Calcul-Differentiel-Cours-TD-TA-MATH-Premiere-Annee-2022-2023

Analyse Théorique M Roche M Fouladirad G Chiavassa T Le Gouic JM Rossi F Schwander Document Cours TD et TA Code enseignement MATH 1ère année 20222023 Chapitre 1 Calcul différentiel Dans cette partie nous étudierons les outils de base du calcul différentiel permettant de généraliser la notion de dérivée pour les fonctions de plusieurs va riables Nous terminerons par des théorèmes permettant détudier les extrema de fonctions de IRn dans IR Le calcul différentiel intervient dans tous les domaines de la physique des mathématiques et de léconomie en particulier équations aux dérivées partielles minimisation dénergie optimisation etc Nous nous placerons uniquement en dimension finie dans ce cours Lobjectif est détudier la continuité et léquivalent de la dérivabilité pour les fonctions définies par f U IRp V IRq x1 xp f1x1 xp fqx1 xp 11 oéu U et V sont deux ouverts et p q deux entiers On notera également e1 ep resp e1 eq la base canonique de IRp resp de IRq 11 Rappels et définitions Les fonctions fi i 1 q définies par 11 sont appelées applications coordonnées On peut définir également les applications partielles de f Déefinition 1 f admet p applications partielles en a U a a1 ap notées faj pour j 1 p définies par 1 faj V0 IR V IRq t V0 fa1 aj1 aj t aj1 ap 12 Continuité et dérivabilité de f Cas p q 1 f est une fonction de IR dans IR on ne reviendra pas sur la définition de sa continuité en a et on définit sa dérivabilité à partir du taux daccroissement f est dérivable en a si la limite du taux f a définie par lim h0 fa h fa h f a existe et est finie De façon équivalente on peut lénoncer sous forme dun développement limité fa h fa h f a h rh avec lim h0 rh 0 Cas p 1 q 0 f U IR V IRq x f1x fqx 13 Continuité en a IR les applications coordonnées sont continues en a Dérivabilité en a IR les applications coordonnées sont dérivables en a Cas général Déefinition 2 f continue en a IRp toutes ses applications coordonnées fj sont continues en a Déefinition 3 f continue en a IRp toutes ses applications partielles faj sont continues en a 2 Attention la réciproque est fausse Exemple la fonction de IR2 IR définie par fx y xy x2y2 si x y 0 0 0 si x y 0 0 14 Déefinition 4 f admet une dérivée suivant le vecteur v en a si lim hIR0 fa hv fa h existe On la note alors Dvfa Cest un vecteur de IRq Cas particulier si v ej un vecteur de la base alors Dejfa f xj a Cette définition nest pas satisfaitsante pour définir la dérivabilité de f En effet lexistence de Dvfa pour tout vecteur v IRp nassure pas la continuité de f en a contrairement au cas classique p q 1 Cest le cas par exemple pour la fonction fx y xy2 x2y4 si x y 0 0 0 si x y 0 0 15 On va alors utiliser lapproche développement limité plutôt que celle basée sur le taux de variation et introduire la notion de différentielle de f Déefinition 5 la fonction f U IRp IRq est différentiable si et seulement si il existe une application linéaire L LIRp IRq telle que fa h fa Lh oh On utilise généralement les notations suivantes L dfa Lh dfah dfah Cette définition coïncide avec le développement pour le cas p q 1 avec dfa f a et dfah hf a Propriétés 1 si f est différentiable au point a alors elle est continue au point a 2 dfa est unique Exemples 3 1 si f est linéaire alors dfa f 2 si f est affine fX ϕX b avec ϕ linéaire alors dfa ϕ 3 si f est constante alors dfa 0 4 si p 1 q 0 alors dfa f a f 1a f qat On obtient également les relations suivantes avec les dérivées suivant un vecteur et les applications coordonnées Si f est différentiable en a alors f admet en a des dérivées suivant tout vecteur v et Dvfa dfav f différentiable au point a toutes ses applications coordonnées sont différentiables en a et dfah df1ah dfqaht Matrice jacobienne La différentielle dfa étant une application linéaire de IRp dans IRq elle peut être représentée dans leurs bases canoniques respectives par une matrice q lignes et p colonnes la colonne j correspondant aux composantes de dfaej sur la base canonique de IRq Daprés les définitions précédentes dfaej dfaej dfa1ej dfaqej Dejf1a Dejfqa f1 xj a fq xj a soit dfa f1 x1a f1 xpa fq x1a fq xpa qui est la matrice jacobienne de f en a souvent notée MJfa Le calcul de dfah dfah peut alors sécrire comme un produit matricevecteur dfah MJfa h avec h h1 hpt 4 Dans le cas particulier où q 1 donc dune fonction de IRp dans IR on a dfah i1 to p hi fxi a grad fa h avec grad fa fx1 a fxp at Différentielle composée soit f U IRp V IRq et g V IRq IRn telles que f est différentiable en a U et g différentiable en fa V alors gof est différentiable en a et dgofa dgfa o dfa On peut aussi lécrire matriciellement avec les jacobiennes MJgofa MJgfa MJfa Exemple calcul de dérivées partielles en polaire Différentielle dune application réciproque soit f une bijection de U IRp V IRq telle que f soit différentiable en a et f¹ différentiable en fa alors df¹fa dfa1 et necessairement p q Matriciellement on a alors MJf¹ MJf1 impliquant entre autre detMJf¹ 1detMJf Applications de classe C1 Définition 6 f U IRp V IRq est de classe C1U si sa différentielle df U LIRp IRq a dfa est continue f U IRp V IRq est de classe C1U ses dérivées partielles existent et sont continues Differentielles seconde On suppose ici que f est de classe C1U df est donc continue f est alors deux fois différentiable sur U si df est différentiable et lon pose d²fa ddfa On peut alors montrer le résultat suivant d²fa est une application bilinéaire symétrique de IRp IRp IRq Corollaire Théorème de Schwarz Si les dérivées partielles secondes de f existent et sont continues en a alors xk f xj a xj f xk a La différentielle seconde dune application de IRp IR q 1 de classe C2 est représentée par la matrice Hessienne Hfa Hfa ²f x1² a ²f x1 x2 a ²f x1 xp a ²f x2 x1 a ²f x2² a ²f xp x1 a ²f xp² a et d²fah k ht Hfa k avec h k IRp IRp Formule de Young à lordre 2 fa h fa dfah 12 d²fah h oh² Recherche dextrema On sintéresse aux fonctions f IRp IR On a le théorème suivant Condition suffisante si dfa 0 et si d2fa est une forme bilinéaire non dégénérée et positive resp négative alors f admet un minimum resp maxi mum strict en a d2fa nondégénérée d2fah k 0 si h k 0 0 d2fa positive d2fah h 0 h IRp Condition nécessaire si a est un minimum reps maximum local de f alors dfa 0 et d2fa est une forme bilinéaire positive resp négative Exemple recherche des extrema de Jx1 x2 x3 x3 1 x2 1 x2 2 x2 