Cálculo 1

NOME RA CURSO DISCIPLINA Folha de Respostas Avaliação Integrada AVI CRITÉRIOS PARA AVALIAÇÃO DAS ATIVIDADES DISSERTATIVAS Conteúdo as respostas não possuem erros conceituais e reúnem todos os elementos pedidos Linguagem e clareza o texto deve estar correto quanto à ortografia ao vocabulário e às terminologias e as ideias devem ser apresentadas de forma clara sem incoerências Raciocínio o trabalho deve seguir uma linha de raciocínio que se relacione com o material didático Coerência o trabalho deve responder às questões propostas pela atividade Embasamento a argumentação deve ser sustentada por ideias presentes no conteúdo da disciplina A AVI que atender a todos os critérios sem nenhum erro conceitual de ortografia ou concordância bem como reunir todos os elementos necessários para uma resposta completa receberá nota 10 Cada erro será descontado de acordo com sua relevância CRITÉRIOS PARA AVALIAÇÃO DAS ATIVIDADES CÁLCULO Caminho de Resolução O trabalho deve seguir uma linha de raciocínio e coerência do início ao fim O aluno deve colocar todo o desenvolvimento da atividade até chegar ao resultado final Resultado Final A resolução do exercício deve levar ao resultado final correto A AVI que possui detalhamento do cálculo realizado sem pular nenhuma etapa e apresentar resultado final correto receberá nota 10 A atividade que apresentar apenas resultado final mesmo que correto sem inserir as etapas do cálculo receberá nota zero Os erros serão descontados de acordo com a sua relevância INFORMAÇÕES IMPORTANTES LEIA ANTES DE INICIAR A Avaliação Integrada AVI é uma atividade que compreende a elaboração de uma produção dissertativa realizada individualmente de forma eletrônica É importante que leia e compreenda as instruções de avaliação descritas antes do enunciado disponível no AVA Questão 01 A equação é do segundo grau incompleta Apresente qual caso da fatoração poderia ser utilizado para encontrar as raízes da equação apresentada acima Aplique o método e demonstre que os valores encontrados para satisfazem a igualdade Em seguida indique qual conjunto numérico pertence às raízes Questão 02 Seja uma função polinomial Qual a taxa de variação quando Resolução CÁLCULO I Sergio Fernandes de Freitas 2 SUMÁRIO 1 FUNÇÕES 3 2 LIMITES 24 3 DERIVADAS CONCEITOS FUNDAMENTAIS 35 4 DERIVADAS FUNÇÕES INVERSAS IMPLÍCITAS E REGRA DE LHÔPITAL 46 5 DERIVADAS DIFERENCIAIS TAXAS MÁXIMOS MÍNIMOS E APLICAÇÕES GRÁFICAS 57 6 INTEGRAL 69 3 1 FUNÇÕES Apresentação Neste bloco estudaremos os conjuntos numéricos revendo as definições dos conjuntos dos números naturais inteiros racionais irracionais e reais Além disso faremos um estudo sobre as funções entre elas função afim função quadrática função modular função exponencial função logarítmica funções trigonométricas e aplicações com uso dessas ferramentas matemáticas 11 Conjuntos numéricos Os conjuntos numéricos são agrupamentos de números que compartilham certas propriedades ou características comuns Esses conjuntos são fundamentais na matemática e servem como base para muitas áreas do conhecimento matemático A tabela a seguir apresenta os conjuntos numéricos e suas particularidades Tabela 11 Conjuntos numéricos Conjunto Definição Naturais ℕ Os números naturais são aqueles utilizados para contar objetos ℕ 0 1 2 3 ℕ 1 2 3 Inteiros 𝕫 Os números inteiros incluem os números naturais seus opostos números negativos e o zero 𝕫 3 2 1 0 1 2 3 Racionais ℚ Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como o quociente de dois inteiros no qual o denominador não é zero ℚ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝕫 𝑏 0 4 Irracionais 𝕀 Os números irracionais não podem ser expressos como o quociente de dois inteiros Suas representações decimais são não periódicas e não terminam 𝕀 2 𝜋 𝑒 Reais ℝ Os números reais incluem todos os números racionais e irracionais ℝ 𝑥𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 Complexos ℂ Os números complexos incluem todos os números da forma a bi na qual a e b são números reais e i é uma unidade imaginária definida como 𝑖2 1 ℂ 𝑎 𝑏𝑖𝑎 𝑏 ℝ Fonte Autor Fonte Autor Figura 11 Relação entre conjuntos numéricos Intervalos reais são subconjuntos dos números reais R que consistem em todos os números entre dois valores dados chamados de extremidades que podem incluir ou não esses extremos Eles são fundamentais na análise matemática pois são utilizados para definir domínios de funções e conjuntos de soluções de inequações 5 Podemos fazer as operações usuais de conjuntos para intervalos reais uma vez que são subconjuntos de R Lembrando que para a e b reais com a b temos as seguintes notações para intervalos I Intervalo fechado x x Є R e a x b a b II Intervalo aberto x x Є R e a x b a b a b III Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita x x Є R e a x b a b a b IV Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita x x Є R e a x b a b a b V Intervalo ilimitado à direita e fechado de origem a x x Є R e x a a a 6 VI Intervalo ilimitado à direita e aberto de origem a x x Є R e x a a a VII Intervalo ilimitado à esquerda e fechado de origem a x x Є R e x a a a VIII Intervalo ilimitado à esquerda e aberto de origem a x x Є R e x a a a O sistema cartesiano é um sistema de coordenadas utilizado na geometria para definir a posição de pontos em um plano por meio de dois eixos perpendiculares entre si denominados eixo x horizontal e eixo y vertical Cada ponto no plano cartesiano é identificado por um par ordenado x y em que x representa a coordenada horizontal e y a coordenada vertical Esse sistema nomeado em homenagem ao filósofo e matemático René Descartes permite a representação gráfica de funções a resolução de equações geométricas e a análise de relações entre diferentes figuras geométricas 7 Fonte Shutterstock by zizou7 Figura 12 Representação de um par ordenado no sistema cartesiano Cada quadrante representa os sinais de x eixo das abscissas e y eixo das ordenadas respectivamente O produto cartesiano é uma operação matemática que dados dois conjuntos A e B resulta em um novo conjunto composto pelos pares ordenados ab em que aA e b B Cada coordenada x y é denominada de par ordenado Fonte Autor Figura 13 Representação de par ordenado x Y 8 12 Conceitos Fundamentais de Funções Uma função é uma relação matemática que associa cada elemento de um conjunto chamado de domínio a um único elemento de outro conjunto chamado contradomínio Uma função de f de um conjunto A para um conjunto B é descrita como uma regra que atribui a cada elemento 𝑥 𝐴 um único elemento 𝑓𝑥 𝐵 A representação gráfica de uma função f no plano cartesiano é um conjunto de pares ordenados x fx no qual x pertence ao domínio da função e denotamos como 𝑓 𝐴 𝐵 Fonte Autor Figura 14 Representação da função O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada ou argumentos para os quais a função está definida Em outras palavras é o conjunto de todos os possíveis valores de 𝑥 que podem ser inseridos na função 𝑓 𝑥 para produzir um valor de saída Além disso o domínio é uma parte essencial da definição de uma função pois determina o escopo das entradas que a função pode aceitar A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de funções e seus respectivos domínios 9 Tabela 12 Domínio de uma função Função Domínio 𝑓𝑥 1 𝑥 D f R 𝑓𝑥 1 3𝑥 12 3𝑥 12 0 3𝑥 12 𝑥 12 3 𝑥 4 D f 4 Fonte Autor A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode assumir quando aplicase aos elementos do seu domínio Formalmente para uma função 𝑓𝐴 𝐵 a imagem é o subconjunto de 𝐵 que consiste em todos os elementos 𝑓𝑥 para 𝑥 𝐴 A imagem abaixo representa todos os possíveis resultados da função e mostra como os valores de entrada do domínio são transformados pela função Fonte Autor Figura 15 Imagem da função fx x 1 10 Uma função é considerada crescente em um intervalo se para quaisquer dois pontos nesse intervalo o valor da função aumenta à medida que o valor de 𝑥 aumenta Formalmente uma função 𝑓𝑥 é crescente em um intervalo se para quaisquer 𝑥1 𝑥2 no intervalo com 𝑥1 𝑥2 temos 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 Isso significa que conforme 𝑥 aumenta os valores de 𝑓𝑥 também aumentam ou permanecem constantes Por outro lado uma função é decrescente em um intervalo se para quaisquer dois pontos nesse intervalo o valor da função diminui à medida que o valor de 𝑥 aumenta Formalmente uma função 𝑓𝑥 é decrescente em um intervalo se para quaisquer 𝑥1 𝑥2 no intervalo com 𝑥1 𝑥2 temos 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 Isso indica que conforme 𝑥 aumenta os valores de 𝑓𝑥 diminuem ou permanecem constantes Fonte Autor Figura 16 Funções crescente a e decrescente b respectivamente Uma função composta é uma operação matemática que resulta da combinação de duas ou mais funções individuai em que a saída de uma função é usada como entrada para outra Formalmente se temos duas funções 𝑓𝐴𝐵 e 𝑔𝐵𝐶 então a função composta 𝑔𝑓 é definida como 𝑔𝑓𝐴𝐶 na qual 𝑔𝑓𝑥𝑔𝑓𝑥 𝑥 no domínio de 𝑓 11 Fonte Autor Figura 17 Conjuntos domínio e imagens 13 Funções de Primeiro Grau Segundo Grau e Modular Uma função afim também conhecida como função linear ou função do primeiro grau é uma função matemática que pode ser representada pela forma 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑏 em que 𝑎 e 𝑏 são constantes reais e 𝑎 0 Tratase de uma função reta cujo valor de a corresponde ao ângulo de inclinação da reta com o eixo x e o valor de b aquele que cruza o eixo y a 0 Fonte Autor Figura 18 Equação da reta 12 É fácil identificar se uma função de primeiro grau é crescente ou decrescente Isso é feito a partir do valor de a coeficiente angular também descrita como a função tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x Fonte Autor Figura 19 Verificação de função crescente e decrescente Uma função do segundo grau também conhecida como função quadrática é uma função matemática que pode ser representada pela forma geral 𝑓𝑥𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 em que 𝑎 𝑏 e 𝑐 são constantes reais e a0 A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de funções do segundo grau também denominadas quadráticas Tabela 13 Funções do segundo grau Função 𝑓𝑥 𝑥2 4𝑥 9 𝑓𝑥 𝑥2 8 𝑓𝑥 4𝑥2 4𝑥 𝑓𝑥 𝑥2 4𝑥 16 𝑓𝑥 5𝑥2 25 Fonte Autor 13 Para uma função polinomial de grau dois é fácil identificar a concavidade da curvatura a partir do valor da constante a conforme figura a seguir Fonte Autor Figura 110 Verificação de curvatura de função quadrática Na função quadrática é possível determinar as coordenadas cartesianas do vértice do gráfico conforme equação abaixo 𝑉 𝑏 2𝑎 Δ 4𝑎 Δ 𝑏2 4𝑎 Fonte Autor Figura 111 Determinação de coordenadas cartesianas de vértice de função polinomial de grau dois 14 Uma função modular também conhecida como função valor absoluto é uma função matemática que envolve a aplicação do