões Tensor tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 84 Equações de equilíbrio Vamos agora deduzir algumas relações importantes entre as componentes das tensões de cisalhamento Considerando o diagrama de corpo livre do cubo centrado em Q podemos obter as forças normais e cortantes nas várias faces multiplicando as componentes das tensões pela área de cada face Considerando um sistema de eixos coordenado com origem no ponto Q podemos escrever as seis equações de equilíbrio Σ𝐹𝑥 0 Σ𝐹𝑦 0 Σ𝐹𝑧 0 Σ𝑀𝑥 0 Σ𝑀𝑦 0 Σ𝑀𝑧 0 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 Sabemos que nas faces não visíveis do cubo agem forças iguais e de sentido contrário às indicadas o que satisfaz às Equações de equilíbrio das forças Analisando as Equações de equilíbrio dos momentos vamos considerar em primeiro lugar a terceira das equações Σ𝑀𝑧 0 Usando uma projeção no plano xy podemos ver que somente as forças cortantes têm momento diferente de zero em relação ao eixo z Elas formam dois conjugados um deles com momento positivo contrário ao giro dos ponteiros de um relógio de valor 𝜏𝑥𝑦Δ𝐴 𝑎 e o outro negativo no sentido dos ponteiros do relógio de valor 𝜏𝑦𝑥Δ𝐴 𝑎 Escrevemos então Σ𝑀𝑧 0 𝜏𝑥𝑦Δ𝐴 𝑎 𝜏𝑦𝑥Δ𝐴 𝑎 0 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 de onde podemos concluir que 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥 Essa relação mostra que a componente y da tensão de cisalhamento que atua em uma face perpendicular ao eixo x é igual à componente x da tensão de cisalhamento que atua na face perpendicular ao eixo y Das outras duas Equações de equilíbrio de momentos deduzimos da mesma maneira as seguintes relações 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑥𝑧 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 As Equações de igualdade das tensões de cisalhamento citadas mostram que são necessárias apenas seis componentes para definir o estado de tensões em um certo ponto Q e não nove componentes como adotamos inicialmente Essas seis componentes são 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 É fácil ver também que a tensão de cisalhamento não ocorre em apenas um plano mas sempre haverá em um plano perpendicular ao primeiro a atuação de uma tensão de cisalhamento de igual valor 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 8 Tensão Consideremos como exemplo o rebite abaixo analisando um pequeno cubo no centro Q do rebite Vemos que tensões de cisalhamento de mesmo valor devem ocorrer nas duas faces horizontais e nas duas faces que são perpendiculares às forças P e P Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 8 Tensão 85 Transformação de tensões Se considerarmos o pequeno cubo de uma peça submetida a carregamento axial com suas faces paralelas às faces da peça veremos que o estado de tensões na peça é aquele mostrado Fig a nas faces perpendiculares ao eixo da peça atua unicamente a tensão normal 𝜎𝑥 o eixo da peça é o eixo x Fig a Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 8 Tensão Entretanto se o cubo for girado em redor do eixo z de um ângulo de 45 até que a orientação de suas faces coincida com aquela das figuras c e d concluímos que atuam tensões normais e de cisalhamento de igual valor nas quatro faces do cubo Fig b Verificamos então que o mesmo carregamento leva a diferentes interpretações do estado de tensões em um ponto dependendo da orientação do elemento considerado Tensões em um plano oblíquo ao eixo Fig b Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 8 Tensão Vamos adotar que o ponto Q está submetido a um estado plano de tensões com 𝜎𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 0 que é representado pelas componentes de tensão 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 relativas ao cubo elementar da Figura abaixo Queremos agora determinar as componentes de tensão 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 referentes ao cubo elementar que foi rodado de um ângulo em torno do eixo z expressando essas componentes em função de 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝑒 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 8 Tensão Para determinarmos a tensão normal 𝝈𝒙 e a tensão de cisalhamento 𝝉𝒙𝒚 que atuam na face perpendicular ao eixo x vamos considerar o prisma elementar de faces perpendiculares aos eixos x y e x Fig a Chamando de 𝑨 a área da face inclinada calculamos as áreas das faces horizontal e vertical por 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜽 e 𝑨 𝒔𝒆𝒏𝜽 respectivamente Com isso as forças elementares que atuam nessas faces são aquelas mostradas na Fig b Não ocorrem forças atuando nas faces triangulares do prisma elementar pois adotamos que as componentes de tensões nessas faces são nulas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 8 Tensão Calculando as componentes dessas forças em relação aos eixos x e y temos as seguintes equações de equilíbrio Σ𝐹𝑥 0 𝜎𝑥𝐴 𝜎𝑥 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜎𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 8 Tensão Calculando as componentes dessas forças em relação aos eixos x e y temos as seguintes equações de equilíbrio Σ𝐹𝑥 0 𝜎𝑥𝐴 𝜎𝑥 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜎𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 8 Tensão Σ𝐹𝑦 0 𝜏𝑥𝑦𝐴 𝜎𝑥 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜎𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 8 Tensão Σ𝐹𝑦 0 𝜏𝑥𝑦𝐴 𝜎𝑥 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜏𝑥𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜎𝑦 Δ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 8 Tensão Resultando em Usando as relações trigonométricas abaixo sen 2𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 cos 2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝜎𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 8 Tensão Resulta em 𝜎𝑥 𝜎𝑥 1 cos 2𝜃 2 𝜎𝑦 1 cos 2𝜃 2 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝝈𝒙 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝝈𝒚 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝜎𝑧 𝜎𝑧 0 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑠𝑒 𝜃 0 𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝑒 𝜎𝑦 𝜎𝑦 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 8 Tensão Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos o ponto M de abscissa 𝜎𝑥 e ordenada 𝜏𝑥𝑦 para qualquer valor do parâmetro vamos sempre obter um ponto que se encontra em uma circunferência Podemos demonstrar essa propriedade eliminando entre as Equações anteriores Para isso transpomos para o primeiro membro da Equação 𝜎𝑥 𝜎𝑦 Τ 2 elevando ao quadrado os dois membros da equação Em seguida quadramos os dois membros e somando membro a membro as duas expressões obtidas dessa forma Vamos ter 𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎𝑚é𝑑 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑅 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 8 Tensão 𝜎𝑥 𝜎𝑚é𝑑 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝑅2 que é a equação de uma circunferência de raio R com centro no ponto C de abscissa 𝜎𝑚é𝑑 e ordenada 0 Como a circunferência é simétrica em relação ao eixo horizontal iríamos obter o mesmo resultado se tivéssemos marcado o ponto N de abscissa 𝜎𝑥 e ordenada 𝜏𝑥𝑦 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 8 Tensão Os pontos A e B em que a circunferência intercepta o eixo horizontal tem um interesse especial o ponto A corresponde ao máximo valor da tensão normal 𝜎𝑥 enquanto o ponto B corresponde ao menor valor dessa tensão Ao mesmo tempo os dois pontos correspondem a um valor nulo da tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 Desse modo o valor 𝜃𝑝 do parâmetro que corresponde aos pontos A e B pode ser obtido fazendo 𝜏𝑥𝑦 0 Escrevemos 𝑡𝑔 2𝜃𝑝 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 8 Tensão 86 Tensões principais Essa equação define dois valores 2𝜃𝑝 com diferença de 180 ou dois valores de 𝜃𝑝 e com diferença de 90 Qualquer um desses valores pode ser usado na determinação da orientação do cubo elementar correspondente As faces do cubo elementar obtido dessa maneira definem planos chamados planos principais no ponto Q As tensões normais 𝜎𝑚á𝑥 e 𝜎𝑚í𝑛 que agem nesses planos são chamadas tensões principais no ponto Q O valor de 𝜃𝑝 foi determinado fazendose 𝜏𝑥𝑦 0 donde se conclui que não ocorrem tensões de cisalhamento nos planos principais 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚é𝑑 𝑅 e 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑚é𝑑 𝑅 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 8 Tensão Embora seja possível dizer por inspeção qual dos dois planos principais está submetido a 𝝈𝒎á𝒙 e qual está submetido a 𝝈𝒎í𝒏 precisamos substituir um dos valores de 𝜽𝒑 para determinarmos qual dos dois planos recebe o maior valor de tensão normal Analisando novamente o círculo anterior vemos que os pontos D e E localizados no diâmetro vertical do círculo correspondem ao maior valor da tensão de cisalhamento 𝝉𝒙𝒚 Os pontos D e E têm a mesma abscissa 𝝈𝒎é𝒅 𝝈𝒙 𝝈𝒚 Τ 𝟐 e os valores 𝜽𝒄 do parâmetro que correspondem a esses pontos podem ser obtidos fazendose 𝝈𝒙 𝝈𝒙 𝝈𝒚 Τ 𝟐 Com isso a soma dos dois últimos termos da equação deve ser zero 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 8 Tensão Assim para 𝜽𝒄 𝜽 escrevemos Essa equação define dois valores de 𝟐𝜽𝒄 com diferença de 180 e dois valores de 𝜽𝒄 com diferença de 90 Qualquer um desses valores pode ser usado para a determinação da orientação do elemento que corresponde à tensão de cisalhamento máxima O máximo valor da tensão de cisalhamento é igual ao raio R da circunferência Escrevemos 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃𝑐 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃𝑐 0 tg 2𝜃𝑐 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 8 Tensão A tensão normal que corresponde à condição de tensão máxima de cisalhamento é 𝜎 𝜎𝑚é𝑑 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 8 Tensão Comparando as equações vemos que a tg 𝟐𝜽𝒄 é o inverso negativo da tg 𝟐𝜽𝒑 Isto quer dizer que os ângulos 𝟐𝜽𝒄 e 𝟐𝜽𝒑 têm diferença de 90 e portanto os ângulos 𝜽𝒄 e 𝜽𝒑 são separados de 45 Assim os planos de máxima tensão de cisalhamento formam ângulos de 45 com os planos principais Devemos estar cientes de que a análise de transformação das tensões no estado plano se limitou ao caso de rotações no plano das tensões Se o cubo elementar girar em torno de outro eixo que não o eixo z suas faces podem ficar sujeitas a tensões de cisalhamento maiores do que aquelas dadas 8 Tensão Página 32 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 33 8 Tensão Exemplo 1 Determinar para o estado plano de tensões indicado na Figura abaixo a os planos principais b a máxima tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal c as tensões principais d Especifique a orientação do elemento em cada caso Problema 973 HIBBELER pg 349897 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 34 8 Tensão Exemplo 2 O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento Determine a as tensões principais b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto c Especifique a orientação do elemento em cada caso Problema 916 HIBBELER 7ªed pg 333897 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 35 8 Tensão Exemplo 3 Uma placa de aço tem a espessura de 10 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura Determina a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvidas no aço Problema 919 HIBBELER 7ªed pg 334901 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 36 8 Tensão Exemplo 4 Uma força horizontal P de 670 N é aplicada à extremidade D da alavanca ARD Determinar a as tensões normal e de cisalhamento em um cubo elementar situado no ponto H com lados paralelos aos eixos x e y b os planos principais e as tensões principais Exemplo 61 BEER 3ªed pg 602 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 37 8 Tensão Exercício de avaliação 10 Exemplo 5 Determinar para o estado plano de tensões indicado a os planos principais b as tensões principais c a máxima tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal Exemplo 61 BEER 3ªed pg 602 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 38 8 Tensão Exemplo 1 Determinar para o estado plano de tensões indicado na Figura abaixo Problema 973 HIBBELER pg 349897 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 39 8 Tensão Problema 973 HIBBELER pg 349897 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 40 8 Tensão Exemplo 2 O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento Determine Problema 916 HIBBELER 7ªed pg 333897 Página 41 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 8 Tensão Página 42 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 8 Tensão Exemplo 3 Uma placa de aço tem a espessura de 10 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura Determina a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvidas no aço Problema 919 HIBBELER 7ªed pg 334901 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 43 8 Tensão Exemplo 4 Uma força horizontal P de 670 N é aplicada à extremidade D da alavanca ARD Determinar Exemplo 61 BEER 3ªed pg 602 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 44 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 45 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 46 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 47 8 Tensão Exercício de avaliação 07 Exemplo 5 Determinar para o estado plano de tensões indicado Exemplo 61 BEER 3ªed pg 602 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 48 8 Tensão 87 Vasos de Pressão Vasos cilíndricos e esféricos são comumente utilizados na indústria para servir como caldeiras ou tanques Quando os vasos são submetidos a pressão o material com o qual são feitos os vasos é submetido a carregamentos em todas as direções Normalmente a relação raioespessura do vaso é rt 10 podendo assim ser considerado de parede fina Neste caso a distribuição de tensão normal na direção da espessura pode ser desprezível 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 49 871 Vasos cilíndricos São encontrados tanques de ar comprimido motores de foguete Extintores de incêndio botijões de gás e latas de spray Canos pressurizados como canos de abastecimento de água também se classificam como vasos de pressão cilíndricos 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 50 Considere um vaso cilíndrico tendo espessura t e raio interno r submetido a uma pressão interna p devido a um gás ou a um fluido considerado de peso desprezível Onde s1 tensão circunferencial s2 tensão longitudinal axial P Força atuante 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 51 A magnitude da tensão circunferencial s1 é determinada a partir de um elemento de comprimento dy longe o suficiente das extremidades Σ𝐹𝑧 0 2𝜎1𝑑𝐴 𝑝 𝑑𝐴 0 𝜎1 2 𝑡 Δ𝑥 𝑝 2 𝑟 Δ𝑥 0 𝜎1 𝑝𝑟 𝑡 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 52 A magnitude da tensão longitudinal s2 é determinada a partir de um corte do cilindro na direção circunferencial Σ𝐹𝑥 0 𝜎2𝑑𝐴 𝑝 𝑑𝐴 0 𝜎2 2 𝜋 𝑟 𝑡 𝑝 𝜋 𝑟2 𝜎2 𝑝 𝑟 2 𝑡 𝜎2 𝜏𝑚á𝑥 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 53 8 Tensão As tensões de cisalhamento máximas no plano são obtidas através de uma rotação de 45º sobre os eixos z essas tensões são As tensões de cisalhamento máximas fora do plano são obtidas através de uma rotação de 45º sobre os eixos x e y essas tensões são Comparando as expressões acima vemos que a tensão de cisalhamento máxima absoluta é Essa tensão ocorre em um plano que foi rotacionado a 45º sobre o eixo x Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 54 8 Tensão 872 Vasos esféricos Considere o vaso de pressão de parede fina que pode ser um tanque de ar comprimido cuja pressão interna p é maior que a pressão externa Cortando a esfera em um plano diametral vertical como na Figura e isolando a metade da casca e seu conteúdo fluído como um único corpo livre Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 55 8 Tensão temos como força de pressão P resultante Em que r é o raio interno da esfera e p é a pressão interna resultante Caso as pressões internas e externas forem as mesmas nenhuma tensão é desenvolvida na parede do vaso Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 56 8 Tensão Devido a parede ser fina podemos considerar que a tensão está uniformemente distribuída através da espessura t A precisão dessa aproximação aumenta conforme a casca fica mais fina e diminui conforme a casca fica mais espessa A análise aqui realizada é válida para cascas finas assim podese desconsiderar a pequena diferença entre os dois raios e substituir r por rm ou rm por r As tensões são mais próximas às tensões exatas teóricas se usarmos o raio interno r em vez do raio médio rm Adotamos a fórmula a seguir para calcular as tensões de tração na parede de uma casca esférica Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 57 8 Tensão É evidente da simetria da casca que obtemos a mesma equação para as tensões de tração quando cortamos através do centro da esfera em qualquer direção Conclusão A parede de um vaso esférico pressurizado está submetida a tensões de tração uniformes σ em todas as direções Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 58 8 Tensão Quando consideramos elementos obtidos rotacionandose os eixos sobre o eixo z as tensões normais permanecem constantes e não há tensões de cisalhamento Todo plano é um plano principal e toda a direção é uma direção principal Dessa forma as tensões principais no elemento são Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 59 8 Tensão Para obter as tensões de cisalhamento máximas devemos considerar as rotações fora do plano isto é as rotações sobre os eixos x e y Dessa forma temse Essas são as maiores tensões de cisalhamento no elemento Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 60 Exemplo 6 Um reservatório esférico de gás feito de aço tem um diâmetro externo de 5 m e uma espessura da parede de 10 mm Sabendose que a pressão interna é de 400 kPa determinar a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento no reservatório 8 Tensão Problema 696 pg 659 BEER Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 61 Exemplo 7 Um tanque de ar comprimido tendo um diâmetro interno de 18 polegadas e uma espessura de parede de ¼ de polegada é formado soldandose dois hemisférios de aço como na figura a Se a tensão de tração admissível no aço for 14000 psi qual é a máxima pressão do ar permitida pa no tanque b Se a tensão de cisalhamento admissível no aço for 6000 psi qual é a máxima pressão permitida pb c Se a deformação normal na superfície externa do tanque não deve exceder 00003 qual é a máxima pressão permitida pc Assuma que a lei de Hooke seja válida e que o módulo de elasticidade para o aço seja 29 x 106 psi e o coeficiente de Poisson seja 028 8 Tensão d Testes nos sulcos soldados mostram que a falha ocorre quando a carga de tração nas soldas excede 81 kips por polegada de solda Se o fator de segurança contra falha exigido for 25 qual é a pressão máxima permitida pd e Considerandose os quatro fatores anteriores qual é a pressão admissível padm no tanque Exemplo 81 pg 413 GERE Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 62 Exemplo 8 Um vaso de pressão cilíndrico é construído a partir de uma placa de aço longa e fina enrolandose a placa em tomo de um mandril e então soldandose ao longo das bordas da