3 7 Travaux Dirigés Calcul différentiel Exercice 1 Calculer la différentielle des fonctions suivantes a f Rn Rn u u b f R2 R u v uv c f R2 R x y y expx d f R2 R u v cosuv e f MnR MnR A A2 Exercice 2 On considère les applications f et g définies par f R2 R3 x y x2y xy xy3 g R3 R2 x y z x y z xyz 1 Calculer la matrice jacobienne de f en a 1 1 2 Calculer la matrice jacobienne de g en fa 3 Calculer la matrice jacobienne de g f en a Exercice 3 Soit f R3 R définie par fx y z x2y3z5 Donner la matrice Hessienne de f au point 2 1 1 Exercice 4 On considère les applications f et g définies par f R2 R x y y3 1 2x2 xy y x g R2 R x y x4 y4 4xy Déterminer leurs extrema en précisant la nature de chacun Exercice 5 Soit f g U E F deux fonctions différentiables en a E où E et F sont deux espaces vectoriels Soit f g le produit scalaire de E Montrer que la fonction ϕ f g est différentiable en a et que dϕah dfah ga fa dgah 8 Exercice 6 Soit ɸ IRn 0 IR une fonction radiale cest à dire telle que ɸx1 xn gr avec r x1² xn² Calculez ɸxj ²ɸxj² puis ɸ Exercice 7 On munit lespace des matrices réelles n n dune norme matricielle ie A supx1 Ax étant une norme sur IRn 1 Montrer que si H 1 la matrice Id H est inversible et Id H1 k0 to Hk 2 Montrer que GLnIR est un ouvert de MnIR 3 Montrer que lapplication f GLnIR GLnIR définie par fA A1 est différentiable en Id et calculer sa différentielle 4 Montrer quelle est différentiable en A pour toute matrice A GLnIR et calculer sa différentielle Exercice 8 Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé O i j on considère les trois points A10 B10 et C01 et la fonction f IR2 IR définie par fM MA² MB² MC² pour M IR2 1 Vérifier que f se réécrit comme fxy 3x² 3y² 2y 3 en utilisant les coordonnées x y de M 2 Trouver le minimum de f sur IR2 Exercice 9 On considère les points Ai j k de coordonnées i j k où les entiers i j et k prennent les valeurs 0 et 1 Les points Ai j k sont les sommets du cube unité Soit la fonction D qui à un point M de coordonnées x y z associe la quantité DM i0 to 1 j0 to 1 k0 to 1 MAi j k² désigne la norme du vecteur MAi j k On cherche à calculer les éventuels extrema de D 1 Exprimer DM en fonction des coordonnées de M et de Aijk 2 Montrer que D nadmet quun point critique et le calculer 3 Montrer que D admet un minimum local en ce point 4 Calculer la valeur de D en ce point 10 Chapitre 2 Optimisation continue en dimension finie 21 Introduction En économie ingénierie biologie de nombreux problèmes se ramènent à un calcul de minimum ou de maximum dune certaine fonction On sintéresse dans ce chapitre à létude des minima dune fonction J les maxima de J correspondant aux minima de J Les prérequis sont le chapitre Calcul différentiel On se place ici dans IRn On se donne un sousensemble K sur lequel on va chercher le minimum de la fonction Lensemble K définit les contraintes du problème La fonction coût à minimiser sera notée J On étudie le problème de minimisation inf vKIRn Jv Définition 1 minimum local minimum global On dit que u est un minimum local de J sur K si u K et δ 0 v K v u δ Jv Ju On dit que u est un minimum global de J sur K si u K et v K Jv Ju Définition 2 infimum On appelle infimum de J sur K la borne supérieure dans IR des constantes qui minorent J sur K Si J nest pas minorée linfimum vaut Une suite minimisante de J dans K est une suite unnIN telle que un K n IN et lim n Jun inf vK Jv 11 22 Existence dun minimum 221 Une condition suffisante Théorème 3 Soient K un ensemble fermé non vide de IRn et J une fonction continue sur K à valeur dans IR tels que unnIN suite de K lim n un lim n Jun alors il existe au moins un minimum de J sur K 222 Analyse convexe Définition 4 fonction convexe On dit quune fonction J définie sur un en semble convexe K non vide est convexe si et seulement si Jθu 1 θv θJu 1 θJv u v K θ 0 1 21 J est strictement convexe si linégalité est stricte pour u v et θ 0 1 Théorème 5 Si J est une fonction convexe sur un ensemble convexe K 1 Tout minimum local de J sur K est un minimum global 2 Lensemble des points de minimum est convexe 3 Si de plus J est strictement convexe alors il existe au plus un point de minimum Exemple Soient b IRn et A MnIR On pose Jx 1 2Axx bx Si A est semidéfinie positive J est convexe Si A est définie positive J est strictement convexe 23 Calcul de minimum et conditions doptima lité Idée générale Sur un domaine ouvert une condition nécessaire pour que J admette un minimum en un point est que la différentielle de J sannule en ce point Sur un domaine compact la condition nécessaire sur la dérivée de J dépend du lien du minimum à lintérieur du compact ou sur le bord Par exemple si x0 est un minimum local de J sur a b IR alors Jx0 0 si x0 a Jx0 0 si x0 a b Jx0 0 si x0 b 22 12 Nous allons généraliser cette idée en dimension quelconque Pour J IRn IRn différentiable et x IRn on notera Jx le vecteur gradient de J en x ie lunique vecteur tel quel DxJh Jx h h IRn Définition 6 En tout point v K on appelle cône des directions admissibles en v lensemble Kv w IRn vm KN εm IRN limm vm v limm εm 0 et limm vm vεm w Kv est lensemble des vecteurs qui sont tangents à v en une courbe contenue dans K et qui passe par v Exemples K IR2 K0 K x y IR2 y x2 K0 Le théorème suivant donne une condition nécessaire doptimalité Théorème 7 Inéquation dEuler Soit u un minimum local de J sur K Si J est différentiable en u on a Ju w 0 w Kv Nous déclinons ce théorème dans les cas où K est donné par des contraintes de type égalité et inégalité 231 Contraintes de type égalité K v IRn Fv 0 où Fv F1v FMv CE Théorème 8 Soit u K donné par CE On suppose que J est différentiable en u et que les Fi sont continûment différentiables dans un voisinage de u On suppose de plus que les vecteurs Fiui1M sont linéairement indépendants Alors si u est un minimum local de J sur K il existe des multiplicateurs de Lagrange λ λ1 λ2 λM IRM tels que Ju Σi1M λi Fiu 0 Remarque Introduisons le Lagrangien du problème de minimisation de J sur K défini par L IRn IRM v μ Jv μFv Si u est un minimum local de J sur K le théorème nous dit que Lv u λ 0 Lμ u λ 0 25 On peut donc interpréter la contrainte et la condition doptimalité comme lannulation du gradient du Lagrangien 232 Contraintes de type inégalité K v IRn Fiv 0 i 1 M CI Dans ce cas le cône des directions admissibles est plus compliqué car toutes les contraintes ne jouent pas le même rôle selon le point v où lon calcule Kv Définition 9 