Cálculo de Integrais Duplas - Regiões Limitadas e Coordenadas Polares

1 Calcule as seguintes integrais duplas Justifique suas respostas Esboce as regiões de integração Cada item abaixo vale 50 na pontuação total desta avaliação a D x³y⁴ dA onde D R² é a região limitada pelas curvas y x² e y 9x b D 2x 4y dA onde D R² é a região do 1º quadrante limitada pelo círculo x² y² 25 e pelas retas y x e x 0 Sugestão Para o item b use coordenadas polares Questão 1 Esboço Temos a seguinte integral 𝑥3𝑦4𝑑𝐴 Calculando obtemos 𝑥3𝑦4𝑑𝑦 9𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 9 0 𝑥3 𝑦4𝑑𝑦 9𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 9 0 𝑥3 𝑦5 5 𝑥2 9𝑥 𝑑𝑥 9 0 1 5 𝑥395𝑥5 𝑥10𝑑𝑥 9 0 1 5 95𝑥8 𝑥13𝑑𝑥 9 0 1 5 95 𝑥9 9 𝑥14 14 0 9 1 5 95 99 9 914 14 914 5 1 9 1 14 914 5 14 9 126 914 5 5 126 914 126 𝟗𝟏𝟑 𝟏𝟒 Questão 2 Esboço Temos a seguinte integral 2𝑥 4𝑦𝑑𝐴 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Assim a integral fica 2𝑟 cos 𝜃 4𝑟 sin𝜃𝑟𝑑𝑟 5 0 𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 4 Calculando obtemos 2 cos 𝜃 4 sin𝜃𝑟2𝑑𝑟 5 0 𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 4 2 cos 𝜃 2 sin 𝜃 𝑟2𝑑𝑟 5 0 𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 4 2 cos 𝜃 2 sin 𝜃 𝑟3 3 0 5 𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 4 2 53 3 cos 𝜃 2 sin 𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 4 2 53 3 sin 𝜃 2 cos 𝜃𝜋 4 𝜋 2 2 125 3 sin𝜋 2 2 cos 𝜋 2 sin𝜋 4 2 cos 𝜋 4 2 125 3 1 0 2 2 2 2 2 250 3 1 3 2 2 𝟐𝟓𝟎 𝟑 𝟏𝟐𝟓𝟐 Questão 1 Esboço Temos a seguinte integral x 3 y 4dA Calculando obtemos 0 9 x 2 9 x x 3 y 4d yd x 0 9 x 3 x 2 9x y 4dydx 0 9 x 3 y 5 5 x 2 9x dx 1 5 0 9 x 39 5x 5x 10 dx 1 5 0 9 9 5 x 8x 13dx 1 59 5 x 9 9 x 14 14 0 9 1 59 5 9 9 9 9 14 14 9 14 5 1 9 1 14 9 14 5 149 126 9 14 5 5 126 9 14 126 9 13 14 Questão 2 Esboço Temos a seguinte integral 2x4 y dA Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Assim a integral fica π 4 π 2 0 5 2r cosθ4r sinθrdrdθ Calculando obtemos π 4 π 2 0 5 2cosθ4 sinθ r 2drdθ 2 π 4 π 2 cosθ2sinθ 0 5 r 2drdθ 2 π 4 π 2 cosθ2sinθ r 3 3 0 5 dθ 2 5 3 3 π 4 π 2 cosθ2sinθ dθ 2 5 3 3 sinθ2cosθπ 4 π 2 2 125 3 sin π 2 2cos π 2sin π 4 2cos π 4 2 125 3 10 2 2 2 2 2 250 3 13 2 2 250 3 1252