placa para fazer uma junção helicoidal A solda helicoidal faz um ângulo α 55 com o eixo longitudinal O vaso tem raio interno r 18 m e espessura de parede t 20 mm O material é aço com módulo E 200 GPa e coeficiente de Poisson v 030 A pressão interna p é 800 kPa Calcule as quantidades a seguir para a parte cilíndrica do vaso a as tensões circunferenciais e longitudinais σ1 e σ2 respectivamente b as tensões de cisalhamento máximas no plano e fora do plano c as deformações circunferencial e longitudinal ε1 e ε2 respectivamente d a tensão normal σw e a tensão de cisalhamento τw agindo perpendicular e paralelamente respectivamente à solda 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 63 SOLUÇÕES DOS EXEMPLOS Exemplo 6 Um reservatório esférico de gás feito de aço tem um diâmetro externo de 5 m e uma espessura da parede de 10 mm Sabendose que a pressão interna é de 400 kPa determinar a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento no reservatório 8 Tensão Problema 696 pg 659 BEER Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 64 8 Tensão Exemplo 7 Um tanque de ar comprimido tendo um diâmetro interno de 18 polegadas e uma espessura de parede de ¼ de polegada é formado soldandose dois hemisférios de aço como na figura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 65 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 66 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 67 8 Tensão Exemplo 8 Um vaso de pressão cilíndrico é construído a partir de uma placa de aço longa e fina enrolandose a placa em tomo de um mandril e então soldandose ao longo das bordas da placa para fazer uma junção helicoidal A solda helicoidal faz um ângulo α 55 com o eixo longitudinal O vaso tem raio interno r 18 m e espessura de parede t 20 mm O material é aço com módulo E 200 GPa e coeficiente de Poisson v 030 A pressão interna p é 800 kPa Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 68 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 69 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 70 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 71 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 72 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 73 8 Tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 74 Mecânica dos Sólidos 8b Estado plano de tensões Equação de equilíbrio Faça um triangulo retângulo na qual a hipotenusa esteja no primeiro quadrante Independente da posição do triângulo fornecido representeo conforme o desenho ao lado e represente o ângulo Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 2 8b Estado plano de tensões Equação de equilíbrio 10 MPa 30º 50 MPa 40 MPa 𝜏 𝜎 TENSÕES Identifique as tensões normais conforme cada posição do triângulo Identifique as tensões de cisalhamento conforme cada posição do triângulo Na mesma posição do triângulo retângulo identifique as áreas Esta identificação será a mesma para todas as situações Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 3 8b Estado plano de tensões Equação de equilíbrio A sen 30º 30º 𝐴 A cos 30º ÁREAS Na hipotenusa identifique a Área no sentido de tração Na cateto adjacente ao ângulo identifique a Área multiplicando o coseno do ângulo No cateto oposto ao ângulo identifique a Área multiplicando o seno do ângulo Repita o desenho do triângulo retângulo com o respectivo ângulo Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 4 8b Estado plano de tensões Equação de equilíbrio 10Asen 30º 30º 50Acos 30º 𝜏 𝐴 𝜎 𝐴 FORÇAS 40Acos 30º 40Asen 30º x y Identifique as forças que se deseja encontrar sendo 𝑭 𝝈 𝑨 e 𝐕 𝝉 𝑨 Faça a multiplicação do triângulo das tensões com o triângulo das áreas estabelecendo o plano das Forças normais E de Forças de cisalhamento Trace um plano cartesiano x e y na intersecção no ponto indicado no desenho Gire o plano cartesiano em um plano horizontal e vertical para melhor visualização Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 5 8b Estado plano de tensões Equação de equilíbrio EQUILÍBRIO Σ𝐹𝑥 0 𝜎 𝐴 50 𝐴 cos 30 cos 30 40 𝐴 cos 30 sen 30 40 𝐴 sen 30 cos 30 10 𝐴 sen 30 sen 30 0 Σ𝐹𝑦 0 𝜏 𝐴 50 𝐴 cos 30 sen 30 40 𝐴 cos 30 cos 30 40 𝐴 sen 30 sen 30 10 𝐴 sen 30 cos 30 0 𝜏 𝐴 𝜎 𝐴 FORÇAS x y Faça o equilíbrio das forças nos dois eixos Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 6 𝛴𝐹𝑥 0 𝜎𝑥 𝐴 50 𝐴 𝑐𝑜𝑠 30 𝑐𝑜𝑠 30 40 𝐴 𝑐𝑜𝑠 30 𝑠𝑒𝑛 30 40 𝐴 𝑠𝑒𝑛 30 𝑐𝑜𝑠 30 10 𝐴 𝑠𝑒𝑛 30 𝑠𝑒𝑛 30 0 𝜎𝑥 50 0866 0866 40 0866 05 40 05 0866 10 05 05 𝜎𝑥 37500 17321 17321 2500 𝜎𝑥 0359 MPa 𝛴𝐹𝑦 0 𝜏 𝐴 50 𝐴 𝑐𝑜𝑠 30 𝑠𝑒𝑛 30 40 𝐴 𝑐𝑜𝑠 30 𝑐𝑜𝑠 30 40 𝐴 𝑠𝑒𝑛 30 𝑠𝑒𝑛 30 10 𝐴 𝑠𝑒𝑛 30 𝑐𝑜𝑠 30 0 𝜏𝑥𝑦 50 0866 05 40 0866 0866 40 05 05 10 05 0866 𝜏𝑥𝑦 21651 30000 10000 4330 𝜏𝑥𝑦 45981 MPa 𝜎𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑦 0359 50 10 𝜎𝑦 36640 𝑀𝑃𝑎 𝜏 𝐴 𝜎 𝐴 FORÇAS x y 8b Estado plano de tensões Equação de equilíbrio Mecânica dos Sólidos 8c Círculo de Mohr para Tensões Inicialmente trace uma linha horizontal e divida e espaços iguais suficientes para colocar os valores da tensões normais 𝜎𝑥e 𝜎𝑦 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 2 10 40 40 50 8c Círculo de Mohr para Tensões 0 𝜎 𝜏 Trace uma linha vertical que será o ponto 0 na linha horizontal para colocar o valor da Tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 Coloque na linha horizontal os valores de 𝜎𝑥 e da 𝜎𝑦 conforme seus valores observando na figura abaixo o sinal de cada um tração compressão Coloque na linha vertical o valor da 𝜏𝑥𝑦 acima e abaixo da linha horizontal e Trace um retângulo unindo estes quatro pontos 10 40 40 50 0 𝜎 𝜏 De acordo com o sentido da seta da 𝜏𝑥𝑦 na figura abaixo identificar na linha vertical no ponto da 𝜎𝑥 colocando o ponto X no canto de baixo caso a seta da 𝜏𝑥𝑦 for para cima e no canto de cima caso a seta da 𝜏𝑥𝑦 for para baixo Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 3 Na diagonal oposta coloque o ponto Y No ponto de intersecção com a linha horizontal temos o centro do circulo de Mohr C também dado pela equação 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 Trace um circulo neste centro que passe pelos quatro cantos do retângulo passando pelos pontos X e Y Por trigonometria estabeleça um triangulo Y X Trace uma linha entre os pontos X e Y 50 30 20 C O lado horizontal é dado pela equação 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 E a hipotenusa pela equação 𝑎 𝑏2 𝑐2 que será igual ao raio R e a Tensão máxima de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦𝑚á𝑥 O lado vertical pelo valor da 𝜏𝑥𝑦 40 8c Círculo de Mohr para Tensões Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 4 10 40 40 50 0 𝜎 𝜏 Coloque o ponto com o valor da Tensão normal máxima através da equação 𝜎𝑚á𝑥 𝐶 𝑅 Calcule o ângulo formado pela hipotenusa e a linha horizontal através da equação 2𝜃𝑝 𝑡𝑔1 2 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥𝜎𝑦 O sentido da seta angular sempre será da linha da hipotenusa até a linha horizontal do lado direito do círculo nunca ultrapassando 180 Caso a seta angular for para o sentido anti horário o ângulo será positivo e se for sentido horário o ângulo será negativo Y X 50 30 20 C 40 Coloque o ponto com o valor da Tensão normal mínima através da equação 𝜎𝑚í𝑛 𝐶 𝑅 5313 30 70 Represente a posição onde se situa a tensão máxima de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦𝑚á𝑥 𝜏𝑥𝑦𝑚á𝑥 8c Círculo de Mohr para Tensões Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 5 10 40 40 50 0 𝜎 𝜏 Y X 50 30 20 C 40 5313 30 70 𝜏𝑥𝑦𝑚á𝑥 Supondo que o elemento mostrado tenha sofrido uma rotação angular no sentido horário de θ 30 será necessário encontrar as tensões no elemento girado da seguinte maneira Partindo da hipotenusa do triângulo no sentido horário em 60 2θ 60 Trace uma linha dividindo todo o círculo passando pelo centro O ponto X será a projeção do ponto X rotacionado em 60 no sentido horário Com o valor informado do ângulo θ usar no círculo de Mohr 2θ 60 O ponto Y será a projeção do ponto Y rotacionado em 60 no sentido horário 60 X Y 8c Círculo de Mohr para Tensões 10 40 40 50 0 𝜎 𝜏 Y X 50 30 20 C 40 5313 30 70 𝜏𝑥𝑦𝑚á𝑥 60 X Y Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 6 Trace a projeção dos pontos X e Y até a linha horizontal das tensões normais e vertical da tensão de cisalhamento para encontrar os valores das tensões máximas normais e de cisalhamento Deste ângulo tiramos o cosseno dele e multiplicamos pelo raio do círculo e somamos ou subtraímos com o valor da 𝜎𝑚é𝑑 para encontrar os valores da coordenada horizontal de X e Y 𝜎𝑦 cos 11313 50 20 3964 𝜎𝑥 cos 11313 50 20 0359 Os valores de X e Y podem ser encontrados através da equações trigonométricas abaixo Inicialmente some ou subtraia os ângulos de acordo com o sentido horário ou antihorário da reta XY em relação ao lado direito da linha horizontal Observando no círculo de Mohr a abertura desta linha horizontal e a reta XY devemos somar os dois ângulos 2𝜃𝑝 2𝜃 11313 𝜎𝑥 0359 𝜎𝑦 3964 Para a coordenada vertical encontrase com 𝜏𝑥𝑦 sen 11313 50 4598 8c Círculo de Mohr para Tensões 𝜏𝑥𝑦 4598 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 7 𝜎𝑚é𝑑 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑅 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝑡𝑔 2𝜃𝑝 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝜎𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 8c Círculo de Mohr para Tensões 𝜎𝑦 0359 𝜎𝑥 3964 𝜏𝑥𝑦 4598 10 40 40 50 0 𝜎 𝜏 Y X 50 30 20 C 40 5313 30 70 𝜏𝑥𝑦𝑚á𝑥 60 X Y 8c Círculo de Mohr para Tensões A Planos Principais Adotando a convenção de sinais habitual exprimimos as componentes de tensão por 𝜎𝑥 50 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 10 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑦 40 𝑀𝑃𝑎 Substituindo os valores acima nas equações temos 𝑡𝑔 2𝜃𝑝 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜃𝑝 𝑡𝑔1 2 40 50 10 2𝜃𝑝 5313 𝜃𝑝 2656 b Tensões principais 𝜎𝑚é𝑑 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 50 10 2 20 𝑀𝑃𝑎 𝑅 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 50 10 2 2 402 50 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝑜𝑢 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑚é𝑑 𝑅 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚é𝑑 𝑅 20 50 70 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑚é𝑑 𝑅 20 50 30 𝑀𝑃𝑎 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 8 8c Círculo de Mohr para Tensões Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 9 𝑋 Trace a linha horizontal e vertical para um plano cartesiano Coloque o quadrado com o plano de tensões girado para o sentido do ângulo 𝜃𝑝 Caso seja positivo será girado no sentido antihorário e no sentido horário caso seja negativo 𝜃𝑝 2656 𝜎𝑚í𝑛 30 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚á𝑥 70 𝑀𝑃𝑎 A tensão normal da linha horizontal em X rotacionado o respectivo ângulo fornece a tensão normal máxima que neste caso é de tração visto o valor positivo Rotacionado a 90 da tensão normal máxima temos a tensão normal mínima que neste caso é de compressão visto o valor negativo 𝑋 Elaboração do plano de tensões normais 8c Círculo de Mohr para Tensões c Tensão de cisalhamento máxima 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 50 10 2 2 402 50 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚é𝑑 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 50 10 2 20 𝑀𝑃𝑎 𝑡𝑔 2𝜃𝑐 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜏𝑥𝑦 2𝜃𝑐 𝑡𝑔1 50 10 2 40 2𝜃𝑐 3687 𝜃𝑐 18435 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 10 8c Círculo de Mohr para Tensões 8c Círculo de Mohr para Tensões Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Aula 01 Faculdade Horizontina FAHOR Página 11 𝑋 Trace a linha horizontal e vertical para um plano cartesiano Coloque o quadrado com o 8c Círculo de Mohr para Tensões e gire ele para o sentido do ângulo 𝜃𝑐 Caso seja positivo será girado no sentido antihorário e no sentido horário caso seja negativo 𝑡𝑔 2𝜃𝑐 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜏𝑥𝑦 2𝜃𝑐 𝑡𝑔1 50 10 2 40 2𝜃𝑐 3687 𝜃𝑐 18435 𝜃𝑐 18435 𝜎𝑚é𝑑 20 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑚á𝑥 50 𝑀𝑃𝑎 Na junção das duas setas laterais no quadrado temos a tensão máxima de cisalhamento Em cada um dos lados do quadrado temos a tensão normal média 𝑋 Elaboração do plano de tensões de cisalhamento 𝜎𝑚é𝑑 20 𝑀𝑃𝑎 Mecânica dos Sólidos 9a Deformações 9a Deformações Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 91 Comportamento de um ponto material durante o processo de deformação 92 Hipóteses de pequenos deslocamentos 93 Definição de deformação infinitesimal 94 Notação de deformação 95 Transformação de deformação 96 Deformações principais 97 Extensometria Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 91 Comportamento de um ponto material durante o processo de deformação 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 92 Hipóteses de pequenos deslocamentos Os deslocamentos sofridos pelo corpo são de magnitude muito menor que as dimensões destes Podemos confundir as configurações deformada e indeformada para efeito de análise do corpo 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 93 Definição de deformação infinitesimal 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 94 Notação de deformação 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 95 Transformação de deformação 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 Deformações normais Deformações 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 96 Deformações principais 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 O fornece os valores máximos de 𝜀𝑋𝑋 quando O fornece os valores máximos de 𝜏𝑋𝑌 quando 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 Graficamente Circulo de Mohr 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 Comparando as tensões com as deformações 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝜎𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜀𝑥 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 cos 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜀𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 𝜎𝑚é𝑑 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜏𝑚á𝑥 𝑅 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 𝑡𝑔 2𝜃𝑝 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚í𝑛 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝑥𝑦 2 tg 2𝜃𝑐 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜏𝑥𝑦 𝜀𝑚é𝑑 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝛾𝑚á𝑥 2 𝑅 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 𝑡𝑔 2𝜃1 𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀1 𝜀2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 tg 2𝜃2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 9a Deformações 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 97 Extensometria 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 Exemplo 1 As componentes do estado plano de deformação no ponto sobrea aba do pino são 𝜀𝑥 200𝑥106 𝜀𝑦 180𝑥106e 𝛾𝑥𝑦 300𝑥106 Use as equações de transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo 𝛩 60 em sentido antihorário em relação à posição original Trace um esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano xy Exemplo 103 HIBBELER 7ª ed Pg 3871001 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 𝜀𝑚é𝑑 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝛾𝑚á𝑥 2 𝑅 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 𝑡𝑔 2𝜃1 𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀1 𝜀2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 tg 2𝜃2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 Exemplo 2 Resolva o Problema anterior para um elemento orientado a um ângulo 𝜃 30 em sentido horário Exemplo 104 HIBBELER 7ª ed Pg 3881002 Problema 106 HIBBELER 7ª ed pg 3881004 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 Exemplo 3 As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre uma chave são 𝜀𝑥 120𝑥106 𝜀𝑦 180𝑥106e 𝛾𝑥𝑦 150𝑥106 Use as equações de transformação da deformação para determinar a as deformações principais no plano b a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média c Em cada caso especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano xy Problema 6124 BEER 7ª ed pg 686 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 Exercício de avaliação 11 Exemplo 4 Para o estado plano de deformação usar o círculo de Mohr para determinar a a orientação e a intensidade das deformações específicas normais principais b a máxima deformação específica de cisalhamento no plano c a máxima deformação específica de cisalhamento 𝜀𝑥 320𝑥106 𝜀𝑦 160𝑥106 e 𝛾𝑥𝑦 300𝑥106 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 Exemplo 1 As componentes do estado plano de deformação no ponto sobrea aba do pino são 𝜀𝑥 200𝑥106 𝜀𝑦 180𝑥106e 𝛾𝑥𝑦 300𝑥106 Use as equações de transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo 𝛩 60 em sentido antihorário em relação à posição original Trace um esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano xy Exemplo 103 HIBBELER 7ª ed Pg 3871001 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 Exemplo 2 Resolva o Problema anterior para um elemento orientado a um ângulo 𝜃 30 em sentido horário Exemplo 104 HIBBELER 7ª ed Pg 3881002 Problema 106 HIBBELER 7ª ed pg 3881004 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 Exemplo 3 As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre uma chave são 𝜀𝑥 120𝑥106 𝜀𝑦 180𝑥106 e 𝛾𝑥𝑦 150𝑥106 Use as equações de transformação da deformação para determinar a as deformações principais no plano b a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média c Em cada caso especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano xy 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 Problema 6124 BEER 7ª ed pg 686 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 Exercício de avaliação 11 Exemplo 4 Para o estado plano de deformação usar o círculo de Mohr para determinar a a orientação e a intensidade das deformações específicas normais principais b a máxima deformação específica de cisalhamento no plano c a máxima deformação específica de cisalhamento 𝜀𝑥 320𝑥106 𝜀𝑦 160𝑥106 e 𝛾𝑥𝑦 300𝑥106 9a Deformações Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 32 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 9b Deformação Estado plano Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 Mecânica dos Sólidos 9c Circulo de Mohr para Deformações Inicialmente trace uma linha horizontal e divida e espaços iguais suficientes para colocar os valores das deformações normais ε𝑥 e ε𝑦 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR 10 40 40 50 9c Círculo de Mohr para Deformações 0 ε 𝛾 Trace uma linha vertical que será o ponto 0 na linha horizontal para colocar o valor da deformação de cisalhamento 𝛾𝑥𝑦 Coloque na linha horizontal os valores de ε𝑥 e da ε𝑦 conforme seus valores observando o sinal de cada um tração compressão representado na figura abaixo pelas setas Coloque na linha vertical metade do valor de 𝛾𝑥𝑦 acima e metade abaixo da linha horizontal e correspondente a deformação angular representado na figura abaixo pelas elipses Trace um retângulo unindo estes quatro pontos ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ Página 2 10 40 40 50 0 ε 𝛾 De acordo com o sinal da 𝛾𝑥𝑦 na figura abaixo identificar na linha vertical no ponto da ε𝑥 colocando o ponto X no canto de baixo se o valor da 𝛾𝑥𝑦 for positivo e no canto de cima se o valor da 𝛾𝑥𝑦 for negativo Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR Na