Calculo 2 Exercicio

1 Todas as atividades que envolverem cálculos deverão ser resolvidas à mão Não serão aceitas atividades digitadas Lembrese de escrever de forma legível 2 Você pode tirar foto ou escanear suas atividades O único formato aceitável para upload é o PDF então pode ser que você tenha que converter seu arquivo existem vários e apps gratuitos para isso Lembrese de observar se o arquivo está legível Parte 1 Nas bibliografias recomendadas livro de cálculo 2 da Diva Flemming ou James S encontre funções de duas variáveis independentes que possuam a Uma raiz de índice par b Uma divisão em que o denominador não seja constante c Logaritmos exponenciais ou trigonométricas Observações As funções não podem fazer parte de exercícios resolvidos Todas as funções retiradas de livros precisam ser referenciadas Ex Questão no pág do livro Todas as respostas devem ser justificadas Ex o denominador da função não pode ser zero portanto As funções não podem ser as mesmas de exemplos resolvidos em aulas e nem dos exemplos apresentados neste material Você pode criar suas próprias funções seja criativo Atividades da Parte 1 Considerando as três funções escolhidas 1 Encontre o domínio e a imagem das funções escolhidas 2 Construa suas representações gráficas utilizando o Geogebra ou algum outro software 3 Obtenha algumas curvas de nível da superfície construída 4 Obtenha o mapa de contorno da superfície construída 5 Utilizando o Geogebra ou algum outro software gráfico construa o gráfico dos domínios das funções escolhidas Parte 2 A função apresentada a seguir está no livro Cálculo volume 2 de James Stewart Note que quando as questões são contextualizadas informações adicionais são necessárias para que ocorra a correta interpretação da questão Ex Em 1928 Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelaram o crescimento da economia norteamericana durante o período de 18991922 Eles consideraram uma visão simplificada da economia em que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia o modelo mostrouse bastante preciso A função utilizada para modelar a produção era da forma equação onde P é a produção total valor monetário dos bens produzidos no ano L a quantidade de trabalho número total de pessoashora trabalhadas em um ano e K a quantidade de capital investido valor monetário das máquinas equipamentos e prédios Ou seja precisa de uma contextualização equação e definição das variáveis O desenvolvimento de uma equação matemática que descreve algum tipo de fenômeno é chamado de modelagem matemática Todas as informações apresentadas contextualização equação e definição de variáveis servem para que o modelo matemático seja utilizado de forma correta e a interpretação de seus resultados seja assertiva Para fazer as atividades da parte 2 busque nas bibliografias recomendas dois exemplos de funções contextualizadas Atividades da parte 2 Considerando cada função escolhida 1 Apresente a contextualização da função 2 Apresente a equação da função 3 Defina as variáveis que fazem parte da equação 4 Determine o seu domínio e a sua imagem considerando a contextualização do problema 5 Utilizando o Geogebra ou algum outro software construa o gráfico da função escolhida Funções de Duas Variáveis Escolha Domínio e Imagem Objetivo Selecionar três funções de f 2 que contenham uma raiz de índice par uma fração com denominador nãoconstante logaritmo exponencial ou trigonométrica As funções não fazem parte dos exercícios já resolvidos em aula nem dos exemplos deste material Cada função é retirada de Stewart Vol 2 e referenciada corretamente 1 Funções Escolhidas e Justificativas As três funções abaixo atendem respectivamente aos requisitos raiz de índice par divisão com denominador nãoconstante e logarítmicaexponencial Todas são extraídas de exercícios do Cálculo Vol 2 de James Stewart 8ª ed PT Cengage 2016 mas não fazem parte de exemplos resolvidos em aula Função 1 Raiz de índice par Equação f1xy x2 y Domínio O radicando deve ser nãonegativo x2 y 0 y x2 Portanto D1 xy ℝ2 y x2 Imagem Seja u x2 y 0 Como f1 u e u 0 Imf1 0 Observação analítica O contorno y x2 é a boca da parábola acima dele o radicando fica negativo logo a superfície não existe Função 2 Divisão nãotrivial Equação f2xy x y x2 y2 Domínio O denominador anulase somente no ponto 00 x2 y2 0 D2 ℝ2 00 Imagem Para mostrar que Imf2 ℝ fixe uma reta que passe pela origem com inclinação m 1 y mx Então f2xmx x1 m x21 m2 1 m x1 m2 Quando x 0 temos f2 quando x 0 f2 Como valores grandes positivos e negativos são atingidos e f2 é contínuo onde definida o Teorema do Valor Intermediário garante que todo número real é tomado Imf2 ℝ Função 3 Exponencial e logarítmica Equação f3xy exy lnx 2y Domínio Exigese argumento positivo no logaritmo x 2y 0 D3 xy ℝ2 x 2y 0 Imagem Se x 2y 0 então lnx 2y e exy permanece finito logo f3 Se xy por exemplo x y exy e domina a soma produzindo f3 Como ambos os extremos são atingidos e f3 é contínuo em D3 Imf3 ℝ 2 Resultados Gráficos Superfície f1 Curvas de nível f1 Domínio de definição f1 y x Superfície f2 Curvas de nível f2 Mapa de contorno f2 Domínio de definição f2 y x Superfície f3 Curvas de nível f3 Mapa de contorno f3 3 Modelagem Matemática Parte 2 Nesta seção examinamos duas funções de duas variáveis selecionadas do Cálculo Volume 2 de James Stewart1 Além da contextualização históricafísica apresentamos a equação as definições de variáveis domínio imagem e interpretações analíticas derivadas parciais retorno de escala gradientes térmicos etc 18ª ed PT Cengage Learning 2016 8 31 Função A Produção Econômica CobbDouglas Contexto histórico e econômico Em 1928 Charles W Cobb e Paul H Douglas avaliaram dados anuais da produção industrial norteamericana 18991922 Observando que trabalho L e capital K eram os insumos preponderantes propuseram o modelo PL K A LαKβ Os expoentes α e β medem a elasticidade da produção em relação a cada insumo No estudo original encontraram α 0 75 e β 0 25 sugerindo que 1 de aumento em L eleva P em 075 enquanto 1 de aumento em K eleva P em 025 A soma α β 1 caracteriza retornos constantes à escala Equação parâmetros clássicos PL K 101 L075K025 L K 0 Variáveis P valor monetário da produção anual R L total de pessoashora trabalhadas ao ano K capital físico investido R Domínio DA L K R2 L 0 K 0 Imagem e interpretações PL K 0 ImP 0 Derivadas marginais PL 07575 L025K025 PK 02525 L075K075 Elasticidades εL 0 75 εK 0 25 Retorno à escala constante 9 Função CobbDouglas Figura 1 Superfície da função CobbDouglas 32 Função B Distribuição de Temperatura em uma Placa Contexto termodinâmica Placa metálica fina de extensão idealmente infinita submetida a uma fonte pontual na origem mantida a 100 C Em regime estacionário e difusão isotrópica o perfil de temperatura decai segundo um gaussiano radial Equação perfil radial Gaussiano Txy 100 e01x2y2 Variáveis T temperatura local C x y coordenadas cartesianas sobre a placa cm Domínio DB R2 Imagem e interpretações Com r sqrtx2 y2 T 0100 Gradiente T 20x e01r2 20y e01r2 Fluxo de calor q κT radial Figura 2 Superfície da distribuição de temperatura 11