Soit u K Lensemble Iu des i 1 M tels que Fiu 0 est appelée lensemble des contraintes actives en u Les autres contraintes sont appelées contraintes inactives Définition 10 Qualification On dit que les contraintes CI sont qualifiées en u K si w IRn tel que pour tout i Iu ou bien Fiu w 0 ou bien Fiu w 0 et Fi est affine Théorème 11 On suppose que K est donné par CI et que les contraintes F1 FM sont qualifiées en u Alors si u est un minimum local de J sur K il existe des multiplicateurs de Lagrange λ1 0 λM 0 tels que Ju Σi1M λi Fiu 0 λFu 0 26 A suivre en 3A parcours Digitale un cours doptimisation en dimension infinie Bibliographie 1 CIARLET PG Introduction à lanalyse matricielle et à loptimisation Masson 1989 2 CROUZEIX M MIGNOTAL Analyse numérique des équations diffé rentielles Masson 1989 3 DEMAILLY JP Analyse numérique des équations différentielles PUG 1991 4 LASCAUXP THEODORR Analyse numérique matricielle appliquée à lart de lingénieur Masson 1994 5 LIANDRATJ Analyse numérique élémentaire Cours polycopié ESM2 2002 6 LIANDRATJ Compléments danalyse numérique Cours polycopié ESM2 2002 7 SCHATZMANN M Analyse numérique Intereditions 1991 15 Travaux Dirigés Optimisation Exercice 10 Trouver les extrema de la fonctionnelle fx y z x 22 y2 z2 sous la contrainte x2 2y2 3z2 1 Exercice 11 Soit x y z IR3 on souhaite calculer les extrema de la fonc tionnelle fx y z x 2y sous les deux contraintes x y z 1 et y2 z2 4 1 Montrer que les gradients des contraintes sont linéairements indépendants sauf sur laxe Ox 2 En utilisant le théorème des multiplicateurs de Lagrange écrire le système permettant de trouver les solutions du problème doptimisation 3 En déduire les extrema et préciser si il sagit de maximum ou de minimum Exercice 12 Soit x y z IR3 Calculer si ils existent les extrema de la fonction Jx y z t 1 2x2 y2 z2 t2 sous les deux contraintes 2x y 5 et 3z t 10 Exercice 13 Déterminer les points x y tels que Jx y max x2y21 Jx y 27 où Jx y xy Exercice 14 On dispose dune surface S de carton pour construire une boite rectangulaire fermée x longueur y profondeur z hauteur Quelles valeurs de x y z permettent dobtenir la boite de volume V maximal Et quelle est la valeur de ce volume 16 Exercice 15 Lobjectif est de maximiser la fonction J IRn IR x x1 xn Σ1ijn xi xj sous la contrainte Σ1in xi 1 1 Pour n 2 expliciter J ainsi que lensemble des points vérifiant la contrainte Calculer le maximum de J et représenter graphiquement le résultat 2 On admet quune condition necessaire pour que x1 xn soit un maximum est quil existe un multiplicateur de Lagrange qui associé à x1 xn vérifie le systême de Lagrange Lécrire puis le résoudre 3 Montrer que lunique point x1 xn obtenu est le maximum recherché Exercice 16 Minimiser la fonction J de IR dans IR définie par Jx x2 sous la contrainte 2x 5 0 Exercice 17 On considère Fx y x2 y2 14x 6y 1 Déterminer les points de minimum de F sous les contraintes x y 2 2x y 3 2 Déterminer les points de minimum de F sous les contraintes x y 2 2x y 3 Exercice 18 Soit J IR2 IR lapplication définie par Jx y x y et K x y IR2 y x2 et y 4 On cherche à minimiser J sous la contrainte K 1 Résoudre le problème graphiquement 2 Résoudre le problème analytiquement Chapitre 3 Intégration de Lebesgue La théorie de lintégration de Lebesgue est une nouvelle méthode dintégration Elle se différencie de lintégration Riemann sur différents points que nous présenterons dans ce cours Cest aussi devenu loutil fondamental des probabilités et des statistiques modernes Lintégrale de Riemann se calcule par rapport à dx Ce dx est une notion de longueur dans le sens où pour a b ab 1dx b a longueurab Lintégrale de Lebesgue se calcule par rapport à une mesure μ de sorte que pour un ensemble A A 1dμ μA mesure de A 31 Tribus et mesures La mesure de certains ensembles semble difficile à définir Par exemple quelle est la longueur de lensemble Q 01 La définition de Riemann ne permet pas de définir la longueur de cette ensemble le vérifier alors que la théorie de Lebesgue le permettra Tous les ensembles pouvant être mesurés forment une tribu Définition 12 Tribu ou σalgèbre Soit Ω un espace On note PΩ lensemble des parties de Ω Un ensemble densembles A PΩ est appelé tribu ou σalgèbre sil vérifie les trois propriétés suivantes 1 ϕ A contient lensemble vide 2 A A Ac A stable par complémentaire 3 Ann1 A n1 An A stable par union dénombrable Le couple Ω A est appelé un espace mesurable Exercices 1 Soit A une tribu de Ω Montrer que Ω A et que A est stable par inter section dénombrable 2 Montrer que les ensembles suivants sont des tribus PΩ ϕ Ω A Ac ϕ Ω quelque soit A Ω 3 Montrer que si A et B sont des tribus de Ω alors AB est aussi une tribu de Ω Certaines tribus seront plus intéressantes que dautres La tribu la plus gros sière ϕ Ω napporte que peu dintérêt puisquelle ne définit comme seuls en sembles mesurables lensemble vide et Ω tout entier Pour pouvoir définir des ensembles plus intéressants on introduit les tribus engendrées Définition 13 Tribu engendrée Soient Ω un espace et A PΩ On ap pelle tribu engendrée par A la plus petite tribu contenant A On la note σA Exercice 20 Montrer que σA existe quelque soit A Nous travaillerons essentiellement sur des espaces topologiques tels que Rd Il existe alors une tribu naturelle à considérer cest la tribu borélienne Définition 14 Soit Ω T un espace topologique La tribu borélienne BΩ de cet espace est la tribu engendrée par les ouverts BΩ σT Exercices 1 Montrer que BR σa b a b Q 2 Montrer que 0 1 Q BR On peut montrer mais cest difficile que PR BR Les ensembles dont on pourra définir une mesure forment donc une tribu Définissons maintenant une mesure Définition 15 Mesure Soit Ω A un ensemble mesurable On appelle me sure positive sur Ω A une application µ de A à valeurs dans 0 telle que 1 µϕ 0 2 pour tout A B A tels que A B ϕ µA B µA µB 3 pour toute suite croissante Ann1 A limn µAn µn1An Le triplet Ω A µ est appelé un espace mesurée 19 Exercices 1 Montrer que pour tout AB A μA B μA μB 2 Montrer que pour Ann1 A μn1 An n1 μAn 3 Montrer que pour Ann1 A tels que les An sont deux à deux disjoints μn1 An n1 μAn 4 Montrer que μ A cardA est une mesure 5 Montrer que μ A cardA N est une mesure On appelle la mesure de tout lespace μΩ la masse de μ Une mesure de masse 1 est une mesure de probabilité ou simplement une probabilité Un mesure très importante est celle qui correspond à la notion de longueur sur R de