diagonal oposta coloque o ponto Y No ponto de intersecção com a linha horizontal temos o centro do circulo de Mohr C também dado pela equação ε𝑥ε𝑦 2 Trace um circulo neste centro que passe pelos quatro cantos do retângulo passando pelos pontos X e Y Por trigonometria estabeleça um triangulo Y X Trace uma linha entre os pontos X e Y 50 30 20 C O lado horizontal é dado pela equação ε𝑥ε𝑦 2 E a hipotenusa pela equação 𝑎 𝑏2 𝑐2 que será igual ao raio R e a metade da deformação máxima de cisalhamento 𝛾𝑥𝑦𝑚á𝑥 O lado vertical pela metade do valor da 𝛾𝑥𝑦 40 9c Círculo de Mohr para Deformações ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ Página 3 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR 10 40 40 50 0 ε 𝛾 Coloque o ponto com o valor da deformação normal máxima através da equação ε𝑚á𝑥 𝐶 𝑅 Calcule o ângulo formado pela hipotenusa e a linha horizontal através da equação 2𝜃1 𝑡𝑔1 𝛾𝑥𝑦 ε𝑥ε𝑦 O sentido da seta angular sempre será da linha da hipotenusa até a linha horizontal do lado direito do círculo nunca ultrapassando 180 Caso a seta angular for para o sentido anti horário o ângulo será positivo e se for sentido horário o ângulo será negativo Y X 50 30 20 C 40 Coloque o ponto com o valor da deformação normal mínima através da equação ε𝑚í𝑛 𝐶 𝑅 5313 30 70 Represente as posições onde se situa a deformação máxima de cisalhamento 𝛾𝑥𝑦𝑚á𝑥 e 𝛾𝑥𝑦𝑚í𝑛 𝛾𝑥𝑦𝑚á𝑥 9c Círculo de Mohr para Deformações 𝛾𝑥𝑦𝑚í𝑛 ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ Página 4 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR Supondo que o elemento mostrado tenha sofrido uma rotação angular no sentido horário de θ 30 será necessário encontrar as deformações no elemento girado da seguinte maneira Partindo da hipotenusa do triângulo no sentido horário em 60 2θ 60 Trace uma linha dividindo todo o círculo passando pelo centro O ponto X será a projeção do ponto X rotacionado em 60 no sentido horário Com o valor informado do ângulo θ usar no círculo de Mohr 2θ 60 O ponto Y será a projeção do ponto Y rotacionado em 60 no sentido horário 60 X Y 9c Círculo de Mohr para Deformações 10 40 40 50 0 ε 𝛾 Y X 50 30 20 C 40 5313 30 70 𝛾𝑥𝑦𝑚á𝑥 𝛾𝑥𝑦𝑚í𝑛 ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ Página 5 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR Trace a projeção dos pontos X e Y até a linha horizontal das deformações normais e vertical da deformação de cisalhamento para encontrar os valores das deformações máximas normais e de cisalhamento Deste ângulo tiramos o cosseno dele e multiplicamos pelo raio do círculo e somamos ou subtraímos com o valor da ε𝑚é𝑑 para encontrar os valores da coordenada horizontal de X e Y ε𝑥 cos 11313 50 20 3964 𝜇 ε𝑦 cos 11313 50 20 0359 𝜇 Os valores de X e Y podem ser encontrados através da equações trigonométricas abaixo Inicialmente some ou subtraia os ângulos de acordo com o sentido horário ou antihorário da reta XY em relação ao lado direito da linha horizontal Observando no círculo de Mohr a abertura desta linha horizontal e a reta XY devemos somar os dois ângulos 2𝜃𝑝 2𝜃 11313 ε𝑥 0359 ε𝑦 3964 Para a coordenada vertical encontrase com 𝛾𝑥𝑦 2 sen 11313 50 9196 𝜇 9c Círculo de Mohr para Deformações ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ 𝛾𝑥𝑦 2 4598 𝜇 𝛾𝑥𝑦 2 4598 𝜇 10 40 40 50 0 ε 𝛾 Y X 50 30 20 C 40 5313 30 70 𝛾𝑥𝑦𝑚á𝑥 60 X Y 𝛾𝑥𝑦𝑚í𝑛 Página 6 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR ε𝑚é𝑑 ε𝑥 ε𝑦 2 𝑅 ε𝑥 ε𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 𝑡𝑔 2𝜃1 𝛾𝑥𝑦 ε𝑥 ε𝑦 ε1 ε2 ε𝑥 ε𝑦 2 ε𝑥 ε𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 ε𝑥 ε𝑥 ε𝑦 2 ε𝑥 ε𝑦 2 cos 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 ε𝑥 ε𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 ε𝑦 ε𝑥 ε𝑦 2 ε𝑥 ε𝑦 2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝛾𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 9c Círculo de Mohr para Deformações ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ ε𝑥 0359 ε𝑦 3964 𝛾𝑥𝑦 2 4598 𝜇 𝛾𝑥𝑦 2 4598 𝜇 10 40 40 50 0 ε 𝛾 Y X 50 30 20 C 40 5313 30 70 𝛾𝑥𝑦𝑚á𝑥 60 X Y 𝛾𝑥𝑦𝑚í𝑛 Página 7 Estado Plano de deformações A Planos Principais Adotando a convenção de sinais habitual exprimimos as componentes de deformação por ε𝑥 50 μ ε𝑦 10 μ 𝛾𝑥𝑦 80 μ Substituindo os valores acima nas equações temos 𝑡𝑔 2𝜃1 𝛾𝑥𝑦 ε𝑥 ε𝑦 2𝜃1 𝑡𝑔1 80 50 10 2𝜃1 5313 𝜃 1 2656 b deformações principais ε𝑚é𝑑 ε𝑥 ε𝑦 2 50 10 2 20 μ 𝑅 ε𝑥 ε𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 50 10 2 2 80 2 2 50 μ ε𝑚á𝑥 ε𝑚í𝑛 ε𝑥 ε𝑦 2 ε𝑥 ε𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 𝑜𝑢 ε𝑚á𝑥 ε𝑚í𝑛 ε𝑚é𝑑 𝑅 ε𝑚á𝑥 ε𝑚é𝑑 𝑅 20 50 70 μ ε𝑚í𝑛 ε𝑚é𝑑 𝑅 20 50 30 μ Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR 9c Círculo de Mohr para Deformações Página 8 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR 𝑋 Trace a linha horizontal e vertical para um plano cartesiano Coloque o quadrado com o plano de deformações girado para o sentido do ângulo 𝜃𝑝 Caso seja positivo será girado no sentido antihorário e no sentido horário caso seja negativo 𝜃𝑝 2656 ε𝑚í𝑛 30 μ ε𝑚á𝑥 70 μ A deformação normal da linha horizontal em X rotacionado o respectivo ângulo fornece a deformação normal máxima que neste caso é de tração visto o valor positivo Rotacionado a 90 da deformação normal máxima temos a deformação normal mínima que neste caso é de compressão visto o valor negativo 𝑋 Elaboração do plano de deformações normais 9c Círculo de Mohr para Deformações ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ Representar a forma deformada do material comprimindo ou esticado o quadrado Página 9 c deformação de cisalhamento máxima 𝛾𝑚á𝑥 2 ε𝑥 ε𝑦 2 2 𝛾𝑥𝑦 2 2 50 10 2 2 80 2 2 100 μ ε𝑚é𝑑 ε𝑥 ε𝑦 2 50 10 2 20 μ 𝑡𝑔 2𝜃2 ε𝑥 ε𝑦 𝛾𝑥𝑦 2𝜃2 𝑡𝑔1 50 10 2 40 2𝜃2 3687 𝜃2 18435 Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR 9c Círculo de Mohr para Deformações ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ Página 10 9c Círculo de Mohr para Deformações Mecânica dos Sólidos Engenharia Mecânica Faculdade Horizontina FAHOR 𝑋 Trace a linha horizontal e vertical para um plano cartesiano Coloque o quadrado com o estado plano de deformações e gire ele para o sentido do ângulo 𝜃𝑐 Caso seja positivo será girado no sentido antihorário e no sentido horário caso seja negativo 𝑡𝑔 2𝜃2 ε𝑥 ε𝑦 𝛾𝑥𝑦 2𝜃2 𝑡𝑔1 50 10 80 2𝜃2 3687 𝜃2 18435 𝜃𝑐 18435 ε𝑚é𝑑 20 μ 𝛾𝑚á𝑥 2 50 μ No vértice do quadrado deformado temos em cada lado a deformação máxima de cisalhamento Em cada um dos lados do quadrado deformado temos a deformação normal média 𝑋 Elaboração do plano de deformações de cisalhamento ε𝑚é𝑑 20 μ ε𝑥 50𝜇 ε𝑦 10𝜇 𝛾𝑥𝑦 80μ 𝛾𝑚á𝑥 2 50 μ Página 11 Mecânica dos Sólidos 10 Critérios de Falhas 10 Critérios de Falhas 101 Teoria da máxima tensão cisalhante Critério de Tresca 102 Teoria da máxima energia de distorção Critério de HenkyMises 103 Teoria da máxima tensão normal Critério de CoulombRankine 104 Teoria de Mohr 105 Coeficientes de segurança Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 Dependendo das condições de solicitação o material pode se encontrar sob diferentes estados mecânicos Quando as cargas externas são pequenas o material se encontra em estado elástico o material trabalha elasticamente Aumentandose as cargas começam a aparecer deformações residuais consideráveis e o material se encontra no estado plástico Se aparecem trincas locais o material atinge o estado de ruptura 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 O estado mecânico num ponto depende principalmente do estado tensional naquele ponto Chamamos estado tensional limite o caso em que o material passa de um estado mecânico a outro Para material dúctil o estado limite é o caso em que aparecem deformações excessivas e para material frágil quando começa a ruptura do material 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 O estado tensional limite pode ser considerado como uma característica do material e o estado tensional no ponto mais solicitado é comparado com o estado tensional limite do material Desta comparação se chega à conclusão a respeito da segurança ou não da estrutura O problema consiste basicamente na determinação do estado tensional limite No caso de tração ou compressão uniaxial este problema se resolve facilmente pelo ensaio do material à tração ou compressão onde se escolhe no diagrama tensãodeformação o ponto característico do estado tensional limite Materiais dúcteis 𝜎𝑙𝑖𝑚 𝜎𝑒𝑠𝑐 Materiais frágeis 𝜎𝑙𝑖𝑚 𝜎𝑟𝑢𝑝𝑡 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 Vejamos agora o caso do estado triplo de tensão dado pelas tensões principais 𝜎1 𝜎2 𝜎3 Para cada combinação de 𝜎1 𝜎2 𝜎3 e para cada material teríamos que realizar ensaios para determinarmos o estado tensional limite Este procedimento é impossível de se realizar devido a infinidade de combinações e as dificuldades técnicas que surgiriam durante os ensaios Devido a estas dificuldades surgiu a necessidade de se desenvolverem métodos gerais para se determinar o grau de perigo de um estado tensional quando se dispõe de um número limitado de ensaios mecânicos do material Estes diversos métodos são chamados Critérios de Resistência 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 Podemos generalizar o conceito de coeficiente de segurança Suponhamos dado um determinado estado tensional Aumentando proporcionalmente todas as componentes de tensão chegaremos mais cedo ou mais tarde a um estado tensional limite Então coeficiente de segurança é o número que indica quantas vezes se deve aumentar todas as componentes do estado tensional dado para que ele se converta em um estado limite 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 Se em dois estados tensionais os coeficientes de segurança são iguais estes dois estados são considerados igualmente perigosos O problema agora é determinar a que tensão de tração ou de compressão deverá ser submetida uma barra para que o seu estado tensional seja igualmente perigoso ao estado tensional dado Esta tensão de tração é chamada de tensão equivalente 𝜎𝑒𝑞 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 O nosso problema é expressar 𝜎𝑒𝑞 em função de 𝜎1 𝜎2 𝑒 𝜎3 de tal forma que o grau de perigo do estado tensional A seja o mesmo do estado tensional B O coeficiente de segurança é Sg 𝜎𝑙𝑖𝑚 𝜎𝑒𝑞 O valor de 𝜎𝑒𝑞 é calculado pelos diversos critérios a seguir 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 101 Critério da máxima tensão cisalhante Tresca A maior tensão de cisalhamento não deve ultrapassar a metade da tensão limite de tração determinada no ensaio de tração simples Este critério se baseia no fato de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas deslizamento devido principalmente às tensões cisalhantes O círculo de Mohr para tração uniaxial será 10 Critérios de Falhas 𝝉𝒎á𝒙 𝝈𝒍𝒊𝒎 𝟐 para materiais dúcteis Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 No caso geral teremos Segundo este critério se a tensão de cisalhamento atinge o valor limite o material escoa Observese que se adicionarmos um estado uniforme de tensões ao estado de tensão o valor da tensão cisalhante máxima não se altera 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 Sua representação gráfica será No círculo de Mohr Qualquer círculo de Mohr com raio 𝜏𝑚á𝑥 caracterizará a segurança do estado tensional 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 Nos eixos 𝜎1 x 𝜎3 Pontos no interior do hexágono caracterizam a segurança do estado tensional 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 102 Critério da máxima energia de distorção von mises Para materiais dúcteis que tenham aproximadamente a mesma resistência à tração e à compressão Segundo a teoria o material resiste até que a energia de distorção alcance um valor limite constante para cada material Para um estado triaxial de tensão a densidade de energia de distorção é dada por 𝑈0 1 𝑣 6 𝐸 𝜎1 𝜎2 2 𝜎1 𝜎3 2 𝜎2 𝜎3 2 Na tração simples temos 𝑈0 1𝑣 6 𝐸 2 𝜎12 10 Critérios de Falhas para materiais dúcteis Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 Se igualarmos as energias teremos 2𝜎𝑒𝑞 2 𝜎1 𝜎2 2 𝜎1 𝜎3 2 𝜎2 𝜎3 2 Conforme podemos observar este critério leva em conta a influência das 3 tensões principais No caso particular do estado plano teremos 𝟐𝝈𝒆𝒒 𝟐 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟑 𝝈𝟑𝟐 𝝈𝒍𝒊𝒎 𝟐 e 𝝈𝟏𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟑 𝝈𝟑𝟐 𝝈𝒚 𝑺𝒈 𝟐 10 Critérios de Falhas 𝝈𝒍𝒊𝒎 𝟐 𝝈𝒚 𝑺𝒈 𝟐 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 cuja representação gráfica é a elipse da figura 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 103 Critério da máxima tensão normal 𝝈𝒎á𝒙 A maior tensão de tração e a maior tensão de compressão não devem ultrapassar os valores das tensões limites obtidas respectivamente nos ensaios de tração simples e de compressão simples Fazendo o círculo de Mohr teremos 10 Critérios de Falhas 𝜎𝑎 𝜎𝑈 𝑒 𝜎𝑏 𝜎𝑈 𝝈𝒂 𝝈𝒃 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝟐 𝟐 𝝉𝒙𝒚 𝟐 para materiais frágeis Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 Alumínio 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 Esta teoria fixa que só satisfazem à condição de segurança os estados de tensão representados por círculos de Mohr situados entre as paralelas AA e BB Em um sistema de coordenadas 𝜎𝑚á𝑥 x 𝜎𝑚í𝑛 teremos De acordo com esta teoria pontos situados no interior do retângulo caracterizam a segurança do estado tensional A desvantagem deste critério é que não considera a influência simultânea das tensões 𝜎1 e 𝜎2 Esta teoria é aplicável a materiais frágeis com uma das tensões principais de tração 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 104 Critério de Mohr Suponhamos que tenhamos uma máquina de ensaios que nos permita aplicar qualquer estado tensional ao corpo de prova e variar proporcionalmente todas as suas componentes Escolhemos um determinado estado tensional a aumentamos simultaneamente todas as suas componentes Mais cedo ou mais tarde o corpo de prova irá romper seja por deformação excessiva ou ruptura propriamente dita Podemos traçar o maior dos 3 círculos de Mohr Consideraremos que o estado tensional limite não depende de 𝜎2 Realizamos outro ensaio em outro corpo de prova de mesmo material partindo de um outro estado tensional inicial e aumentando novamente as componentes de tensão até a ruptura 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 Traçamos outro círculo de Mohr e assim por diante Os círculos traçados definirão uma envoltória que é única para cada material independendo de 𝜎2 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 Podemos observar que qualquer círculo de Mohr que desenhado esteja dentro da região limitada pela envoltória caracteriza um estado tensional seguro isto é não rompe Este critério não se preocupa em explicar o fenômeno da ruptura mas simplesmente faz uma análise quantitativa dos resultados de ensaios O problema agora é construir esta envoltória quando se dispõe de um número limitado de ensaios por exemplo ensaios de tração simples e de compressão simples Para isto admitese que a envoltória é uma reta que será tangente aos círculos limites conhecidos Notese que na realidade o ponto de intersecção da envoltória com o eixo 𝜎 é mais próximo da origem do que quando se considera a envoltória como sendo uma reta 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 Um outro círculo que é possível se determinar é o de cisalhamento puro ensaio de torção porém ele não é de muito auxílio na determinação da envoltória 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 As tensões 𝜎𝑡 𝜎𝑐 𝜏 𝑒 𝜎𝑢 correspondem a um determinado estado limite último isto é são tensões limites Segundo Mohr deve existir um envoltória dos círculos representados tal que todo estado de tensão que tiver o seu círculo de Mohr sob esta envoltória será seguro Isto é a condição de resistência enunciada por Mohr é O corpo solicitado atingirá o estado limite se o Círculo de Mohr tangenciar a Envoltória 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 Simplificação de Coulomb A Envoltória de Mohr é uma reta Segundo a Hipótese de Mohr o estado de tensão representado pelo Círculo cujas tensões principais máxima e mínima são respectivamente 𝜎1 e 𝜎3 é seguro isto é não submete o corpo solicitado ao estado limite último considerado Suponhamos que para atingirmos o estado limite tenhamos que multiplicar todas as componentes deste estado de tensão por um número Sg Assim teríamos o estado de tensão limite representado pelo Círculo cujas tensões principais máxima e mínima são respectivamente e 𝜎1 𝑒 𝜎3 isto é 𝜎1 𝑆𝑔 𝜎1 e 𝜎3 𝑆𝑔 𝜎3 Este Círculo tangencia a Envoltória 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 Os triângulos ACE e BDE são retângulos e semelhantes Logo 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐷𝐸 O Círculo de Mohr do estado de tensão limite tem o raio igual a 𝜎1 𝜎3 2 e a abcissa do centro igual a 𝜎1 𝜎3 2 Assim 𝐴𝐶 𝜎𝑐 2 𝜎1 𝜎3 2 𝜎𝑐 2 𝑆𝑔 𝜎1 𝜎3 2 𝐵𝐷 𝜎𝑡 2 𝜎1 𝜎3 2 𝜎𝑡 2 𝑆𝑔 𝜎1 𝜎3 2 𝐶𝐸 𝜎1 𝜎3 2 𝜎𝑐 2 𝑆𝑔 𝜎1 𝜎3 2 𝜎𝑐 2 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 Substituindo estes valores na relação anterior temos 𝑆𝑔 𝜎1 𝜎𝑡 𝜎𝑐 𝜎3 𝜎𝑡 Como Sg é o fator pelo qual devemos multiplicar as componentes de tensão para atingirmos o estado limite podemos dizer que Sg é o nosso coeficiente de segurança e que a condição de resistência por este Critério é 𝑆𝑔 𝜎1 𝜎𝑡 𝜎𝑐 𝜎3 𝜎𝑡 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 Escrevendo 𝑆𝑔 𝛾 𝜙 temos 𝛾 𝜎1 𝜎𝑡 𝜎𝑐 𝜎3 𝜙 𝜎𝑡 e 𝜎𝑒𝑞 𝜎1 𝑘 𝜎3 Onde 𝑘 𝜎𝑡 𝜎𝑐 Já que 𝜎𝑡 𝜎𝑙𝑖𝑚 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 Nenhum desses critérios é universal As Normas Técnicas em geral estabelecem o critério a ser usado em cada caso de solicitação em determinado tipo de material No entanto via de regra os critérios mais apropriados para Materiais dúcteis são Critério de Tresca Máxima Tensão de Cisalhamento Critério de von Mises Máxima Energia de Distorção Para materiais frágeis Critério de MohrCoulumb Critério de Rankine Máxima Tensão Normal 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 32 Exemplo 1 O estado plano de tensões ocorre em um ponto crítico de um componente de máquina feito de aço Uma série de ensaios de tração mostrou que a tensão de escoamento é 𝜎𝑒 250𝑀𝑃𝑎 para o tipo de aço usado Determinar o coeficiente de seguraça em relação ao escoamento usando a critério de máxima tensão de cisalhamento B critério da máxima energia de distorção Problema Resolvido 64 BEER 3ª ed Pg 643 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 33 Exemplo 2 Para o estado plano de tensões mostrado determinar a máxima tensão de cisalhamento quando a σz 0 b σz 60 MPa c σz 60 MPa Problema 671 BEER 3ª ed Pg 647 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 34 Exemplo 3 Para o estado plano de tensões mostrado determinar o valor de 𝜏𝑥𝑦 para que a máxima tensão de cisalhamento seja de a 60 MPa b 78 MPa Problema 672 BEER 3ª ed Pg 647 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 35 Exemplo 4 O estado plano de tensões indicado é esperado em um alumínio fundido Sabendose que para a liga de alumínio usada 𝜎𝑈𝑇 80 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 200 𝑀𝑃𝑎 e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 688 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 36 Exercício de avaliação 12 Exemplo 5 O estado plano de tensões indicado é esperado em um alumínio fundido Sabendose que para a liga de alumínio usada 𝜎𝑈𝑇 80 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 200 𝑀𝑃𝑎 e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 