operador módulo ou valor absoluto a uma expressão Formalmente a função modular de uma variável real 𝑥 é definida como 𝑓𝑥 𝑥 em que 𝑥 representa o valor absoluto de 𝑥 O valor absoluto de um número 𝑥 é a sua distância até zero na reta numérica ou seja 𝑥 𝑥 se 𝑥 0 e 𝑥 𝑥 se 𝑥 0 Fonte Autor Figura 112 Função Modular 14 Funções Exponencial Logarítmica e Trigonométrica Uma função exponencial é uma função matemática da forma 𝑓𝑥 𝑎𝑥 em que 𝑎 é uma constante positiva diferente de zero base da exponencial e 𝑥 é a variável independente expoente Essa função descreve um crescimento ou decaimento exponencial dependendo se 𝑎 1 ou 0 𝑎 1 respectivamente A característica fundamental das funções exponenciais é o valor da função aumenta ou diminui rapidamente conforme 𝑥 aumenta Isso acontece por conta da natureza exponencial do termo 𝑎x A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de funções exponenciais 15 Tabela 14 Funções exponenciais Função 𝑓𝑥 3𝑥 𝑓𝑥 5𝑥 𝑓𝑥 4 𝑥1 𝑓𝑥 3 𝑥𝑥 Fonte Autor É fácil identificar se uma função exponencial é crescente ou decrescente Isso é feito a partir do valor da constante a conforme figura a seguir Fonte Autor Figura 113 Função Exponencial Uma função logarítmica é uma função matemática que tem a forma 𝑓𝑥 log𝑎𝑥 na qual 𝑎 é a base do logaritmo e 𝑥 é o argumento da função O logaritmo de 𝑥 base 𝑎 denotado por log𝑎𝑥 é o expoente para o qual 𝑎 deve ser elevado para produzir 𝑥 Em outras palavras log𝑎𝑥 x é o número 𝑦 tal que 𝑎𝑦 𝑥 A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de funções logarítmicas 16 Tabela 1 5 Funções logarítmicas Função 𝑓𝑥 𝑙𝑜𝑔2𝑥 𝑓𝑥 𝑙𝑜𝑔4𝑥 𝑓𝑥 𝑙𝑜𝑔3𝑥 𝑓𝑥 𝑙𝑜𝑔5𝑥 Os gráficos a seguir apresentam a relação entre uma função exponencial e uma função logarítmica e a determinação de função crescente ou decrescente a partir do valor de base a 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑔𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 Fonte Autor Figura 114 Funções exponencial e logarítmica 17 Fonte Autor Figura 115 Função logarítmica Funções trigonométricas são funções matemáticas que estudam as relações entre os ângulos de um triângulo e os comprimentos dos seus lados O triângulo ABC tem um ângulo reto 90 em C e lados de comprimento a b e c As funções trigonométricas do ângulo A são definidas na tabela a seguir Fonte Autor Figura 116 Triângulo retângulo 18 Tabela 16 Funções trigonométricas Função Descrição seno de A sin 𝐴 𝑎 𝑐 cosseno de A cos 𝐴 𝑏 𝑐 tangente de A tan 𝐴 𝑎 𝑏 cotangente de A cot 𝐴 𝑏 𝑎 1 tan 𝐴 secante de A sec 𝐴 𝑐 𝑏 1 cos 𝐴 cossecante de A csc 𝐴 𝑐 𝑎 1 sin 𝐴 Fonte Autor A função seno denotada por sin𝑥 é uma das principais funções trigonométricas que descreve a relação entre um ângulo e o comprimento do lado oposto de um triângulo retângulo dividido pela hipotenusa Fonte Autor Figura 117 Função seno 19 A função cosseno denotada por cos𝑥 é uma das principais funções trigonométricas que descreve a relação entre um ângulo e o comprimento do lado adjacente de um triângulo retângulo dividido pela hipotenusa Fonte Autor Figura 118 Função cosseno Entre as funções seno e cosseno existe uma defasagem de 90 ou seja são a mesma função porém uma em relação a outra está adiantada em 90 ou defasada em 90 conforme figura a seguir Fonte Autor Figura 119 Defasagem entre seno e cosseno 20 A função tangente denotada por tan𝑥 é uma das funções trigonométricas fundamentais que descreve a relação entre um ângulo e a razão do comprimento do lado oposto pelo lado adjacente de um triângulo retângulo Fonte Autor Figura 120 Função tangente A função secante denotada por sec𝑥 é uma função trigonométrica definida como o recíproco do cosseno de um ângulo 𝑥 a função cossecante denotada por csc𝑥 é a função trigonométrica que representa o recíproco do seno de um ângulo 𝑥 e a função cotangente denotada por cot𝑥 é uma função trigonométrica definida como o recíproco da tangente de um ângulo 𝑥 Fonte Autor Figura 121 Funções secante cossecante e cotangente no círculo trigonométrico 21 15 Aplicações de Funções As funções matemáticas desempenham um papel fundamental na engenharia e na tecnologia pois oferecem ferramentas poderosas para modelar e resolver uma vasta gama de problemas complexos Desde a análise estrutural de pontes até o projeto de circuitos eletrônicos avançados as funções matemáticas são utilizadas para descrever relações quantitativas entre variáveis prever comportamentos de sistemas físicos e otimizar o desempenho de projetos Funções como polinomiais exponenciais trigonométricas e logarítmicas são aplicadas para calcular cargas estruturais simular fenômenos físicos projetar algoritmos de controle analisar dados experimentais e muito mais Além disso com o avanço da computação e da modelagem numérica as funções matemáticas continuam a ser uma ferramenta indispensável para resolver problemas complexos de engenharia e tecnologia de forma precisa e eficiente Na tabela a seguir apresentaremos algumas aplicações de funções matemáticas Tabela 17 Aplicação de função quadrática Situação Problema Uma aplicação prática comum envolvendo funções quadráticas está na área de física especialmente no estudo de movimento de corpos sujeitos à gravidade Por exemplo ao analisar o movimento de um objeto lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial 𝑣0 a altura ℎ𝑡 do objeto em relação ao tempo 𝑡 pode ser modelada por uma função quadrática Equação ℎ𝑡 𝑣0𝑡 1 2 𝑔𝑡2 Variáveis v0 velocidade inicial do objeto g aceleração da gravidade 98 ms2 t tempo decorrido desde o lançamento Solução Nesta equação o termo 1 2 𝑔𝑡2 representa a parte quadrática da 22 função que descreve como a altura do objeto varia por conta da aceleração da gravidade Fonte Autor Tabela 18 Aplicação de função exponencial Situação Problema Uma aplicação prática importante envolvendo função exponencial está na modelagem de crescimento populacional Por exemplo em demografia e ciências sociais a função exponencial é frequentemente utilizada para descrever o crescimento de uma população ao longo do tempo considerando uma taxa de crescimento constante Equação 𝑃𝑡 𝑃0𝑒𝑟𝑡 Variáveis P0 população inicial r taxa de crescimento t tempo decorrido e base do logarítimo natural 2718 Solução Nesta equação o termo 𝑒𝑟𝑡 é a parte exponencial da função que descreve como a população cresce de forma exponencial ao longo do tempo assumindo que a taxa de crescimento é constante Fonte Autor Tabela 19 Aplicação de função modular Situação Problema A função modular ou operação de módulo é utilizada extensivamente em algoritmos criptográficos para garantir a integridade e a confidencialidade das informações transmitidas pela internet e armazenadas em sistemas de computação Solução Um exemplo simples é o uso do algoritmo RSA RivestShamir Adleman amplamente utilizado em criptografia de chave pública Nesse algoritmo a função modular é fundamental para calcular 23 chaves públicas e privadas assim como para cifrar e decifrar mensagens Fonte Autor Tabela 110 Aplicação de função cosseno Situação Problema Em um sistema elétrico de potência a modelagem matemática da tensão elétrica gerada opera a partir de uma função cossenoidal ou seja os parâmetros de máquina são descritos matematicamente Equação 𝑣𝑡 𝑉𝑝 cos𝜔𝑡 𝜙𝑉 Variáveis Vp valor de pico V velocidade angular radianossegundo defasagem inicial da tensão Solução Nesta equação o termo 𝜔𝑡 𝜙 define a frequência elétrica do sinal o período e a defasagem em relação ao zero Fonte Autor Conclusão Neste bloco apresentamos os conjuntos numéricos revendo as definições dos conjuntos dos números naturais inteiros racionais irracionais e reais Também estudamos funções como função afim função quadrática função modular função exponencial função logarítmica funções trigonométricas e aplicações com uso destas ferramentas matemáticas REFERÊNCIAS STWART James Cálculo Volume I 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 STWART James Cálculo Volume II 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 24 2 LIMITES Apresentação Neste bloco iremos analisar o comportamento das funções à medida que se aproximam de pontos específicos entender como os limites são usados para definir a derivada e abordar como esses conceitos são aplicados para resolver problemas envolvendo indeterminações Além disso também examinaremos exemplos práticos para ilustrar como os limites são essenciais em análises matemáticas avançadas e suas aplicações em diversas áreas da ciência e engenharia 21 Introdução As ideias centrais do Cálculo surgiram no século XVII mais ou menos simultaneamente com os trabalhos de Newton Isaac Newton 16421727 e Leibnitz Gottfried Wilhelm Leibnitz 16461716 cujos objetivos eram a resolução de determinados problemas de Mecânica e Geometria Rapidamente porém o Cálculo Diferencial tornouse um instrumento poderoso em muitos outros ramos da Matemática Física e em outras ciências como Economia Biologia e Psicologia A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores Vamos observar a tabela e o gráfico de uma função Para uma função fx 2x 1 verifiquemos os valores de x e y quando analisamos pela direita e pela esquerda conforme figura a seguir Fonte Autor Figura 21 Comportamento de x e y na função 25 Fonte Autor Figura 21 Gráfico da função 2x1 Ao analisar o gráfico e a tabela de valores de x e y verificamos que se trata de uma função contínua e os valores se aproximam quando orientados em x pela direita x e pela esquerda x Dada uma função f definida num intervalo D dizemos que o limite de fx quando x tende a t é L lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 𝐿 Se é possível tomar valores de fx arbitrariamente próximos de L tomando x suficiente próximo de t mas não igual a t O limite de fx para x tendendo a t é igual a L se e somente se o limite lateral de fx para x tendendo a t pela esquerda for igual ao limite lateral de fx para x tendendo a t pela direita e se esses forem iguais a L Considerando o gráfico a seguir aplicandose a teoria de análise de limites aproximando pela direita e pela esquerda temos 26 Fonte Autor Figura 22 Gráfico de função Tabela 21 Limite de uma função Quando x se aproxima pela direita 2 lim 𝑥2 𝑓𝑥 2 Quando x se aproxima pela esquerda 2 lim 𝑥2 𝑓𝑥 2 Quando x assume valor 2 lim 𝑥2 𝑓𝑥 2 Fonte Autor 22 Propriedades dos Limites As propriedades dos limites são ferramentas fundamentais no estudo do cálculo diferencial pois fornecem um conjunto de regras que simplificam a análise de funções à medida que se aproximam de pontos específicos Essas propriedades permitem a decomposição de expressões complexas em partes mais simples o que facilita a avaliação de limites Entre as principais propriedades estão a soma produto quociente constante multiplicação por uma constante potência e raiz de funções 27 Compreender e aplicar essas propriedades é essencial para resolver problemas que envolvem continuidade