surface sur R2 et de volume sur R3 que nous voulions définir Cest la mesure de Lebesgue Théorème 16 Mesure de Lebesgue Il existe une unique mesure positive λ sur Rd BRd telle que pour tout aibi R 1 i d λa1b1adbd i1d bi ai Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue Les mesures permettent de définir des ensembles négligeables cestà dire de mesure nulle On dit alors quune propriété est vraie μpresque partout si elle est vraie en dehors dun ensemble de mesure nulle Définition 17 μpresque partout On dit de deux fonctions f et g définies sur un espace ΩAμ quelles sont égales μpresque partout μpp si μω Ω fω gω 0 De la même façon on dit dune suite fnn1 de fonctions quelle converge μpresque partout vers f si μω Ω fnω fωc 0 32 Fonctions mesurables et intégrale de Lebesgue Il est possible de définir sur un espace mesuré des fonctions réelles dites mesurables Ce sont les fonctions présentant une régularité nécessaire pour pouvoir être intégrées Définition 18 Fonction mesurable Une fonction f ΩA RBR est dite mesurable si pour tout B BR f1B A Théorème 19 Stabilité des fonctions mesurables Si Ω est un espace topologique et A BΩ toute fonction continue est mesurable Si f et g sont deux fonctions mesurables et a R alors f g fg f g si g 0 a f sont mesurables Pour fnn1 une suite de fonctions mesurables supn fn infn fn liminfn fn et limsupn fn sont mesurables La fonction indicatrice de A 1A ω 1 si ω A 0 sinon est mesurable si et seulement si A A Si a1an R A1An A alors i1n ai 1Ai est une fonction mesurable Toutes les fonctions mesurables qui peuvent sécrire ainsi sont appelées les fonctions étagées On peut alors définir lintégrale dune fonction étagée Définition 20 Intégrale de Lebesgue de fonctions étagées Soit f i1n ai 1Ai une fonctions étagée sur ΩAμ Lintégrale de Lebesgue de f par rapport à μ est alors définie par fxdμx f dμ i1n ai μAi Exercice 23 Lécriture dune fonction étagée nest pas unique Montrer que cette définition ne dépend pas du choix de lécriture Autrement dit montrer que si f i1n ai 1Ai i1n bi 1Bi alors f dμ i1n ai μAi i1n bi μBi Cette première définition simple permet de définir lintégrale de Lebesgue pour nimporte quelle fonction mesurable positive grâce au théorème suivant Théorème 21 Fonctions mesurables positives Toute fonction mesurable positive est limite croissante ponctuelle de fonctions étagées positives Définition 22 Intégrale de Lebesgue Soit f une fonction mesurable positive sur Ω A μ Soit fnn1 une suite croissante de fonctions étagées positives de limite f Alors lintégrale de Lebesgue de f par rapport à μ est définie par f dμ limn fn dμ Pour une fonction f mesurable quelconque il existe deux fonctions positives f et f telles que f f f Si f f dμ ou de la même façon f dμ f est dite μintégrable et son intégrale est définie par f dμ f dμ f dμ Pour A A on définit lintégrale de f par rapport à μ sur le domaine A par A f dμ f 1A dμ Deux remarques importantes la définition ne dépend pas de la suite croissante choisie et lintégrale dune fonction positive peut éventuellement être égale à Théorème 23 Linéarité sousadditivité et croissance de lintégration Lintégrale de Lebesgue vérifie a ℝ f g μintégrables a f g dμ a f dμ g dμ et f g dμ f dμ g dμ De plus si f g alors f dμ g dμ Cette définition reste très abstraite et difficile à manier Le lien avec lintégrale de Riemann permet dutiliser toutes les techniques de calculs connues pour lintégrale de Riemann 23 Théorème 24 Lien avec lintégrale de Riemann Soit f f f telle que f et f sont deux fonctions positives Riemannintégrables Alors f est λintégrable ou Lebesgueintégrable ie intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue De plus les intégrales coïncident fx dx f dλ Attention les intégrales de Riemann semiconvergentes ne sont pas Lebesgueintégrables Par exemple f x sinx1x nest pas Lebesgueintégrable Trois théorèmes importants permettent de manier ces intégrales Théorème 25 Convergence monotone Soit fnn1 une suite croissante de fonctions mesurables positives convergeant μpp vers f Alors limn fn dμ f dμ Théorème 26 Convergence dominée Soit fnn1 une suite de fonctions mesurables convergeant μpp vers f telle quil existe une fonction mesurable g vérifiant supn1 fn g et g dμ Alors limn fn dμ f dμ Théorème 27 Lemme de Fatou Soit fnn1 une suite de fonctions mesurables positives Alors lim infn fn dμ lim infn fn dμ La théorème de convergence dominée utile tel quel permet aussi dobtenir ces deux résultats de continuité et de différentiabilité sous lintégrale Théorème 28 Continuité par rapport à un paramètre Soit f Ω E ℝ telle que 1 pour tout t E la fonction ω fω t est mesurable 2 pour μpresque tout ω Ω la fonction t fω t est continue en a E 3 il existe une fonction g Ω ℝ intégrable telle que fω t gω pour tout t E et tout ω Ω Alors la fonction F t fω t dμω est continue au point a E 24 Théorème 29 Dérivation par rapport à un paramètre Soient T un ouvert de ℝ et f Ω T ℝ telle que 1 pour tout t T la fonction ω fω t est intégrable 2 pour μpresque tout ω Ω la fonction t fω t est dérivable sur T 3 il existe une fonction g Ω ℝ intégrable telle que ft ω t gω pour tout t T et tout ω Ω tel que ft ω t existe Alors pour tout t T la fonction ω ft ω t est intégrable et la fonction F t fω t dμω est dérivable sur T et on a Ft ft ω t dμω 33 Intégrale multiple Pour une fonction f E F ℝ quelle notion de mesurabilité peuton utiliser Quelle tribu peuton associer à E F à partir de celles de E et F Définition 30 Tribu produit Soient E E et F F deux espaces mesurables On appelle tribu produit et lon note E G la tribu engendrée par les ensembles produits A B A E B F E G σA B A E B F Pour une fonction de ℝpq on peut alors utiliser la tribu borélienne ie engendrée par les ouverts de ℝpq ou la tribu produit Bℝp Bℝq En fait ces deux tribus coïncident Théorème 31 Tribu produit sur ℝd Bℝpq Bℝp Bℝq De la même façon il est possible de définir une mesure produit sur un produit despaces mesurés Définition 32 Mesure produit Soient E E μ et F F ν deux espaces mesurés Alors il existe une mesure μ ν sur E F E F telle que A E B F μ νA B μA νB Cette mesure est appelée mesure produit de μ et ν Cette mesure est unique lorsque les mesures dont on prend le produit sont des mesures de probabilité Pour la mesure de Lebesgue on a le résultat suivant Théorème 33 Mesure produit de mesures de Lebesgue La mesure produit de la mesure de Lebesgue de ℝᵖ et de la mesure de Lebesgue de ℝᑫ est la