689 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 37 Exemplo 6 O estado plano de tensões indicado é esperado em um componente de ferro fundido Sabendose que para classe de ferro fundido usada 𝜎𝑈𝑇 170 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 340 𝑀𝑃𝑎 e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 690 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 38 Exercício de avaliação 13 Exemplo 7 O estado plano de tensões indicado é esperado em um componente de ferro fundido Sabendose que para classe de ferro fundido usada 𝜎𝑈𝑇 170 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 340 𝑀𝑃𝑎 e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 691 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 39 Exemplo 1 O estado plano de tensões ocorre em um ponto crítico de um componente de máquina feito de aço Uma série de ensaios de tração mostrou que a tensão de escoamento é 𝜎𝑒 250𝑀𝑃𝑎 para o tipo de aço usado Determinar o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando a critério de máxima tensão de cisalhamento B critério da máxima energia de distorção Problema Resolvido 64 BEER 3ª ed Pg 643 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 40 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 41 Exemplo 2 Para o estado plano de tensões mostrado determinar a máxima tensão de cisalhamento quando Problema 671 BEER 3ª ed Pg 647 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 42 Exemplo 3 Para o estado plano de tensões mostrado determinar o valor de 𝜏𝑥𝑦 para que a máxima tensão de cisalhamento seja de Problema 672 BEER 3ª ed Pg 647 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 43 Exemplo 4 O estado plano de tensões indicado é esperado em um alumínio fundido Sabendose que para a liga de alumínio usada 𝜎𝑈𝑇 80𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 200𝑀𝑃𝑎 e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 688 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 44 Problema 688 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 45 Exercício de avaliação 12 Exemplo 5 O estado plano de tensões indicado é esperado em um alumínio fundido Sabendose que para a liga de alumínio usada 𝜎𝑈𝑇 80𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 200𝑀𝑃𝑎MPa e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 689 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 46 Problema 688 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 47 Exemplo 6 O estado plano de tensões indicado é esperado em um componente de ferro fundido Sabendose que para classe de ferro fundido usada 𝜎𝑈𝑇 170 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 340 𝑀𝑃𝑎 e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 690 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 48 Problema 688 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 49 Exemplo 7 O estado plano de tensões indicado é esperado em um componente de ferro fundido Sabendose que para classe de ferro fundido usada 𝜎𝑈𝑇 170 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎𝑈𝐶 340 𝑀𝑃𝑎 e usando o critério de Mohr determinar se a ruptura irá ocorrer Problema 691 BEER 3ª ed Pg 650 10 Critérios de Falhas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 50 Problema 688 BEER 3ª ed Pg 650 Mecânica dos Sólidos 11 Impacto 11 Impacto 111 Introdução 112 Ensaio de impacto 113 Tensões e Deslocamentos por Impactos Lineares e de Flexão 114 Tensões e Deformações causadas por Impacto Torcional 115 Efeito dos Concentradores de Tensão na Resistência ao Impacto Página 2 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Material de referência Livros Juvinal Robert C Projeto de Componentes de Máquinas Beer Ferndinand P Resistência dos Materiais Vídeos Telecurso 2000 Ensaios de Materiais 16 Ensaio de impacto Telecurso 2000 Ensaios de Materiais 17 Impacto a baixas temperaturas 3 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 111 Introdução Os assuntos anteriores da mecânica dos sólidos envolveram quase que exclusivamente os carregamentos estáticos Discutese agora o caso mais comumente encontrado de carregamento dinâmico Esse tipo de carregamento inclui tanto o impacto quanto a fadiga O impacto é também conhecido como choque carregamento impulsivo ou carregamento súbito 11 Impacto Página 4 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina As cargas de impacto podem ser divididas em três categorias ordenadas pelo aumento da severidade a cargas de intensidade essencialmente constante movendose rapidamente como as produzidas por um veículo passando por uma ponte b cargas aplicadas subitamente como aquelas ocorrentes em uma explosão ou o resultado da combustão na câmara do cilindro de um motor e c cargas de impacto direto como as geradas por uma estaca por um martelo mecânico de forjamento ou pela colisão de um veículo 11 Impacto Página 5 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Se o tempo necessário para a aplicação da carga isto é para aumentáIa de zero até seu valor máximo for maior do que três vezes o período natural os efeitos dinâmicos podem ser desprezados e a hipótese de carregamento estático pode ser admitida Se o tempo de carregamento for menor do que metade do período natural definitivamente estará ocorrendo um impacto As cargas de impacto podem ser de compressão de tração de flexão torcionais ou ainda uma combinação dessas 11 Impacto Página 6 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Uma diferença importante entre os carregamentos estático e de impacto é que os componente carregado estaticamente deve ser projetado para suportar as cargas os componentes sujeitos a um impacto devem ser projetados para absorver energia 11 Impacto Página 7 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina A Figura mostra a idealização de uma massa de peso W em queda livre impactando uma estrutura Carga de impacto aplicada a uma estrutura elástica pela queda de um peso a posição Inicial b posição no instante de deformação deslocamento máxima c relação forçadeformaçãoenergia 11 Impacto Página 8 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Trabalho de Deformação 11 Impacto Página 9 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina No caso de uma deformação linear e elástica a porção do diagrama forçadeformação referente pode ser representado por uma equação P kx 11 Impacto Página 10 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 112 Ensaio de impacto 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina O ensaio de impacto se caracteriza por submeter o corpo ensaiado a uma força brusca e repentina que deve rompêlo É bem melhor saber quanto o material resiste a uma carga dinâmica numa situação de ensaio do que numa situação real de uso 11 Impacto 12 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina As fraturas produzidas por impacto podem ser frágeis ou dúcteis As fraturas frágeis caracterizamse pelo aspecto cristalino e as fraturas dúcteis apresentam aparência fibrosa Os materiais frágeis rompemse sem nenhuma deformação plástica de forma brusca Porém mesmo utilizando materiais dúcteis com resistência suficiente para suportar uma determinada aplicação verificouse na prática que um material dúctil pode romperse de forma frágil 11 Impacto 13 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Fatores que influenciam o comportamento frágil dos materiais dúcteis Um material dúctil pode romperse sem deformação plástica apreciável ou seja de maneira frágil quando as condições abaixo estiverem presentes 1 velocidade de aplicação da carga suficientemente alta 2 trinca ou entalhe no material 3 temperatura de uso do material suficientemente baixa 14 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Fatores que influenciam o comportamento frágil dos materiais dúcteis Uma trinca promove concentração de tensões muito elevadas o que faz com que a maior parte da energia produzida pela ação do golpe seja concentrada numa região localizada da peça com a consequente formação da fratura frágil A existência de uma trinca por menor que seja muda substancialmente o comportamento do material dúctil A existência de trincas no material a baixa temperatura e a alta velocidade de carregamento constituem os fatores básicos para que ocorra uma fratura do tipo frágil nos materiais metálicos dúcteis 15 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Aço baixo carbono na temperatura ambiente Fratura e mecanismo de fratura dúcteis 16 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Aço baixo carbono a 190oC Fratura e mecanismo de fratura frágeis 17 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Cobre comercialmente puro Fratura e mecanismo de fratura dúcteis 18 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Latão Fratura e mecanismo de fratura frágeis 19 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto O ensaio de impacto consiste em medir a quantidade de energia absorvida por uma amostra do material quando submetida à ação de um esforço de choque de valor conhecido O choque ou impacto representa um esforço de natureza dinâmica porque a carga é aplicada repentina e bruscamente No impacto não é só a força aplicada que conta Outro fator é a velocidade de aplicação da força Força associada com velocidade traduzse em energia 20 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto O método mais comum para ensaiar metais é o do golpe desferido por um peso em oscilação A máquina correspondente é o martelo pendular 21 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto O pêndulo é levado a uma certa posição onde adquire uma energia inicial 22 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Ao cair ele encontra no seu percurso o corpo de prova que se rompe 23 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto A sua trajetória continua até certa altura que corresponde à posição final onde o pêndulo apresenta uma energia final 24 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto A diferença entre as energias inicial e final corresponde à energia absorvida pelo material 25 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto De acordo com o Sistema Internacional de Unidades SI a unidade de energia adotada é o joule A máquina é dotada de uma escala que indica a posição do pêndulo e é calibrada de modo a indicar a energia potencial A fórmula de energia potencial Ep é Ep m x g x h m massa g gravidade h altura 26 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto 27 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Nos ensaios de impacto utilizamse duas classes de corpos de prova com entalhe o Charpy e o Izod 28 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Os corpos de prova Charpy compreendem três subtipos A B e C de acordo com a forma do entalhe 29 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Corpos de prova de ferro fundido e ligas não ferrosas fundidas sob pressão não apresentam entalhe 30 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto As diferentes formas de entalhe são necessárias para assegurar que haja ruptura do corpo de prova mesmo nos materiais mais dúcteis O corpo de prova Charpy é apoiado na máquina e o Izod é engastado o que justifica seu maior comprimento A única diferença entre o ensaio Charpy e o Izod é que no Charpy o golpe é desferido na face oposta ao entalhe e no Izod é desferido no mesmo lado do entalhe 31 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto 32 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto A temperatura especificamente a baixa temperatura é um fator de extrema importância no comportamento frágil dos metais A temperatura influencia muito a resistência de alguns materiais ao choque 33 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Temperatura de transição faixa de temperatura relativamente pequena na qual a energia absorvida pelo corpo de prova cai apreciavelmente A temperatura de transição é aquela em que ocorre uma mudança no caráter da ruptura do material passando de dúctil a frágil ou viceversa 34 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto A faixa de temperatura de transição compreende o intervalo de temperatura em que a fratura se apresenta com 70 de aspecto frágil cristalina e 30 de aspecto dúctil fibrosa ou 70 de aspecto dúctil e 30 de aspecto frágil A definição dessa faixa é importante porque só podemos utilizar um material numa faixa de temperatura em que não se manifeste a mudança brusca do caráter da ruptura 35 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto GRÁFICO DA TEMPERATURA DE TRANSIÇÃO 36 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Os metais que têm estrutura cristalina CFC como o cobre alumínio níquel aço inoxidável austenítico etc não apresentam temperatura de transição ou seja os valores de impacto não são influenciados pela temperatura Por isso esses materiais são indicados para trabalhos em baixíssimas temperaturas como tanques criogênicos por exemplo 37 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto O intervalo de transição é influenciado por certas características como Tratamento térmico Açoscarbono e de baixa liga são menos sujeitos à influência da temperatura quando submetidos a tratamento térmico que aumenta sua resistência Tamanho de grãos Tamanhos de grãos grosseiros tendem a elevar a temperatura de transição de modo a produzir fratura frágil em temperaturas mais próximas à temperatura ambiente Tamanhos de grãos finos abaixam a temperatura de transição 38 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Encruamento Materiais encruados que sofreram quebra dos grãos que compõem sua estrutura tendem a apresentar maior temperatura de transição Impurezas A presença de impurezas que fragilizam a estrutura do material tende a elevar a temperatura de transição Elementos de liga A adição de certos elementos de liga como o níquel por exemplo tende a melhorar a resistência ao impacto mesmo a temperaturas mais baixas 39 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Processos de fabricação Um mesmo aço produzido por processos diferentes possuirá temperaturas de transição diferentes Retirada do corpo de prova A forma de retirada dos corpos de prova interfere na posição das fibras do material As normas internacionais geralmente especificam a posição da retirada dos corpos de prova nos produtos siderúrgicos pois a região de onde eles são retirados bem como a posição do entalhe têm fundamental importância sobre os valores obtidos no ensaio 40 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto 41 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Os corpos de prova retirados para ensaio de impacto devem ser resfriados até que se atinja a temperatura desejada para o ensaio As técnicas de resfriamento são determinadas em normas técnicas específicas Um modo de obter o resfriamento consiste em mergulhar o corpo de prova num tanque contendo nitrogênio líquido por aproximadamente 15 minutos Outra forma de obter o resfriamento é por meio de uma mistura de álcool e gelo seco que permite atingir temperaturas de até 70 OC negativos 42 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto w B A L B A L w P B A L B A L w B A L P L2 𝑈 𝑃2 𝐿3 6 𝐸 𝐼 𝑈 𝑊2 𝐿5 40 𝐸 𝐼 𝑈 𝑃2 𝐿3 96 𝐸 𝐼 𝑈 𝑊2 𝐿5 504 𝐸 𝐼 𝑈 𝑊2 𝐿5 240 𝐸 𝐼 Energia da Deformação na Flexão L P a b 𝑈 𝑃2 𝑎2 𝑏2 6 𝐸 𝐼 𝐿 Página 43 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Equações da Deflexão na Flexão w B A L B A L w P B A L B A L w B A L P L2 L P a b d 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 d 𝑊𝐿4 8𝐸𝐼 d 𝑊𝐿4 30𝐸𝐼 d 𝑃𝐿3 48𝐸𝐼 d 𝑃𝑏 𝐿2𝑏2 3 2 9 3𝐸𝐼𝐿 𝑥𝑚 𝐿2𝑏2 3 d 5𝑊𝐿4 384𝐸𝐼 11 Impacto Página 44 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 113 Tensões e Deslocamentos por Impactos Lineares e de Flexão Simplificação dos cálculos a A massa da estrutura mola é desprezível b As deformações da massa propriamente dita são desprezíveis c O amortecimento é desprezível A força Fe é definida como uma força estática equivalente que produz o mesmo deslocamento d isto é 𝐹𝑒 𝑘 𝛿 O deslocamento estático existente após a energia ser dissipada e o peso convergir para a condição de repouso sobre a estrutura é representado por 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑊 𝑘 45 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Igualando a energia potencial de uma massa em queda à energia elástica absorvida pela mola estrutura temse 𝑊 ℎ 𝛿 1 2 𝐹𝑒 𝛿 Combinando as equações temos 𝐹𝑒 𝛿 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑊 ou 𝛿 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝐹𝑒 𝑊 E ainda 𝑊 ℎ 𝛿 1 2 𝛿2 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑊 46 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Temos então 𝛿 𝛿𝑒𝑠𝑡 1 1 2 ℎ 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝐹𝑒 𝑊 1 1 2 ℎ 𝛿𝑒𝑠𝑡 Expressando as equações em função da velocidade de queda 𝑣2 2 𝑔 ℎ ou ℎ 𝑣2 2 𝑔 47 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Temos 𝛿 𝛿𝑒𝑠𝑡 1 1 𝑣2 𝑔 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝐹𝑒 𝑊 1 1 𝑣2 𝑔 𝛿𝑒𝑠𝑡 Reduzindo a distância h a zero com v igual a zero temse o caso especial de uma carga aplicada subitamente para a qual o fator de impacto é igual a 2 Esta pode ser a justificativa que serviu de base para os engenheiros do passado algumas vezes dobrarem os fatores de segurança quando uma carga de impacto era prevista 48 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Em muitos problemas envolvendo impacto o deslocamento é quase insignificante em comparação à distância h Para esses casos onde h d as Equações podem ser simplificadas para 𝛿 𝛿𝑒𝑠𝑡 2 ℎ 𝛿𝑒𝑠𝑡 2 ℎ 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝐹𝑒 𝑊 2 ℎ 𝛿𝑒𝑠𝑡 2 𝑊 ℎ 𝑘 49 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Temos também 𝛿 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑣2 𝑔 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑣2 𝑔 𝐹𝑒 𝑊 𝑣2 𝑔 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑣2 𝑘 𝑊 𝑔 Para rotações de um peso movendose horizontalmente sem a força da gravidade o mesmo conjunto de equações é válido e temos 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑊 ℎ 50 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto Para a energia cinética temos 𝑈 1 2 𝑚 𝑣2 𝑊 𝑣2 2 𝑔 Logo 𝛿 2 𝑈 𝑘 e 𝐹𝑒 2 𝑈 𝑘 51 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Linear sobre uma Barra Reta sob Tração ou Compressão Um caso especial importante de impacto linear é o de uma barra reta que sofre um impacto sob compressão ou tração 52 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Se a carga de impacto for aplicada concentricamente e se o concentrador de tensões puder ser desprezado as expressões elementares da resistência dos materiais temos 𝜎 𝐹𝑒 𝐴 e 𝑘 𝐴 𝐸 𝐿 Onde A área da seção transversal L Comprimento da seção E Módulo de Elasticidade 53 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Agrupando com equações anteriores temos 𝜎 2 𝑈 𝐸 𝐴 𝐿 2 𝑈 𝐸 𝑉 onde V é o volume do material da barra Observase a dependência apenas do volume não importando o comprimento da barra A equação em função da energia U fica 𝑈 𝜎2 𝑉 2 𝐸 54 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Comentários A capacidade por unidade de volume de um material em absorver energia elástica é igual à área sob a região elástica do diagrama tensãodeformação é chamada de módulo de resiliência do material A capacidade total de absorção de energia em tração por unidade de volume de