derivadas e integrais Isso torna o estudo dos limites mais acessível e sistemático para estudantes e profissionais em diversas áreas da ciência e engenharia A tabela a seguir apresenta as principais propriedades dos limites Tabela 22 Propriedades fundamentais em limites Propriedade Descrição Expressão Matemática O limite da soma de duas funções é a soma dos limites lim 𝑥𝑡𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑡 𝑔𝑥 Limite do Produto O limite do produto de duas funções é o produto dos limites lim 𝑥𝑡𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑡 𝑔𝑥 Limite do Quociente O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites desde que o limite do denominador não seja zero lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 lim 𝑥𝑡 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑡 𝑔𝑥 0 Limite da Constante k O limite de uma constante é a própria constante lim 𝑥𝑡 𝑘 𝑘 Limite da Constante vezes Função kfx O limite de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pelo limite da função lim 𝑥𝑡 𝑘𝑓𝑥 𝑘 lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 Limite da Potência O limite de uma função elevada a uma potência é a potência do limite da função lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥𝑛 lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 𝑛 Limite da Raiz O limite da raiz de uma função é a raiz do limite da função lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 𝑛 lim 𝑥𝑡 𝑓𝑥 𝑛 Fonte Autor 28 23 Limites Infinitos Os limites infinitos são um conceito crucial no cálculo diferencial pois lidam com o comportamento de funções à medida que a variável independente tende ao infinito ou quando a função cresce sem limites à medida que se aproxima de um determinado ponto Os termos tender a zero e tender a infinito são usados no cálculo para descrever o comportamento das funções à medida que a variável independente se aproxima de certos valores críticos Tender a zero referese ao comportamento de uma função ou expressão que se aproxima do valor zero à medida que a variável se aproxima de um determinado ponto Para a função a seguir quando aplicamos o conceito de limite pela direita e pela esquerda apresentase o seguinte comportamento matemático na tabela a seguir Tabela 23 Limite infinito uma função Quando x se aproxima pela esquerda 0 lim 𝑥0 1 𝑥 Quando x se aproxima pela direita0 lim 𝑥0 1 𝑥 Fonte Autor Pelo teorema fundamental de limite não existe limite para função acima lim 𝑥0 1 𝑥 lim 𝑥0 1 𝑥 29 Tabela 24 Limite infinito uma função Quando x se aproxima pela esquerda 1 lim 𝑥1 1 𝑥 12 Quando x se aproxima pela direita1 lim 𝑥1 1 𝑥 12 Quando x assume valor 1 lim 𝑥1 1 𝑥 12 Fonte Autor Pelo teorema fundamental de limite existe limite para função acima lim 𝑥1 1 𝑥 12 lim 𝑥1 1 𝑥 12 Fonte Autor Figura 23 Gráfico de função 24 Limite de Funções Racionais Os limites de funções racionais que são quocientes de polinômios desempenham um papel fundamental na análise matemática e no cálculo diferencial Ao avaliar o limite de uma função racional à medida que a variável independente se aproxima de um ponto finito ou tende ao infinito é importante considerar tanto os graus dos polinômios no numerador quanto no denominador 30 𝑓𝑥 𝑃𝑥 𝑄𝑥 𝑄𝑥 0 Se o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador o limite tende a zero Se os graus são iguais o limite é o quociente dos coeficientes líderes Quando o grau do numerador é maior que o do denominador o limite tende a infinito ou menos infinito dependendo dos sinais dos coeficientes A tabela a seguir apresenta as três possíveis situações envolvendo funções racionais Tabela 24 Limite de funções racionais Situação Resposta 𝑓𝑥 𝑃𝑥 𝑄𝑥 𝑘 0 𝑓𝑥 𝑃𝑥 𝑄𝑥 𝑘 0 𝑓𝑥 𝑃𝑥 𝑄𝑥 Indeterminado 𝑓𝑥 𝑃𝑥 𝑄𝑥 0 0 Indeterminado Fonte Autor Quando ocorre uma situação de indeterminação com limites infinitos é necessário realizar um tratamento matemático de forma a eliminar essa indeterminação Consideremos a seguinte expressão de determinação de limite lim 𝑥2 𝑥2 2𝑥 𝑥 2 22 22 2 2 0 0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 Como o limite da função anterior gerou uma indeterminação fazse necessário realizar uma racionalização do denominador 𝑥2 2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 2 𝑥 2 𝑥 lim 𝑥2 𝑥2 2𝑥 𝑥 2 lim 𝑥2𝑥 2 Consideremos a seguinte expressão de determinação de limite lim 𝑥 𝑥2 4 𝑥 2 2 4 2 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 31 Como o limite da função anterior gerou uma indeterminação fazse necessário realizar uma racionalização do denominador 𝑥2 4 𝑥 2 𝑥 2𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 lim 𝑥 𝑥2 4 𝑥 2 lim 𝑥𝑥 2 Tão importante quanto o conhecimento de limite são as propriedades e operações com infinito As tabelas a seguir apresentam as principais propriedades com indeterminação em limites Tabela 25 Propriedades do infinito em limites Situação Resposta Indeterminado 0 0 0 00 Fonte Autor Tabela 26 Operações simbólicas com limites Situação Resposta 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 0 Fonte Autor As operações de multiplicação e divisão devem obedecer as regras de sinais 32 25 Aplicações Práticas de Limites Os limites são uma ferramenta fundamental em várias áreas da matemática e suas aplicações práticas são vastas e variadas Em engenharia os limites são usados para analisar comportamentos de sistemas dinâmicos e para garantir a estabilidade de estruturas Na física eles são essenciais para descrever fenômenos contínuos e para a formulação de teorias que envolvem mudanças infinitesimais como a mecânica quântica e a teoria da relatividade Em economia os limites ajudam a modelar o comportamento de mercados e a prever tendências a partir de dados históricos Na biologia são utilizados para estudar processos de crescimento populacional e para modelar a propagação de doenças Além disso em informática os limites são aplicados no cálculo de algoritmos e na análise de complexidade computacional sendo indispensáveis para o desenvolvimento de tecnologias eficientes A tabela a seguir apresenta algumas aplicações práticas de uso de limites Tabela 27 Aplicação de limites em física Situação Problema Um exemplo prático de aplicação de limite pode ser encontrado no cálculo de velocidade instantânea em física Suponha que você esteja estudando o movimento de um carro que percorre uma estrada A velocidade média do carro em um intervalo de tempo Δ𝑡 é dada pela razão entre a variação da posição Δ𝑠 e a variação de tempo Δ𝑡 𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑎 Δ𝑠 Δ𝑡 Equação 𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 lim Δ𝑡0 Δ𝑠 Δ𝑡 Variáveis s deslocamento t tempo Solução No entanto para determinar a velocidade instantânea do carro em um momento específico 𝑡 precisamos considerar o limite dessa razão conforme o intervalo de tempo Δ𝑡 se aproxima de zero 33 Fonte Autor Tabela 28 Aplicação de limites em física Situação Problema O custo marginal representa o custo adicional para produzir uma unidade extra de um bem ou serviço Para determinar esse valor usamos o conceito de limite Suponha que a função 𝐶𝑥 represente o custo total de produção de 𝑥 unidades de um produto O custo marginal 𝑀𝐶 ao produzir uma unidade adicional é dado pela derivada da função de custo total 𝐶𝑥 em relação à quantidade 𝑥 𝑀𝐶 𝑑𝐶 𝑑𝑥 Equação 𝑀𝐶 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑥0 𝑑𝐶 𝑑𝑥 Solução Esse cálculo é essencial para as empresas tomarem decisões sobre produção Conhecendo o custo marginal uma empresa pode determinar se deve aumentar ou diminuir a produção para maximizar o lucro Se o preço de venda de uma unidade adicional do produto for maior que o custo marginal aumentar a produção pode ser lucrativo Caso contrário pode ser melhor reduzir a produção O conceito de limite portanto é crucial para otimizar processos de produção e maximizar a eficiência econômica Fonte Autor Conclusão Neste bloco apresentamos a análise do comportamento das funções à medida que se aproximam de pontos específicos entendemos como os limites são usados para definir a derivada e também abordamos como esses conceitos são aplicados para resolver problemas envolvendo indeterminações Além disso examinamos exemplos práticos para ilustrar como os limites são essenciais em análises matemáticas avançadas e suas aplicações em diversas áreas da ciência e engenharia 34 REFERÊNCIAS STWART James Cálculo Volume I 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 STWART James Cálculo Volume II 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 35 3 DERIVADAS CONCEITOS FUNDAMENTAIS Apresentação Neste bloco estudaremos a derivada como taxa de variação a definição da derivada de uma função seguindo em inclinação de uma curva e também conheceremos as derivadas de algumas funções elementares bem como as propriedades operatórias das derivadas 31 Introdução A origem do conceito de derivada está intimamente ligada ao desenvolvimento do cálculo diferencial no século XVII A necessidade de entender e formalizar as taxas de variação e o comportamento de funções em pontos específicos levou ao surgimento das derivadas Dois matemáticos Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz são creditados de forma independente pelo desenvolvimento das bases do cálculo incluindo o conceito de derivada Fonte httpsptwikipediaorgwikiPrincC3ADpiosMatemC3A1ticosdaFilosofiaNatural Figura 31 Capa do livro Principia Mathematica 36 Isaac Newton em sua obra Principia Mathematica publicada em 1687 introduziu a ideia de fluxões que correspondem às taxas instantâneas de variação Ele aplicou esse conceito principalmente para resolver problemas em física como o movimento dos corpos e a gravitação Newton desenvolveu métodos para calcular essas taxas que hoje conhecemos como derivadas utilizando o conceito de infinitesimais Na terminologia de Newton uma fluxão representa a taxa de variação instantânea de uma quantidade em relação ao tempo Em outras palavras uma fluxão é a velocidade com que uma quantidade variável muda ao longo do tempo Wikipédia 2024 A derivada de uma função 𝑓𝑥 em um ponto 𝑥𝑎 é definida como o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável conforme essa variação da variável se aproxima de zero Matematicamente a derivada 𝑓𝑎 é expressa como 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝒇𝒂 𝒉 𝒇𝒂 𝒉 Esse limite se existir representa a taxa de variação instantânea da função no ponto 𝑥𝑎 ou geometricamente a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto A derivada fornece uma medida precisa de como a função muda em relação à variável independente e é uma ferramenta essencial para a análise de funções em cálculo diferencial Graficamente a derivada é descrita como a reta tangente quando x a Fonte Autor Figura 32 Derivada de uma função 37 A derivada de uma função consegue determinar a equação da função