mesure de Lebesgue sur ℝᵖᑫ Une fonction f ℝᵖ ℝᑫ ℝ peut alors être intégrée par rapport à sa première variable sa seconde variable ou les deux dans nimporte quel ordre Dans de nombreux cas lorsque lon intègre par rapport aux deux variables la valeur de lintégrale ne change pas Mais ce nest pas toujours le cas Les théorèmes de Tonelli et Fubini donnent des conditions sous lesquelles il est possible dintervertir lordre dintégration Théorème 34 Tonelli Soient f E F ℝ mesurable positive et μ et ν deux mesures sur E ℰ et F ℱ respectivement Alors f dμ ν fxydμx dμy fxydνy dμx Théorème 35 Fubini Soient f E F ℝ mesurable et μ et ν deux mesures sur E ℰ et F ℱ respectivement Si f dμ ν ie f est μ νintégrable alors f dμ ν fxydμx dνy fxydνy dμx Remarque La condition f dμ ν à vérifier peut sécrire grâce au théorème de Tonelli fxydμx dμy ou encore fxydνy dμx Exercice 24 En utilisant ces théorèmes donner deux critères sur fₙₙ₁ pour que ₙ₁ fₙxdx ₙ₁ fₙxdx Un théorème très utile permet de manipuler lintégrale de Lebesgue sur ℝᵈ Théorème 36 Changement de variable Soient f ℝᵈ ℝ mesurable et U V deux ouverts de ℝᵈ tels quil existe un difféomorphisme Φ de U sur V Alors si f est positive ou intégrable V f dλ U f Φ JΦ dλ où JΦ désigne le déterminant de la Jacobienne de Φ Exercice 25 Calculer la Jacobienne de Φ rθ r cosθ r sinθ 34 Espaces Lᵖ Pour un espace E ℰ μ mesuré lensemble des fonctions μintégrables est un espace vectoriel que lon note L¹Eμ De même pour p 1 on note LᵖE ℰ μ f E ℝ fᵖ dμ Lorsquil ny a pas dambiguïté on note LᵖE LᵖE μ LᵖE ℰ μ On peut munir LᵖE μ dune seminorme fp fᵖ dμ1p p nest pas une norme sur Lᵖ car fp 0 f 0 Afin dobtenir un espace vectoriel normé on quotiente lespace Lᵖ par la relation déquivalence f g f gp 0 μf g 0 0 On définit alors lespace vectoriel normé LᵖE μ par LᵖE μ LᵖE μ Cest lespace Lᵖ où lon a remplacé les fonctions par leur classe déquivalence On obtient ainsi un espace vectoriel normé Lᵖμ est même un espace complet et séparable Théorème 37 RieszFischer Lespace L²E μ muni de la norme p est un espace de Banach En particulier L²E μ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire f g f g dμ Définition 38 Convergence quadratique La notion de convergence dans L²E μ est appelée convergence en moyenne quadratique Pour p on peut définir les espaces LE μ par f LE μ f est mesurable et il existe M tel que μx fx M 0 On note alors f infM 0 μx fx M 0 L est aussi un espace de Banach Deux inégalités importantes permettent de comparer les normes des fonctions Théorème 39 Inégalité de CauchySchwarz Soient f g L²E μ alors f g dμ f² dμ g² dμ autrement dit f g f₂g₂ Théorème 40 Inégalité de Hölder Soient p q 1 tels que 1p 1q 1 alors f Lᵖ g Lᑫ f g₁ fp gq En particulier si μ est une mesure de probabilité et p q alors LᑫE μ LᵖE μ Attention ce nest en général pas vrai si μ nest pas une mesure de probabilité En particulier si E ℝᵈ et μ λ est la mesure de Lebesgue ce nest pas le cas En effet par exemple x 11x L¹ℝ λ mais x 11x L²ℝ λ Travaux Dirigés Intégration de Lebesgue Exercice 26 Lequel des ensembles suivants est une tribu sur R 1 012 2 R 3 R 4 R 01 5 R 01 01 Exercice 27 Soit Aii1 une suite déléments distincts de la tribu A Laquelle des fonctions suivantes est une fonction étagée pour A 1 131A1 2 41A1A3 12 3 5i1 3i1Ai 4 i1 2ii1Ai Exercice 28 Soit λ la mesure de Lebesgue sur R On note fx 41102x 511215x Calculer fxdλx Exercice 29 Soit f 41101 et g 5124 Calculer fxdδ2x et gxdδ2x Exercice 30 1 Montrer quune combinaison linéaire de mesures est une mesure 2 Soient ΩA µ un espace mesuré et f une fonction étagée positive sur Ω On pose pour tout A A µf A f1Adµ Montrer que µf est une mesure Exercice 31 Calculer limn n01 tnn dt Changement de variable u tn puis convergence dominée Exercice 32 Calcul de lintégrale de Gauss R et2 dλt Pour x R on pose Fx 10 ex21t21 t2 dλt et Gx x0 et2 dλt2 1 Montrer que F et G sont dérivables et calculer leurs dérivées 2 Montrer que la fonction F G est constante sur R 3 Calculer limx Fx 4 En déduire R et2 dλt Exercice 33 Soit ΩA µ un espace mesuré Soit fnn1 une suite de fonctions mesurables positives convergeant µ pp vers une fonction f On suppose que limn fn dµ fdµ Montrer que fn converge vers f dans L1ΩA µ ie limn fn f dµ 0 Indication On pourra appliquer le lemme de Fatou à une suite gn bien choisie La suite bien choisie est gn f fn f fn Par hypothèse gn 2f et Fatou donne au final 0 lim supn fn f dµ Exercice 34 Calculer laire du domaine plan défini par ax2 y bx2 0 a b cx y dx 0 c d Chapitre 4 Transformée de Fourier La transformée de Fourier est un outil mathématique utilisé dans des domaines aussi variés que le traitement du signal la mécanique des fluides la physique théorique ou encore la compression dimages Nous présenterons ici les résultats mathématiques importants qui permettent par la suite dappréhender plus facilement lutilisation de la transformée de Fourier dans ses divers domaines dapplication 41 Transformée de Fourier des fonctions de L1 La transformée dune fonction de L1IRn est donnée par la définition suivante Définition 1 Soit f une fonction de L1IRn sa transformée de Fourier est la fonction définie par Ff ξ fξ Rnfx e2iπxξdx où x ξ représente le produit scalaire de IRn On définit également la transformée de Fourier conjuguée par Ff ξ Rnfx e2iπxξ dx Pour simplifier les calcul et alléger les notations nous nous placerons dorénavant dans IR Théorème de RiemannLebesgue Soit f une fonction de L1IR alors a f est une fonction continue et bornée sur IR b ℱ est un opérateur linéaire continu de L1IR dans LIR et lon a f f1 c f vérifie limξ fξ 0 La proposiiton suivante permet dobtenir des résultats important en particulier pour la transformée de Fourier inverse Proposition 1 Soit f et g deux fonctions de L1IR Alors fg et fg sont dans L1IR et ft gt dt fx gx dx Les propriétés suivantes ont de nombreuses applications en pratique en particulier celles concernant la dérivation que nous démontrerons en TD Propriétés par rapport à la dérivation a Si xk fx est dans L1IR pour k 0 n alors f est n fois dérivable et fk ℱ2iπxk fx k 1 n b Si f CnIR L1IR et si fk L1IR pour k 1 n alors ℱfkξ 2iπξk fξ c si f L1IR est à support compact alors f CIR d sous les hypothèses du b on a aussi fξ o1ξn lorsque ξ Propriétés de parité Si lon note fσ la symétrisée de f fσx fx et si f L1IR 1 ℱf ℱf 2 ℱfσ ℱf ℱfσ On déduit de ces relations Si f est paire resp impaire alors f est paire resp impaire Si f est réelle