um material é igual à área total sob a curva do diagrama tensãodeformação estendendose até a fratura e algumas vezes é denominada módulo de tenacidade do material No problema anterior os dois aços diferiram significativamente em seus módulos de resiliência porém suas tenacidades são equiparáveis 55 11 Impacto Fazer Diagrama Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina t tempo s ou Tensão de Cisalhamento MPa m a massa kg k constante elástica da mola Nm Fe força estática equivalente N 𝛿 deslocamento m mm 𝛿est deslocamento estático m mm W Peso N h Altura da queda do peso mmm v Velocidade da queda ms g aceleração da gravidade 981 ms2 𝜎 Tensão normal tração ou compressão em MPa U Energia J A Área seção transversal do material m2 mm2 L Comprimento do material m mm E Módulo de Elasticidade do material GPa G Módulo de Elasticidade transversal do material GPa V Volume do material m3 mm3 56 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Exemplo 1 Impacto axial Importância da Uniformidade da seção A Figura mostra duas barras de seção circular sujeitas a um impacto por tração Compare suas capacidades de absorção de energia elástica Despreze a concentração de tensões e utilize S como uma aproximação para o limite elástico 57 11 Impacto Problema Resolvido 71 JUVINAL 4ªed Pg 152 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Conhecido Duas barras de seção circular com geometria conhecida são sujeitas a um impacto por tração A Ser Determinado Compare as capacidades de absorção de energia elástica das duas barras Hipóteses 1 A massa de cada barra é desprezível 2 As deformações das massas que colidem são desprezíveis 3 A dissipação por atrito é desprezível 4 Cada barra responde elasticamente ao impacto 5 A carga de impacto é aplicada concentricamente 6 A concentração de tensões pode ser desprezada 58 11 Impacto Exemplo 2 Capacidade relativa de absorção de energia para diversos materiais A Figura mostra um peso em queda que impacta um bloco constituído de um material que se comporta como amortecedor Estime as capacidades relativas de absorção de energia elástica dos materiais amortecedores relacionados a seguir Conhecido Um peso cai sobre amortecedores constituídos por materiais específicos com propriedades de absorver energia A Ser Determinado Compare a capacidade de absorção de energia por impacto elástico dos materiais dos amortecedores Hipóteses 1 A massa do amortecedor é desprezível 2 As deformações do peso que colide são desprezíveis 3 A dissipação por atrito é desprezível 4 O amortecedor responde elasticamente 5 A carga de impacto é aplicada uniformemente Problema Resolvido 72 JUVINAL 4ªed Pg 153 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 59 11 Impacto Exemplo 3 Impacto por Flexão Efeito de Molas Combinadas A Figura abaixo mostra uma viga de madeira apoiada em duas molas e carregada em flexão por impacto Estime a tensão e o deslocamento máximos ocorrentes na viga com base na hipótese de que as massas da viga e das molas possam ser desprezadas Conhecido Um peso de 100 lb cai de uma altura específica sobre uma viga de madeira cujas propriedades físicas material e geométricas são conhecidas A viga é suportada por duas molas Problema Resolvido 73 JUVINAL 4ªed Pg 153 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina A Ser Determinado Determine a tensão e o deslocamento máximos ocorrentes na viga Hipóteses 1 Conforme estabelecido no enunciado as massas da viga e das molas podem ser desprezadas 2 A viga e as molas respondem elasticamente 3 A carga de impacto é aplicada uniformemente no centro geométrico da viga Página 60 11 Impacto Exercício de avaliação 14 Exemplo 4 Impacto por Tração Um carro deslizou cm uma estrada com gelo e ficou atolado na neve em uma saliência existente na pista Um outro carro com massa de 1400 kg lentou rebocar o veículo atolado e trazêlo de volta para a pista utilizando um cabo de aço com 5 m de comprimento e rigidez k 5000 Nmm A tração disponível ao veículo de resgate não é suficiente para que ele exerça qualquer força significativa sobre o cabo Com o auxílio do empurrão de um espectador o veículo de resgate foi capaz de moverse ao encontro do carro atolado e em seguida acelerar para adiante e atingir uma velocidade de 4 kmh no instante em que o cabo ficou tenso Se o cabo é fixado rigidamente aos veículos estime a força de impacto máxima que pode ser desenvolvida no cabo e a elongação nele resultante Problema 74 JUVINAL 4ªed Pg 158 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 114 Tensões e Deformações causadas por Impacto Torcional A análise da seção precedente poderia ser repetida para o caso de sistemas sujeitos a cargas torcionais tendo como consequência a dedução de um conjunto de equações correspondentes Em vez disso utilizase a vantagem da analogia direta entre os sistemas lineares e torcionais para escrever as equações finais diretamente As grandezas análogas envolvidas são 𝜃 2 𝑈 𝑘 e 𝑇𝑒 2 𝑈 𝑘 61 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Energia da deformação 11 Impacto 62 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 11 Impacto 63 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Para determinar a energia de deformação interna em um eixo ou tubo circular decorrente de um momento de torção aplicado temos de aplicar a Equação Considere o eixo ligeiramente cônico na Figura A seção do eixo tomada à distância x de uma extremidade é submetida a um torque interno T 11 Impacto 64 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Trabalho de deformação na torção No caso de um eixo circular ou tubo de seção transversal uniforme submetido a conjugado de torção iguais e de sentido contrário aplicados nas suas extremidades a equação fica 11 Impacto 65 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina As duas equações a seguir possuem a letra T incorporada ao número da equação para representar a torção 𝜃 2𝑈 𝐾 e 𝑇𝑒 2 𝑈 𝐾 Para o importante caso especial do impacto torcional de uma barra de seção circular maciça com diâmetro d 𝑇𝑒 𝐾 𝜃 𝐾 𝑇𝑒 𝜃 𝐽𝑝 𝐺 𝐿 𝜋 𝑑4 𝐺 32 𝐿 com T substituído por Te 𝜏 16 𝑇𝑒 𝜋 𝑑3 𝑜𝑢 𝜏 2 𝑈 𝐺 𝑉 Volume 𝑉 𝜋 𝑑2 𝐿 4 66 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina E o deslocamento torcional onde o K Jp Energia cinética absorvida pelo eixo 𝑈 1 2 𝐽𝑚 𝜔2 Momento de inércia de massa de uma seção circular 𝐽𝑚 1 2 𝑚 𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 2 Massa do disco 𝑚 𝜋 𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 2 𝑡 ρ 67 11 Impacto 𝜃 𝑇𝑒 𝐿 𝐽𝑝 𝐺 ou 𝜃 𝜏 𝐿 𝑟 𝐺 onde 𝜏 𝑇𝑒 𝑟 𝐽𝑝 ou 𝜏 𝑇𝑒 𝑊𝑝 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 68 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 69 11 Impacto Exemplo 5 Impacto torcional A Figura mostra o eixo de uma esmerilhadeira com um disco abrasivo em cada uma de suas extremidades e uma polia motora acionada por correia no centro Ao girar a 2400 rpm o disco abrasivo menor é acidentalmente travado causando uma parada instantânea Estime a tensão torcional máxima e o deslocamento angular correspondente resultantes no eixo Considere os discos abrasivos como maciços com massa específica p 2000 kgm3 O eixo é de aço G 79 GPa e seu peso pode ser desprezado Problema Resolvido 74 JUVINAL 4ªed Pg 155 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina m Jm U Página 70 11 Impacto Exercício de avaliação 15 Exemplo 6 Impacto torcional O eixo motriz vertical mostrado na Figura possui 20 mm de diâmetro 650 mm de comprimento e é fabricado de aço O motor ao qual ele é fixado cm sua pane superior é equivalente a um volante de aço com 300 mm de diâmetro e 25 mm de espessura Quando o eixo vertical está girando a 3000 rpm as hélices atingem um obstáculo rígido parando instantaneamente Admita que o pequeno eixo propulsor horizontal e as engrenagens cônicas tenham flexibilidade desprezível Calcule a tensão cisalhante por torção elástica atuante no eixo vertical Como essa tensão é significativamente superior a qualquer resistência torcional elástica possível um pino de cisalhamento ou elementos de acoplamento deslizantes devem ser utilizados para proteger o eixo e seus componentes associados de maior valor Problema 710 JUVINAL 4ªed Pg 159 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 115 Efeito dos Concentradores de Tensão na Resistência ao Impacto A Figura 78 mostra uma barra sujeita a um impacto por tração onde foi identificada a existência de um concentrador de tensões nas extremidades da barra Da mesma forma que ocorre com o carregamento estático é possível que um escoamento localizado redistribua as tensões de forma a virtualmente anular o efeito do concentrador de tensões FIGURA 78 Barra lisa com entalhe sob carregamento de Impacto Página 71 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Todavia quando há um carregamento de impacto o tempo disponível para a ação da plastificação é provavelmente tão curto que em alguns casos ocorre uma fratura frágil com um fator de concentração de tensão efetivo quase tão alto quanto o valor Página 72 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina teórico Kl obtido através de gráficos similares ao da Figura abaixo mesmo que o material apresente um comportamento dúctil durante seu ensaio de tração A adição de um concentrador de tensão e a aplicação de uma carga de impacto são fatores que tendem a aumentar a temperatura de transição isto é causam uma fratura frágil sem que o material escoe como normalmente ocorreria em temperaturas mais baixas Devido à dificuldade da predição dos efeitos do impacto em componentes com entalhes a partir de considerações teóricas são utilizados ensaios padronizados de impacto como o de Charpy e Izod Esses ensaios também possuem suas limitações a resistência do componente varia significativamente com as dimensões a forma e a natureza do impacto Por isso são realizados em laboratório ensaios especiais que simulam o mais precisamente possível as condições reais de operação do componente Página 73 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Exemplo 7 Impacto por tração de um componente com Entalhe Suponha que a partir de ensaios especiais tenha sido determinado que o fator de concentração de tensão efetivo para um carregamento de impacto Kl nas extremidades da barra mostrada na Figura abaixo seja de 15 De quanto será a diminuição da capacidade de absorção de energia pelo efeito do concentrador de tensão da barra se estimado a partir da Equação 74 11 Impacto Problema Resolvido 75 JUVINAL 4ªed Pg 156 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Exemplo 8 Impacto por Tração de um Componente com Entalhe A figura 79 mostra a mesma barra sob impacto da Figura 78 porém dessa vez foi adicionada uma ranhura com K 3 Compare as capacidades de absorção de energia por impacto das barras das Figuras 78 e 79 Página 75 11 Impacto Problema Resolvido 76 JUVINAL 4ªed Pg 156 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 76 11 Impacto Exemplo 9 Modificando o projeto de um parafuso para aumentar a resistência ao impacto A Figura abaixo mostra um parafuso sujeito a um carregamento de impacto por tração Recomende uma modificação no projeto de modo a aumentar sua capacidade de absorção de energia De quanto essa capacidade será aumentada se o projeto for modificado Problema Resolvido 77 JUVINAL 4ªed Pg 157 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Dois outros projetos de parafusos com a capacidade de absorção de energia aumentada são ilustrados nas figuras abaixo Na Figura a a superfície de orientação com diâmetro pleno foi deslocada para o centro do corpo de modo a favorecer o alinhamento dos dois componentes a serem unidos 77 Na Figura b mostra um método mais oneroso de remoção do excesso de material do corpo porém a resistência torcional e de flexão do parafuso é praticamente preservada A resistência torcional geralmente é muito importante pois ela determina o quanto a porca pode ser apertada sem danificar o parafuso por torção 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 78 11 Impacto Exercício de avaliação 15 Exemplo 10 A Figura mostra uma barra de impacto por tração com um pequeno furo transversal Qual é o fator de redução da capacidade de absorção de energia por impacto imposto pelo furo da barra Problema Resolvido 714 JUVINAL 4ªed Pg 160 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Exercícios para resolver em casa Juvinal 4ª Ed pg 158160 Problemas JUVINAL 4ª ed SOLUCIONÁRIO 3ª ed 72 73 73 74 74 75 75 76 76 77 77 78 78 72 79 71 710 79 711 710 712 711 713 712 714 713 715P 714D 716P 715D 11 Impacto Página 79 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Exemplo 1 Impacto axial Importância da Uniformidade da seção A Figura mostra duas barras de seção circular sujeitas a um impacto por tração Compare suas capacidades de absorção de energia elástica Despreze a concentração de tensões e utilize S como uma aproximação para o limite elástico 80 11 Impacto Problema Resolvido 71 JUVINAL 4ªed Pg 152 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Conhecido Duas barras de seção circular com geometria conhecida são sujeitas a um impacto por tração A Ser Determinado Compare as capacidades de absorção de energia elástica das duas barras Hipóteses 1 A massa de cada barra é desprezível 2 As deformações das massas que colidem são desprezíveis 3 A dissipação por atrito é desprezível 4 Cada barra responde elasticamente ao impacto 5 A carga de impacto é aplicada concentricamente 6 A concentração de tensões pode ser desprezada Análise 1 A capacidade elástica para a barra da Figura a é determinada diretamente a partir da equação onde s Sy 𝑈𝑎 𝜎2 𝑉 2 𝐸 𝑆𝑦 2 𝑉 2 𝐸 1𝑈𝑎 2 Na Figura b a energia absorvida pelas metades superior e inferior deve ser determinada separadamente A metade inferior com diâmetro menor é crítica ela pode apresentar uma tensão igual a Sy e seu volume é V2 onde V volume referente ao comprimento total da barra da Figura a Assim a capacidade de absorver energia da metade inferior é 𝑈𝑏𝑖 𝑆𝑦2 Τ 𝑉 2 2 𝐸 1 2 𝑈𝑎 3 A mesma força é transmitida através do comprimento total da barra A metade superior possui uma área quatro vezes maior do que a área da metade inferior logo ela possui um volume quatro vezes maior e uma tensão quatro vezes menor Assim a capacidade de absorver energia da metade superior é 𝑈𝑏𝑠 𝑆𝑦 42 4 𝑉 2 𝐸 1 8 𝑈𝑎 4 A capacidade de absorção total de energia é a soma de 𝑈𝑏𝑖 𝑈𝑏𝑠 que é igual a apenas cinco oitavos da capacidade de energia da barra da Figura a Como a barra da Figura b possui 25 vezes o volume e o peso da barra reta de seção uniforme podese concluir que sua capacidade de armazenamento de energia por kg é quatro vezes maior do que a daquela barra 5 8 𝑥 1 25 1 4 Comentário A concentração de tensões no meio da barra escalonada poderia reduzir sua capacidade e tenderia a promover urna fratura frágil Esse aspecto será tratado mais adiante 81 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 82 11 Impacto Exemplo 2 Capacidade relativa de absorção de energia para diversos materiais A Figura mostra um peso em queda que impacta um bloco constituído de um material que se comporta como amortecedor Estime as capacidades relativas de absorção de energia elástica dos materiais amortecedores relacionados a seguir Conhecido Um peso cai sobre amortecedores constituídos por materiais específicos com propriedades de absorver energia A Ser Determinado Compare a capacidade de absorção de energia por impacto elástico dos materiais dos amortecedores Hipóteses 1 A massa do amortecedor é desprezível 2 As deformações do peso que colide são desprezíveis 3 A dissipação por atrito é desprezível 4 O amortecedor responde elasticamente 5 A carga de impacto é aplicada uniformemente Problema Resolvido 72 JUVINAL 4ªed Pg 153 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 83 11 Impacto Exemplo 3 Impacto por Flexão Efeito de Molas Combinadas A Figura abaixo mostra uma viga de madeira apoiada em duas molas e carregada em flexão por impacto Estime a tensão e o deslocamento máximos ocorrentes na viga com base na hipótese de que as massas da viga e das molas possam ser desprezadas Conhecido Um peso de 100 lb cai de uma altura específica sobre uma viga de madeira cujas propriedades físicas material e geométricas são conhecidas A viga é suportada por duas molas A Ser Determinado Determine a tensão e o deslocamento máximos ocorrentes na viga Hipóteses 1 Conforme estabelecido no enunciado as massas da viga e das molas podem ser desprezadas 2 A viga e as molas respondem elasticamente 3 A carga de impacto é aplicada uniformemente no centro geométrico da viga Problema Resolvido 73 JUVINAL 4ªed Pg 153 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 84 11 Impacto Problema Resolvido 73 JUVINAL 4ªed Pg 153 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Exemplo 4 Impacto por Tração Um carro deslizou cm uma estrada com gelo e ficou atolado na neve em uma saliência existente na pista Um outro carro com massa de 1400 kg lentou rebocar o veículo atolado e trazêlo de volta para a pista utilizando um cabo de aço com 5 m de comprimento e rigidez k 5000 Nmm A tração disponível ao veículo de resgate não é suficiente para que ele exerça qualquer força significativa sobre o cabo Com o auxílio do empurrão de um espectador o veículo de resgate foi capaz de moverse ao encontro do carro atolado e em seguida acelerar para adiante e atingir uma velocidade de 4 kmh no instante em que o cabo ficou tenso Se o cabo é fixado rigidamente aos veículos estime a força de impacto máxima que pode ser desenvolvida no cabo e a elongação nele resultante Página 85 11 Impacto Problema 74 JUVINAL 4ªed Pg 158 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 86 11 Impacto Exemplo 5 Impacto torcional A Figura mostra o eixo de uma esmerilhadeira com um disco abrasivo em cada uma de suas extremidades e uma polia motora acionada por correia no centro Ao girar a 2400 rpm o disco abrasivo menor é acidentalmente travado causando uma parada instantânea Estime a tensão torcional máxima e o deslocamento angular correspondente resultantes no eixo Considere os discos abrasivos como maciços com massa específica p 2000 kgm3 O eixo é de aço G 79 GPa e seu peso pode ser desprezado Problema Resolvido 74 JUVINAL 4ªed Pg 155 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina m Jm U Exemplo 6 Impacto torcional O eixo motriz vertical mostrado na Figura P218 possui 20 mm de diâmetro 650 mm de comprimento e é fabricado de aço O motor ao qual ele é fixado cm sua pane superior é equivalente a um volante de aço com 300 mm de diâmetro e 25 mm de espessura Quando o eixo vertical está girando a 3000 rpm as hélices atingem um obstáculo rígido parando instantaneamente Admita que o pequeno eixo propulsor horizontal e as engrenagens cônicas tenham flexibilidade desprezível Calcule a tensão cisalhante por torção elástica atuante no eixo vertical Como essa tensão é significativamente superior a qualquer resistência torcional elástica possível um pino de cisalhamento ou elementos de acoplamento deslizantes devem ser utilizados para proteger o eixo e seus componentes associados de maior valor Página 87 11 Impacto Problema 710 JUVINAL 4ªed Pg 159 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Exemplo 7 Impacto por tração de um componente com Entalhe Suponha que a partir de ensaios especiais tenha sido determinado que o fator de concentração de tensão efetivo para