reta o qual realiza a tangente de uma curva qualquer em um determinado ponto Dada a função hipérbole a seguir determinaremos a reta tangente no ponto 3 1 𝒇𝒙 𝟑 𝒙 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝒇𝟑 𝒉 𝒇𝟑 𝟑 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝟑 𝟑 𝒉 𝟏 𝒉 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝟑 𝟑 𝒉 𝟑 𝒉 𝒉 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟑 𝒉 𝐥𝐢𝐦 𝒉𝟎 𝟏 𝟑 𝒉 𝒇𝒙 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒂 𝒓𝒆𝒕𝒂 Logo na equação da reta tangente no ponto 3 1 temos 𝒚 𝒚𝟎 𝒎𝒙 𝒙𝟎 𝒚 𝟏 𝟏 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑𝒚 𝟔 𝟎 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒓𝒆𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒏𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝟑𝟏 Fonte Autor Figura 33 Derivada de uma função A taxa de variação de uma função quantifica como o valor da função muda em resposta à mudanças na variável independente Em uma função fx a taxa de variação média é dada por 38 𝚫𝒚 𝚫𝒙 𝒇𝒙𝟐 𝒇𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝚫𝒚 𝚫𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝒇𝒙𝟐 𝒇𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕â𝒏𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 Fonte Autor Figura 34 Taxa de variação instantânea de uma função A derivada de uma função possui diversas notações os quais dependem do autor do material de leitura que pode variar entre 𝒇𝒙 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒇𝒙 𝑫𝒇𝒙 𝑫𝒙𝒇𝒙 Ou seja a expressão final do cálculo de derivada de uma função é 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝒇𝒙 𝚫𝒙 𝒇𝒙 𝚫𝒙 39 32 Regras de Derivação I Fórmulas e regras de derivação são ferramentas essenciais no cálculo diferencial pois permitem a obtenção eficiente das derivadas de funções complexas Entre as regras fundamentais destacamse a regra da potência que simplifica a derivação de funções polinomiais a regra do produto e a regra do quociente que são utilizadas para derivar produtos e quocientes de funções respectivamente e a regra da cadeia que facilita a derivação de funções compostas Além dessas existem fórmulas específicas para derivadas de funções exponenciais logarítmicas trigonométricas e inversas Para cada tipo de função apresentaremos a derivada de sua função passo a passo e por conseguinte a regra geral Derivada de uma função constante k 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝒇𝒙 𝚫𝒙 𝒇𝒙 𝚫𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝒌 𝒌 𝚫𝒙 𝟎 𝚫𝒙 𝟎 Derivada de uma função identidade y x 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝒇𝒙 𝚫𝒙 𝒇𝒙 𝚫𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝒙 𝚫𝒙 𝒙 𝚫𝒙 𝚫𝒙 𝚫𝒙 𝟏 Derivada do produto de uma função por uma constante kfx 𝑓𝑥 lim Δ𝑥0 𝑓𝑥 Δ𝑥 𝑓𝑥 Δ𝑥 lim Δ𝑥0 𝑘𝑓𝑥 Δ𝑥 𝑘𝑥 Δ𝑥 lim Δ𝑥0 𝑘 𝑓𝑥 Δ𝑥 𝑓𝑥 Δ𝑥 𝑘 lim Δ𝑥0 𝑓𝑥Δ𝑥𝑓𝑥 Δ𝑥 Derivada de uma função potência x4 𝑓𝑥 𝑥4 𝑓𝑥 lim Δ𝑥0 𝑓𝑥 Δ𝑥 𝑓𝑥 Δ𝑥 lim Δ𝑥0 𝑥 Δ𝑥4 𝑥4 Δ𝑥 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝒙𝟒 𝟒𝒙𝟑𝚫𝒙 𝟔𝒙𝟐𝚫𝒙𝟐 𝟒𝐱𝚫𝒙𝟑 𝚫𝒙𝟒 𝒙𝟒 𝚫𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎 𝟒𝒙𝟑 𝟔𝒙𝟐𝚫𝒙 𝟒𝒙𝚫𝒙𝟐 𝚫𝒙𝟑 𝚫𝒙 𝚫𝒙 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝒙𝟎𝟒𝒙𝟑 𝟔𝒙𝟐𝚫𝒙 𝟒𝒙𝚫𝒙𝟐 𝚫𝒙𝟑 𝟒𝒙𝟑 40 Derivada de uma função potência xn 𝒇𝒙𝒏 𝒏 𝒙𝒏𝟏 33 Regras de Derivação II As operações com limites constituem um conjunto de técnicas fundamentais no cálculo e na análise matemática que são essenciais para estudar o comportamento de funções em pontos críticos ou no infinito Elas permitem avaliar como uma função se aproxima de um determinado valor à medida que sua variável independente se aproxima de outro valor específico As principais operações incluem a soma diferença produto quociente e composição de limites Derivada de soma de funções 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙 𝒈𝒙 Derivada de diferença de funções 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙 𝒈𝒙 Derivada do produto de funções 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙𝒈𝒙 𝒇𝒙𝒈𝒙 Derivada do quociente de funções 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙𝒈𝒙 𝒇𝒙𝒈𝒙 𝒈𝒙𝟐 Derivada de uma função composta fgx Dada uma função composta utilizase uma regra matemática denominada Regra da Cadeia Essa regra estabelece que a derivada da função composta seja o produto da derivada externa da função mais externa aplicada à função interna pela derivada da função interna Matematicamente temos 𝒚 𝒇𝒖 𝒆 𝒖 𝒈𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒙 41 Derivada de ordem superior Se uma função possui uma derivada fx então sua derivada é superior fx e assim sucessivamente A seguir apresentamos nas notações para derivadas de ordem superior Tabela 31 Derivadas de ordem superior Ordem Nomenclatura Primeira Ordem 𝒇𝒙𝒐𝒖 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Segunda Ordem 𝒇𝒙 𝒐𝒖 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 𝒐𝒖 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Terceira Ordem 𝒇𝒙 𝒐𝒖 𝒅𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑 𝒐𝒖 𝒅 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Enésima Ordem 𝒇𝒏𝒙 𝒐𝒖 𝒅𝒏𝒚 𝒅𝒙𝒏 Fonte Autor 34 Regras de Derivação III Além das funções lineares constante e polinômios a função derivada também é aplicada em funções trigonométricas seno cosseno tangente secante cossecante e cotangente em funções exponenciais e em funções logarítmicas Derivada de uma função exponencial ax 𝒇𝒂𝒙 𝒂𝒙 𝐥𝐧 𝒂 Derivada de uma função exponencial naturalex 𝒇𝒆𝒙 𝒆𝒙 Derivada de uma função logarítmica 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 𝒇𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝒂 42 Derivada de uma função logarítmica natural 𝐥𝐧 𝒙 𝒇𝐥𝐧 𝒙 𝟏 𝒙 Derivada de uma função seno 𝒇𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Derivada de uma função cosseno 𝒇𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 Derivada de uma função tangente 𝒇𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒇 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒇𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 Derivada de uma função cossecante 𝒇𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝐜𝐨𝐭 𝒙 Derivada de uma função secante 𝒇𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝐭𝐚𝐧 𝒙 Derivada de uma função cotangente 𝒇𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒙 35 Aplicações de Derivada Uma aplicação prática importante da derivada pode ser encontrada na área de engenharia elétrica especialmente na análise de circuitos elétricos Em circuitos que envolvem componentes como resistores capacitores e indutores a corrente e a tensão variam ao longo do tempo de acordo com relações específicas 43 Para entender como essas variáveis mudam instantaneamente em resposta às mudanças nas condições do circuito utilizamos derivadas para modelar e analisar essas relações Por exemplo a derivada da corrente em relação ao tempo pode fornecer insights sobre a taxa de carga ou descarga de um capacitor em um circuito RC enquanto a derivada da tensão em relação ao tempo pode indicar a taxa de variação de potência em um circuito de corrente alternada Tabela 32 Aplicação de função derivada em circuito RLC Situação Problema Um filtro RLC série necessita de um estudo da função corrente elétrica porém tratase de um sinal variante no tempo ou seja os valores de corrente elétrica também são variantes no tempo Equação 𝑽𝑻 𝑽𝑹 𝑹𝑰 𝑽𝑪 𝒒 𝑪 𝑽𝑳 𝑳𝒅𝑰 𝒅𝒕 𝑽𝑻 𝑹 𝒅𝒒 𝒅𝒕 𝒒 𝑪 𝑳 𝒅 𝒅𝒕 𝒅𝒒 𝒅𝒕 𝑰 𝑳𝒅𝟐𝒒 𝒅𝒕𝟐 𝑉𝑇 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝑞 𝐶 𝐿 𝑑2𝑞 𝑑𝑡2 Solução Aplicando a lei da eletricidade básica Lei de Ohm o qual relaciona a somatória de tensões elétricas em uma malha fecha para um circuito série ao invés de trabalharmos com funções discretas utilizamos as derivadas de primeira e segunda ordem para expressar a função matemática que retrata o comportamento elétrico do circuito Fonte Autor 44 Tabela 33 Aplicações gerais de derivadas Área de Aplicação Exemplos de Aplicações Física e Engenharia Análise de movimento dinâmica de partículas velocidade e aceleração Economia e Finanças Modelagem de taxas de crescimento otimização de recursos análise de investimentos Biologia e Medicina Modelagem de crescimento de populações propagação de doenças funções fisiológicas Química Cinética química velocidade de reações concentração de substâncias Ciências da Computação Algoritmos de otimização aprendizado de máquina visão computacional Geologia e Geofísica Movimentos tectônicos formação de rochas análise de propriedades materiais Arquitetura e Design Otimização estrutural eficiência energética estabilidade de edifícios Meteorologia e Climatologia Padrões climáticos previsão do tempo modelagem meteorológica Fonte Autor Conclusão Neste bloco estudamos a derivada como taxa de variação a definição da derivada de uma função seguindo em inclinação de uma curva e também conhecemos as derivadas de algumas funções elementares e as propriedades operatórias das derivadas 45 REFERÊNCIAS STWART James Cálculo Volume I 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 STWART James Cálculo Volume II 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 WIKIPEDIA Enciclopédia Livre Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Disponível em httpsenwikipediaorgwikiPhilosophiC3A6NaturalisPrincipiaMathematica Acesso em 26 de agosto de2024 WIKIPEDIA Enciclopédia Livre Method of Fluxions Disponível em httpsptwikipediaorgwikiMethodofFluxions Acesso em 26 de agosto de 2024 46 4 DERIVADAS FUNÇÕES INVERSAS IMPLÍCITAS E REGRA DE LHÔPITAL Apresentação Neste bloco estudaremos as funções inversas funções implícitas suas respectivas derivadas e uma aplicação em limites com solução de indeterminação a Regra de LHôpital bem como algumas aplicações práticas dessas categorias de derivadas 41 Derivadas de Funções Inversas Funções inversas desempenham um papel crucial em matemática especialmente na análise e na álgebra Uma função inversa como o próprio nome sugere é uma função que inverte outra função ou seja se a função original f leva um elemento x a y a função inversa f1 leva y de volta a x Formalmente uma função f tem uma inversa se e somente se for bijetora o que significa que deve ser ao mesmo tempo injetora cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único do contradomínio e sobrejetora cada elemento do contradomínio é mapeado por algum elemento do domínio A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de funções inversas 𝑓1𝑦 𝑥 𝑓𝑥 𝑦 Tabela 41 Função Inversa 𝑓17 3 𝑓3 7 𝑓15 1 𝑓1 5 𝑓110 8 𝑓8 10 Fonte Autor Para determinar a função inversa de uma função fx trabalhase a mesma de forma algébrica conforme exemplo a seguir 𝑓𝑥 𝑥3 2 𝑦 𝑥3 2 𝑥3 𝑦 2 𝑥 𝑦 2 3 𝑓𝑥 𝑥3 2 𝑓1𝑥 𝑦2 3 47 O gráfico a seguir representa a função fx e f1 x Fonte Autor Figura 41 Gráfico de função inversa Gerar graficamente uma função inversa utiliza como linha meridional a função