paire resp réelle impaire alors f est réelle paire resp imaginaire impaire Propriétés de translation et dilatation Si f L1IR et a λ IR 1 ℱfxa e2iπaξ fξ 2 fξa ℱe2iπa xfx 3 fxλ λ fλξ Théorème dinversion de la transformée de Fourier Si f et f sont dans L1IR alors ℱℱ ft ft en tout point où f est continue Linverse de la transformée de Fourier dans L1IR est particulièrement simple mais son existence est conditionnée à lappartenance de f à L1IR ce qui nest évidemment pas vrai pour toutes les fonctions f de L1IR Il existe des situations où lon peut savoir seulement à partir de f si sa transformée de Fourier sera dans L1IR On a par exemple la proposition suivante Proposition 2 Si f C2IR et si f f f sont dans L1IR alors f L1IR 42 Transformée de Fourier dans SIR Nous allons introduire dans cette partie lespace de prédilection de la transformée de Fourier pour lequel la définition de linverse par exemple ne posera plus de problème Nous commençons par une définition Définition 2 Une fonction f IR C est à décroissance rapide si pour tout p IN on a limx xp fx 0 Propriétés des fonctions à décroissance rapide 1 Si f L1IR est à décroissance rapide alors f CIR 2 Si f CIR et si k IN fk L1IR alors f est à décroissance rapide Définition 3 On appelle SIR lespace vectoriel des fonctions de IR dans C telles que 1 f CIR 2 f ainsi que toutes ses dérivées sont à décroissance rapide Théorème 3 Lespace SIR est stable par transformation de Fourier ie f S f S On peut alors énoncer le théorème principal de cette partie découlant du précédent Théorème dinversion dans SIR La transformée de Fourier est une application linéaire bijective et bicontinue sur SIR et lon a ℱ1 ℱ cestàdire fξ R fx e2iπxξ dx fx R fξ e2iπxξ dξ Egalité de Plancherel Parseval Soient f g SIR alors 1 fξ gξdξ fx gxdx 2 fξ²dξ fx²dx Lespace SIR semble donc être lespace idéal pour la transformée de Fourier puisquil permet de définir linverse sans aucune restriction ou dappliquer les formules de dérivation directement Malheureusement en physique ou en traitement du signal par exemple les fonctions sont souvent beaucoup moins régulières et moins décroissantes et par conséquent nappartiennent que très rarement à SIR Par contre elles sont la plupart du temps dénergie finie ce qui du point de vue mathématique revient à dire quelles appartiennent à lespace L²IR Il faut donc étendre la transformée de Fourier à cet espace ce qui nest pas à priori évident puisque L²IR nest pas inclus dans L¹IR Cest encore avec laide de lespace SIR que nous allons apporter une réponse à ce problème 43 Transformée de Fourier dans L²IR La construction de la transformée dans L²IR est en partie basée sur le théorème suivant Théorème SIR est un sousespace vectoriel de L²IR dense dans L²IR En utilisant ce résultat de densité la complétion de L²IR et des résultats sur le prolongement des formes linéaires continues on montre quil est possible détendre la transformée de Fourier à lespace L²IR On obtient alors le résultat fondamental suivant Théorème La transformation de Fourier F et son inverse F se prolongent en une isométrie de L²IR sur L²IR et lon a 1 f L²IR F F f F F f f presque partout 2 f g L²IR on a f g L²IR et fξ gξdξ fx gxdx 3 f₂ f₂ 44 Quelques transformées de Fourier usuelles On note Hx la fonction de Heaviside définie par Hx 1 si x 0 et 0 sinon Soit a 𝔠 tel que Rea 0 xkk eax Hx F 1a 2iπξk1 k ℕ xkk eax Hx F 1a2iπξk1 k ℕ eax F 2aa²4π²ξ² signxeax F 4iπξa²4π²ξ² Soit a ℝ avec a0 eax² F πa eπ²a ξ² χaax F sin 2aπξπξ Travaux Dirigés Transformée de Fourier Exercice 35 Démontrer les formules de dérivation suivantes a Si xk fx est dans L¹IR pour k 0n alors f est n fois dérivable et fk F 2iπx k fx k 1n b Si f CnIR L¹IR et si fk L¹IR pour k 1n alors Ffk ξ 2iπξk fξ Exercice 36 1 Calculer la dérivée de la fonction fx eπx² et écrire léquation différentielle du 1er ordre satisfaite par f 2 En déduire une équation différentielle satisfaite par la transformée de Fourier de f notée fν 3 Résoudre cette équation différentielle et en déduire la valeur de fν sachant que eπx² dx 1 Exercice 37 On note φ la fonction telle que pour tout x de ℝ φx 1x²1² et ψ la fonction telle que pour tout x de ℝ ψx 1x²1 On veut calculer la transformée de Fourier φ de la fonction φ 1 En utilisant les propriétés de la transformation de Fourier par rapport à la dérivation montrer que ddξ φξ 2π²ξ ψξ 2 En utilisant le fait que ξ ℝ ψξ π e2πξ donnez lexpression de φξ pour tout ξ ℝ Exercice 38 Calculer les intégrales suivantes ℝ sin x x² dx et ℝ dx1x²² Exercice 39 Soit gaxeax2 calculer ga gb a et b réels positifs Exercice 40 Existetil un élément neutre pour le produit de convolution dans L1mathbbR Exercice 41 Soit u 0T imes mathbbR rightarrow mathbbR tx rightarrow utx la solution de léquation de la chaleur left beginarrayl fracpartial upartial t tx frac12 fracpartial2 upartial x2 tx 0 u0x u0x endarray right 41 où u0 in CinftymathbbR est à support compact On admet que u est de classe C1 par rapport à t C2 par rapport à x et que x rightarrow utx x rightarrow fracpartial upartial x tx x rightarrow fracpartial2 upartial x2 tx sont dans L1mathbbR On note hatut xi la transformée de Fourier de lapplication x rightarrow utx 1 Montrer que si intmathbbR x2 utx dx infty alors hatu est deux fois dérivable par rapport à xi 2 Montrer que la transformée de Fourier de x rightarrow fracpartial2 upartial x2 tx est égale à xi rightarrow 2 pi2 xi2 hatutxi 3 En déduire quen coordonnées de Fourier léquation de la chaleur sécrit fracpartial hatupartial t txi 2 pi2 xi2 hatut xi 0 42 4 Résoudre léquation différentielle 42 en la variable t on considère ici xi comme un paramètre 5 Montrer que la transformée de Fourier de la fonction x rightarrow frac1sqrt2 pi t expfracx22t est xi rightarrow exp2 pi2 xi2 t Indication On admettra que intmathbbR eax2 dx sqrtfracpia 6 Soient f et g dans L1mathbbR On rappelle que f gx intmathbbR fg gxy dy et que hatf g hatf hatg En déduire que la solution de léquation de la chaleur 41 sécrit utx frac1sqrt2 pi t intmathbbR u0y expfracxy22t dy Chapitre 5 Espaces de Hilbert Ce cours a pour but de présenter les rudiments de la théorie des espaces de Hil bert Ceuxci sont les plus simples et les plus importants des espaces vectoriels normés complets espaces de Banach Ils interviennent fortement dans de nom breux domaines des Mathématiques analyse fonctionnelle analyse numérique et de la Physique Mathématique ils servent notamment de base au