um carregamento de impacto Kl nas extremidades da barra mostrada na Figura abaixo seja de 15 De quanto será a diminuição da capacidade de absorção de energia pelo efeito do concentrador de tensão da barra se estimado a partir da Equação 88 Problema Resolvido 75 JUVINAL 4ªed Pg 156 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Solução Conhecido Uma barra de seção transversal circular sujeita a um carregamento de impacto possui um concentrador de tensão específico A Ser Determinado Determine o efeito de um concentrador de tensão na capacidade de absorção de energia de uma barra Esquemas e Dados Fornecidos Veja a Figura Hipóteses Sob carregamento de impacto o material da barra se comporta como frágil Análise Inicialmente duas observações a se a barra for suficientemente longa o volume do material na região dos filetes em suas extremidades representa uma fração muito pequena do volume total b o material na localização critica dos filetes não pode ser solicitado a uma tensão que exceda a resistência do material S Isso significa que praticamente todo o material pode ser considerado como sendo solicitado por uma tensão uniforme que não pode ser superior a S Kl ou nesse caso S 15 Assim uma boa aproximação é que após a consideração do concentrador de tensão o mesmo volume de material seja envolvido porém em um nível de tensão reduzido por um fator de 15 Como a tensão está elevada ao quadrado na Equação anterior a consideração do entalhe reduz capacidade de absorção de energia por um fator de 152 ou seja 225 11 Impacto Exemplo 8 Impacto por Tração de um Componente com Entalhe A figura 79 mostra a mesma barra sob impacto da Figura 78 porém dessa vez foi adicionada uma ranhura com K 3 Compare as capacidades de absorção de energia por impacto das barras das Figuras 78 e 79 Página 89 11 Impacto Problema Resolvido 76 JUVINAL 4ªed Pg 156 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Solução Conhecido Uma barra com ranhura e uma barra lisa estão sujeitas a um carregamento de impacto A Ser Determinado Compare as capacidades de absorção de energia por impacto das barras Hipótese Os materiais das barras apresentam um comportamento frágil Análise Na Figura citada a capacidade de impacto é limitada ao valor que leva a tensão na ranhura até o valor da resistência do material S Como o fator de concentração de tensão efetivo é igual a 3 o nível de tensão nominal na seção da ranhura é S3 Devido à relação entre áreas ser de 41 a tensão nominal no volume do material fora do plano da ranhura é de apenas S12 Para uma barra longa o percentual do volume nas proximidades da ranhura é muito pequeno Assim considerando a única diferença substancial ocorrida pela introdução da ranhura é a redução do valor de s de S15 para S12 Como na equação a tensão s é elevada ao quadrado a ranhura reduz a capacidade de energia de um fator igual a 64 isto é a barra com ranhura possui menos de 2 da capacidade de absorver energia da barra sem ranhura 𝑈𝑎 𝑆2 𝑉 2 𝐸 𝑆 15 2 𝑉 2 𝐸 𝑈𝑏 𝑆2 𝑉 2 𝐸 𝑆 3 4 2 𝑉 2 𝐸 𝑆 12 2 𝑉 2 𝐸 Dessa discussão concluise que o projeto efetivo de um componente eficiente na absorção de energia compreende duas etapas importantes 1 Minimize a concentração de tensão tanto quanto possível Tente sempre reduzir a tensão no ponto onde ela é mais alta 2 Depois disso remova todo excesso de material possível de modo que a tensão em qualquer posição seja tão próxima quanto possível da tensão no ponto mais crítico A remoção desse excesso de material não reduz a carga que o componente pode suportar e a deformação aumenta Uma vez que a energia absorvida é igual à integral da força multiplicada pela deformação a capacidade de absorção de energia será aumentada Lembrese do exemplo 90 11 Impacto Exemplo 9 Modificando o projeto de um parafuso para aumentar a resistência ao impacto A Figura abaixo mostra um parafuso sujeito a um carregamento de impacto por tração Recomende uma modificação no projeto de modo a aumentar sua capacidade de absorção de energia De quanto essa capacidade será aumentada se o projeto for modificado Problema Resolvido 77 JUVINAL 4ªed Pg 157 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Solução Conhecido Um parafuso padronizado com geometria bem definida deve ser modificado para suportar um carregamento de impacto por tração A Ser Determinado Modifique a geometria do parafuso e estime o aumento na capacidade de absorção de energia Esquemas e Dados Fornecidos Veja a Figura anterior Decisões As seguintes decisões são tomadas na análise do projeto 1 Minimize a concentração de tensão utilizando uma rosca com filete liso e relativamente largo na raiz 2 Deixe um pequeno comprimento do corpo do parafuso sob sua cabeça para servir de centralização do parafuso no furo de sua fixação 3 Projete a geometria de forma a obter uma tensão uniforme ao longo do corpo do parafuso pela redução de seu diâmetro nas regiões menos tensionadas Hipóteses A resistência do material S é utilizada para ambos os parafusos Outras hipóteses serão adotadas quando requeridas ao longo da análise do projeto 91 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 92 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina 93 11 Impacto Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Dois outros projetos de parafusos com a capacidade de absorção de energia aumentada são ilustrados nas figuras abaixo Na Figura a a superfície de orientação com diâmetro pleno foi deslocada para o centro do corpo de modo a favorecer o alinhamento dos dois componentes a serem unidos Na Figura b mostra um método mais oneroso de remoção do excesso de material do corpo porém a resistência torcional e de flexão do parafuso é praticamente preservada A resistência torcional geralmente é muito importante pois ela determina o quanto a porca pode ser apertada sem danificar o parafuso por torção 94 11 Impacto Exemplo 10 A Figura mostra uma barra de impacto por tração com um pequeno furo transversal Qual é o fator de redução da capacidade de absorção de energia por impacto imposto pelo furo da barra Problema 714 JUVINAL 4ªed Pg 160 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Mecânica dos Sólidos 12 Fluência 12 Fluência Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 121 Introdução 122 Fatores que afetam a fluência 123 Ensaio de fluência 124 Curva x t 125 Fatores que afetam as propriedades em fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 12 Fluência Material de referência Livros Juvinal Robert C Projeto de Componentes de Máquinas Beer Ferndinand P Resistência dos Materiais Rosa Edison da Análise de Resistência Mecânica de Peças e Componentes estruturais Mecânica da Fratura e Fadiga Calister Videos Telecurso 2000 Ensaios de Materiais 14 Ensaio de fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 12 Fluência 121 Introdução Quando um metal é solicitado por uma carga imediatamente sofre uma deformação elástica Com a aplicação de uma carga constante a deformação plástica progride lentamente com o tempo fluência até haver um estrangulamento e ruptura do material Velocidade de fluência relação entre deformação plástica e tempo aumenta com a temperatura Esta propriedade é de grande importância especialmente na escolha de materiais para operar a altas temperaturas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 12 Fluência Então fluência é definida como a deformação permanente dependente do tempo e da temperatura quando o material é submetido à uma carga constante Este fator muitas vezes limita o tempo de vida de um determinado componente ou estrutura Este fenômeno é observado em todos os materiais e tornase importante à altas temperaturas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 12 Fluência 122 Fatores que afetam a fluência Temperatura Módulo de elasticidade Tamanho de grão Em geral Quanto maior o ponto de fusão maior o módulo de elasticidade e maior é a resistência à fluência Quanto maior o tamanho de grão maior é a resistência à fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 12 Fluência 123 Ensaio de fluência É executado pela aplicação de uma carga uniaxial constante a um corpo de prova de mesma geometria dos utilizados no ensaio de tração a uma temperatura elevada e constante O tempo de aplicação de carga é estabelecido em função da vida útil esperada do componente Medese as deformações ocorridas em função do tempo x t Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 12 Fluência Figura 1 Aparelho de fluência Figura 2 Curva típica obtida em um ensaio de fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 12 Fluência Figura 3 Esquema do arranjo experimental Figura 4 Corpo de prova utilizado no ensaio Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 12 Fluência 124 Curva x t Estágio primário ocorre um decréscimo contínuo na taxa de fluência ddt ou seja a inclinação da curva diminui com o tempo Este fato pode ser explicado pelo encruamento ou seja a deformação plástica vai se tornando progressivamente mais difícil ddt diminui Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 12 Fluência Curva x t Estágio secundário a taxa de fluência ddt é constante comportamento linear A inclinação da curva constante com o tempo é devido à 2 fenômenos competitivos encruamento e recuperação O valor médio da taxa de fluência nesse estágio é chamado de taxa mínima de fluência m que é um dos parâmetros mais importantes a se considerar em projeto de componentes que desejase vida longa ddt constante Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 12 Fluência Curva x t Estágio terciário ocorre uma aceleração na taxa de fluência ddt que culmina com a ruptura do corpo de prova A ruptura ocorre com a separação dos contornos de grão formação e coalescimento de trincas conduzindo a uma redução de área localizada e conseqüente aumento da taxa de deformação ddt aumenta Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 12 Fluência Figura 5 Curva típica de fluência apresentando os três estágios do ensaio Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 12 Fluência Figura 6 Curva típica de um aço liga sob diferentes cargas A curva B não apresenta o terceiro estágio em função da baixa carga aplicada Figura 7 Curva típica de uma liga de alumínio 24ST4 para diferentes níveis de tensão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 12 Fluência Figura 8 Variação da taxa de fluência nos três estágios do ensaio Figura 9 Variação da taxa de deformação Nota esforços de compressão são preferíveis para ensaios de fluência de materiais frágeis Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 12 Fluência Parâmetros Característicos do Ensaio de Fluência Taxa mínima de fluência inclinação da curva no segundo estágio de fluência Tratase de um parâmetro importante a ser considerado em projetos de componentes para aplicações de longa duração por exemplo peças de reatores nucleares ε k1σn1 onde k1 e n1 inclinação da reta são constantes do material tempo de ruptura parâmetro importante para componentes de vida relativamente curta como lâminas de turbinas para motores a jato Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 12 Fluência Resistência à Fluência é definida como a tensão para uma determinada temperatura que produz uma taxa mínima de fluência por exemplo de 00001 por centohora Resistência à Ruptura referese à tensão a uma determinada temperatura que produz uma vida até a ruptura de 100 1000 ou 10000 horas Por exemplo uma turbina à jato que deve apresentar uma taxa mínima de fluência de 00001 implica uma deformação de 1 a cada 10000 horas de operação Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 12 Fluência Ensaio de Fluência resistência à fluência não segue necessariamente até a ruptura do corpodeprova visando estimar a vida útil do material Neste caso a tensão nominal carga aplicada é variada sob temperatura constante Ensaio de Ruptura por Fluência resistência à ruptura por fluência segue até a ruptura do corpodeprova Da mesma forma a tensão nominal carga é aplicada sob temperatura constante até a ruptura Ensaio de Relaxação conduzido mediante deformação constante fornecendo informações sobre a redução da tensão carga aplicada ao corpodeprova Escolha do Ensaio em função dos Parâmetros Característicos do Ensaio de Fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 12 Fluência Figura 10 Tensãotempo de ruptura obtidos em um ensaio de fluência de uma liga de níquel com baixo teor de carbono para diferentes temperaturas escala loglog Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 12 Fluência Figura 11 Tensãotaxa mínima de fluência para uma liga de níquel com baixo teor de carbono para diferentes temperaturas escala loglog Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 12 Fluência Figura 12 Tensãotaxa mínima de fluência para um aço inoxidável para diferentes temperaturas escala loglog Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 12 Fluência Características de Ensaios de Fluência e Extrapolação de Características de Fluência Para Longos Períodos Componentes mecânicos usados por longos períodos Dificuldade de condução de ensaios prolongados Ensaios em temperaturas acima das especificadas por períodos mais curtos e no mesmo nível de tensão Extrapolação dos resultados obtidos assegurandose que não ocorreram mudanças estruturais variação na inclinação da curva Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 12 Fluência Características de Ensaios de Fluência e Extrapolação de Características de Fluência Para Longos Períodos Parâmetro de LarsonMiller T C log tr constante onde C constante de LarsonMiller da ordem de 20 T temperatura do ensaio K tr tempo de ruptura h Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 12 Fluência Exemplo 1 Utilizandose os dados de comportamento à fluência da figura ao lado pode se fazer uma previsão do tempo de ruptura de um componente fabricado com uma liga à base de ferro para altas temperaturas quando submetido a uma tensão de 300 MPa e a uma temperatura de 873 K Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 12 Fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 12 Fluência EXEMPLO cont Utilizando a equação anterior temse 208x103 T20 log tr 208x103 871220 log tr 23825887743 20 log tr log tr 3825887743 tr 6697 horas 279 dias Se a tensão aplicada é reduzida para 200 MPa mas é mantida na mesma temperatura temse que o parâmetro de LarsonMiller é aproximadamente 227x1012 Utilizandose o mesmo procedimento de cálculo chegase a tr 1005289 horas 114 anos Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 12 Fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 12 Fluência Figura 13 Representação do efeito da tensão nas curvas de fluência à temperatura constante Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 12 Fluência INFORMAÇÕES ADICIONAIS SOBRE O ENSAIO DE FLUÊNCIA Os procedimentos temperaturas e tempo de permanência dimensões e geometrias do corpodeprova para os ensaios de fluência estão descritos na norma ASTM E139 Semelhantes aos utilizados em ensaios de tração convencional Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 12 Fluência MECANISMOS DE DEFORMAÇÃO SOB FLUÊNCIA Movimento de discordâncias Recristalização Escorregamento de contornos de grão São favorecidos com o aumento da temperatura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 12 Fluência 125 Fatores que afetam as propriedades em fluência TEMPERATURA DE FUSÃO MÓDULO DE ELASTICIDADE TAMANHO DE GRÃO CRISTALINO Nota Quanto maiores seus valores melhores serão as propriedades de resistência à fluência Obs Em elevadas temperaturas os mecanismos de deformação mais significativos ocorrem por escorregamento em contornos de grão Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 LÂMINAS DE TURBINAS A Fundição convencional grãos cristalinos distribuídos aleatoriamente B Solidificação Unidirecional grãos colunares alongados C Forma Monocristalina 2X 9X Vida Útil Tempo de ruptura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 32 12 Fluência 12 Fluência Fluência Viscoelástica mecanismos de deformação que acontecem em polímeros quando o nível de tensão são mantidos constantes durante um tempo determinado pode acontecer à temperatura ambiente e para tensões inferiores aos do limite de resistência FLUÊNCIA EM POLÍMEROS Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 33 12 Fluência Vários estudos têm sido realizados com o objetivo de avaliar o comportamento de materiais cerâmicos sob condições de fluência tensões de compressão em temperaturas elevadas observase comportamento similar aos encontrados para os metais para níveis de temperaturas mais elevadas FLUÊNCIA EM CERÂMICAS Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 34 12 Fluência MATERIAIS PARA APLICAÇÕES EM ALTAS TEMPERATURAS ESTRUTURAS COMPLEXAS multicomponentes e multifásicos Aços inoxidáveis Cr 11peso Superligas à Base de Ferro Superligas à Base de Cobalto Superligas à Base de Níquel Ligas Refratárias à Base de Nióbio Molibdênio Tungstênio Titânio Tântalo ou Cromo Temperatura de fusão 2000oC altos valores de E dureza e resistência à corrosão e limitada resistência à oxidação tanto à temperatura ambiente quanto em temperaturas elevadas Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 35 12 Fluência Ligas para alta temperatura e resistentes à corrosão Os três critérios básicos para a seleção de uma liga aplicável a um dada temperatura são Resistência à fluência Resistência à corrosão e oxidação Estabilidade da sua estrutura metalúrgica Aços inoxidáveis resultado da adsorção do oxigênio deslocando o aço de uma posição anódica para uma posição catódica dentro da fila de tensões eletrolíticas aço tornouse apassivado Caráter apassivo não é característico dos aços ao carbono ou baixa liga só aparece pela adição de determinados elementos de liga e acima de certo valor Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 36 12 Fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 37 12 Fluência Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 38 12 Fluência Exemplo 1 Utilizandose os dados de comportamento à fluência da figura ao lado pode se fazer uma previsão do tempo de ruptura de um componente fabricado com uma liga à base de ferro para altas temperaturas quando submetido a uma tensão de 300 MPa e a uma temperatura de 873 K A figura indica que para uma tensão de 300 MPa o parâmetro de LarsonMiller é 207x103 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 39 20700 T C log 𝑡𝑟 20700 873 20 log 𝑡𝑟 20700 873 20 log 𝑡𝑟 3711 log 𝑡𝑟 𝑡𝑟 5144 horas Mecânica dos Sólidos 13 Fadiga 13 Fadiga Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 131 Introdução 132 Padrão de resistência a fadiga para flexão de peças rotativas Sn 133 Resistência à fadiga para o carregamento axial alternado e de flexão alternada 134 Resistência à fadiga para carregamento torcional alternado 135 Resistência à fadiga para o caso de carregamento bidimensional alternado 136 Influência do acabamento superficial e das dimensões na resistência à fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 131 Introdução Fadiga é a ruptura de componentes sob uma carga bem inferior à carga máxima suportada pelo material devido a solicitações cíclicas repetidas Os aparelhos de ensaio de fadiga são constituídos por um sistema de aplicação de cargas que permite alterar a intensidade e o sentido do esforço e por um contador de número de ciclos 