y x ou seja obtido refletindose o gráfico em torno da reta A tabela a seguir apresenta algumas funções inversas Tabela 42 Exemplos de funções inversas 𝒇𝒙 𝒇𝟏𝒙 𝑦 log𝑎 𝑥 𝑥 𝑎𝑦 𝑦 sin𝑥 𝑥 𝑠𝑖𝑛1𝑦 𝑦 𝑥𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 Fonte Autor Se uma função y fx admite a função inversa x gy e gy é diferente de zero para um determinado valor de y então no ponto x correspondente existe derivada y fx a qual é obtida por 𝑓𝑥 1 𝑔𝑦 𝑜𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 48 Logo quando devemos aplicar a derivada de uma função inversa y podemos realizar de duas formas manipulação algébrica isolar x e y ou aplicar o teorema da derivada da função inversa A tabela a seguir apresenta os dois métodos Tabela 43 Aplicação do teorema da derivada da função inversa 𝒇𝒙 𝒚𝟓 𝟑𝒚 𝟐𝒙 𝟎 Manipulação Algébrica 𝑦5 3𝑦 2𝑥 0 2𝑥 𝑦5 3𝑦 𝑥 𝑦5 2 3 2 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 5 2 𝑦4 3 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 5𝑦43 2 Teorema da Derivada da Função Inversa 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 5𝑦4 3 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 5𝑦4 3 Fonte Autor 42 Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas Para funções inversas trigonométrica arco seno arco cosseno e arco tangente utilizase o teorema da derivada da função inversa A seguir apresentamos a dedução para função inversa arco seno 𝑦 sin1 𝑥 𝑥 sin 𝑦 𝑐𝑜𝑚 𝜋 2 𝑦 𝜋 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 cos 𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑦 𝑠𝑖𝑛2𝑦 1 cos 𝑦 1𝑠𝑖𝑛2𝑦 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 1 𝑠𝑖𝑛2𝑦 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 1 𝑥2 49 Tabela 44 Derivada de funções trigonométricas inversas 𝒇𝒙 𝒇𝒙 𝑦 sin1 𝑥 1 1 𝑥2 𝑦 cos1 𝑥 1 1 𝑥2 𝑦 tan1 𝑥 1 1 𝑥2 𝑦 sec1 𝑥 1 𝑥𝑥2 1 𝑦 csc1 𝑥 1 𝑥𝑥2 1 𝑦 cot1 𝑥 1 1 𝑥2 Fonte Autor 43 Derivadas de Funções Implícitas Uma relação de igualdade nas variáveis x e y equação define dependência funcional entre elas Se uma equação desse tipo não estiver resolvida em relação a uma das variáveis dizse que se tem uma delas como função implícita da outra A tabela a seguir apresenta alguns exemplos Tabela 45 Funções implícitas 1 3𝑥 4𝑦 12 2 𝑥2 9 𝑦2 3 𝑦5 3𝑦 2𝑥 0 Fonte Autor Em toda equação desse tipo podese passar todos os termos para o primeiro membro deixando zero no segundo membro Concluise disso que a forma geral de uma função implícita é fx y 50 Certas funções implícitas podem ser resolvidas em relação a uma das variáveis obtendose assim uma função explícita Contudo há casos em que isso é impossível A tabela a seguir apresenta alguns exemplos resolvíveis Tabela 46 Funções implícitas resolvíveis 3𝑥 4𝑦 12 4𝑦 12 3𝑥 𝑦 3 3 4 𝑥 𝑥2 9 𝑦2 𝑦2 9 𝑥2 𝑦 9 𝑥2 𝑦5 3𝑦 2𝑥 0 2𝑥 𝑦5 3𝑦 𝑥 1 2 𝑦5 3 2 𝑦 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑦𝑥 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥𝑦 Fonte Autor Dada uma função implícita obtémse a derivada de uma variável em relação a outra derivandose ambos os membros em relação à variável desejada e levando em consideração o teorema da derivada da função composta A seguir apresentaremos um exemplo de derivação implícita 3𝑥 4𝑦 12 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 4𝑦 12 3 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 4 Essa mesma derivada pode ser obtida a partir da função explícita 𝑦 3 3 4 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3 3 4 𝑥 3 4 Para aqueles casos que não podemos transformar uma função implícita em explícita aplicamos o teorema da derivada de funções implícitas 𝑦5 3𝑦 2𝑥 0 𝑑 𝑑𝑥 5𝑦5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 0 5𝑦5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 5𝑦5 3 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 5𝑦5 3 Importante ressaltar que quando derivamos os dois lados da equação mesmo derivando dydx a variável y é derivável implicitamente 51 𝑥3 𝑦3 6𝑥𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 𝑦3 6𝑥𝑦 3𝑥2 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 6 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 6 3𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 6 3𝑥2 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑥2 𝑦2 44 Regra de LHôpital A Regra de LHôspital é assim chamada em homenagem ao nobre francês Marquês de LHôspital 16611704 mas foi descoberta pelo matemático suíço John Bernoulli 16671748 Você pode encontrar algumas vezes LHôspital escrito como LHôpital mas ele soletrava seu próprio nome como lHôspital como era comum no século XVII O nome correto é LHôpital pois a grafia LHôspital é uma variação antiga e menos comum do nome do matemático francês Guillaume de LHôpital 16611704 Hoje a forma LHôpital é amplamente aceita e utilizada em textos matemáticos e históricos COOKE 2013 Fonte httpsptwikipediaorgwikiFicheiroGuillaumedel27HC3B4pitaljpg Figura 42 Marquês de LHôpital 52 Vimos que ao calcular o limite da razão de duas funções x para x tendendo a uma constante a 𝒙 𝒂 e quando ambas as funções tiverem limite zero nesse ponto temos uma indeterminação do tipo 𝟎 𝟎 Ou seja indeterminado conforme exemplos a seguir 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒈𝒙 𝟎 𝟎 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 Tabela 47 Limites indeterminados Limite Resolução 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟗 𝒙𝟐 𝟑 𝒙 𝟎 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟗 𝒙𝟐 𝟑 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟑 𝒙𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟑 𝒙 𝟔 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝟎 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝟏 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐 Fonte Autor A Regra de LHôspital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas desde que as condições dadas estejam satisfeitas 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒂 𝒈𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒇𝒂 𝒙 𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒈𝒙 𝒈𝒂 𝒙 𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒇𝒂 𝒙 𝒂 𝒈𝒙 𝒈𝒂 𝒙 𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒇𝒂 𝒈𝒙 𝒈𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒈𝒙 Tabela 48 Limites indeterminados solucionados por LHôpital Limite Resolução 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟗 𝒙𝟐 𝟑 𝒙 𝟎 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟗 𝒙𝟐 𝟑 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟐𝒙 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝟐𝒙 𝟔 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝟎 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟏 Fonte Autor 45 Aplicações de Derivadas de Funções Implícitas Funções Inversas e Regra de LHôpital 53 A derivada de uma função implícita é uma ferramenta poderosa na matemática especialmente em situações em que as relações entre variáveis não podem ser facilmente expressas como funções explícitas Em vez de isolar uma variável a derivada implícita permite diferenciar ambos os lados de uma equação simultaneamente tratando todas as variáveis como funções de uma variável independente Essa técnica é fundamental em diversas áreas práticas como na física para modelagem de sistemas dinâmicos complexos na economia para análise de curvas de indiferença e superfícies de produção e na engenharia para resolver problemas de otimização e controle Por exemplo na cinemática a derivada implícita é usada para encontrar a taxa de variação da posição de um objeto em movimento ao longo de uma trajetória curva na qual a relação entre posição e tempo não é facilmente resolvida de forma explícita Assim a derivada de funções implícitas amplia significativamente a capacidade de resolver problemas reais que envolvem relações interdependentes complexas Tabela 49 Aplicação de derivada de função implícita Situação Problema Imagine que temos um ponto se movendo ao longo da circunferência de um círculo de raio constante 𝑟 A equação do círculo no plano cartesiano é dada por 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒓𝟐 Determinar a taxa de variaçã dydx o de y em relação a x em qualquer ponto da circunferência Solução 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒓𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟎 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒚 𝒙 𝒚 Aplicação Prática Considere um exemplo específico um carro se movendo ao longo de uma pista circular Para calcular a direção instantânea do movimento a direção da tangente à pista em qualquer ponto podemos usar a derivada 54 implícita da equação da circunferência da pista Isso ajuda a controlar a direção do carro a sua aceleração lateral e a prever o comportamento do veículo em resposta às forças centrípetas Fonte Autor A derivada de uma função inversa é uma ferramenta essencial em várias aplicações práticas nas quais é necessário entender como mudanças em uma variável afetam outra especialmente quando as funções envolvidas não podem ser facilmente invertidas de forma explícita Em engenharia por exemplo a derivada de uma função inversa é utilizada para analisar e projetar sistemas de controle em que a saída de um sistema deve ser regulada com precisão em resposta a uma entrada variável Na economia essa derivada é fundamental para estudar a elasticidadepreço da demanda para ajudar a determinar como variações nos preços influenciam a quantidade demandada de um produto Na física ela é aplicada para resolver problemas de cinemática e dinâmica como determinar a velocidade e a aceleração em trajetórias complexas Por exemplo se a posição de um objeto em movimento é descrita por uma função complexa a derivada da função inversa permite calcular rapidamente a velocidade do objeto em função do tempo Assim a derivada de funções inversas amplia significativamente a capacidade de resolver problemas reais que envolvem relações inversas complexas entre variáveis Tabela 410 Aplicação de derivada de função inversa Situação Problema Suponha que a demanda por um produto seja descrita pela função de demanda 𝑄 𝑓𝑃 onde 𝑄 é a quantidade demandada e 𝑃 é o preço Em muitas situações práticas é mais conveniente expressar o preço como uma função da quantidade ou seja 𝑃 𝑔𝑄 A elasticidadepreço da demanda é então dada por 𝑬𝒑 𝒅𝑸 𝒅𝑷 𝑷 𝑸 Determinar dQdP 55 Solução 𝒅𝑸 𝒅𝑷 𝟏 𝒅𝑷 𝒅𝑸 Aplicação Prática A elasticidadepreço da demanda é um conceito econômico que mede a sensibilidade da quantidade demandada de um bem em resposta a mudanças no preço desse bem É uma aplicação clássica da derivada de uma função inversa onde queremos entender como a quantidade demandada 𝑄 varia em função do preço 𝑃 Fonte Autor Em engenharia por exemplo a Regra de LHôpital é essencial para analisar comportamentos críticos em sistemas dinâmicos e para controlar o desempenho de dispositivos que dependem