forma lisme de Dirac en Physique Quantique La théorie trouve sa source dans létude des équations intégrales Volterra Fredholm et a été progressivement élaborée au cours du premier tiers du XXeme siecle principalement par Hilbert Schmidt Fréchet Riesz et von Neumann lequel donne en 1932 la définition abstraite uti lisée aujourdhui Ce document regroupe les résultats principaux de cette présentation axiomatique commentés et éventuellement démontrés en cours Pour des exposés complets on pourra se reporter aux ouvrages de la bibliographie Bibliographie W APPEL Mathématiques pour la Physique Editions HK 2002 JM BONY Méthodes mathématiques pour les sciences physiques Editions de lEcole Polytechnique 2000 C GASQUET et P WITOMSKI Analyse de Fourier et applications Masson 1990 A GUICHARDET Intégration Analyse hilbertienne Editions Ellipses 1989 38 W RUDIN Analyse réelle et complexe Masson 1998 51 Espaces préhilbertiens Définition1 Un produit scalaire sur un espace vectoriel complexe E est une application xy mapsto xy de E imes E dans mathbbC qui vérifie 1 xxyxyxy et lambda xy lambda xy pour tous x x y de E et lambda de mathbbC 2 yx overlinexy pour tous xy de E symétrie hermitienne 3 xx geq 0 pour tout x de E et xx 0 Longleftrightarrow x 0 Un espace vectoriel muni dun produit scalaire est dit préhilbertien Remarques En dautres termes est une forme hermitienne définie positive La définition implique que xyy xy xy mais attention xlambda y barlambda xy On a lidentité dite de polarite 4xy xyxy xyxy ixiyxiy ix iyx iy qui montre que la forme hermitienne est entierement determinée par la forme quadratique associée x mapsto xx Dans le cas dun espace vectoriel réel E un produit scalaire est une forme bilinéraire E imes E rightarrow mathbbR symétrique définie positive Au produit scalaire on associe une norme en posant x sqrtxx On connait les deux inégalités célebres suivantes pour tout x et tout y de E xy leq x y Cauchy Schwarz xy leq x y Minkowski inégalité triangulaire Exemples fondamentaux despaces préhilbertiens 1 mathbbRn espace euclidien et mathbbCn espace hermitien avec xy beginarrayl x1 y1 cdots xn yn cas réel x1 overliney1 cdots xn overlineyn cas complexe endarray 2 l2mathbbN est lespace des suites x xnn in mathbbN à valeurs dans mathbbC telles que summathbbN xn2 infty muni du produit scalaire xy summathbbN xn overlineyn En effet xn overlineyn xn yn leq frac12 xn2 yn2 assure la convergence de cette derniere serie 3 C01 mathbbC est lespace des fonctions continues de 01 vers mathbbC muni du produit scalaire fg int01 ft overlinegt dt 4 L2Omega mathcalA mu est lespace des classes de fonctions de module carré sommable sur lespace mesuré Omega mathcalA mu muni du produit scalaire fg intOmega f overlineg d mu En effet f overlineg est intégrable car f overlineg f g leq frac12 f2 g2 La norme associee a ce produit scalaire nest autre que la norme 2 cf cours integration Définition2 On dit que x est orthogonal à y si xy 0 On note alors mathbfx perp mathbfy Si A est une partie non vide de E lorthogonal de A est Aperp x in E forall y in A x perp y Un résultat important est que quel que soit A Aperp est toujours un sousespace vectoriel fermé de E Les espaces préhilbertiens ont des propriétés qui généralisent celles quon connait bien dans les espaces euclidiens Identités remarquables pour tout x et tout y de E xy2 x2 y2 2mathcalRxy xy2 x y2 2x2 2y2 identité du parallélogramme x2 y2 2 fracxy22 frac12 x y2 identité de la médiane Théorème de Pythagore x perp y Rightarrow xy2 x2 y2 La réciproque est vraie si E est réel fausse si E est complexe Continuité du produit scalaire et de la norme Lapplication x y xy est continue de E E vers C Lapplication x x est continue de E vers R Une boule est convexe Une intersection de convexes est convexe Théorème 1 projection sur un convexe fermé Soit C un convexe fermé non vide de lespace de Hilbert H et x H Alors il existe un unique élément x de C dont la distance à x est minimum ie tel que x x min yC x y Il est caractérisé par la propriété suivante y C ℜx xy x 0 x est appelé la projection de x sur C et noté PCx Remarques Le résultat est en défaut si C nest pas fermé considérer une boule ouverte et x en dehors Lapplication PC H C contracte les distances x y x y donc en particulier elle est continue 523 Projection sur un sousespace fermé En pratique le cas le plus important est celui ou C est un sousespace vectoriel fermé V de l espace de Hilbert H Un sousespace vectoriel est toujours convexe mais pas toujours fermé On connait cependant deux types de sousespaces qui sont forcément fermés V de dimension finie V A pour une partie A non vide de H Théorème 2 projection orthogonale sur un sousespace fermé Soit V un sousespace vectoriel fermé de lespace de Hilbert H et V son sous espace orthogonal Alors 1 pour tout x H sa projection PV x sur V est lunique élément xV de V tel que x xV soit orthogonal a V 2 les sousespaces V etV sont supplémentaires H V V pout tout x H il existe xV V et xV V uniques tels que x xV xV et on a xV PV x et xV PV x 42 Remarque On a x2 xV2 xV2 et dx V xV Définition1 Pour A H on note VectA le sousespace vectoriel engendré par A ie lensemble des combinaisons linéaires finies des éléments de A x VectA x Σ1k λi ai Critère de totalité On dit quune partie A de lespace de Hilbert H est totale si VectA est dense dans H ie si VectA H Pour que A soit totale il faut et il suffit que A soit réduit à 0 Remarque De façon générale pour toute partie A non vide A VectA 524 Dual dun espace de Hilbert Théorème de Riesz dual topologique dun espace de Hilbert Soit H un espace de Hilbert A tout élément y H on peut faire correspondre la forme linéaire continue Ly définie par Lyx xy Réciproquement étant donnée une forme linéaire continue L sur H il existe un et un seul vecteur yL de H tel que pour tout x H on ait Lx xyL Remarque Ce théorème doit être rapproché en tenant compte des conventions différentes au départ du formalisme des bras φ et des kets ψ de la Mécanique Quantique dans lequel laction de φ sur ψ est aussi le produit scalaire φψ 53 Bases orthonormales 531 Cas des espaces préhilbertiens Dans ce paragraphe E est un espace préhilbertien pas nécessairement complet Définition1 Soit ennN une suite déléments non nuls de E 1 la suite est dite orthogonale si emen 0 pour m n 2 la suite est dite orthonormale si emen δmn symbole de Kronecker 3 la suite est dite une base orthonormale ou base