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 13 Fadiga A fratura por fadiga é típica geralmente apresentase fibrosa na região da propagação da trinca e cristalina na região da ruptura repentina MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 1311 Tensões cíclicas São esforços que se repetem com regularidade 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 A tensão cíclica mais comum é caracterizada por uma função senoidal onde os valores de tensão são representados no eixo das ordenadas e o número de ciclos no eixo das abscissas 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 As tensões de tração são representadas como positivas e as tensões de compressão como negativas 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 Fatores que influenciam a resistência à fadiga Acabamento da superfície irregularidades provocam concentração de tensões Defeitos superficiais causados por polimento Pode gerar queima superficial de carbono nos aços recozimento superficial e trincas 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 Tratamentos superficiais Cromeação niquelação diminui a resistência à fadiga Introduz grandes mudanças nas tensões residuais Geram porosidade ao metal Endurecedor aumenta a resistência à fadiga Encruamento aumenta a resistência à fadiga 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 Meio ambiente Ação corrosiva do ambiente acelera a velocidade de propagação da trinca Forma Concentração de tensões diminui a resistência a fadiga 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 Considerações de projeto Selecionar materiais de acordo com o ciclo de tensões Tensões cíclicas baixas materiais de alta ductilidade Tensões cíclicas elevadas materiais com elevada resistência mecânica 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 Fadiga em Fuselagem Pressurizaçãodespressurização 89000 ciclos de decolagempouso 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 Características gerais do processo de fadiga É a ruptura de um componente pela propagação de uma fissura gerada pela aplicação de tensões cíclicas 90 das rupturas em peças móveis em serviço relacionamse com fadiga Esse processo ocorre em 3 etapas 1Nucleação de uma fissura em alguma irregularidade ponto de concentração de tensões 2 Propagação da fissura 3 Ruptura catastrófica quando se atinge o KIc do material 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 Extrusões e intrusões em uma chapa de cobre solicitada por esforços cíclicos durante a etapa de nucleação da fissura Extrusões e intrusões Aspecto 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 Zonas típicas de uma fratura por fadiga e fissura na etapa de propagação 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 Zonas típicas de uma fratura por fadiga e fissura na etapa de propagação 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 Pontos nucleadores de fissura por fadiga 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 Iniciamse em irregularidades em geral superficiais onde pela concentração de tensões ocorre deformação plástica localizada com movimentos atômicos nos planos de deslizamento Na tensão máxima ocorrem as saliências Na tensão mínima ocorrem as reentrâncias Uma fissura aparece nesse local depois de repetidas saliências e reentrâncias Mecanismo de nucleação das fissuras 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 Como identificar uma ruptura causada por fadiga Presença de duas zonas uma lisa e outra rugosa lisa relacionada a propagação da fissura e a rugosa a ruptura catastrófica final 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 19 Presença de marcas de praia Pode aparecer na região da ruptura as marcas de praia Essa marca aparece cada vez que o equipamento é desligado enquanto a fissura propaga 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 Marcas de praia na zona escura onde houve a propagação da fissura por fadiga em braço de eixo manivela de alumínio Parte clara ruptura final catastrófica 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 21 Marcas de praia em um eixo rompido por fadiga 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 22 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 25 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 Presença das estrias Quando se observa a região da zona da fratura onde houve propagação estável da fissura por fadiga zona macroscópica lisa com grande aumento em MEV ou MET microscópio eletrônico de varredura transmissão podese ver o avanço unitário da fissura sob o efeito de cada ciclo de carga Essas linhas chamam se de estrias 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 Cada estria está associada a um ciclo de carga 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 Caso a eixo em rotação por exemplo Caso b mola predominantemente em tração por exemplo Caso c asa de um avião em vôo por exemplo Intervalo da tensão cíclica maxmin Amplitude da tensão cíclica a maxmin2 Tensão média m maxmin2 Razão de tensão R minmax onde max e min são os máximos e mínimos níveis de tensões respectivamente Tensões de compressão são negativas e de tração são positivas 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 1312 Corpos de prova O corpo de prova deve ser usinado e ter bom acabamento superficial para não prejudicar os resultados do ensaio 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 A ruptura por fadiga começa a partir de uma trinca nucleação ou pequena falha superficial que se propaga ampliando seu tamanho devido às solicitações cíclicas Quando a trinca aumenta de tamanho o suficiente para que o restante do material não suporte mais o esforço que está sendo aplicado a peça se rompe repentinamente 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 Para o alumínio cobre magnésio e suas ligas devese levar o ensaio a até 50 milhões de ciclos e em alguns casos a até 500 milhões de ciclos para neste número definir a resistência à fadiga 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 32 1313 Máquina de Ensaio de Fadiga a Corpo de prova padronizado de aços 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 33 Máquina de Ensaio de Fadiga Flexão rotativa 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 34 132 Padrão de resistência a fadiga para flexão de peças rotativas Sn A região central é sujeita a flexão pura sem cisalhamento A tensão em qualquer ponto se desenvolve de forma cíclica entre tração compressão e novamente tração para cada rotação do eixo Através de ensaios é possível obter o comportamento dos materiais para diferenciar situações de trabalho 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 35 b Máquina de Ensaio de Fadiga em Molas 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 36 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 37 Curva SN Os resultados do ensaio de fadiga geralmente são apresentados numa curva tensãonúmero de ciclos ou simplesmente curva SN O S vem da palavra inglesa stress que quer dizer tensão e N representa o número de ciclos 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 38 Curva SN 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 39 133 Resistência à fadiga para o carregamento axial alternado e de flexão alternada Simulação anterior mas sem sofrer rotação Uma das extremidades é fixa e a outra está sujeita a uma carga vertical para cima e para baixo Diferese do método com rotação pelo fato de as tensões máximas atuarem exclusivamente nas regiões superior e inferior do corpo de prova Na rotação o esforço está em todas as partes da peça No caso de flexão existe uma probabilidade de que o ponto mais fraco não esteja na região superior ou inferior da peça Por isto existe uma diferença entre os dois ensaios 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 40 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 41 134 Resistência à fadiga para carregamento torcional alternado Para materiais dúcteis o limite de resistência a fadiga no caso de torção alternada é igual a aproximadamente 58 do limite de resistência à fadiga no caso de flexão alternada No caso do cisalhamento temos Sus 08 Su Para aço Sus 07 Su Para outros metais dúcteis 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 42 135 Resistência à fadiga para o caso de carregamento bidimensional alternado Para as resistência à fadiga referente aos materiais dúcteis e frágeis não há uma situação confortável para a predição da resistência à fadiga sem que se disponha de dados experimentais diretamente aplicáveis Recomendase Para materiais dúcteis utilizar a teoria da distorção máxima em seguida relacionar com a curva SN Para matérias frágeis utilizar a teoria de Mohr 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 43 136 Influência do acabamento superficial e das dimensões na resistência à fadiga Até o presente momento o acabamento superficial foi considerado acabamento espelhado Tal acabamento é considerado sem arranhões superficiais ou outras irregularidades geométricas sem quaisquer diferenças de caráter metalúrgico na camada superficial ou interior sem quaisquer tensões residuais A resistência superficial é adicionada ao cálculo multiplicando o Sn por um fator Cs Abaixo de 103 ciclos não é necessário pois a resistência é próxima ao valor estático A tabela a seguir mostra os Fatores generalizados de resistência à fadiga para materiais dúcteis curvas SN 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 44 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 45 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 46 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 47 Ferros fundidos Sn106 04 Su Ligas de Alumínio podese assumir um limite de resistência à fadiga em 5108 ciclos estimado por Snn5108 04Su Su 325 MPa ou Sn5108 130MPa Su 325MPa ligas de Cobre Sn108 025 a 050 Su ligas de Níquel Sn108 035 a 05 Su ligas de Titânio Sn106 a 107 045 a 065 Su 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 48 Material de referência Livros Juvinal Robert C Projeto de Componentes de Máquinas Beer Ferndinand P Resistência dos Materiais Rosa Edison da Análise de Resistência Mecânica de Peças e Componentes estruturais Mecânica da Fratura e Fadiga Vídeos Telecurso 2000 Ensaios de Materiais 15 Ensaios de Fadiga Máquinas de ensaios de fadiga específicos httpswwwyoutubecomwatchv1wuCgCIm3wI httpswwwyoutubecomwatchvmO1ZwKaMNmA httpswwwyoutubecomwatchvqLB7d6XrPvA 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 49 Exemplo 1 Selecione uma liga forjada de titânio a partir do Apêndice C16 cujo limite de resistência à fadiga por flexão com rotação pelo ensaiopadrão de R R Moore em corposdeprova seja superior a 28 ksi e cuja resistência ao escoamento seja superior a 50 ksi 13 Fadiga Problema 81P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 50 Conhecido O apêndice C16 página 475 Juvinal fornece várias ligas de titânio forjado Procura Selecionar uma liga forjada de titânio cujo limite de resistência à fadiga por flexão com rotação pelo ensaiopadrão de R R Moore em corposdeprova seja superior a 28 ksi e cuja resistência ao escoamento seja superior a 50 ksi Suposição Nós assumimos que o limite de resistência à flexão rotativa para uma amostra de teste polida é dado por Sn 045 Su Decisão Selecionar Ti 65A Análise 1 Do apêndice C16 Ti 65A tem resistência ao escoamento de 55 ksi superior a 50 ksi 2 Do apêndice C16 Ti 65A tem resistência à tração de 65 ksi Sistema de unidades americano Sn 045 65 2925 ksi Comentários O limite de resistência do Ti 65A de 2925 ksi é superior a 28 ksi Sistema internacional de medidas Su 193 MPa e Sy 345 MPa Ti 65A Su 448 MPa e Sy 379 MPa Sn 045 448 2016 MPa Comentários O limite de resistência do Ti 65A de 2016 MPa é superior a 193 MPa 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 51 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 52 Exemplo 2 A partir do Apêndice C3a selecione um ferro fundido cinzento cujo limite de resistência à fadiga por flexão com rotação pelo ensaiopadrão de R R Moore em corposdeprova esteja entre 95 e 110 MPa 13 Fadiga Problema 82P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 53 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 54 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 55 Exemplo 3 Selecione um aço normalizado a partir do Apêndice C4a cujo limite de resistência à fadiga por flexão com rotação pelo ensaiopadrão de R R Moore em corposdeprova seja superior a 72 ksi 81D 13 Fadiga Problema 83P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 56 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 57 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 58 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 59 Exemplo 4 Selecione um aço normalizado cuja resistência à fadiga a 103 ciclos por flexão com rotação pelo ensaiopadrão de R R Moore em corposdeprova seja superior a 130 ksi 82D 13 Fadiga Problema 84P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 60 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 61 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 62 Exemplo 5 Estime o limite de resistência à fadiga por flexão com rotação e também a resistência à fadiga a 103 pelo ensaiopadrão de R R Moore em corpos deprova fabricados de aços com durezas Brinell de 100 300 e 500 13 Fadiga Problema 85P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 63 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 64 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 65 Exemplo 6 Estime a resistência à fadiga para vida infinita por flexão com rotação esclareça se corresponde a 108 ou 5 x 108 ciclos pelo ensaiopadrão de R R Moore em corposdeprova fabricados de a alumínio forjado com Su 250 MPa b alumínio forjado com Su 450 MPa c alumínio fundido de grau médio d magnésio forjado de grau médio 13 Fadiga Problema 86P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 66 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 67 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 68 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 69 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 70 Exemplo 7 Três corposdeprova de R R Moore são fabricados de aço com limites de resistência de 95 185 e 240 ksi Estime a resistência à fadiga a 103 ciclos para flexão com rotação e também o limite de resistência à fadiga por flexão para cada um desses aços 13 Fadiga Problema 87P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 71 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 72 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 73 Exemplo 8 Corposdeprova padronizados de R R Moore são fabricados de a alumínio forjado com Su 29 ksi b alumínio forjado com Su 73 ksi c alumínio fundido de alto grau e d magnésio forjado de alto grau Estime a resistência à fadiga para vida infinita por flexão com rotação esclareça se corresponde a 108ou 5 x 108 ciclos de cada um desses materiais 13 Fadiga Problema 88P JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 74 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 75 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 76 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 77 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 78 Exemplo 9 Estime a resistência à fadiga referente a uma vida de 2 X 105 ciclos para uma barra com 25 mm de diâmetro sujeita a um carregamento axial alternado A barra é fabricada de um aço com Su 950 MPa Sy 600 MPa e possui uma superfície laminada a quente 13 Fadiga Problema 819 JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 79 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 80 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 81 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 82 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 83 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 84 𝑆 𝑛 𝑙𝑜𝑔1 𝑙𝑜𝑔103 𝑙𝑜𝑔106 6 𝑙𝑜𝑔 𝑛 6 3 𝑙𝑜𝑔106 Ou 𝑆 𝑛 𝑙𝑜𝑔1 𝑙𝑜𝑔𝑆𝑓 𝑙𝑜𝑔𝑆𝑛 6 𝑙𝑜𝑔 𝑛 6 3 𝑙𝑜𝑔𝑆𝑛 𝑆 𝑛 𝑙𝑜𝑔1 𝑙𝑜𝑔 7125 𝑙𝑜𝑔 1805 6 𝑙𝑜𝑔 200000 6 3 𝑙𝑜𝑔 1805 𝑆 𝑛 24855 MPa 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 85 Exercício de avaliação 17 Exemplo 10 Considere uma barra de aço com 35 in de diâmetro tendo Su 97 ksi e superfícies usinadas Estime sua resistência à fadiga para 1 106 ou mais ciclos e 2 5 X 104 ciclos admitindo um carregamento a de flexão b de cargas axiais e c torcional 13 Fadiga Problema 820 JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 86 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 87 13 Fadiga 065 08 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 88 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 89 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 90 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 91 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 92 13 Fadiga 𝑆 𝑛 𝑙𝑜𝑔1 𝑙𝑜𝑔 873 𝑙𝑜𝑔 2949 6 𝑙𝑜𝑔 50000 6 3 𝑙𝑜𝑔 2949 𝑆 𝑛 4721 Ksi Flexão 𝑆 𝑛 𝑙𝑜𝑔1 𝑙𝑜𝑔 7275 𝑙𝑜𝑔 258 6 𝑙𝑜𝑔 50000 6 3 𝑙𝑜𝑔 258 𝑆 𝑛 4044 Ksi Axial 𝑆 𝑛 𝑙𝑜𝑔1 𝑙𝑜𝑔 6984 𝑙𝑜𝑔 171 6 𝑙𝑜𝑔 50000 6 3 𝑙𝑜𝑔 171 𝑆 𝑛 3147 Ksi Torção MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 93 Exemplo 11 Quando em uso o eixo mostrado na Figura P827 fica sujeito a uma torção completamente alternada O eixo é usinado a partir de uma barra de aço com dureza de 150 Bhn Com um fator de segurança de 2 estime o valor do torque alternado que pode ser aplicado sem causar uma eventual falha por fadiga 13 Fadiga Problema 827 JUVINAL 4ªed Pg 190 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 94 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 95 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 96 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 97 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 98 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 99 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 100 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 101 Exemplo 12 A Figura P828 mostra 1 uma barra sem entalhe e 2 uma barra com entalhe de mesma seção transversal mínima Ambas as barras foram usinadas a partir do aço normalizado AISI 1050 Para cada uma das barras estime a O valor da carga trativa estática P que causa uma fratura b O valor da carga axial alternada P que colocaria as barras na iminência de uma eventual falha por fadiga após cerca de 1 a 5 milhões de ciclos 13 Fadiga Problema 828 JUVINAL 4ªed Pg 191 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 102 7481X106 217 Hb 6895500 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 103 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 104 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 105 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 106 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 107 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 108 13 Fadiga Exercício de avaliação 17 Exemplo 13 A Figura P841 mostra um eixo de seção circular e o perfil de flutuação do torque a que ele é submetido O material é um aço com Su 162 ksi e Sy 138 ksi Todas as superfícies críticas são retificadas Estime o fator de segurança para uma vida infinita contra fadiga em relação a a uma sobrecarga que aumenta tanto o torque médio quanto o alternado do mesmo fator b uma sobrecarga que aumenta apenas o torque alternado Problema 841P JUVINAL 4ªed Pg 192 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 109 13 Fadiga Fig 435 𝜏𝑎 𝑟𝑆𝑛𝑆𝑢𝑠 𝑟𝑆𝑢𝑠 𝑆𝑛 𝜏𝑚 𝜏𝑎 𝑟 𝑏 tan 𝛼 𝑠𝑢𝑠 𝜏𝑚 α 𝛼 tan1 𝑆𝑛 𝑆𝑢𝑠 