Calculo 2 - Correção de Lista

1 20 Diga se a série indicada converge ou não justificando sua resposta Σ 2n1 5n 2 20 Determine o valor da soma sn dos n primeiros termos da série 1 12 14 18 116 132 1n 2n 3 20 Calcule a integral pelo método de substituição a 10 sen2x dx b 10 cos7θ 5 dθ 4 20 Calcule a integral pelo método de integração por partes a 10 lnx dx b 10 3xsenx 5 20 Obtenha o valor na forma de fração usando séries geométricas x 2533333 Calculo II 1 Podemos resumir o termo geral como 25m Essa é uma série geométrica de razão r25 que satisfaz r 1 Logo a série converge 2 A série pode ser reescrita como 12m que é uma série alternada O primeiro termo é o 1 e a razão é 12 A fórmula para a soma é S a 1 rn 1 r Substituindo os valores e usando a fórmula para soma infinita S a 1 r temos o resultado de 23 3 a U 2x dU 2 dx senu 12 du 12 senu du Remover a constante 12 sinu du Aplica as regras de integração 12 cosu Substituir na equação u 2x 12 cos2x Simplifica 12 cos2x Adiciona uma constante a solução 12 cos12x C 3 b U 7x 5 dU 7 dx cosu 17 du Remover a constante 17 cosu du Aplica as regras de integração 17 sinu Substituir a equação u 7x 5 17 sin7x 5 Adiciona uma constante a solução 17 sin 7x 5 C 4 a ln x dx Escolhemos u lnx e dv dx então du dxx e v x lnx dx x lnx x dxx x lnx dx x lnx x C 4 b u3x du3dx dvSinx dx vcosx Aplica a formula I 3x cosx 3 cosx dx Resolver a nova integral 3 cosx dx 3 sinx Resultado I 3x cosx 3 sinx C 5 x 25 102 103 25 102 x 1101 11345 x 2533333 x 25 0033333 0033333 3100 31000 310000 Essa serie tem primeiro termo a 3100 e razão r 110 A soma é S a1r 3100 1 110 3100 910 3100 109 3100 x 25 130 52 130 75 30 130 76 3815 Podemos reescrever como 2𝑛1 5𝑛 2 2𝑛 5𝑛 2 2 5 𝑛 2𝑛1 5𝑛 2 2 5 𝑛 Para séries geométricas 𝑎 𝑟𝑛 𝑎 1 𝑟 Esse tipo de série converge quando r 1 Em nosso caso 𝑟 2 5 que é menor que 1 Então a série converge Com 𝑎 2 2 2 5 𝑛 2 1 2 5 2 3 5 10 3 SUA RESPOSTA ESTÁ CERTA O primeiro termo é 𝑎 1 A razão é 𝑟 1 2 A soma é dada por 𝑠𝑛 𝑎 1 𝑟 1 1 1 2 1 3 2 2 3 SUA RESPOSTA ESTÁ CERTA a Substituição 𝑢 2𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 sin2𝑥 𝑑𝑥 1 2 sin𝑢 𝑑𝑢 1 2 cos𝑢 𝐶 1 2 cos2𝑥 𝐶 b Substituição 𝑢 7𝜃 5 𝑑𝑢 𝑑𝜃 7 𝑑𝜃 𝑑𝑢 7 cos7𝜃 5 𝑑𝜃 1 7 cos𝑢 𝑑𝑢 1 7 sin𝑢 𝐶 1 7 cos7𝜃 5 𝐶 SUAS RESPOSTAS ESTÃO CERTAS a Integração por partes 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑢 ln𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 ln𝑥𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ln𝑥 𝑥 𝐶 b 𝑢 3𝑥 𝑑𝑣 sin𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 3𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 sin𝑥 𝑑𝑥 cos𝑥 3𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 cos𝑥 cos𝑥 3𝑑𝑥 3𝑥 cos𝑥 3 cos𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 cos𝑥 3 sin𝑥 𝐶 SUAS RESPOSTAS ESTÃO CERTAS 𝑥 2533333 𝑥 5 2 3 100 3 1000 3 10000 3 100000 3 100000 𝑥 5 2 𝑎 1 𝑟 5 2 3 100 1 1 10 5 2 1 30 75 30 1 30 76 30 38 15 SUA RESPOSTA ESTÁ CERTA