de taxas de variação precisas Tabela 4 11 Aplicação da Regra de LHôpital Situação Problema A Regra de LHôpital pode ser aplicada na análise de circuitos elétricos para determinar as condições de operação de componentes críticos como resistores e capacitores Considere um circuito RC resistor capacitor simples em que um capacitor de capacitância 𝐶 está sendo carregado por meio de um resistor de resistência 𝑅 por uma fonte de tensão 𝑉𝑡 A tensão 𝑉𝑡 no capacitor em função do tempo 𝑡 pode ser descrita pela equação diferencial 𝑽𝒕 𝑽𝟎 𝟏 𝒆 𝟏 𝑹𝑪 𝑽 Solução Para determinar a taxa inicial de carregamento do capacitor ou seja a taxa de variação da tensão 𝑉𝑡 em relação ao tempo 𝑡 no início do carregamento podemos utilizar a Regra de LHôpital Aplicação Prática Essa informação é crucial para projetar circuitos que operam corretamente desde o início do carregamento evitando sobrecargas ou outros problemas de funcionamento Fonte Autor 56 Conclusão Neste bloco estudamos as funções inversas funções implícitas suas respectivas derivadas e uma aplicação em limites com solução de indeterminação Também estudamos a Regra de LHôpital e algumas aplicações práticas dessas categorias de derivadas REFERÊNCIAS COOKE Roger L The History Of Mathematics Abrief Course Third Edition Wiley Press New JerseyUSA 2013 643p Disponível em httpswwwhlevkincomhlevkin90MathPhysBioBooksmathHistoryCookeThe20 History20of20Mathematicspdf Acesso em 26 de agosto de 2024 STWART James Cálculo Volume I 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 STWART James Cálculo Volume II 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 57 5 DERIVADAS DIFERENCIAIS TAXAS MÁXIMOS MÍNIMOS E APLICAÇÕES GRÁFICAS Apresentação Neste bloco estudaremos as aplicações dos conceitos relacionados com derivadas de funções diversas aplicadas com aproximação por diferenciais aplicações de taxa de variação de variáveis determinação de máximos e mínimos de funções e aplicações gráficas 51 Aproximações por Diferenciais A aproximação linear e diferencial é uma técnica fundamental no cálculo diferencial a qual é usada para estimar o comportamento de funções complexas localmente por meio da linearização de uma função em torno de um ponto específico Essa abordagem é especialmente útil quando se deseja entender como pequenas mudanças em uma variável independente afetam uma variável dependente Aproximações lineares são obtidas utilizando o conceito de derivada da função em um ponto o que permite construir uma reta tangente à curva da função nesse ponto Essa reta tangente é então usada para estimar valores próximos ao ponto de interesse Chamase diferencial dy de uma função y fx num ponto x ela é derivável ao produto de fx por um incremento x dado a x Isto é 𝑑𝑦 𝑓𝑥 Δ𝑥 Consideremos uma placa plana quadrada de lado x Após aquecimento a placa sofre dilatação de material x x consequentemente também sofreu um aumento da área superficial 58 𝑥 Δ𝑥 𝑥Δ𝑥 Δ𝑥2 𝑥2 𝑥Δ𝑥 𝑥 Δ𝑥 Fonte Autor Figura 51 Aplicação de aproximação linear por diferenciação A variação da área do quadrado quanto à medida do seu lado varia de x para x x é data por Δ𝐴 𝑥 Δ𝑥2 𝑥2 2𝑥Δ𝑥 Δ𝑥2 De fato na figura podemos observar que a variação da área do quadrado é igual à área de um pequeno quadrado de lado x somada com a área de dois retângulos de lados x e x Por outro lado em termos de diferenciais temos 𝑑𝐴 𝐴𝑥𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 O que garante que quando o acréscimo h é muito pequeno dA é uma primeira aproximação para a variação da área 52 Valores Máximos e Mínimos Teorema do Valor Médio Valores máximos e mínimos são pontos críticos em uma função que podem ser identificados usando conceitos de derivadas No cálculo diferencial a derivada de uma função indica a taxa de variação instantânea dessa função em relação à sua variável independente Para encontrar pontos de máximo ou mínimo local de uma função procuramos os pontos em que a derivada se anula ou não existe que são conhecidos como pontos críticos Além disso a segunda derivada fornece informações sobre a concavidade da 59 função nesses pontos ajudando a determinar se esses pontos críticos são máximos locais mínimos locais ou pontos de inflexão Esses conceitos são fundamentais em diversas áreas como economia física engenharia e ciências sociais em que a otimização de funções descreve eficiência lucro máximo equilíbrio de forças entre outros fenômenos importantes Máximo Absoluto seja 𝑓𝑥 uma função contínua em um intervalo 𝐼 e diferenciável em seu interior Um ponto 𝑐 em 𝐼 é um ponto de máximo relativo de 𝑓𝑥 se existir um intervalo aberto em torno de 𝑐 exceto possivelmente em 𝑐 mesmo no qual 𝑓𝑐 é maior ou igual a 𝑓𝑥 para todo 𝑥 nesse intervalo Mínimo Absoluto seja 𝑓𝑥 uma função contínua em um intervalo 𝐼 e diferenciável em seu interior Um ponto 𝑐 em 𝐼 é um ponto de mínimo relativo de 𝑓𝑥 se existir um intervalo aberto em torno de 𝑐 exceto possivelmente em 𝑐 mesmo onde 𝑓𝑐 é menor ou igual a 𝑓𝑥 para todo 𝑥 nesse intervalo Além de máximo fd e mínimo absolutos fa também temos mínimos locais fc fe e máximos locais fb e fd conforme descrito na figura a seguir Fonte Autor Figura 52 Máximo absoluto mínimo absoluto mínimos locais e máximos locais 60 O gráfico da função abaixo apresenta as condições de valores máximos e mínimos absolutos e máximos e mínimos locais Fonte Autor Figura 53 Gráfico da função para o intervalo 1 x 4 Você pode ver que f 1 5 é um máximo local enquanto o máximo absoluto é f 1 37 esse máximo absoluto não é um máximo local pois ele ocorre em extremo do intervalo Além disso f 0 0 é um mínimo local e f 3 27 é um mínimo local tanto quanto absoluto Observe que f não tem um máximo local nem um máximo absoluto em x 4 Os pontos de máximos absolutos mínimos absolutos máximos e mínimos locais são obtidos a partir da utilização da derivada da função cuja função obtida tangencia a curva no ponto determinado Consideremos a função 𝑓𝑥 𝑥2 2𝑥 3 61 Sabemos que f é diferenciável por ser uma função polinomial assim podese derivar e encontrar os pontos críticos da função da seguinte forma 𝑓𝑥 2𝑥 2 Calculando os pontos críticos 0 2𝑥 2 𝑥 1 Onde encontramos em x1 Estudando o sinal antes e depois do ponto crítico temse 𝑓0 20 2 2 𝑓2 22 2 2 Como há mudança de sinal podese afirmar que esse é um ponto de máximo ou mínimo e ao avaliar os pontos no entorno ficase com 𝑓0 02 20 3 3 𝑓1 12 21 3 4 𝑓2 22 22 3 3 Assim concluímos que esse é um ponto de mínimo absoluto visto que ele é contínuo e não há outros pontos de inflexão Podemos também concluir que não há pontos de máximo pois a função tende nas suas extremidades para O Teorema de Valor Médio também denominado O Teorema de Rolle foi publicado pela primeira vez em 1691 pelo matemático francês Michel Rolle 16521719 no livro intitulado Méthode pour résoudre les Egalitéz Ele era um crítico veemente dos métodos de sua época e atacou o cálculo como uma coleção de falácias engenhosas Boyer 1949 62 O Teorema do Valor Médio deve satisfazer três condições 1 f é contínua no intervalo ab 2 f é derivável no intervalo ab 3 fa fb Então existe um número c em ab tal que fc 0 53 Taxas Relacionadas Taxas relacionadas são um conceito central em cálculo diferencial e integral o qual é aplicado para encontrar a taxa de variação de uma quantidade em relação à taxa de variação de outra quantidade com a qual está relacionada As taxas relacionadas são amplamente utilizadas em problemas práticos em que as variáveis mudam simultaneamente e sua relação precisa ser entendida para fazer previsões ou otimizações Exemplos incluem a determinação da velocidade com que o nível de água em um tanque está subindo conforme a água é adicionada a análise da taxa de crescimento de populações ou a avaliação de como a sombra de um objeto se move conforme o objeto se desloca Sabemos que y fx então a derivada dydx pode ser interpretada como a taxa de variação de y em relação a x A seguir apresentaremos alguns exemplos de uso desta taxa de variação dydx Tabela 51 Taxa de variação do raio de um balão de ar quente em expansão Situação Considere um balão de ar que está sendo inflado de maneira que o volume de ar dentro do balão aumenta a uma taxa constante Queremos determinar a taxa de variação do raio do balão em função do tempo Dados do Problema 𝑑𝑉 𝑑𝑡 100 𝑐𝑚3𝑠 𝑉 4 3 𝜋𝑟3 𝑐𝑚3 raio 10 cm Resolução 𝑑 𝑑𝑡 𝑉 𝑑 𝑑𝑡 4 3 𝜋𝑟3 𝑑𝑉 𝑑𝑡 4𝜋𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑡 63 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑉 𝑑𝑡 4𝜋𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑡 100 4 𝜋 102 𝑑𝑟 𝑑𝑡 1 4𝜋 00796 𝑐𝑚 𝑠 Interpretação A taxa de variação do raio do balão é aproximadamente 00796 cms quando o raio do balão é 10cm Isso significa que à medida que o balão é inflado e seu volume aumenta a uma taxa de 100cm3 o raio do balão está aumentando a essa taxa específica naquele instante Fonte Autor Tabela 52 Taxa de variação da concentração em uma reação química Situação Considere uma reação química simples na qual uma substância 𝐴 se decompõe para formar produtos 𝐵 e 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 A concentração de 𝐴 diminui ao longo do tempo enquanto as concentrações de 𝐵 e 𝐶 aumentam Vamos usar taxas relacionadas para determinar a taxa de variação da concentração de 𝐵 em função da taxa de variação da concentração de 𝐴 Dados do Problema Suponha que a concentração de 𝐴 em molL é representada por 𝐴 e a concentração de 𝐵 é representada por 𝐵 A relação estequiométrica da reação indica que para cada mol de 𝐴 que reage 1 mol de 𝐵 é produzido A taxa de variação da concentração de A é 𝑑𝐴 𝑑𝑡 Resolução A reação é 11 então a quantidade de 𝐴 que se decompõe é igual à quantidade de 𝐵 que se forma A taxa de variação da concentração de 𝐴 é igual à taxa de variação da concentração de 𝐵 mas com sinal oposto porque 𝐴 está sendo consumido enquanto 𝐵 está sendo formado 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝐴 𝑑𝑡 Suponha que a concentração de 𝐴 está diminuindo a uma taxa de 001molLs 𝑑𝐵 𝑑𝑡 001 001𝑚𝑜𝑙𝐿𝑠 Interpretação A taxa de variação da concentração de 𝐵 é 001molLs Isso significa que para cada segundo a concentração de 𝐵 aumenta em 001molL conforme a reação prossegue e 𝐴 é decomposto Fonte Autor 64 54 Construção de Gráficos O esboço de curvas é uma técnica fundamental no cálculo diferencial que utiliza as propriedades das derivadas para compreender e visualizar o comportamento das funções Ao analisar a primeira derivada de uma função podemos determinar intervalos de crescimento e decrescimento além de identificar pontos críticos em que a função atinge máximos ou mínimos relativos A segunda derivada fornece informações sobre a concavidade da curva indicando intervalos nos quais a função é côncava para cima ou para baixo bem como os pontos de inflexão em que a concavidade muda Combinando essas análises podemos esboçar o gráfico