Ponto a 𝑏 𝑆𝑛 𝑆𝑢𝑠 𝜏𝑚 𝑆𝑢𝑠 Ponto b MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 110 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 111 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 112 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 113 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 114 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 115 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 116 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 117 13 Fadiga MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 118 MMecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 119 13 Fadiga Mecânica dos Sólidos 14 Fratura FAHOR 55 35377750 Unidade Campus Arnoldo Schneider Avenida dos Ipês 565 Unidade Centro Rua Buricá 725 Horizontina RS wwwfahorcombr 14 Fratura Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula 141 Introdução 142 Características Gerais da Mecânica da Fratura 143 Concentradoras de tensão 144 Efeitos da trinca na resistência do material Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 2 Material de referência Livros Juvinal Robert C Projeto de Componentes de Máquinas Beer Ferndinand P Resistência dos Materiais Rosa Edison da Análise de Resistência Mecânica de Peças e Componentes estruturais Mecânica da Fratura e Fadiga 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 3 51 Introdução Sob o ponto de vista microscópico a falha de uma estrutura se dá de acordo com a seguinte sequência acúmulo de danos iniciação de uma ou mais trincas propagação de trinca fratura do material A Mecânica da Fratura consiste numa parte da Engenharia que tem como objetivo promover respostas quantitativas para problemas específicos relacionados com a presença de trincas nas estruturas 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 4 2 as falhas mecânicas são causadas primariamente pelas tensões atuantes elas podem ser globais como na flambagem ou no colapso plástico ou locais como na fadiga ou na fratura ao contrário das globais falhas locais são sensíveis a detalhes como furos e riscos que concentrem as tensões no ponto crítico e são progressivas vão se propagando aos poucos ooops 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 5 Mecânica da Fratura É a área do conhecimento responsável pelo estudo dos efeitos decorrentes da existência de defeitos e trincas em materiais utilizados na fabricação de componentes e estruturas Conhecimentos Ciência dos Materiais Resistência dos Materiais Análise Estrutural Metalurgia Mecânica da Fratura Mecânica Aplicada Engenharia Ciência dos Materiais APLICAÇÕES TESTES PLASTICIDADE PROCESSO DE FRATURA FRATURA 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 6 1 Aproximação Convencional TENSÃO Tensão de Escoamento Tensão de Ruptura Não há consideração de defeito no material 2 Mecânica da Fratura TENSÃO Tamanho do Defeito Tenacidade à Fratura O defeito é considerado 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 7 52 Características Gerais da Mecânica da Fratura Falha numa Estrutura Considerase que uma estrutura ou uma parte dela FALHA quando acontece uma das condições Quando fica totalmente inutilizada Quando ela ainda pode ser utilizada mas não é capaz de desempenhar a função satisfatoriamente Quando uma deterioração séria a torna insegura para continuar a ser utilizada 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 8 Porque uma estrutura falha Negligência durante o projeto a construção ou a operação da estrutura aplicação de um novo projeto ou de um novo material que vem a produzir um inesperado e indesejável resultado O processo da falha Sob o ponto de vista microscópico a falha se dá de acordo com a seguinte sequência acúmulo de danos iniciação das trincas propagação de trinca Fratura do Material 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 9 Mecânica da Fratura Propriedades do Material KIC JIC Comprimento da Trinca a Tensões Triângulo da Mecânica da Fratura 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 10 Pouso Bem Sucedido de um 737 que Perdeu o Teto Durante o Vôo Devido à uma Falha por Fadiga após mais de 32 mil decolagens Exemplos de fraturas 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 11 DC9 Fraturado Durante um Pouso Normal notar que os pneus não estão furados nem os trens de pouso estão quebrados logo a falha não pode ser debitada à barbeiragem do piloto 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 12 Navio Quebrado em Dois no Porto em 1972 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 13 Vaso de Pressão Fraturado Durante o Teste Hidrostático 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 14 Ponte sobre o Rio Ohio em Point Pleasant WVirginia USA similar à ponte Hercílio Luz em Florianópolis SC 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 15 Restos da Ponte Após a Falha com 46 mortes Causada por uma Pequena Trinca que Levou 50 anos para Ficar Instável EP de Deus 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 16 httpsptwikipediaorgwikiPontedeTacomaNarrows Colapso da Ponte Tacoma Narrows Ano 1940 Bing video 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 17 143 Concentradoras de tensão Placa finita com furo elíptico central com curvatura r a2c 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 18 Comportamento da ponta de uma trinca em materiais reais Uma tensão infinita não pode ocorrer em materiais reais Se a carga aplicada não for muito alta o material pode acomodar a presença de uma trinca inicialmente aguda reduzindo a tensão infinita teórica a um valor finito 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 20 144 Efeitos da trinca na resistência do material Se a carga aplicada a um membro trincado é alta trinca pode crescer subitamente e levar à fratura frágil Fator de intensificação de tensão K caracteriza a severidade da situação da trinca em termos de tamanho da trinca tensão e geometria Para a definição de K o material é considerado elástico linear MFEL 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 23 Efeitos da trinca na resistência do material Para que um material possa resistir à presença de uma trinca K deve ser menor que uma propriedade do material denominada tenacidade à fratura KCResistencia a fratura ou fator crítico de intensidade de tensão Valores de KC variam bastante para diferentes materiais e são afetados pela temperatura e pela taxa de aplicação do carregamento também pela espessura do membro analisado A relação KC K temse um fator de segurança Sg Modo I Cargas de Tração KIC KI Modo II Cargas de cisalhamento 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 24 Efeitos da trinca na resistência do material Desta forma podese concluir que para um dado material e sob mesma temperatura e taxa de aplicação de carregamento trincas mais longas têm um efeito mais severo na resistência do material do que trincas curtas 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 26 Placas finas Para esta geometria K pode ser definido pela equação 𝐾𝐼 𝐾0 𝜎 𝜋 𝑐 𝜎𝑔 𝜋 𝑐 177 𝑐 𝜎𝑔 Para um dado comprimento de trinca c e para um material com tenacidade KIc conhecido o valor crítico da tensão que pode ser aplicada remotamente é igual a 𝜎𝑔 𝐾𝐼𝑐 𝜋 𝑐 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 27 Para geometrias distintas daquela de uma trinca central presente em uma pequena fração da largura da placa trinca central em uma lâmina infinita um fator de configuração Y é introduzido de forma a considerar a condição particular de geometria e carregamento Por exemplo com uma trinca ocorrendo no bordo de uma placa como a configuração pode ser aplicada com um pequeno aumento no valor da constante Assim o critério de falha para a placa mostrada na torna aproximadamente 𝐾𝐼𝑐 𝜎 𝑌 𝜋 𝑐 20 𝑐 𝜎𝑔 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 28 Propriedades de Resistência das Placas Espessas de 1 in Valores de KIc fator Critico de Intensidade de Tensão 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 29 Exemplo 1 Uma placa fina com largura de 2w e espessura t é fabricada com um determinado material Ela possui uma resistência a fadiga K Essa placa é utilizada em um componente de avião que será inspecionado periodicamente em relação ao aparecimento de trincas Estime a maior carga P que pode ser aplicada sem causar uma fratura súbita quando é constatado o aparecimento de uma trinca central com comprimento 2c Problema Resolvido 61 JUVINAL 4ªed pg 129 14 Fratura Hipóteses 1 O escoamento ocorreu em uma pequena região do material na ponta da trinca 2 A propagação da trinca até a condição de fratura total ocorre instantaneamente quando o valorlimite do fator de intensidade de tensão Kic se torna igual ou superior à resistência à fratura K do material 3 A tensão de tração baseada na área resistente área total menos a área da trinca é menor do que a tensão de escoamento 4 A trinca corresponde a uma pequena fração da largura da placa Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 30 𝜎𝑔 𝐾𝐼𝑐 𝜋 𝑐 29669 31415 00127 14853 𝑀𝑃𝑎 𝑃 𝜎𝑔 2𝑤 𝑡 14853 1524 1524 34500 𝑁 𝜎 𝑃 𝐴 𝑃 𝑡 2𝑤 2𝑐 34500 1524 1524 254 17824 𝑀𝑃𝑎 O restante da Seção irá resistir porque 17824 é menor que 48265 s sy Tensão de tração atuante na seção completa em função da trinca Tensão atuante na área resistente Máxima carga P que a chapa irá resistir com a presença da trinca 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 31 Placas espessas Para esta geometria K pode ser definido pela equação 𝐾𝐼 𝐾 𝜎𝑔 𝑎 039 0053𝜎𝑔 𝑆𝑦2 𝑆𝑒 𝑤 𝑐 3 2𝑤 𝑡 6 𝑎 2𝑐 025 𝑎 𝑡 05 𝜎𝑔 𝑆𝑦 08 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 32 Exemplo 2 Uma placa espessa é carregada sob tração até uma determinada tensão atuante na área completa A placa possui trinca central perpendicular a direção da carga aplicada Determine a profundidade da trinca 14 Fratura Problema Resolvido 62 JUVINAL 4ªed pg 130 Hipóteses 1 A temperatura é de 70F temperatura ambiente 2 A fratura ocorre quando os valores do fator de intensidade de tensão K excederem KIc Comentários 1 A Eq Da figura 64 é apropriada se 2wt 6 a2c 025 wc 3 at 05 e gSy 08 2 Para este problema 2wt 6 a2c 025 wc 75 acrt 020 e g 073Sy 3 Um importante requisito do projeto de componentes pressurizados internamente é que a trinca seja capaz de se propagar através de toda a espessura da parede e portanto causar um vazamento que possa ser prontamente detectado sem se tomar instável e levar o componente a uma condição de fratura total Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 33 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 34 Exemplo 3 Uma chapa fina com uma trinca central de 508 mm fratura quando carregada a 51675 MPa Determine a carga de fratura para uma chapa similar que contenha uma trinca de 1016 mm 14 Fratura Problema 61 JUVINAL 4ªed pg 145 Hipóteses 1 O comprimento da trinca é uma fração pequena da largura da placa 2 O esforço de tração baseado na área da rede menos a área da trinca é menor do que a força de elasticidade 3 Ocorreu dentro de um pequeno volume do material na raiz da trinca 4 A propagação da trinca para a fratura total ocorre instantaneamente quando o valor limite do fator de intensidade de tensão KI é igual ou excede a resistência à fratura K para o material 5 A chapa fina contém uma calha central de espessura sujeita a uma carga de tensão aniaxial uniforme 6 A trinca central é orientada perpendicular à direção da carga de tração Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 35 Analise 1 Com a chapa fina nós não temos efeito da geometria e Y 1 ou K Kic 2 Temos 𝜎𝑔 51675 MPa e c 00254m 3 Usando a equação 62 temos 4 Tendo estabelecido esse valor crítico temos a trinca na chapa fina com 10126 usando a equação 62 5 A resposta é a tensão crítica de 36539 MPa 6 Comentário Desconhecese a tensão PA baseado na área útil t2w 2c é menor do que o Sy uma vez que a força de produção do material não é conhecida 𝐾𝐼𝑐 𝜎𝑔 𝜋 𝑐 51675 31415 00254 14597 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎𝑔 𝐾𝐼𝑐 𝜋 𝑐 14597 31415 00508 36539 𝑀𝑃𝑎 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 36 Exemplo 4 Uma grande chapa retangular com uma trinca central de 254 mm fratura quando carregada a 5512 MPa Determine a carga de fratura para uma chapa que contenha uma trinca de 4445 mm Hipóteses 1 O comprimento da trinca é uma fração pequena da largura da placa 2 O esforço de tração baseado na área da rede menos a área da trinca é menor do que a força de elasticidade 3 Ocorreu dentro de um pequeno volume do material na raiz da trinca 4 A propagação da trinca para a fratura total ocorre instantaneamente quando o valor limite do fator de intensidade de tensão KI é igual ou excede a resistência à fratura K para o material 62 14 Fratura Problema 62 JUVINAL 4ªed pg 145 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 37 Analise 1 Com a chapa fina nós não temos efeito da geometria e Y 1 ou K Kic 2 Temos 𝜎𝑔 5512 MPa e c 00254mm 3 Usando a equação 62 temos 4 Tendo estabelecido esse valor crítico temos a trinca na chapa fina com 10126 usando a equação 62 5 A resposta é a tensão crítica de 41667 MPa 6 Desde que a área é igual a 2wt P 𝛔𝐠 2w t 7 Desconhecese a tensão PA baseado na área útil t2w 2c é menor do que o Sy uma vez que a força de produção do material não é conhecida 𝐾𝐼𝑐 𝜎𝑔 𝜋 𝑐 5512 31415 00127 1100 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎𝑔 𝐾𝐼𝑐 𝜋 𝑐 110 31415 0022225 41667 𝑀𝑃𝑎 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 38 Exemplo 5 Uma grande chapa possui uma trinca de bordo cujo comprimento é de 4445 mm A chapa fratura quando carregada a 586075 MPa Determine a carga de fratura para uma chapa similar que contenha uma trinca de 66675 mm Hipóteses 1 O comprimento da trinca é uma fração pequena da largura da placa 2 O esforço de tração baseado na área da rede menos a área da trinca é menor do que a força de elasticidade 3 O rendimento ocorreu dentro de um pequeno volume do material na raiz da trinca 4 A propagação da trinca para a fratura total ocorre instantaneamente quando o valor limite do fator de intensidade de tensão KI é igual ou excede a resistência à fratura K para o material 63 14 Fratura Problema 63 JUVINAL 4ªed pg 145 Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 39 Analise 1 Com a chapa fina com trinca de bordo nós temos efeito da geometria e Y 1 ou K Kic 2 Temos 𝜎𝑔 586075 MPa e c 004445mm 3 Usando a equação 63 temos 4 Tendo estabelecido esse valor crítico temos a trinca na chapa fina com 10126 usando a equação 62 5 A resposta é a tensão crítica de 4785 MPa 6 Desde que a área é igual a 2wt P 𝛔𝐠 2w t 7 Desconhecese a tensão PA baseado na área útil t2w 2c é menor do que o Sy uma vez que a força de produção do material não é conhecida 𝐾𝐼𝑐 𝜎𝑔 2 𝑐 586075 20 004445 24711 𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝜎𝑔 𝐾𝐼𝑐 𝜋 𝑐 24711 20 0066675 4785 𝑀𝑃𝑎 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 40 modo II deslizamento ou cisalhamento modo III rasgamento modo I abertura mais comum Modos de Deslocamento da Superfície de Fratura 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 41 G Taxa de Liberação de Energia de Deformação U U dU P L B da a P P v L v L a a da dU da dU B 1 G 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 42 G Taxa de Liberação de Energia de Deformação Griffith 1920 Toda Energia Potencial liberada é usada na criação de nova superfície livre nas faces de uma trinca Irwin 1949 Para materiais dúcteis como os metais a maior parte da energia liberada é usada para deformar o material na zona plástica da ponta da trinca 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 43 G Taxa de Liberação de Energia de Deformação III Método de Griffith Original E a da dU 2 2 G por unidade de espessura onde tensão superficial Método de Griffith Generalizado p da dU 2 G por unidade de espessura onde p termo associado à plasticidade do material para metais p para vidro e materiais frágeis p 0 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 44 Irwin Williams Westgaard 1957 Abordagem de Campo de tensões na ponta da trinca xy xx yy r x y K Fator de Intensificação de Tensão I 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 45 2 sen 2 sen3 cos 2 1 2 r KI xx 2 sen 2 sen3 cos 2 1 2 r KI yy 2 sen 2 cos 2 cos3 2 r KI xy yy xx zz 0 0 yz xz O campo de tensões na ponta da trinca é dado por 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 46 Quando houver uma combinação de modos de deslocamento agindo no componente como adicionamos as contribuições de cada modo 2 2 2 1 III II I total III II I total III II I total K E E K E K K K K K G G G G G Combinação de Modos de Deslocamento 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 47 A Fratura Envolve Comportamento de Fratura Frágil tenacidade definida por um único valor Dúctil tenacidade definida por curva R Comportamento de Deformação Elástico Linear MFEL ElastoPlástico MFEP Determina o parâmetro de fratura a ser usado 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 48 MFEL x MFEP MFEL Mecânica da Fratura Elástica Linear Este regime de deformação é caracterizado pela ausência ou pela presença de quantidade desprezível de plastificação na região da ponta da trinca Nesta situação a força motriz de crescimento da trinca é normalmente o fator de intensidade de tensões K Irwin 1957 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 49 MFEL x MFEP MFEP Mecânica da Fratura ElastoPlástica é aplicável para a análise de uma situação na qual a região plastificada existente na ponta da trinca já tem um tamanho considerável quando comparada com o ligamento remanescente integral J Rice 1968 mais utilizada para caracterização à fratura neste regime de deformação o material apresenta grande ductilidade característica de patamar superior 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 50 Griffith 1 2 2 E e a Esta equação mostra que a extensão da trinca para materiais idealmente frágeis é governada pelo produto da tensão aplicada remotamente e a raiz quadrada de a e pelas propriedades do material Materiais elásticos com uma trinca aguda é G a quantidade de energia disponível para crescimento da trinca ou taxa de liberação de energia elástica é R a energia superficial das superfícies da trinca ou resistência ao crescimento da trinca E a dA dU 2 da dU s 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 51 Irwin e Orowan A metodologia apresentada por Griffith é válida somente para sólidos idealmente frágeis Em seus estudos Griffith obteve boa concordância entre os valores obtidos pela equação de tensão de fratura e a resistência à fratura de vidros Esta metodologia subestimava a resistência à fratura nos metais Segundo Irwin 1948 e Orowan 1949 a Teoria de Griffith poderia ser aplicada para os metais desde que a energia superficial considerada incluísse a energia despendida na deformação plástica superficial s Logo s p s p s a E a E 1 2 2 Onde p energia despendida na deformação plástica superficial e p s Sob estas condições s p s a E 2 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 52 g Tensão de tração uniforme Sy Tensão resistente ao escoamento K Fator de intensidade de tensão KIc Fator crítico de intensidade de tensão Su Tensão última 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 53 JUVINAL 61 616 62 617 63 618 64 619 65 66 67 68 69 610 611 612 613 614 615 14 Fratura Mecânica dos Sólidos Curso de Engenharia Mecânica Faculdade de Horizontina Página 54