hilbertienne de E si elle est à la fois une suite orthonormale et une suite totale Remarques On vérifie facilement quune suite orthogonale est libre Attention une base orthonormale nest pas sauf en dimension finie une base algébrique ie une partie libre et génératrice Exemples fondamentaux 1 dans Rn espace euclidien et Cn espace hermitien la base canonique est une base orthonormale 2 dans lespace de Hilbert l2N la suite en avec en 0 0 0 1 0 ou 1 figure au rang n est une base orthonormale 3 dans lespace préhilbertien non complet C0 1 C la suite des exponentielles complexes ennZ avec ent e2iπnt est une base orthonormale Définition 2 et Théoreme séparabilité On dit que lespace préhilbertien E est séparable si il contient une suite finie ou dénombrable qui est totale dans E Pour que E possède une base orthonormale il faut et il suffit que E soit séparable La preuve repose sur le procédé dorthogonalisation de Schmidt étant donnée une suite en déléments de E linéairement indépendants on fabrique une suite orthogonale en ainsi e0 e0 e1 e1 PV0 e1 e2 e2 PV1 e2 Vn Vecte0 e1 en et PVn est le projecteur orthogonal sur Vn qui est fermé car de dimension finie Propriété projection sur un sousespace de dimension finie Soit V un sousespace de dimension finie k de E et soit e1 e2 ek une base orthonormale de V Alors pour tout x de E on a 1 PV x Σn1k xn en avec xn xen 2 dx V2 x PV x2 x2 Σn1k xn2 Corollaire inégalité de Bessel Soit en une suite orthonormale de E Pour tout x de E on pose xn xen Alors on a nℕ xn2 x2 Théorème 2 caractérisation des bases orthonormales soit E un espace préhilbertien séparable et soit en une suite orthonormale de E On note encore xn xen pour tout x de E Alors les propriétés suivantes sont équivalentes 1 en est une base orthonormale de E 2 pour tout x de E x 0 xn en 3 pour tout x de E x2 0 xn2 Parseval 4 pour tous xy de E xy 0 xn yn Parseval Remarque Posons Φ x E xn l2ℕ Φ est linéaire et le théorème dit que en est une base orthonormale si et seulement si Φ est une isométrie de E dans l2ℕ Mais attention une isométrie est certainement toujours injective mais en dimension infinie elle nest pas forcément surjective Exemple on a vu que dans lespace préhilbertien non complet E C01ℂ la suite des exponentielles complexes ennℤ avec ent e2iπnt est une base orthonormale Lisométrie Φ E l2ℤ est donnée dans ce cas par f f n 01 ft e2iπnt dt Φ ne peut pas être surjective ici parce que E nest pas complet alors que l2ℤ lest 532 Cas des espaces de Hilbert Théorême Soit H un espace de Hilbert séparable complexe Si dimH n alors H est isomorphe à ℂn Si dimH alors H est isomorphe à l2ℕ Remarque Lisomorphisme réciproque est Φ1 xn l2 xn en H Cette série converge dans H parce que H est complet La démonstration sappuie sur le résultat suivant soient v0 v1 des éléments orthogonaux deux à deux de lespace de Hilbert H Alors 0 vn converge dans H 0 vn2 et dans ce cas 0 vn2 0 vn2 533 Applications Polynômes orthogonaux Soit μ une mesure positive sur ℝ telle que les polynômes soient intégrables par rapport a μ et supposons en outre que la suite des monômes 1 x xn soit totale dans H L2ℝμ Alors on peut construire une base orthonormale de H par le procede de Schmidt Q0 1 Q1 xxQ0Q0 Qn1 xn1 Pn xn1 avec Vn VectQ0Q1 Qn puis on normalise en posant Pn Qn Qn avec Qn2 ℝ Qnx2 dμx Exemples 1 si μ est concentrée sur un intervalle I borné alors les polynômes sont denses dans L2Iμ Par exemple si μ est la mesure de Lebesgue sur I 11 on trouve les polynômes de Legendre 2 si dμx e2πx2 dx sur ℝ on obtient les polynômes dHermite Les fonctions fnx eπx2 Pnx sont les fonctions dHermite elles forment une base hilbertienne de L2ℝλ λ est la mesure de Lebesgue sur ℝ qui joue un rôle important pour la transformation de Fourier dans L2 3 si dμx ex 1ℝx dx on obtient les polynômes de Laguerre Série de Fourier On rappelle que f est périodique de période a x ℝ fx a fx On note L2P0a f ℝ ℂ f de periode a et 0a fx2 dx Cet espace est un espace de Hilbert Théorème lensemble des fonctions e2iπnxa n ℤ est une base orthogonale de lespace L2P0a Corollaire Toute fonction f L2P0a admet un développement en série appelé série de Fourier unique sur cette base fx n cnf e2iπnxa Les coefficients cnf fe2iπnxa e2iπnxae2iπnxa 1a 0a fx e2iπnxa dx sont appelés coefficients de Fourier de f Du théorème de Parseval on obtient la relation suivante n cnf2 1a 0a fx2 dx Remarque la convergence de la série est à prendre au sens de la norme de L2P0a et ne garantie rien quand à la convergence ponctuelle De nombreux résultats existent en fonction de la régularité de f et de son appartenance ou non à certains espaces fonctionnels On pourra consulter en particulier le chapitre 5 du livre de C Gasquet et P Witomski Le cas le plus favorable est celui où la série converge uniformément Théorème Soit f de période a continue sur ℝ et admettant une dérivée sur 0a sauf éventuellement en un nombre fini de points Si f est continue par morceaux sur 0a alors la série de Fourier de f converge normalement et donc uniformément vers f sur ℝ la série de Fourier de f sobtient en dérivant termes à termes celle de f n cnf Quelques formules fx n cnf e2iπnxa a02 n1 an cos2πnxa bn sin2πnxa avec an 2a 0a fx cos2iπnxa dx bn 2a 0a fx sin2iπnxa dx On obtient alors facilement cn 12an i bn cn 12an i bn n 0 et an cn cn bb icn cn n 0 La relation de Parseval devient alors 1a 0a fx2 dx 14a02 12 n1 an2 bn2 Base de Haar On pose ht h00t 0 hors de 01 1 sur 0 12 1 sur 12 1 et hjkt 2j2 h2j t k jk Z On peut montrer que ce systeme de Haar est une base hilbertienne de L2R Travail en Autonomie Espaces de HilbertSéries de Fourier Exercice 42 On peut prouver que les polynômes Ln définis pour n N par Lnx 1n ex dndxn xn ex sont au signe près les polynômes de Laguerre 1 Calculer L0 L1 L2 et L3 2 Déterminer la valeur de m minabc R3 0 x3 a x2 b x c2 ex dx Exercice 43 Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f périodique de période 1 telle que fx x si 0 x 12 x 1 si 12 x 1 En déduire que la somme de la série n1 1n2 π26 Exercice 44 On considère la fonction f IR IR périodique de période 1 définie par fx 1 si 0 x 12 0 si 12 x 1 1 Calculer ses coefficients de Fourier complexes cnf 01 fx e2iπnx dx 2 En déduire la somme de la série k N 12k12 112 132 π28 Exercice 45 Pour tout n Z calculer les coefficients de Fourier cnf 01 fx e2iπnx dx de la fonction f périodique de période 1 telle que fx x si 0 x 12 1 x si 12 x 1 2 Montrer que p0 12p14 π496