da função de forma precisa destacando características importantes como interceptos assimptotas e o comportamento em extremos De acordo com a função a seguir utilizaremos as propriedades das derivadas para esboçar e auxiliar a construção do gráfico dela 𝑓𝑥 𝑥3 3𝑥2 2 Tabela 53 Roteiro para construção de gráfico de função Etapa Resolução A primeira derivada da função nos ajuda a identificar os intervalos de crescimento e decrescimento e a localizar os pontos críticos 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 3𝑥2 2𝑥3 3𝑥2 2 3𝑥2 6𝑥 Para encontrar os pontos críticos definimos 𝑓𝑥0 e resolvemos para 𝑥 3𝑥2 6𝑥 0 3𝑥𝑥 2 0 𝑥 0 𝑥 2 Analisamos o sinal de 𝑓𝑥 nos intervalos definidos pelos pontos críticos 𝑥0 e 𝑥2 Para 𝑥0 𝑓𝑥3𝑥𝑥2 é positivo a função cresce Para 0𝑥20x2 𝑓𝑥3𝑥𝑥2 é negativo a função decresce Para 𝑥2x2 𝑓𝑥3𝑥𝑥2 é positivo a função cresce 65 A segunda derivada nos ajuda a identificar a concavidade e os pontos de inflexão 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 6𝑥 6𝑥 6 Analisamos o sinal de 𝑓𝑥 Para 𝑥1x1 𝑓𝑥6𝑥6 é negativo a função é côncava para baixo Para 𝑥1x1 𝑓𝑥6𝑥6 é positivo a função é côncava para cima O ponto de inflexão ocorre onde 𝑓𝑥0 6𝑥60 𝑥1 Calcular os Valores da Função nos Pontos Críticos e de Inflexão 𝑓0 03 3 02 2 2 𝑓2 23 3 22 2 2 𝑓1 13 3 12 2 0 Esboçar a curva A função cresce até 𝑥0 onde atinge um ponto crítico com valor 𝑓02 A função decresce entre 𝑥0 e 𝑥2 atingindo um ponto crítico mínimo em 𝑥2 com valor 𝑓22 A função cresce novamente para 𝑥2 A função tem um ponto de inflexão em 𝑥1 com valor 𝑓1mudando de côncava para baixo para côncava para cima Fonte Autor 66 Fonte Autor Figura 54 Esboço da curva 55 Aplicação Prática A derivada é um conceito central no cálculo diferencial que descreve a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis Desde sua formalização as derivadas têm sido utilizadas para resolver problemas complexos em diversas áreas da ciência engenharia e economia Uma das aplicações práticas mais comuns das derivadas é na otimização em que se busca maximizar ou minimizar funções para encontrar soluções ideais para problemas reais Neste capítulo exploramos a aplicação prática da derivada em matemática por meio de um exemplo clássico de otimização a maximização do lucro de uma empresa A tabela a seguir apresenta uma aplicação prática de derivada 67 Tabela 54 Aplicação de derivada em finanças Situação Uma empresa fabrica e vende um produto O custo de produção e a receita obtida com a venda do produto dependem da quantidade produzida e vendida 𝑥 Queremos determinar a quantidade 𝑥 que maximiza o lucro da empresa Funções Envolvidas Função de Receita 𝑅𝑥 representa a receita total obtida com a venda de 𝑥 unidades do produto Função de Custo 𝐶𝑥 representa o custo total de produção de 𝑥 unidades do produto Função de Lucro 𝑃𝑥 representa o lucro total da empresa É dada por 𝑃𝑥𝑅𝑥𝐶𝑥 Solução Para maximizar o lucro de uma empresa que fabrica e vende um produto determinamos a função de lucro Px como a diferença entre a receita total Rx e o custo total Cx Supondo que a receita por unidade vendida é constante Rx px e o custo total inclui uma parte fixa e uma parte variável Cx F vx a função de lucro é Px p vx F Calculando a derivada da função de lucroPx p v encontramos que o lucro é maximizado quando o preço por unidade p é maior que o custo variável por unidade v Nesse caso o lucro aumenta linearmente com a quantidade produzida x indicando que a produção deve ser maximizada dentro das capacidades da empresa e do mercado para obter o máximo lucro Fonte Autor 68 Conclusão Neste bloco estudamos as aplicações dos conceitos relacionados com derivadas de funções diversas aplicadas com aproximação por diferenciais aplicações de taxa de variação de variáveis determinação de máximos e mínimos de funções e aplicações gráficas REFERÊNCIAS BOYER Carl B The History of the Calculus and Its Conceptual Development Dover Publications New YorkUSA 1949 356p Disponível em httpsarchiveorgdetailsthehistoryofthecalculuscarlbboyer Acesso em 26 de agosto de 2024 STWART James Cálculo Volume I 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 STWART James Cálculo Volume II 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 69 6 INTEGRAL Apresentação Neste bloco estudaremos as aplicações dos conceitos de integrais indefinidas e definidas as formas de integração de funções imediatas substituição por partes substituição trigonométrica e frações parciais as aplicações para cálculo de área volume e aplicações práticas 61 Introdução A origem da integral remonta aos tempos antigos mas seu desenvolvimento significativo ocorreu ao longo dos séculos XVII e XVIII com contribuições de matemáticos como Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz A necessidade de calcular áreas e volumes levou ao desenvolvimento de métodos para somar quantidades infinitesimais uma ideia essencial por trás da integral moderna No entanto os primeiros métodos rudimentares de cálculo de áreas sob curvas podem ser traçados até a antiguidade particularmente na geometria grega em que Arquimedes utilizou métodos de exaustão para calcular áreas e volumes por meio de aproximações sucessivas Dada uma função y fx chamase função primitiva de fx a qualquer função Fx cuja derivada seja fx A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de funções primitivas Tabela 61 Funções Primitivas Fx fx 𝑥2 2𝑥 𝑥2 1 2𝑥 𝑥2 c 2𝑥 Fonte Autor 70 Uma função possui infinitas primitivas que diferem entre is por suas constantes Simbolicamente escrevemos 𝐹𝑥 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑥 𝐹𝑥 𝑓𝑥 A operação para se obter a primitiva de fx é anotada por 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑥 Em que 𝐹𝑥 𝑓𝑥 𝑒 𝑑𝑥 é 𝑜 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 Chama integral definidia de fx ao conjunto de infinitas primitivas de fx Assim se Fx é uma primitiva de fx indicamos a integral indefinida por 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝐹𝑥 𝑐 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑥 A tabela a seguir apresenta as principais propriedades da integral Tabela 62 Principais propriedades da integral Propriedades A derivda da integral indefinida é igual a função a integrar A diferencial de uma integral é igual a expressão sob o símbolo 𝑑𝑥 A integral de uma diferencial é igual a função a diferenciar acresceida de uma constante A integral da soma de nfinito funções é igual a soma das integrais dessas funções Um fator constante pode ser colocado fora do símbolo de integração Fonte Autor 71 Integrais imediatas também conhecidas como integrais simples ou básicas referemse a um conjunto de funções cujas integrais definidas podem ser facilmente determinadas usando fórmulas conhecidas ou regras de integração direta Essas integrais não exigem a aplicação de técnicas avançadas como integração por partes ou substituição trigonométrica A tabela a seguir apresenta algumas integrais envolvendo função potência Tabela 63 Integral imediata 𝒅𝒙 𝑭𝑿 𝒄 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 𝑛 1 𝑐 𝑛 1 𝑥1 1 𝑥 𝑑𝑥 ln𝑥 𝑐 Fonte Autor Integração por substituição também conhecida como regra da cadeia para integrais é uma técnica fundamental no cálculo integral utilizada para simplificar e resolver integrais indefinidas e definidas mais complexas O método baseiase na substituição de variáveis dentro da integral transformandoa em uma forma mais fácil de integrar A expressão a seguir apresenta um exemplo de integração por substituição 2𝑥 32 𝑑𝑥 𝑣2𝑑𝑥 2𝑥 3 𝑣 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 Para substituição de variáveis devemos substituir dx por dv 2𝑥 3 𝑣 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 3 𝑣 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 2 Após determinado dv substituir na integral 𝑣2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 2 𝑣2 𝑑𝑣 2 1 2 𝑣2𝑑𝑣 1 2 𝑣3 3 𝑐 𝑣3 6 𝑐 2 𝑐 Após resolvido a integral imediata substituir a variável v por 2x3 72 2𝑥 32 𝑑𝑥 2𝑥 33 6 𝑐 Importante destacar que a constante c pode se reescrita diversas vezes 62 Integral Definida Uma integral definida é um conceito central no cálculo integral que representa a acumulação de uma grandeza ao longo de um intervalo específico Formalmente dada uma função 𝑓𝑥 contínua em um intervalo fechado 𝑎𝑏 a integral definida de 𝑓𝑥 de 𝑎 a 𝑏 é denotada por 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Essa integral representa a área sob a curva de 𝑓𝑥 no intervalo 𝑎𝑏 no plano cartesiano 𝑥𝑦 Geometricamente a integral definida pode ser interpretada como a soma de infinitas áreas de retângulos infinitesimais em que 𝑑𝑥 representa um elemento de comprimento ao longo do eixo 𝑥 Fonte Autor Figura 61 Integral definida A soma de Riemann é um método no cálculo integral usado para estimar a área sob uma curva irregular dividindo o intervalo 𝑎𝑏 em 𝑛 subintervalos iguais A ideia é a partir da integral definida determinar a área acima da curva fx 73 Fonte Autor Figura 62 Soma de Riemann 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 Δ𝑥 O Teorema do Valor Médio para integrais estabelece que para uma função contínua 𝑓 definida um intervalo fechado 𝑎𝑏 existe pelo menos um ponto 𝑐 em 𝑎𝑏 no qual o valor médio da função no intervalo é igual ao valor da função na média Ou seja 𝑓𝑐 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Esse teorema é uma generalização do Teorema do Valor Médio para derivadas e tem implicações importantes como garantir a existência de pelo menos um ponto em que a função alcança seu valor médio ao longo de um intervalo contínuo O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma relação essencial entre integração e diferenciação Em sua primeira parte afirma que se 𝑓 é uma função contínua em um intervalo fechado 𝑎𝑏 então a função 𝐹𝑥 definida como a integral definida de 𝑓 de 𝑎 até 𝑥 é contínua e diferenciável em 𝑎𝑏 e sua derivada 𝐹𝑥 é igual a 𝑓𝑥 Isso significa que a integral de uma função contínua 𝑓 fornece uma função cuja taxa de variação é precisamente 𝑓 em cada ponto dentro do intervalo A primeira parte do Teorema Fundamental lida com funções definidas por uma equação da forma 74 𝑔𝑥 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑏 𝑎 Para y ft é positiva ou seja acima do eixo das abscissas t a área calculada pela função integral gx delimitada pelos limites de integração ab será positiva Fonte Autor Figura 63 Teorema fundamental de cálculo Na segunda parte o teorema afirma que a derivada da integral definida de 𝑓 em relação a 𝑥 em que 𝑥 é o limite superior da integração é igual a 𝑓𝑥 desde que 𝑓 seja contínua em um intervalo aberto contendo 𝑥 63 Integração por Partes e Substituição Trigonométrica Por causa do Teorema Fundamental do Cálculo podemos integrar uma função se conhecermos uma primitiva isto é uma integral indefinida Aqui resumimos as integrais mais importantes aprendidas até agora Tabela 64 Integrais imediatas 𝒅𝒙 𝑭𝑿 𝒄 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 𝑛 1 𝑐 𝑛 1 1 𝑥 ln𝑥 𝑐 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑐 75 𝑎𝑥 𝑎𝑥 ln 𝑎 𝑐 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑐 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑐 Fonte Autor Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração Por exemplo a Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação Aquela que corresponde à Regra do Produto para a derivação é chamada integração por partes A Regra do Produto afirma que se ƒ e t forem funções deriváveis então 𝑑𝑢𝑣 𝑢𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣 𝑑𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 Integrando os termos 𝑢𝑑𝑣 𝑑𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣 𝑑𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 A seguir apresentaremos um exemplo de integração por partes 𝑥 𝑢 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 Na integração por partes separamos os termos u e dv determinando du e v 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 cos 𝑥 Depois substituímos na expressão de integração por partes 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑢 cos 𝑥 𝑣 cos 𝑥 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 sin𝑥𝑐 76 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 𝑐 Utilizada para resolver integrais de produtos de funções essa técnica transforma uma integral difícil em uma ou mais integrais imediatas A integração por substituição trigonométrica é uma técnica usada para avaliar integrais que envolvem expressões quadráticas particularmente aquelas que contêm raízes quadradas Essa técnica utiliza identidades trigonométricas para simplificar a integral transformando uma expressão algébrica complicada em uma expressão trigonométrica mais fácil de integrar O processo envolve substituir a variável da integral por uma função trigonométrica que simplifica a expressão dentro da integral Existem três principais substituições trigonométricas baseadas nas identidades pitagóricas Elas estão descritas na tabela a seguir Tabela 65 Identidades pitagóricas Função Substituição de x 𝑎2 𝑥2 𝑥 𝑎 sin 𝜃 𝑎2 𝑥2 𝑥 𝑎 tan 𝜃 𝑥2 𝑎2 𝑥 𝑎 sec 𝜃 Fonte Autor Essas substituições aproveitam as identidades trigonométricas para reescrever a integral em termos de funções trigonométricas que muitas vezes são mais simples de integrar Na prática associase as expressões anteriores a triângulos retângulos sendo a medida do ângulo A expressão a seguir apresenta um exemplo de integração por substituição 9 𝑥2 𝑥2 𝑑𝑥 Substituimos x pela identidade pitagórica e sua respectiva diferencial de maneira a criar um triângulo retângulo que contenha a expressão sin 𝜃 3 𝑥 77 𝑥 3 sin 𝜃 𝑑𝑥 3 cos 𝜃 𝑑𝜃 Fonte Autor Figura 64 Triângulo retângulo utilizado na identidade pitagórica Após determinada a função dx substituímos no triângulo retângulo e aplicamos a identidade pitagórica 9 𝑥2 9 3 sin 𝜃2 9 9𝑠𝑖𝑛2𝜃 9 1 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 9𝑐𝑜𝑠2𝜃 3 cos 𝜃 9 𝑥2 𝑥2 𝑑𝑥 3 cos 𝜃 9𝑠𝑖𝑛2𝜃 3 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑡2𝜃 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑡2𝜃 𝑑𝜃 𝑐𝑠𝑐2𝜃 1 𝑑𝜃 cot 𝜃 𝑐 A integração por substituição trigonométrica é uma técnica eficaz para resolver integrais que envolvem expressões quadráticas especialmente aquelas com raízes quadradas Utilizando substituições baseadas em identidades trigonométricas essa técnica transforma integrais complicadas em formas mais manejáveis o que permite a aplicação de métodos de integração mais diretos 78 64 Integração de Funções Racionais pelo Método das Frações Parciais A integração de funções racionais por meio do método das frações parciais é uma técnica poderosa no cálculo integral Funções racionais são quocientes de polinômios e a integração dessas funções pode ser complicada sem a devida simplificação A tabela a seguir apresenta os principais passos utilizados em frações parciais Tabela 66 Principais passos em frações parciais Passo Descrição Divisão Polinomial Se o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador devese realizar a divisão polinomial para expressar a função como a soma de um polinômio e uma fração própria Fatoração do Denominador Fatorar o denominador da fração própria em produtos de polinômios de grau menor lineares ou quadráticos irreduzíveis Decomposição Escrever a fração própria como uma soma de frações parciais Cada fração parcial tem um denominador correspondente aos fatores do denominador original e um numerador adequado Determinação dos Coeficientes Determinar os coeficientes dos numeradores das frações parciais resolvendo um sistema de equações gerado ao igualar a fração original à soma das frações parciais Integração Integrar cada fração parcial individualmente usando métodos básicos de integração para funções racionais simples Fonte Autor Função racional é uma função do tipo 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 em que gx e hx são diferentes de zero e são polinômios em x também denominada de função racional 79 𝑓𝑥 𝑥 1 𝑥3 𝑥2 6𝑥 A fração racional 𝑔𝑥 ℎ𝑥 é dita própria se o grau do numerador gx é menor que o grau do denominador hx caso contrário diz que é uma fração imprópria O método das frações parciais reescreve a função hx em produtos lineares distintos ou seja ℎ𝑥 𝑎1𝑥 𝑏1𝑎2𝑥 𝑏2 𝑎𝑘𝑥 𝑏𝑘 Nenhum fator é repetido e nenhum fator é múltiplo constante do outro Nesse caso o teorema das frações parciais afirma que existem constantes tais que A1 A2AK tais que 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝐴1 𝑎1𝑥 𝑏1 𝐴2 𝑎2𝑥 𝑏2 𝐴𝑘 𝑎𝑘𝑥 𝑏𝑘 A expressão a seguir apresente um exemplo de integração por frações parciais 𝑥2 2𝑥 1 2𝑥3 3𝑥2 2𝑥 𝑑𝑥 Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador não precisamos dividir Fatoramos o denominador como 2𝑥3 3𝑥2 2𝑥 𝑥2𝑥2 3𝑥 2 𝑥2𝑥 1𝑥 2 Após fatorar o denominador substituímos a divisão de polinômios 𝑥2 2𝑥 1 𝑥2𝑥 1𝑥 2 𝐴 𝑥 𝐵 2𝑥 1 𝐶 𝑥 2 𝐴2𝑥 1𝑥 2 𝐵𝑥𝑥 2 𝐶𝑥2𝑥 1 𝑥2𝑥 1𝑥 2 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 Após manipular o denominador igualamos os termos 𝑥2 2𝑥 1 𝐴2𝑥 1𝑥 2 𝐵𝑥𝑥 2 𝐶𝑥2𝑥 1 80 Aplicando a distributiva no segundo termo da equação temos 𝑥2 2𝑥 1 2𝐴 𝐵 2𝐶𝑥2 3𝐴 2𝐵 𝐶 2𝐴 Agora igualamos os termos dos dois polinômios e determinamos o valor de A B e C 2𝐴 𝐵 2𝐶 1 3𝐴 2𝐵 𝐶 2 2𝐴 1 𝐴 1 2 𝐵 1 5 𝑒 𝐶 1 10 Após determinado os valores de A B e C substituímos na integral original 𝑥2 2𝑥 1 2𝑥3 3𝑥2 2𝑥 𝑑𝑥 1 2𝑥 1 52𝑥 1 1 10𝑥 2 𝑑𝑥 1 2𝑥 1 52𝑥 1 1 10𝑥 2 𝑑𝑥 1 2 ln𝑥 1 5 ln2𝑥 1 1 10 ln𝑥 2 𝑐 A integração por frações parciais é uma técnica essencial no cálculo integral para simplificar e resolver integrais de funções racionais pois ao decompor uma função racional em uma soma de frações parciais tornase possível integrar cada termo individualmente utilizando métodos básicos de integração Esse processo não apenas facilita a resolução de integrais complexas também amplia o entendimento sobre a estrutura das funções racionais A técnica envolve divisão polinomial fatoração decomposição em frações parciais determinação de coeficientes e integração das frações resultantes 65 Determinação de Área e Volume As integrais definidas são ferramentas poderosas no cálculo de áreas e volumes pois permitem determinar com precisão medidas de regiões e sólidos de formas variadas Para calcular a área sob uma curva uma integral definida soma infinitesimais fatias verticais da região delimitada pela função e o eixo x No caso de volumes técnicas como o método dos discos anéis e cascas cilíndricas utilizam integrais definidas para somar volumes de infinitesimais fatias ou cascas tridimensionais 81 A integral definida realiza o cálculo de área acima de uma curva porém essa ferramenta é amplamente utilizada também para cálculo de volume de um sólido de revolução com base em uma função fx Um sólido de revolução é uma figura tridimensional obtida ao girar uma curva bidimensional em torno de um eixo A técnica de integração permite calcular o volume desses sólidos de forma precisa Para gerar um sólido de revolução consideramos uma função 𝑦𝑓𝑥 definida em um intervalo 𝑎𝑏 Fonte Autor Figura 65 Sólido de revolução criado a partir de uma função fx Ao girar essa curva em torno do eixo x ou y formamos um sólido cuja forma depende da função original O volume do sólido pode ser encontrado utilizando métodos de integração como o método dos discos ou anéis e o método das cascas cilíndricas 𝑉 𝜋𝑓𝑥2 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 A expressão acima demonstra o cálculo de volume de um sólido de revolução em torno do eixo x Caso determinado o sólido em torno do eixo y basta substituir os limites de integração e a variável integrada 82 Determinemos o volume de um sólido de revolução figura n 05 considerando o intervalo 01 e a função 𝑓𝑥 𝑥 𝑉 𝜋𝑓𝑥2 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝜋 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑉 𝜋 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 12 2 02 2 𝜋 2 1 0 1 0 𝑢 𝑎 ua unidade de área Imagine que precisamos determinar a área da região delimitada pelas curvas 𝑦 𝑥2 𝑒 𝑦 4 𝑥2 Para determinar a área entre as curvas devemos determinar os pontos de intersecção limites de integração 𝑥2 4 𝑥2 2𝑥2 4 𝑥 2 A partir desse momento calculamos a área entre as curvas conforme figura a seguir Fonte Autor Figura 66 Área entre as curvas 𝐴 4 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 162 3 2 2 2 2 𝑢 𝑎 ua unidade de área 83 Conclusão Neste bloco estudamos as aplicações os conceitos de integrais indefinidas e definidas as formas de integração de funções imediatas substituição por partes substituição trigonométrica e frações parciais e as aplicações para cálculo de área volume e aplicações práticas REFERÊNCIAS STWART James Cálculo Volume I 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 STWART James Cálculo Volume II 7ªEdição Editora Cengage Learning São PauloSP 2013 01 Identificar o tipo de equação A equação é do 2º grau mas sem termo independente termo c 0 Nesse caso aplicamos a fatoração por fator comum Fatorar por fator comum x² 9x xx 9 Aplicar a propriedade do produto nulo Se AB 0 então A 0 ou B 0 Assim x 0 ou x 9 0 Resolver cada caso Se x 0 raiz x 0 Se x 9 0 x 9 raiz x 9 Verificação substituir na equação original Para x 0 0² 90 0 0 0 satisfaz a igualdade Para x 9 9² 99 81 81 0 satisfaz a igualdade Indicar o conjunto numérico das raízes As raízes são 0 e 9 Ambos são números inteiros Portanto pertencem aos conjuntos Inteiros Racionais Reais ℤ ℚ ℝ 02 Escrever a função y 4x³ x² 8 Calcular a derivada utilizando as regras de potência ddx xn n xn1 Derivada de 4x³ é 12x² Derivada de x² é 2x Derivada de 8 constante é 0 Portanto y 12x² 2x Avaliar a derivada em x 3 y3 123² 23 129 6 108 6 102 Conclusão A taxa de variação derivada da função no ponto x 3 é 102